第三章谓词逻辑(第一部分)(Chapter3PredicateLogic)

：(杭州)
：(鸵鸟)
之值为真
之值为假
（）可以利用谓词在不同的知识之间建立联系。
例如：
()
()
是人
受法律管制
()
()
犯法
受法律制裁
前两个知识单元可联成一个高一级的知识单元：
第一判断：()
()
表示：人人都要受法律的管制。
直译：由于是人，则这个人就要受法律管制。
后两个知识单元也可联成一个高一级的知识单元：
() “
” （非）或“ ”用来否定一个公式的 真值。 (, )
() 命题演算是谓词演算的子集，不使用变量项， 它缺乏用有效的方法来表达多个命题的能力。如： “所有的乌鸦都是黑的”
() 全称量词 存在量词 (
：表示“所有的或任一个” ：表示“存在一个，至少有一 个” )[() (, )]
(
) (, )

() 否定之否定: 注： () 或 () 狄•摩根( )定律
(
)
表示“等价与”
(
(
)
)
() 分配率
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
() 交换率
() 结合率 ( ) ( )
(
)
(
)
() 逆否律
()
(
) ()
(
)[
()]
() 全称量词、局部量词的分配率 ( ( ) [() ) [() () ] () ] ( ( )() ) () ( ( ) () ) ()
第二判断： ()
()
表示：只要犯了罪，就要受到惩罚。这里不一定 是人，可以是人，也可以是某种动物。
进一步，还可把这两个高级知识单元联成更高级 的知识单元： {[() ()]
[()
()]}
错误的理解： “因为人人都受法律的管制，所以任何人犯 了罪一定要受到惩罚。” 正确的意思： “如果【由于某个是人而受到法律管制】， 则这个人犯了罪就一定要受到惩罚。”
第二步：消去存在量词，只剩下全称量词。
化为前束范式的步骤是：
. 把 “ ”化成 ( ) ( )
( ) ( )
或 ()()
. 把 （或 ）化成 () ()
. 把 （或 ）化成
或
. 利用下列式子消去或移入“非”符号
() 把 化成
合适公式转换成标准形举例
例. 试将 ( )( )( ) (( () ())化成标准形（即“与或式”）。 解：令
则
()) ()
(, , )
( )(
(
)(
()
())
) (, , )
可知，已是前束形了，需将(, , )化成合取范式。 得 (, , ) 于是 ( )( )( ) (( () ()) (()) ())) ( () ()) (()) ())

, , ..., 消去存在量词的算法如下：
() 若是，则移向下一个，原不变动。
其中，每个或是，或是，从始，到止。
() 若是，则消去 ，并且
) 若前没有全称量词，则把后面公式中的所 有同名换成一个从未出现过的常数名；
) 若前有个全称量词，则把后面公式中的所 有同名换成(, ..., )，其中， 是从未出现过的函数 名， , ..., 是这个全称量词管辖的变量名； ) 做完第个（最后一个）量词后算法停止。 此时，实际上把所有的存在量词都去掉了， 剩下的变量都有全称量词在管着它，这时得到的 公式称作合适公式的标准形。
() 约束变量的替换法则 ( ) () ( ) ()
(
) ()
(
)源自文库()
关于上述性质（）的说明：
在一个量化的表达式中的约束变量是一类 “虚元”，它可用任何一个未在表达式中出现过 的其它变量符号来代替。
, 两个合适公式的析取、合取、蕴涵、等 价四种运算的形象化（集合）表示：
谓词公式的表达方法举例： 例. 试用谓词演算表示如下英文句子： “ , 步. ( 步. ( , ) (), ( ) {() ) {() ( .” ) (), > ) [() ( ( ) [() ) [() ( > )]} (( ) (, ) > ( ( ) )
更有甚者，第二判断还包括这样的意思：
“如果不是人，则犯了罪就一定要受到惩罚。” 例如：兔子犯罪要受到惩罚。 这是因为，如()为假，则不论()如何，第二判断的 前提自然为真，其结论又必然为真。
需特别注意的是：谓词公式对于同名参数置 换的一致性要求使得不同论断之间可以建立起内 在联系。但是这样做的时候必须特别小心，否则 很容易把意思搞错。
() 把 ( ) 化成
() 把 ( ) 化成
() 把 () 化成 (())
() 把 () 化成 (())
. 把所有的量词变量全部换成不同的名字
例如：
化成
() ()
() ()
. 把所有的量词按原来次序移至最前边。
. 消去存在量词。 假定此时的前束范式中不 存在自由变量，因此，范式中的每个变量必定属 于某个量词管辖的范围。假设共有个量词，前束 形式是：
标准形的作用
在定理的机械化证明（一种机械 化的、在计算机上实现的推理）过程中， 我们面临的首要问题是如何建立推理规则。
例如：假设由命题逻辑描述的命 题, , 和，要求证明在 成立的条 件下成立。或者说要证明 是定理（重言式）
然而，要证明 是矛盾式（永假式）， 就要遇到量词（包括存在量词和全称量词）的 问题，为此，需要将 化成标准形，进而 建立“子句集”，方可使用（海伯伦）定理和 归结（）原理来证明 是不可满足的。 因此， 标准形是利用定理和归结（）原理 等进行定理机械化证明的基础，具有非常重要 的地位和作用。
例如：“任何整数或者为正或者为负”
( ) [ () ) ] () ( ()
常用的谓词公式表示方法对照表：
() () () () () () ()
,
（加上划线） ·
() () () () (, )
() () () () ( )
合适公式的性质 若, 是两个合适公式，则真值表为：
步. ( (, ))]} 步. (, )
( ) {() ())]}
(( ) (, )
步.
() {() () () () [() (, ) (, ) ()]}
说明： （）()和()分别表示集合，集合； （）(, )表示集合的“模”为，同样 (, )表示集合的“模”为； （）(, )表示的值大于的值。
例. 把论断“世上决没有无缘无故的爱，也没有 无缘无故的恨。”表示成谓词公式的形式。 解题思路：把论断的表示形式“分细”，即知 识的模块化问题。在下列不同程度上予以细分： 步. ——表示整个论断（即命题） 步. 分解为个命题： 没有无缘无故的爱 步. 否定词分出来： 存在无缘无故的爱 恨 存在无缘无故的 没有无缘无故的恨
() 原子公式的真、假。对已定义了某个 解释的一个原子公式，只有当其对应的语句 在定义域内为真时，才具有真值；反之，也
连词和量词 原子公式是谓词演算的基本“积木 块”，应用连词 （与）、 （或）、蕴 涵（隐含） 或 ()连词 表示“合取”，组成复 合句子。例如： “我喜爱音乐和绘画”
(, )
(, )
句法和语义 谓词逻辑的基本组成部分：
谓词符号、变量符号、函数符号、 常量符号，并用（）、[ ]、{ }和，隔开， 以表示论域内的关系。例如：
(,
)
谓词符号
常量符号
表示：机器人在号房间（）内。
() 原子公式：由若干谓词符号和项组成。 () 常量符号（项）：表示论域内的物体 或实体，可以是物、人、概念或事情。
（部分） () ()
一阶谓词演算是一种形式语 言，其根本目的在于把数学中的 逻辑论证符号化，之所以有用是 其给出了一种数学演绎方法：
旧知识 ——数学演绎— 参考书： 新知识
[]俞瑞钊. 数理逻辑. 浙江大学出版 社.
最重要的三类谓词演算的相互关系：
命题演算 算
一阶谓词演算
二阶谓词演
【注】：本课程对二阶谓词演算不予讨论。
“李住在一幢黄色的房子里”
() 连词 例如：
表示“析取”，表示可兼有的“或”。
“李明打篮球或踢足球”
(, )
(, )
() 真值的确定
每个合取项都为真（），则合取值为真。 若析取项中至少又一个取真，则析取值为 真（），否则为假()。
() 连词
表示“如果…那么…”。例如：
“如果兔子跑得最快，那么它取得冠军”
事实上，由第一判断推不出第二判断。例如：
() 晁盖劫了生辰纲，违犯了宋王朝的法律，受 到官府的追究。
() 高俅强抢民女，同样违犯了宋王朝的法律， 却可以横行无忌。
从第二判断看，可以解释得通： () 晁盖是人而受到法律管制。对晁盖来说，第 二判断的前提成立，因此要治罪。
() 高俅同样是人而不受法律管制。而对高俅来 说，第二判断的前提不成立，故可逍遥法外。
步. 存在量词分出来：
步. 把“爱”和“恨”的概念分出来： [爱() 无缘故 ()] [爱() 无缘故 ()]
步. 把“缘故”的否定词分出来： [爱() 故 ()] 有缘故 ()] [爱() 有缘
步. 把“是的原因”这个概念中的和分解开来：
[爱() 缘故 (, )] 缘故 (, )] [爱()
注意：一般地，分得越细，所含的知识越丰 富，但推理效率也越低，究竟分到什么程度， 应视需要而定。
事实上，上述命题只要用一个谓词()即可表 示，其中可以是杭州、上海、北京……，上述三 个命题变为： : (杭州)
: (上海)
: (北京)
（）谓词可以代表变化着的情况，而命 题只能 代表某种固定的情况。
对命题而言，其值非真即假，不可变化。例如： ：杭州是一个城市 ：鸵鸟会飞 之值恒真 之值恒假
但是，谓词值的真假却可因参数而异。例如：
() 约束变量：经过量化的变量 自由变量：未经量化的变量 我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
注意：在讨论一阶谓词运算时，不允许对谓 词符号或函数符号进行量化。如下面的表示是不 允许的： ( )() 错误！！
谓词公式 谓词公式的定义 原子公式（原子谓词公式）： (, , … , ) 分子谓词公式：用连词（ , , 等）把原子谓词公式组成的复合谓词公 式。
永真性 永真：一个公式如果它对所有的 解释均取真值，则称作“永真”。
重言式：永真的基公式。
例如：() 为永真。 () 说明 () () [ () () () ]
与或句演绎系统
与或句的标准形
标准形：只有 , , 谓词（原 子），前有“非”符号（ ）的谓词（负 原子），以及看不见的全称量词（ ） 组成的合适公式称为“与或句”——标准 形。【注】：正、负原子统称为“句节”。 任何合适公式都可化成与或句的 形式。分为两步： 第一步：化成前束范式，即所有 量词都在合适公式的最前面，每个量词的 辖域（适用范围）都是整个公式。进而将
() 变量符号（项） ：允许不必明确涉及 是哪一个实体，如(, ), , 即为变量。 () 函数符号：表示论域内的函数。例如 函数符号可表示某人与他或她母亲的映射。 原子公式举例：
“李的父亲与他的母亲结婚”
[(), ()]
说明： () 一般可用大写字母串表示谓词符号， 如, 。
() “大写字母＋数字短串”即可表示谓词 符号，也可作为常量符号。如，, , … () 常量符号与谓词符合的区别要通过上 下文来区分。 () 小写字母表示函数符号，如,
谓词演算 命题逻辑及其局限性 命题：不带参数的谓词 谓词：带参数的命题 我们可以很容易地把客观世界的各种 事实表示为逻辑命题，用命题逻辑把各种 命题写成合适公式（），也称“谓词公 式”。例如： 晴天: 表示为
雨天：
表示为
“若为雨天，则非晴天”
表示为
“张三是工人”
表示为
“毛泽东生于年”
表示为
注：上述连字符，只是为了便于阅读，可有可无。
(, ) (, )
蕴涵：用“ ”连接两个公式所构成的公式， 其中，蕴涵的左式称为“前项”，右式成为“后 项”。
蕴涵真值的确定： ) 若前项取值为假（），不管其后项的真值如 何( )，则蕴涵取值为真()。 ) 若后项取值为真（），不管其前项的值为如 何( )，则蕴涵取值为真()。 ) 只有在前项为真，后项为假时，蕴涵为假。
由上述可知，表示知识的陈述性形式称为命 题。
带有参数的命题叫谓词，比起命题来，谓词 有更强的表达能力。谓词逻辑可以表达那些无法 用命题逻辑表达的事实。因为： （）命题没有概括能力。
为了表达：“是一个城市”，则有多少个城市就 要用多少个命题来表示： : 代表“杭州是一个城市”
: 代表“上海是一个城市” : 代表“北京是一个城市” ………