初中经典几何定理

初中经典几何定理
整理By David
1.勾股定理
若a,b,c 分别是一直角三角形的三边长，其中c 为斜边，则
222
a b c +=证明一
如图，将四个全等的直角三角形围成两个正方形，根据正方形与三角形面积的关系，立即得到
()2
2
142
b a ab
c -+´=整理即得
222
a b c +=证明二
如图，将两个全等的直角三角形摆成梯形，根据梯形与三角形面积的关系，得
()()21112222
a b a b ab c +⋅+=´+整理即得
222
a b c +=注将方法一中相邻两个直角三角形外翻即得到了方法二.勾股定理是证明方法最多
的定理之一，其它证明不多说了.
2.正弦定理
在△ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c.那么
sin sin sin 2ABC
a b c abc A B C S ===
证明
考虑三角形的面积公式
111
sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C
=⋅=⋅=⋅ 将等式各项取倒数并同乘1
2
abc
，即得
方法一方法二
sin sin sin 2ABC
a b c abc A B C S ===
证毕.
注这显然表示锐角三角形中大角对大边，同时也可以推出钝角三角形中也是如此.3.余弦定理
在△ABC 中，A B C 、、所对边长分别为a 、b 、c ，则
2222cos c a b ab C
=+-⋅(＊)
以及
2222cos a b c bc A =+-⋅2222cos b a c ac B
=+-⋅证明一
如图1，作△ABC 中AC 边的高BD ，则易知cos CD a C =⋅，由勾股定理
()
222
2
22222222 2 2 2cos AB BD AD BD AC CD BD AC CD AC CD BC AC AC CD a b ab C
=+=+-=++-⋅=+-⋅=+-⋅即
2222cos c a b ab C
=+-⋅那么(＊)式得证，则同理其余两式亦得证.
注一其中2222AB BC AC AC CD =+-⋅称作“广勾股定理”.证明二
如图，将△ABC 绕点C 旋转90°得到△ECD ，由于旋转角为90°，则AB DE ^，对
于对角线互相垂直的四边形BEAD ，有211
22
BEAD S AB DE c =⋅=四边形，而
()()()
()
222222221111
sin 90sin 180********
sin 902211
sin 902211
22
BCE ACD BCD ACE
BEAD S S S S S a b ab C ab C a b ab C a b ab C a b ab =+++éù=++⋅ - +⋅ - - ëû
=++⋅ - =+-⋅ - =+-△△△△四边形cos C
⋅ 这就得到了
2222cos c a b ab C
=+-⋅注二本证明没有用到勾股定理，所以事实上，还可以由余弦定理在90C = 时的特殊情况来得到勾股定理.
1
此处假定了△ABC 是锐角三角形，若是钝角三角形也可类似讨论.方法二则设为钝角三角形，请留意.
4.Heron 公式
若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且()1
2
p a b c =
++，则
ABC S △证明
设在△ABC 中，AB a =，AC b =，BC c =，BC 上的高
AD h =
.则
c
4442222222222240
a b c a b b c a c c h ++---+=令
444222222222a b c a b b c a c P
++---=则
()()()()()()()
224
2
22222422
2
22222
2222222 24 4 22 P a b a a b a b c c b c a b c b c bc a b c bc a b c a b c a b c -=-=--+--+=---+=+---++=++⋅+-
åå 而h
，可知12S ch =
，故得
S =得证.
5.张角定理
若P 为△ABC 的边BC 上一点，使得BAP a =，CAP b =，则
()
sin sin sin AC AB AP
a b a b
+
+=证明
事实上，由面积关系
方法一方法二
ABP ACP ABC
S S S +=△△△就有
()111
sin sin sin 222
AB AP AC AP AB AC a b a b ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+等式两边同除以1
2
AB AC AP ⋅⋅就得到了
()
sin sin sin AC AB AP
a b a b ++=得证.
6.Stewart 定理
若P 为△ABC 的边BC 上一点，则
222PC BP
AP AB AC BP PC BC BC
=⋅
+⋅-⋅证明
由余弦定理
222
222
cos 2 cos 2AP BP AB APB
AP BP
AP CP AC APC AP CP
+-= ⋅+-=- =-⋅则
()()
2222220
2CP AP BP AB BP AP CP AC AP BP CP
+-++-=⋅⋅()()
222BP CP AP AB CP AC BP BP CP BP CP +=⋅+⋅-⋅⋅+两边同除以BP CP BC +=即得
222PC BP
AP AB AC BP PC BC BC
=⋅
+⋅-⋅得证.
注本定理有许多特殊情况可以产生许多有用的公式，如：(1)当AP 为BC 上的中线时，有
2222111224
AP AB AC BC =
+-(中线长公式)
(2)当AP 为BC 上的角平分线时，有
2AP AB AC PB PC
=⋅-⋅(角平分线长公式)
(3)当AB AC =时
22AP AB BP PC
=-⋅(圆幂定理)
7.共边比例定理
如图1，△XAB 和△YAB 具有公共边AB ，△XYA 和△XYB 具有公共边XY ，XY 交AB 于P.那么就有
1
当X 、Y 在AB 的两则时，结论同样成立，证明与之类似.
XYA XYB S AP
S BP
=
，ABX ABY S XP S YP = 证明
事实上，显然同高三角形面积之比等于其高所在底边之比，那么
XAP YAP XBP YBP S S AP
S S BP
== 由等比定理，就有
XYA XAP YAP YXB XBP YBP S S S AP
S S S BP
-==- 类似地，也有
YAP YBP XAP XBP S S YP
S S XP
== YAB YAP YBP XAB XAP XBP S S S YP
S S S XP
+
==+ 于是命题得证.
8.Menelaus 定理及其逆定理
在△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线上分别取点D 、E 、F.若D 、E 、F 共线，则
1BD AE CF
AD CE BF
⋅⋅=证明
连AF 、BE 就容易由共边比例定理知道
BEF AEF S BD AD S = ，ABE AFE BEF S S AE CE S +=
，AEF AEF AEB
S CF
BF S S =+ 那么就有
1BEF ABE AFE
AEF AEF BEF ABE AFE
S S S S BD AE CF AD CE BF S S S S +⋅⋅=⋅⋅=+ 于是命题即得证.
反之，当
1BD AE CF
AD CE BF
⋅⋅=时，可延长DE 交BC 的延长线于F’，那么由Menelaus 定理
'
1'
BD AE CF AD CE BF ⋅⋅=可知
'
'CF CF BF BF =1''''''CF BF CF BF BF CF BC CF BF CF BF BF CF BC
- = ====-即F 与F’重合，D 、E 、F 共线得证.
9.Ceva 定理及其逆定理
在△ABC 的边AB 、AC 及BC 上分别取点F 、E 、D.若AD 、BE 、CF 共点P ，则
1AF BD CE BF CD AE
⋅⋅=证明
同样由共边比例定理，知
1BPC APC
ABP APC BCP ABP
S S S BF AE CD AF CE BD S S S ⋅⋅=⋅⋅= 其逆定理亦由同一法可证，此处不再赘述.
10.Ptolemy 定理以及Ptolemy 不等式
在凸四边形ABCD 中(四点顺次)，有
AB CD AD BC AC BD
⋅+⋅³⋅当且仅当四边形ABCD 为圆的内接四边形时，等号成立1.证明
以BC 为边向内作BEC BAD ，则知亦有ABE DBC ，于是
AD BD CE BC =，AB AE
BD CD
=
于是知
AD BC CE BD ⋅=⋅，AB CD BD AE
⋅=⋅从而
() AB CD AD BC BD AE CE BD AE CE BD AC BD
⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅³⋅其中等号成立时，有
AE CE AC
+=180180AEB BEC BCD BAD + = + =
即等价于四边形ABCD 为圆的内接四边形.命题得证.
1
等号成立时称作“Ptolemy 定理”.
注对矩形使用Ptolemy 定理，可以得到勾股定理.
11.圆幂定理
在O 所在平面内有一点P ，过点P 的直线与O 交于A 、B .则
()()()
22
22 R PA PB P OP R P R PA PB P ìï-⋅ïïïï=íïïï+⋅ïïî当在圆内当在圆上当在圆外证明
作OK AB ^于K ，连OB ，则由垂径定理知BK AK =，当P 在圆内时，
()()222222
R OP BO OP BK PK BK PK AK PK BP AP
-=-=-=-+=⋅以及P 在圆外时，
()()222222
OP R PO BO PK BK PK BK PK AK BP AP
-=-=-=-+=⋅这就得到了证明.
圆幂定理包含了相交弦定理和割线定理，分别是：
(1)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AC 、BD 交于圆内一点P ，则
PA PC PB PD ⋅=⋅(2)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AB 、DC 交于圆外一点P ，则
PA PB PD PC ⋅=⋅12.弦切角定理
如图，直线MN 与O 切于K ，A 、B 是O 上不同于K 的两点，则1
BKM BAK = ，AKN ABK = .
证明
作过K 的直径PK ，由切线定义知90PKN = ，而PK 是直径，所以APK AKP + =90°，即AKP AKN AKP APK + = + ，故AKN APK ABK = = ，得证.另一
1
其中AKN 、BKM 分别称作“弦切角”.
组角的关系同理亦可证.
13.鸡爪定理
AD 平分△ABC 中的A ，交其外接圆于D .I 、P 分别为△ABC 的内心和A-旁心.则
DI DB DC DP ===证明
事实上，通过导角即易得DIC DAC ACI ICB BAD ICB BCD = + = + = + =∠ICD ，于是DI DC =，同理DI DB =.由90IBP ICP = = ，又知I 、B 、P 、C 共圆，而D 即为圆心，故得证.
注由同一法亦不难证，若在角平分线AD 所在直线截取DI DP DB ==，则所得I 、P 分别为内心和旁心.
14.定差幂线定理
在四边形ABCD 1中，等式
2222
AB BC AD CD -=-被满足的充要条件是
AC BD ^.
证明
先证明充分性.设对角线AC 、BD 交于E.
若AC BD ^，则易知222222AB BC AE CE AD CD -=-=-，充分性得证.再证必要性.
若2222AB BC AD CD -=-，作1BE AC ^于1E ，2DE AC ^于2E ，则知
22222222
1122AE CE AB BC AD CD AE CE -=-=-=-而
1
本定理对凸四边形和凹四边形都适用.
1122
AE CE AE CE +=+这表明
1122AE CE AE CE -=-1212
,AE AE CE CE ==即1E 、2E 重合为一点，易知这点就是四边形对角线之交点，必要性得证.
15.Euler 线定理
△ABC 的垂心H ，外心O ，重心G 共线.此线称为Euler 线.证明
首先，我们证明一个引理.在△ABC 中，OK BC ^于K ，则
2AH OK
=事实上，作△ABC 的高AD 和BE ，则知CHE BAC KOC = = ，于是
Rt OKC Rt HEC
而AHE BCA = ，就又有
Rt AHE Rt BCE
那么
2OK HE AH AH
CK CE BC CK
===2AH OK
=这就使引理得到了证明.这个引理在做其它的几何问题时也常常用到，十分有用.接下来用引理证明原命题.
现在，我们设OH 与中线AK 交于G ，注意到OK ∥AH ，由引理我们就知道了
1
2
KG OK AG AH ==而重心也恰好把中线(由顶点到对边中点)分为2:1两部分，这说明了G 即为△ABC 的重心，这就证明了O 、H 、G 共线.
16.Euler 定理
设△ABC 的外心为O ，内心为I ，外接圆、内切圆半径分别为R 、r ，则
222OI R Rr
=-
证明
设直线AI 交△ABC 外接圆于D ，作直径DE ，连结CD 、CE .容易知道
Rt AIF Rt ECD 这是由于
1
2
IAF DEC BAC
= = 于是即有
AI IF AI CD DE IF DE CD
= ⋅=⋅而由鸡爪定理CD ID =，又由圆幂定理22R OI AI ID -=⋅，于是
222R OI AI CD IF DE Rr
-=⋅=⋅=命题得证.
17.九点圆定理
H 为△ABC 的垂心，AD 、BE 、CF 为△ABC 的高，X 、Y 、Z 分别为AB 、BC 、AC 的中点，R 、S 、T 分别为AH 、BH 、CH 的中点，则△XYZ 的外接圆还通过D 、E 、F 、R 、S 、T.此圆称作△ABC 的九点圆.证明
我们先说明△XYZ 的垂心就是△ABC 的外心.事实上，注意到XZ 、XY 、YZ 都是△
ABC 的中位线，均平行于△ABC 的三边.设△XYZ 的垂心为XYZ H ，那么XYZ H X YZ ^，即是XYZ H X AB ^，从而XYZ H 事实上也是△ABC 三边中垂线的交点，即其外心.我们再说明△XYZ 的重心与△ABC 的重心重合.事实上，注意到四边形AXYZ 、BYZX 、CZXY 都是平行四边形，对角线互相平分，所以△XYZ 的中线都在△ABC 的中线上，结论就显然了.
这样，就容易知道G 、O 、XYZ H 都在△XYZ 的Euler 线上，而G 、H 、XYZ H 又在△ABC 的Euler 线上，而且
1
22
XYZ H G GH OG
==我们取△ABC 的中线AY ，交XZ 于N ，显然
1
22
XYZ H Y ON AH AR
===而
1
,2
YN AY NO AR
=
于是
YNO YAR
知
NYO AYR
= 故Y 、O 、R 共线且O 成为YR 之中点，所以YR 就是⊙O 的一条直径.设⊙O 交BC 于D’，那么RD’就垂直于BC ，故D’与D 重合，这就证明了⊙O 通过D 与R.同理可证⊙O 还通过E 、S 和F 、T ，于是命题就得到了证明.
18.蝴蝶定理
如图，M 为⊙O 中的弦AB 的中点，过M 任意两条不与AB 重合的不同直线分别交圆于C 、D 以及E 、F ，连结CF 、DE 交弦于P 、Q .则MP MQ =.
证明一
作K 与F 关于OM 对称，显然K 在⊙O 上，且KMB FMA = ，对⊙O 上的弧进行运算，知：
m m KMB FMA BE AF
BE
BK EK QDK
= =+=+== 故M 、D 、K 、Q 共圆，于是知QKM QDM PFM = = ，而MF MK =，故
PMF QMK
@ 故MP MQ =.证毕.
证明二
连结OM 、OP 、OQ.作OR CF ^，OS DE ^于R 、S .易知OM AB ^，故M 、P 、R 、O 共圆，Q 、M 、O 、S 共圆，则MOP MRP = ，MOQ MSQ = ，而由
CMF EMD
而R 、S 恰是对应边的中点，那么显然
CRM ESM
故CRM ESM = ，那么MOP MOQ = ，这就显然证明了MP MQ =.证毕.
注改变观察⊙O 的视角，将其“压缩”成一个椭圆，可以知道本定理在椭圆中也成立，但这不是一个严密的证明，只是一个理解方式，这个证明超出了本文档的范围，就不给出了.
19.Simson(Wallace)1定理
如图，P 为△ABC 的外接圆上一点，过P 作△ABC 三边所在直线的垂线，垂足分别为X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线2.
证明
由于90BXP BYP CZP = = = ，容易知道X 、B 、P 、Y 以及Y 、P 、Z 、C 分别四点共圆，于是导角得：
()180180XYP ZYP ABP PCZ PCA PCZ + = - + = + =
故知X 、Y 、Z 共线，证毕.
反之，若X 、Y 、Z 共线，则P 在外接圆上.这个逆定理也成立.事实上，以同样的方法倒过来证明就可以了(即用180ABP ACP + = 来得到结论).
20.Fermat 点定理
以最大角小于120°的△ABC 的三边向外作三个正三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结CD 、AE 、BF ，则这三条直线交于一点P ，这点P 是三角形中到三顶点距离之和最小的点.
证明
首先证明CD 、AE 、BF 交于一点.事实上，设BF 、AE 交于P ，那么容易得到1
把本定理说成是Simson 定理实际上是张冠李戴了，这是由Wallace 首先发现的.2此直线叫“Simson 线”.
ACE FCB
@ 则知PAC PFC = ，于是A 、P 、C 、F 共圆，可知ACP AFB = ，而由
ACD AFB
@ 得到ACD AFB = ，这就表明ACD ACP = ，即D 、P 、C 共线，这就证明了结论.然后证明点P 可以使得该点到三顶点的距离之和最小，即
若△ABC 中有另一点Q ，则
PA PB PC QA QB QC
++£++在PF 上截取PL 使AP PL =，而易知60APF = ，故有正△APL ，那么容易得到
APC ALF
@ 于是PC LF =，那么即有PA PB PC PL PB LF BF ++=++=.而对于点Q ，我们作正△AQK ，这也很快得到AQ QK =，CQ KF =，而显然
QB QK KF BF
++³那么即有
QA QB QC PA PB PC
++³++得证.
21.Newton 线定理
如图，△ABC 被一条截线DEF 所截，其中D 在AB 上，E 在BC 上，F 在AC 之延长线上，分别取CD 、BF 、AE 的中点N 、M 、K .则N 、M 、K 共线.
证明一
如图，构造△BDE 的中点三角形XYZ ，可知ZX 经过K ，YZ 经过M ，YX 经过N .并知
ZM EF YM DF
=，YN BC XN EC =，XK AD ZK AB =而对△BDE 以及截线FCA 运用Menelaus 定理，知
1AD BC EF AB CE DF
⋅⋅=
这恰表明
1ZM YN XK YM XN ZK
⋅⋅=再由Menelaus 逆定理，即得到了M 、N 、K 共线.
证明二
取BD 、CF 的中点Y 、P ，容易证明14
NPM NYP ABCD S S S == (请读者自证)，用它来进行面积的推导，知
()()()()()()1111 2442
11 44
111 444
11 44
ANM ADN DYN YMN BYM ABM
ADC DBCF BCD BFD ADC BDCF BCD BFD BDCF BCDF BFC BDCF CDF BDCF BDCF DCF BCF S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =+++-=+++-+=+-=-+--=-+ NEM
S = 若设直线MN 交AE 于K’，那么由共边比例定理知
'1'ANM MEN
S AK EK S == 这即表明K’为AE 之中点，故K’与K 重合，得证.
22.Archimedes 定理
如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为 BAC
之中点，过D 向AB 、AC 中较长的一条引垂线，垂足为E ，则E 平分折线AB AC +之长.
证明
连BD 、CD 、AD ，并在AB 上取K 使EK AE =，那么易知DK AD =.而由于D 为 BAC
之中点，则BD CD =，而它们的底角DAB DCB = ，知两个等腰三角形相似.那么就有BDC KDA BDK CDA = = ，且由等腰可推知DKB DAC @ ，这即表明BK AC =，那么就有BE BK KE AE AC =+=+，得证.
23.Apollonius 圆定理
设平面上有不同的两点A 、B ，那么该平面上使得
PB k PA
=为定值()1k k ¹的P 的轨迹是一个圆1.
证明
我们将之放入平面直角坐标系中，设A 为原点，()1,0B k +2，(),P x y .作△ABP 的高PC ，则
()
22222BC PC k AC PC +=+()()2
22221k x y k x y +-+=+处理得
22
2111k x y k k æöæö÷÷çç++=÷÷çç÷÷ççèøèø--这表明P 在一个圆上，且圆心为1,01k æö÷ç-÷ç÷çèø-，半径为1k k -.
[主要参考文献]
[1]沈文选.数学奥林匹克小丛书(第二版)之三角形与四边形[M].上海:华东师范大学出版社.2012.
[2]柯新立.数学奥林匹克小丛书(第二版)之圆[M].上海:华东师范大学出版社.2012.
[3]单墫.平面几何中的小花[M].上海:华东师范大学出版社.2011.
[4]沈康身.历史数学名题赏析[M].上海:上海教育出版社.2010.
1
该圆称作“Apollonius 圆”.2不失一般性.。