相关系数的性质
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知识点名称：相关系数的性质 主 讲人：王志勇
§4.6相关系数的性质 性质设随机变^X,Y的相关系数'存在，则
1) 0四
2) \p\ = 1 X^Y依概率为1线性相
关，即存在 a,0), |—----
使得 p{Y = aX + g} = 1 证明
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的 数字特征.
(x，y)
G G;
E(U) = 0 x P(X < Y} +1 x P(X >其Y它} = 3/4 = E(U2)
2பைடு நூலகம்
23 9 3
D(U) = E (U2) - [ E (U )]2 =---=一，
4 16 16
1
1
同理 E(V)= 2，〃(V)=4，
UV的分布律为
《 〔0,
UV = u，
X 2Y; = V X > 2Y.
同理
」______
fy
(y)=
2 1-
<y 2
、0，
，勿
-1 其它
<
/
<
1;
已计算得 cov(x, y)=o.
可以验证 D (X) > 0, D (Y) > 0, 从而 PXY = 0.
当乂2+[2冬，f(, y) 壬 (X)/y (〃，
随机变量不相关不一定相互独立!
例4・6・2设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)|0笠2, 0<y<1} 上服从均匀分布.记
!。, X《Y；
U = v= 丄 X > Y.
〔X < 0, 2Y; |1, X > 2Y.
^PUV .
厶垢 _ _ COV(U ,V)
分析 PUV _ / /
y
_ E(UV) - E(U)E(V) 一 0(U)0V
G
O
x
关键是^E(UV)
＞可先求出UV分布律.
解由已知可得
J1/2,
/ (x，y )=I 0,
=aD( X ).
Q = g(X , Y )=亠
XY』D(X序 _ .
V
例4.6.1 (X,F)在以原点为圆心的单位圆员内服从均匀分布
1
f (X，y)= <冗 X 2 + y 2 <
' 1; 其它
〔0,
fX(x)=卩顼 1-x0,2-冗必
2&-x 2
----丸----，一 1 < X < 1;
其它
练习 将一枚硬币重复抛掷〃次，x, Y分别表示正面 朝上和反面
朝上的次数，则％ = -1
注1 若随机变量x, Y的相关系数Ax帯在， 1) 若PxY =1，P {Y = ox + 0} = 1
中的a>0,称x, Y正相关；
2) PXY=T，则«<0称x, Y负相关； 3) PXY=。，称x, Y不相关.
对^ = 1同理可证.
"U”充分性 若 P {Y = aX + 戶} = 1,
E(Y) = aE(X) + D(Y) = a2D(X),
Cov ( X, Y ) = E ([ X 一 E ( X )][Y 一 E (Y )]}
=E ([ X 一 E (X )][aX + 6- E (aX + 0)]}
证明："n”必要性
p=-1时由1)有
**
D(X*+ Y* ) = 0, E(X + Y ) = 0.
由方差的性质4)得
P {X * + Y *= E (X * + Y *)} = 1,
即 P{X* + Y* = 0} = 1,或者
______
P JY X +
I 4DX
4DX
E (X) + E (Y )> = 1.
例4.6.2
定理证明
1) 亦 1;
证明：0 < D(X* 土 Y*) = D(X*)+D(Y*) ± 2 cov(X*,
Y*) =2± 2PXY = 2(1±PXY) n l±pXY -
「・
|PXY|-1.
2) \p\ = 1< > X与Y依概率为1线性相关，即 Ea,P (a 丰 0),使 P{Y = aX + p} = 1.
注2 PXY=0仅说明x, Y之间没有线性关系，但可以有其他非
线性关系。
定理4.6.1 若随机变量X与*相互独立，则X与*不相关，即
有 PxY =
注1 此定理的逆定理不成立，即由,XY=0不能得到X与Y
相互独立.
注2 若(X,Y)〜冲1，冷的，a22; p),则
X, Y相互独立
pXY=0 .
例 4.6.1
1 故 E (UV)2=coEv((UV,)=-,
V) E (UV) 一 E (U) E (V)
1 3 x 1 [T
2 - 4 x 2 = Q "T1ZT"T V16 4
§4.6相关系数的性质 性质设随机变^X,Y的相关系数'存在，则
1) 0四
2) \p\ = 1 X^Y依概率为1线性相
关，即存在 a,0), |—----
使得 p{Y = aX + g} = 1 证明
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的 数字特征.
(x，y)
G G;
E(U) = 0 x P(X < Y} +1 x P(X >其Y它} = 3/4 = E(U2)
2பைடு நூலகம்
23 9 3
D(U) = E (U2) - [ E (U )]2 =---=一，
4 16 16
1
1
同理 E(V)= 2，〃(V)=4，
UV的分布律为
《 〔0,
UV = u，
X 2Y; = V X > 2Y.
同理
」______
fy
(y)=
2 1-
<y 2
、0，
，勿
-1 其它
<
/
<
1;
已计算得 cov(x, y)=o.
可以验证 D (X) > 0, D (Y) > 0, 从而 PXY = 0.
当乂2+[2冬，f(, y) 壬 (X)/y (〃，
随机变量不相关不一定相互独立!
例4・6・2设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)|0笠2, 0<y<1} 上服从均匀分布.记
!。, X《Y；
U = v= 丄 X > Y.
〔X < 0, 2Y; |1, X > 2Y.
^PUV .
厶垢 _ _ COV(U ,V)
分析 PUV _ / /
y
_ E(UV) - E(U)E(V) 一 0(U)0V
G
O
x
关键是^E(UV)
＞可先求出UV分布律.
解由已知可得
J1/2,
/ (x，y )=I 0,
=aD( X ).
Q = g(X , Y )=亠
XY』D(X序 _ .
V
例4.6.1 (X,F)在以原点为圆心的单位圆员内服从均匀分布
1
f (X，y)= <冗 X 2 + y 2 <
' 1; 其它
〔0,
fX(x)=卩顼 1-x0,2-冗必
2&-x 2
----丸----，一 1 < X < 1;
其它
练习 将一枚硬币重复抛掷〃次，x, Y分别表示正面 朝上和反面
朝上的次数，则％ = -1
注1 若随机变量x, Y的相关系数Ax帯在， 1) 若PxY =1，P {Y = ox + 0} = 1
中的a>0,称x, Y正相关；
2) PXY=T，则«<0称x, Y负相关； 3) PXY=。，称x, Y不相关.
对^ = 1同理可证.
"U”充分性 若 P {Y = aX + 戶} = 1,
E(Y) = aE(X) + D(Y) = a2D(X),
Cov ( X, Y ) = E ([ X 一 E ( X )][Y 一 E (Y )]}
=E ([ X 一 E (X )][aX + 6- E (aX + 0)]}
证明："n”必要性
p=-1时由1)有
**
D(X*+ Y* ) = 0, E(X + Y ) = 0.
由方差的性质4)得
P {X * + Y *= E (X * + Y *)} = 1,
即 P{X* + Y* = 0} = 1,或者
______
P JY X +
I 4DX
4DX
E (X) + E (Y )> = 1.
例4.6.2
定理证明
1) 亦 1;
证明：0 < D(X* 土 Y*) = D(X*)+D(Y*) ± 2 cov(X*,
Y*) =2± 2PXY = 2(1±PXY) n l±pXY -
「・
|PXY|-1.
2) \p\ = 1< > X与Y依概率为1线性相关，即 Ea,P (a 丰 0),使 P{Y = aX + p} = 1.
注2 PXY=0仅说明x, Y之间没有线性关系，但可以有其他非
线性关系。
定理4.6.1 若随机变量X与*相互独立，则X与*不相关，即
有 PxY =
注1 此定理的逆定理不成立，即由,XY=0不能得到X与Y
相互独立.
注2 若(X,Y)〜冲1，冷的，a22; p),则
X, Y相互独立
pXY=0 .
例 4.6.1
1 故 E (UV)2=coEv((UV,)=-,
V) E (UV) 一 E (U) E (V)
1 3 x 1 [T
2 - 4 x 2 = Q "T1ZT"T V16 4