5.1 鸽笼原理

第3讲 归纳原理
巧妙使用鸽笼原理
在鸽笼原理的许多有趣应用中，必须以某种巧妙的方 式选择放入盒子里的物体
在边长为2的正方形中任取5个点，证明存在两个点， 它们之间的距离不超过 2 。
证明 如图将正方形等分为4份。根据鸽笼原理，至少 有一份中含有这5个点中的2个。由于这2个点在一个边 长为1的正方形中，它们之间的距离显然不超过 2 。
第3讲 归纳原理
鸽笼原理的基本形式
基本形式二：如果把N个对象放入k个盒子里（N、
k均为正整数），那么有一个盒子中至少放入了

N k

ห้องสมุดไป่ตู้


N 1 k
1
个对象
证明：如果每个盒子包含的物体都不多于

N k


1
，那么
物体总数最多为
k
(
N k

狄里克雷在数论中有许多重要发现，并对于n = 5 的情况证明了费马的最后的定理，即x5 + y5 = z5 不存在非平凡的整数解
狄里克雷经常在工作中使用鸽笼原理
第3讲 归纳原理
鸽笼原理的基本形式
基本形式一：如果把n + 1个（n为正整数）对象 放入n个盒子里，那么至少有一个盒子中放有两 个或两个以上的对象
证明：反设每个盒子都少于两个物体，则n个盒 子里最多放置了n个物体，与前提矛盾。
第3讲 归纳原理
应用举例
例1：在一组367个人中至少有多少人生日相同？
至少有两个人有相同的生日，因为最多只有366种可能 的出生日期。
例2：在27个英文单词中至少有多少个单词以同 一字母打头？
一定至少有两个单词以同一字母打头。
第3讲 归纳原理
例2：三维空间中有9个格点（各坐标均为整数的点），证 明所有格点连线的中点中至少有一个也是格点。
证：我们知道，格点的三个坐标的奇(用1表示)偶(用0表示) 状况只有8个：( 0,0,0 ) , ( 0,0,1 ),( 0,1,0 ) , ( 0,1,1 ), ( 1,0,0 ), ( 1,0,1 ) , ( 1,1,0 ) , ( 1,1,1 ) 。因此，根据鸽笼原理基本形 式一，9个格点中至少有两个格点的坐标的奇、偶状况相 同。设这两个格点的坐标是(a,b,c)和(a’,b’,c’)，于是，它 们之间连线的中点的坐标是((a+a’)/2, (b+b’)/2, (c+c’)/2),由 于(a,b,c)和(a’,b’,c’)的奇、偶状况相同， ((a+a’)/2, (b+b’)/ 2, (c+c’)/2)中各坐标均为整数，故该点是一个格点。
由鸽笼原理基本形式二，q11, q12 ,, q17
中至少有

7
2
1

1

4
枚棋子
同色，不妨设它们是 q11, q12 , q13 , q1（4 黑子）。再考虑 q21, q22 , q23 , q，24
如果其中有两枚黑子，那么命题已成立；若不然，q21, q22 , q23 , q24
计算机专业基础课程
授课人：王元元 单位：计算机理论教研室
指挥自动化学院计算机系
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1 归纳原理 2 鸽笼原理
《离散数学》第3讲 鸽笼原理
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内容提要
鸽笼原理的基本形式
基本形式一 基本形式二
巧妙应用鸽笼原理 鸽笼原理的加强形式
1)

k

(( N
k 1) 1) N
，与前提矛盾。
在基本形式二中，令N=k+1，则得到基本形式一
第3讲 归纳原理
应用举例
例3：100个人中至少有多少个人同一个月出生？ 例4：如果有5种可能的成绩A、B、C、D、E，
那么一个班里至少有多少个学生才能保证至少有6 个学生得到相同的分数？ 例5：为保证一个省的2500万个电话有不同的10 位号码，所需的区号至少是多少？假定电话号码 是Nxx-Nxxxxxx形式，前3位是区号，N表示2到9 的十进制数字，x表示任意十进制数字。
第3讲 归纳原理
例1：从集合{1，2，…，200}中任选101个数。证明：无论怎 样选取，在选取的这些数中，必定存在两个数，使得其中之 一可以被另一个整除。
证：我们知道，任何正整数都可以写成2k·a的形式，其中k是 自然数，a是奇数。对于集合{1，2，…，200}中的数，a只能 是1，3，5，…，199这100个数中的一个。于是，根据鸽笼原 理基本形式一，在选取的101个数中，有两个数的上述表示形 式中的a是相同的。即分别是2k·a ，2j·a ，它们之中自然有一 个可以被另一个整除。
第3讲 归纳原理
应用举例
例3：100个人中至少有多少个人同一个月出生？ 至少有9个人同一个月出生. 例4：如果有5种可能的成绩A、B、C、D、E，那么一个
班里至少有多少个学生才能保证至少有6个学生得到相同 的分数？ 至少有26个学生 例5：为保证一个省的2500万个电话有不同的10位号码， 所需的区号至少是多少？假定电话号码是Nxx-Nxxxxxx形 式，前3位是区号，N表示2到9的十进制数字，x表示任意 十进制数字。 所需的区号至少是4个(201,202,203,204)
第3讲 归纳原理
例2.13 取黑白围棋子21枚，黑白数目不限，排列成3行7列的长 方形。求证：无论怎样排放，都可以从中找到一个长方形，使该 长方形的四个角的棋子同色。
证.设21枚棋子排成的长方形如下： q11, q12 ,, q17
q21, q22 ,, q27
q31, q32 ,, q37
形黑色的四角，满足命题要求。
第3讲 归纳原理
本讲小结
主要内容
鸽笼原理的基本形式 鸽笼原理的典型应用
作业：
P26 13(b)、16、17
第3讲 归纳原理
加强形式一 加强形式二 加强形式三
第3讲 归纳原理
鸽笼原理的直观解释
第3讲 归纳原理
鸽笼原理的直观解释 十只鸽子飞进9只笼 子
第3讲 归纳原理
鸽笼原理的直观解释 十只鸽子飞进9只笼 子
第3讲 归纳原理
小档案——狄里克雷
鸽笼原理也叫做狄里克雷原理，以19世纪德国数 学家狄里克雷的名字命名
中至少有三枚白子，不妨设它们是 q21, q22 , q23 。再考虑，这3枚
棋子中必有
3
2
1

1

2
枚棋子同色，如果其中有两枚白子，那
么与 q21, q22 , q23中白子组成长方形白色的四角，满足命题要求；
如果其中有两枚黑子，那么与
q11, q12 , q13中, q黑14 子组成长方