129639774805312500第三章 正交试验设计(2)-正交试

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SSA SSB SSC SSE SST
a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
SSA/ (a－1) SSB/ (a－1) SSC/ (a－1) SSE/ (a－1)
MSA/MSE MSB/MSE MSC/MSE
例3.3：某化工厂希望寻找提高产品转化率的生产工艺条件。经 分析影响转化率的可能因子有三个： A：反应温度 B：反应时间 C：加碱量 根据各因子的可能取值范围，经专业人员分析研究，决定在 本试验中采用如下水平，见下表。——《试验设计DOE》峁诗松著
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 系 Department of Materials Engineering 料 工 程
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
SST = ∑ ( yi − y )
i =1
n:正交表的行数（试验次数）
n
2
其自由度
fT = n − 1
y
：n个试验指标的平均值
各因素的离差平方和：
SSA = ∑ ni ( yi − y )
i =1
a
2
其自由度
f A = ni − 1
a ：A因素的水平数，3
ni：第i水平下的试验次数
yi ：A因素每一水平下的指标平均值
ˆ 3⋅2 ± t1−α / 2 ( f e′)σ ˆ / ne μ
ˆ= 这里 σ
n
f e′ = f e + 不显著因子的自由度 ，
2 i
′ / f e′ ， S e Se ′ = S e + 不显著因子的平方和，
9 9 试验次数 ne = 1 ∑ k = = = = 1.8 1 + 显著因子自由度之和 1 + 4 5 i =1
y 31= y1 54= y 2 38= y3 53= y 4 49= y5 42= y 6 57= y 7 62= y8 64= y9
例 3.3 各列平方和的计算表 表头设计 A B C 试验号 列号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 T1 123 141 135 144 T2 144 165 171 153 T3 183 144 144 153 S 618 114 234 18
∑
31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
y
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
• 例中：
′ = S e + S B =132， ne = 9 /(1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1.8 ， S e ˆ = 132 / 4 =5.74， t 0.975 (4) = 2.7764 。 f e′ = f e + f B =4， σ
• μ 3⋅2 的 0.95 的置信区间是：
68 ± 2.7764 × 5.74 / 1.8 = 68 ± 11.9 = (56.1,79.9)
贡献率分析
当试验指标不服从正态分布时， 进行方差分析的依据就不充分，此 时可以通过比较个因素的“贡献率” 衡量因素作用的大小。
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
最佳水平组合均值的估计 下面求在最佳水平组合 A3C2 下的指标均值 μ 3⋅2 的估计。 点估计 ˆ = y。 •一般平均 μ 的最小二乘估计是： μ ˆ i = T1i − y ， •Ai 的主效应 a i 的最小二乘估计为： a 其中 T1i 表示 Ai 水平下数据的均值。 •其它主效应的估计可类似得到。其均为相应参数的无偏估计。 •在例 3.3 中：
ˆ 3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ， ˆ = y = 50 ， a μ
ˆ2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ， c
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ 3⋅2 = μ ˆ +a ˆ3 + c ˆ2 = 50+11+7=68。 μ
区间估计 • μ 3⋅2 的 1 − α 置信区间为：
F0.90(2,2)=9.0, F0.95(2,2)=19.0
因 FC>F0.90(2,2)=9.0，FA>F0.95(2,2)=19.0，故因子 A 与 C 分别 在显著性水平 0.05 与 0.10 上是显著的，因子 B 不显著。
对显著因子应该选择其最好的水平， 因为其水平变化会 造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平， 实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选 择。 在例 3.3 中因子 A 与 C 是显著的，所以要选择其最好 的水平，按前所述，应取 A3C2，对因子 B 可以选任意水平， 譬如为了节约时间可选 B1。 综上， 我们在直观分析中从 9 个结果看到的最好水平组 合是 A3B2C2，而通过方差分析可以得到各因子最佳水平组 合是 A3 B C2，因子 B 可以选任意水平，它是从 27 个可能 结果中选出的，两者并不完全相同。
因子水平表 因子 A：反应温度（℃） B：反应时间（分） C：加碱量（%） 水平 一 80 90 5 二 85 120 6 三 90 150 7
试验计划与试验结果
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因子 反应温度 ℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90 反应时间 分 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 加碱量 试验结果 y % 转化率(%) （1）5 31 （2）6 54 （3）7 38 （2）6 53 （3）7 49 （1）5 42 （3）7 57 （1）5 62 （2）6 64
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
例 3.3 的贡献率分析表
来源 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 平方和 S 618 114 234 18 984 自由度 f 2 2 2 2 8 纯平方和 600 96 216 72 984 贡献率(%) 60.97 9.76 21.95 7.32
从表中可知，因子 A 最重要，它的水平变化引起的数据波动在 总的平方和中占了 60.97%，其次是因子 C，而因子 B 的水平变 化引起的数据波动与误差引起的数据波动的贡献率差不多，所 以因子 B 可以认为不重要。
误差平方和SSE：
方法一：将空出列按一因素计算，得出值为SSE；
方法二：用公式 SSE＝SST－SSA－SSB－SSC
ST = S A + S B + ... + S E
fT = f A + f B + ... + f E
正交设计方差分析表
项目
平方和SS
自由度DF
均方MS
F值
因素A 因素B 因素C 误差（空白列） 总和
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
例 3.3 直观分析计算表 表头设计 A B C 试验号 列号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 123 141 135 144 T1 144 165 171 153 T2 183 144 144 153 T3 41 47 45 48 T1 48 55 57 51 T2 61 48 48 51 T3 R 20 8 12 3