立体几何中的向量方法-夹角问题

|.
n
A O
∴d=|
uuur PA
||cos
uuur PA,
r n
|=
|
uuur PA |
|
r n
|
u|ucros
uuur PA,
r n
|
=
|
uuur PuAur
r n
|
.
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
【温故知新】
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
a
a2 或
a
x2 y2 z2
(其中 a (x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
的夹角。如图，设二面角 l 的大小为
其中AB l, AB ,CD l,CD
B
A C
l
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur AB CD uuur uuur
AB CD
D
3、二面角 ②法向量法
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。
如图，向量 n，m ，
(2)范围: [0, ]
2
r
(3)向量求r 法:设直线l的方向向量为 a ,平r 面r 的法
向量为 u ,直线与平面所成的角为 , a与 u的夹
角为 ,则有
rr
sin | cos | |ra ur|
|a||u|
3、二面角
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的
方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
练习(用向量法求距离):
1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，则
D(0,0,0),A(2a ,0,0),B(2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0a, )
∴
uuur2 CD
uuur2 CA
uuur2 AB
uuur2 BD
uuur 2CA
uuur AB
uuur 2AB
uuur BD
uuur 2CA
uuur BD
62 42 82 0 0 2 6 8 1 = 68
uuur
2
∴ CD 2 17 答: CD 的长为 2 17 .
注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0≤ ≤ ),则
2
或
2
2
(0 ,0 )
2
rr
而利用
cos
an rr an
可求 ，
从而再求出
|
|
2
或 sin =
|sin( 2
)|
rr
au
aAl u
O
B
| cos | r r
au
u
2.直线与平面所成的角
a u
(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.
2
z
P
r n
uuuur MN
a
y
a
z
0
22
解得 2 x y z ,
N D
y
C
M
2 ur ∴可取 m ( 2,1, 1)
uuur r ∴ MA 在 n 上的射影长 d
uuur r MA n
r
Ax
B
a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
复习引入
1.异面直线所成角
rr 设直线l, m 的方向向量分别为a, b
别作棱的垂线OA、OB，则称AOB为二面角的平面角。
(2)范围: [0, ]
(3)二面角的向量求法:
①若AB、CD分别是二面角 l 的两
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的
3. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上
则 | CD | n • AB |n|
b
n
C A
DB a
即 l1,l2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长，
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直
线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知
若两直线
l
,
m
所成的角为wenku.baidu.com
(0
≤
≤
2
)
,
则
rr ab
cos r r
ab
l
a b bm
O
空间三种角的向量求解方法
1.两条异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直
线a '∥a, b ' ∥b,则a ', b '所夹的锐角或直角叫a与b
所成的角.
(2)范围:
(0, ] 2
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
r
2
r2 uuu2ur r2 uuuur
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
r uuuur ∴ n MC
2 ax ay 0 且
则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉
uurr mm
r n
m, n
注意法向量的方向：
同进同出，二面角等
l
于法向量夹角的补角； 一进一出，二面角等
于法向量夹角
rr
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ), 则 cos r r .
uv
3.二面角
(1)定义:从二面角棱上任取一点O，在二面角的两个半平面内分
uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P r
则
d=|
uuur PO
|=
|
uuur PA
|
cos
APO.
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r n
rr
(3)向量求法:设直线a、b的方r向r向量为 a, b ,其夹角
为 ,则有 cos | cos | |ra br|
| a || b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
2. 线面角
r
r
设直线l的方向向量为a，平面 的法向量为 u ，且
AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
uuur
uuur
uuur
解: CA 6 , AB 4 , BD 8
C
B
A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D
且 CA AB, BD AB , CA, BD 120o
uuur uuur uuur uuur
∵ CD CA AB BD