必学四平面向量基本定理(附答案)

平面向量基本定理

[学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

知识点一 平面向量基本定理

(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，

HG →

，a .

答案 通过观察，可得：

AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →

＝4e 1－4e 2， GH →

＝－2e 1＋5e 2，HG →

＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.

知识点二 两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．

②当θ＝0°时，a与b同向．

③当θ＝180°时，a与b反向．

(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

思考在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角．

①AB→、AC→；②AB→、CA→；③BA→、CA→；④AB→、BA→.

答案①AB→与AC→的夹角为60°；

②AB→与CA→的夹角为120°；

③BA→与CA→的夹角为60°；

④AB→与BA→的夹角为180°.

题型一对向量的基底认识

例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．

①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

答案 ②③

解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．

对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．

对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．

跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④

解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2 ＝－2(e 1－2e 2)，

∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量

例2 如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.

解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →

＝－12AB →＝－12a .

∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →

＝－b ＋a ＋12b ＝a －1

2

b ，

BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →

＝b －12

a .

跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →

＝a ，

AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →

.

解 AD →

＝AB →

＋BD →

＝AB →

＋12

BC →

＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；

AE →

＝AB →

＋BE →

＝AB →

＋13

BC →

＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；

AF →

＝AB →

＋BF →

＝AB →

＋23

BC →

＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .

题型三 向量夹角问题

例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.

解 如图，作OA →＝a ，OB →

＝b ，且∠AOB ＝60°， 以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →

＝a －b ，

BC →＝OA →

＝a .

因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，

所以∠OAB＝60°＝∠ABC，

即a－b与a的夹角β＝60°.

因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，

所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，

即a＋b与a的夹角α＝30°，

所以α＋β＝90°.

跟踪训练3 若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

解由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四

边形两条对角线．

如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴∠BOA＝60°.

→＝a＋b，且在菱形OACB中，

又∵OC

对角线OC平分∠BOA，

∴a与a＋b的夹角是30°.

题型四平面向量基本定理的应用

→＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，例4 如图所示，在△OAB中，OA→＝a，OB

点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，