浙江省诸暨市2018届高三上学期期末考试数学答案
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-------------3 分
f ( x0 )
21. （1）由 e
c 6 a 2 3b 2 a 3 x2 y2 1 3b 2 b 2
-------------2 分
设椭圆方程为
则
3 1 2 1, b 2 4 2 b b
-------------2 分
x2 y2 椭圆方程为 1 12 4
2017-2018 学年诸暨第一学期高三数学答案
一、选择题： 1. A 2.B 二、填空题： 11. 3.B 4.C 12. 15. 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D
1，
n2 17 24
4 3 ，
64 3
13. 2, 17. 2
3
14. 1 , 60
16. 4 2 3
（2）设 AB 的中点坐标 ( x0 , y0 ) ， A( x1 , y1 ) , B x2wenku.baidu.com, y 2 ， l : x ty 6 -------------1 分
x2 y2 2 2 则由 12 4 得 (t 3) y 12ty 24 0 x ty 6
x0
-------------2+1 分 -------------1 分 ----------1+1 分
1 e x0
x 1 1 1 ， f ( x0 ) 0 x0 1 ( x0 ) x0 x0 x0
又 g( )
1 2
e 1 1 5 1 0, g (1) e 1 0 x0 1 x0 2 2 x0 2 3 2
点 Q(
12 6 t 2 1 到直线 的距离为 ， , 0 ) l t2 3 t2 3 4 3 1 t 2 t 2 6 t2 3
2
-------------1 分
AB
-------------2 分 -------------1 分
所以 6 2 3 t 6 解得 t 2 9, t 3 直线 l 的方程为 x 3 y 6 0 22.（1）法一：用数学归纳法证明 当 n 1 时，
-------------2 分 -------------1 分
z
x, y 轴建立如图的空间直角坐标系，则 F( 3 3 3 3 ,0,0), B(0, ,0), E ( ,1,0), C (0, ,2) 2 2 2 2
求 得 平 面 DCEF 的 法 向 量 为
-------------2 分
O x G H y
法二：作 BG FE 于 G ，则平面 BCG 平面 DCEF , 作 BH CG 于 H ，则 BH 平面 DCEF
BG
3 2 3 , BC 2, BG BC BH 2 19 BH 2 19 BF 19
所求线面角的正弦值为
-------------2 分
本题也可以用体积法求平面外点到平面的距离
-------------1 分
所以当 x 1 时， g ( x ) 单调递减，且此时 g ( x) 0 ，在 ,1 内无零点.又当
x 1 时， g ( x) 单调递增，又 g (1) 0, g (1) e 1 0
所以 g ( x ) 0 有唯一解 x0 ， f ( x ) 有唯一极值点 由 x0 e
故 EF
-------------2 分 -------------1+2 分 -------------2 分
3
-------------2 分 -------------2 分
3 , AF BF
2 2 2
在 DFB 中， BF DF BD , BF DF 所以 BF 平面 ADF （也可以先证明 DA 平面 ABEF ） （2）法一： 作 FO AB 于 O ,以 OF, OB 为
4 a 2 b 2 ab 3 4 (a b) 2 3ab (a b) 2 (a b) 2 4 (a b) 2 16, a b 4 （等号当且仅当 a b 2 时成立） a b 的最大值为 4 19. （1）证明：等腰梯形 ABEF 中 AB 2, EF AF BE 1 FAB
由 0 得t2 6
-------------1 分
-------------1 分 -------------1 分 -------------1 分 -------------1 分
6t 18 ， x0 ty0 6 2 2 t 3 t 3 6t 18 t ( x 2 ) AB 的中垂线方程为 y 2 t 3 t 3 12 ,0 ) 所以 Q( 2 t 3 y0
3 n (2,0, ) 2
-------------3 分
，
又 BF (
3 3 , ,0 ) 2 2 2 19 19 2 19 19
-------------1 分
所以 cos BF , n
即 BF 与平面 DCEF 所成角的正弦值等于
-------------2 分 -------------2 分 -------------2 分 -------------2 分
三、解答题： 18. （1）由正弦定理得
2 cos C (sin A cos B cos A sin B) sin C , 2 cos C sin( A B) sin C ------------2+2 分
化简得：cos C (2) 由余弦定理得
1 ,C 2 3
-------------2+1 分
x 20. （1） f ( x ) xe a
-------------2 分 -------------1 分 -------------1 分 -------------1 分
由 f (0) 1 得 a 1 切线方程为 y (1) 1( x 0), x y 1 0 所以 b 1 （2）令 g ( x ) f ( x ) xe x 1 则 g ( x ) ( x 1)e x
f ( x0 )
21. （1）由 e
c 6 a 2 3b 2 a 3 x2 y2 1 3b 2 b 2
-------------2 分
设椭圆方程为
则
3 1 2 1, b 2 4 2 b b
-------------2 分
x2 y2 椭圆方程为 1 12 4
2017-2018 学年诸暨第一学期高三数学答案
一、选择题： 1. A 2.B 二、填空题： 11. 3.B 4.C 12. 15. 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D
1，
n2 17 24
4 3 ，
64 3
13. 2, 17. 2
3
14. 1 , 60
16. 4 2 3
（2）设 AB 的中点坐标 ( x0 , y0 ) ， A( x1 , y1 ) , B x2wenku.baidu.com, y 2 ， l : x ty 6 -------------1 分
x2 y2 2 2 则由 12 4 得 (t 3) y 12ty 24 0 x ty 6
x0
-------------2+1 分 -------------1 分 ----------1+1 分
1 e x0
x 1 1 1 ， f ( x0 ) 0 x0 1 ( x0 ) x0 x0 x0
又 g( )
1 2
e 1 1 5 1 0, g (1) e 1 0 x0 1 x0 2 2 x0 2 3 2
点 Q(
12 6 t 2 1 到直线 的距离为 ， , 0 ) l t2 3 t2 3 4 3 1 t 2 t 2 6 t2 3
2
-------------1 分
AB
-------------2 分 -------------1 分
所以 6 2 3 t 6 解得 t 2 9, t 3 直线 l 的方程为 x 3 y 6 0 22.（1）法一：用数学归纳法证明 当 n 1 时，
-------------2 分 -------------1 分
z
x, y 轴建立如图的空间直角坐标系，则 F( 3 3 3 3 ,0,0), B(0, ,0), E ( ,1,0), C (0, ,2) 2 2 2 2
求 得 平 面 DCEF 的 法 向 量 为
-------------2 分
O x G H y
法二：作 BG FE 于 G ，则平面 BCG 平面 DCEF , 作 BH CG 于 H ，则 BH 平面 DCEF
BG
3 2 3 , BC 2, BG BC BH 2 19 BH 2 19 BF 19
所求线面角的正弦值为
-------------2 分
本题也可以用体积法求平面外点到平面的距离
-------------1 分
所以当 x 1 时， g ( x ) 单调递减，且此时 g ( x) 0 ，在 ,1 内无零点.又当
x 1 时， g ( x) 单调递增，又 g (1) 0, g (1) e 1 0
所以 g ( x ) 0 有唯一解 x0 ， f ( x ) 有唯一极值点 由 x0 e
故 EF
-------------2 分 -------------1+2 分 -------------2 分
3
-------------2 分 -------------2 分
3 , AF BF
2 2 2
在 DFB 中， BF DF BD , BF DF 所以 BF 平面 ADF （也可以先证明 DA 平面 ABEF ） （2）法一： 作 FO AB 于 O ,以 OF, OB 为
4 a 2 b 2 ab 3 4 (a b) 2 3ab (a b) 2 (a b) 2 4 (a b) 2 16, a b 4 （等号当且仅当 a b 2 时成立） a b 的最大值为 4 19. （1）证明：等腰梯形 ABEF 中 AB 2, EF AF BE 1 FAB
由 0 得t2 6
-------------1 分
-------------1 分 -------------1 分 -------------1 分 -------------1 分
6t 18 ， x0 ty0 6 2 2 t 3 t 3 6t 18 t ( x 2 ) AB 的中垂线方程为 y 2 t 3 t 3 12 ,0 ) 所以 Q( 2 t 3 y0
3 n (2,0, ) 2
-------------3 分
，
又 BF (
3 3 , ,0 ) 2 2 2 19 19 2 19 19
-------------1 分
所以 cos BF , n
即 BF 与平面 DCEF 所成角的正弦值等于
-------------2 分 -------------2 分 -------------2 分 -------------2 分
三、解答题： 18. （1）由正弦定理得
2 cos C (sin A cos B cos A sin B) sin C , 2 cos C sin( A B) sin C ------------2+2 分
化简得：cos C (2) 由余弦定理得
1 ,C 2 3
-------------2+1 分
x 20. （1） f ( x ) xe a
-------------2 分 -------------1 分 -------------1 分 -------------1 分
由 f (0) 1 得 a 1 切线方程为 y (1) 1( x 0), x y 1 0 所以 b 1 （2）令 g ( x ) f ( x ) xe x 1 则 g ( x ) ( x 1)e x