圆锥曲线的计算技巧(叶小兵)

一道真题引出的高考数学中计算的小技巧

07全国(文、理)

这里只对第二问进行分析，下面是全国卷的标准答案：(拟对红色部分进行分析)

（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． (a) 设11()B x y ，，22()D x y ，，则

2122632k x x k +=-+，21223632

k x x k -=+ 2222

122212243(1)1(1)()432k BD k x x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+； (b) 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k

-， 所以，2222143143(1)12332k k AC k k

⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积

222222222124(1)(1)962(32)(23)25

(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦

≥． (c) 当21k =时，上式取等号．

（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．

综上，四边形ABCD 的面积的最小值为

9625

． (d)

[析]

这道题目从总体上来看，中等难度，题型经典，对大多数学生来讲想到怎么做是不难的，但是要真正做对（包括结果正确，分类完整）是很有难度的，这点从多次课堂试验可以看得出来。

在此对以上这道真题中所涉及的几个小小计算技巧做一个简单的分析，总共有四个点： (a) 整理化简技巧

做数学大题，必定会遇到整理化简的时候，许多学生在化简的时候经常出现这样那样的失误，原因很简单，计算量一大，一个方程就占了两三行，这样最容易出错。

(a)式中，要把直线方程(1)y k x =+代入椭圆方程22

132

x y +=中，容代入后易得到 22223(1)60x k x ++-=到了这一步许同学会开始打草稿，其实不必要，打草稿太费时间。我们可以这样想，这个方程化简后肯定是一个关于x 一元二次方程，必定有二次项、一次项、常数项，二次项系数显然是232k +，一次项系数容易看出是2

6k ，而常数项同样也可得到236k -，因此扫描一眼就可以快速地在试卷上写上：“整理得：2222(32)6360k x k x k +++-=”

(b) 省时省力的弦长公式

现在市面上最流行的弦长公式当然是||PQ =，但是，这个公式中12x x +、12x x 两块东西是可以由方程22223(1)60x k x ++-=不用计算顺

手写出的，这一步固然简单。但是代入弦长公式后的计算将会是很恐怖的（历年的解几真题可以证明这一点）。

为此，我在班上给大家引进另一个简洁好用的弦长公式，就是||PQ =， 这个公式一写出来，总能让学生眼前一亮！学生理解起来也很简单，这里只不过是做了一个小小的改变，用韦达定理把12x x +换成b a -，把12x x 换成c a

，整理即可。 这个公式好在哪？

我们都知道学生计算错误无非就是化简整理（通分合并）过程出错，其实对比一下两个弦长公式就可以看出，第二个弦长公式恰好省去了通分化简合并的过程。实践证明，这个公式大大提高了学生的计算精度。

另外，我们都知道，做解几大题常常需要判定∆的正负性（为确保直线与圆锥曲线相交）（如07浙江（文）21），因此，我们就可以借用这个∆直接代入弦长公式，这一个小小技巧即充分地提高了计算精度也大大地减少计算量与计算时间。

这个公式可以直接用吗？

这是学生最关心的问题，这个公式当然可以用，但是这个公式最好不要出现在试卷上。我们应该这样处理：

试卷上还是用原来的弦长公式写||PQ ==，但是等号后

面的结果是用||PQ =计算的，这样两全其美了！ (c) 不等式的选取

解几大题难逃最值问题、求参数范围问题，而这两种问题可归结为不等式问题。而不等式问题又常常归结为二元均值不等式问题。

二元均值不等式是简单而复杂的，简单在于小巧易记，复杂在于形式太多。比如常

见的就有以下几种：22

2a b ab +≥、2()2a b ab +≤、22

2()22a b a b ++≥.以上这些不等式形式相似，易记混，难用对。

很多同学好不容易算到了四边形ABCD 的面积这一步：

22

22124(1)2(32)(23)

k S BD AC k k +==++ 却被表达式的繁杂而吓倒，只好望而却步，其实如果能够正确地全面地理解二元均值不等式的话，接下来的求最小值问题是非常容易的。

这里地有个锦囊要送给大家：

2112a b a b

+≥≥≥+ 记忆法：（平方平均≥代数平均≥几何平均≥调和平均）

特点： 平方和 和 积 倒数和

其实，这个不等式相信很多同学都见过，但是很少有学生能够真正学会怎样运用。其实要灵活运用只要明白两点就行：一是我们总是希望把不等式向常数发展；二是清晰了解四个平均数的特点（即平方和、和、积、倒数和）。有这两点做起来就太容易了！

举几个真题为例：

1.07浙江（文）21

本题最后归结为求2

1)S b =<<最大值，容易发现式中b

“平方和”为常数，而式中b

“乘”的状态，对照上面不等式的特点，

≥，即222a b ab +≤，因此马上得到22(1)2212b b S +-=≤= 2.07陕西22

本题最后归结为求弦长||AB 的最大值，即222

22(33)(91)||(31)k k AB k ++=+的最大值。容易发现，如果能把2(33)k +和2

(91)k +加（“和”）起来，那么就可以使||AB 为常数，