初中经典几何定理

初中经典几何定理整理By David1.勾股定理若a,b,c 分别是一直角三角形的三边长，其中c 为斜边，则222a b c +=证明一如图，将四个全等的直角三角形围成两个正方形，根据正方形与三角形面积的关系，立即得到()22142b a abc -+´=整理即得222a b c +=证明二如图，将两个全等的直角三角形摆成梯形，根据梯形与三角形面积的关系，得()()21112222a b a b ab c +⋅+=´+整理即得222a b c +=注将方法一中相邻两个直角三角形外翻即得到了方法二.勾股定理是证明方法最多的定理之一，其它证明不多说了.2.正弦定理在△ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c.那么sin sin sin 2ABCa b c abc A B C S ===证明考虑三角形的面积公式111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C=⋅=⋅=⋅ 将等式各项取倒数并同乘12abc，即得方法一方法二sin sin sin 2ABCa b c abc A B C S ===证毕.注这显然表示锐角三角形中大角对大边，同时也可以推出钝角三角形中也是如此.3.余弦定理在△ABC 中，A B C 、、所对边长分别为a 、b 、c ，则2222cos c a b ab C=+-⋅(＊)以及2222cos a b c bc A =+-⋅2222cos b a c ac B=+-⋅证明一如图1，作△ABC 中AC 边的高BD ，则易知cos CD a C =⋅，由勾股定理()222222222222 2 2 2cos AB BD AD BD AC CD BD AC CD AC CD BC AC AC CD a b ab C=+=+-=++-⋅=+-⋅=+-⋅即2222cos c a b ab C=+-⋅那么(＊)式得证，则同理其余两式亦得证.注一其中2222AB BC AC AC CD =+-⋅称作“广勾股定理”.证明二如图，将△ABC 绕点C 旋转90°得到△ECD ，由于旋转角为90°，则AB DE ^，对于对角线互相垂直的四边形BEAD ，有21122BEAD S AB DE c =⋅=四边形，而()()()()222222221111sin 90sin 180********sin 902211sin 90221122BCE ACD BCD ACEBEAD S S S S S a b ab C ab C a b ab C a b ab C a b ab =+++éù=++⋅ - +⋅ - - ëû=++⋅ - =+-⋅ - =+-△△△△四边形cos C⋅ 这就得到了2222cos c a b ab C=+-⋅注二本证明没有用到勾股定理，所以事实上，还可以由余弦定理在90C = 时的特殊情况来得到勾股定理.1此处假定了△ABC 是锐角三角形，若是钝角三角形也可类似讨论.方法二则设为钝角三角形，请留意.4.Heron 公式若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且()12p a b c =++，则ABC S △证明设在△ABC 中，AB a =，AC b =，BC c =，BC 上的高AD h =.则c4442222222222240a b c a b b c a c c h ++---+=令444222222222a b c a b b c a c P++---=则()()()()()()()2242222224222222222222222 24 4 22 P a b a a b a b c c b c a b c b c bc a b c bc a b c a b c a b c -=-=--+--+=---+=+---++=++⋅+-åå 而h，可知12S ch =，故得S =得证.5.张角定理若P 为△ABC 的边BC 上一点，使得BAP a =，CAP b =，则()sin sin sin AC AB APa b a b++=证明事实上，由面积关系方法一方法二ABP ACP ABCS S S +=△△△就有()111sin sin sin 222AB AP AC AP AB AC a b a b ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+等式两边同除以12AB AC AP ⋅⋅就得到了()sin sin sin AC AB APa b a b ++=得证.6.Stewart 定理若P 为△ABC 的边BC 上一点，则222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅证明由余弦定理222222cos 2 cos 2AP BP AB APBAP BPAP CP AC APC AP CP+-= ⋅+-=- =-⋅则()()22222202CP AP BP AB BP AP CP AC AP BP CP+-++-=⋅⋅()()222BP CP AP AB CP AC BP BP CP BP CP +=⋅+⋅-⋅⋅+两边同除以BP CP BC +=即得222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅得证.注本定理有许多特殊情况可以产生许多有用的公式，如：(1)当AP 为BC 上的中线时，有2222111224AP AB AC BC =+-(中线长公式)(2)当AP 为BC 上的角平分线时，有2AP AB AC PB PC=⋅-⋅(角平分线长公式)(3)当AB AC =时22AP AB BP PC=-⋅(圆幂定理)7.共边比例定理如图1，△XAB 和△YAB 具有公共边AB ，△XYA 和△XYB 具有公共边XY ，XY 交AB 于P.那么就有1当X 、Y 在AB 的两则时，结论同样成立，证明与之类似.XYA XYB S APS BP=，ABX ABY S XP S YP = 证明事实上，显然同高三角形面积之比等于其高所在底边之比，那么XAP YAP XBP YBP S S APS S BP== 由等比定理，就有XYA XAP YAP YXB XBP YBP S S S APS S S BP-==- 类似地，也有YAP YBP XAP XBP S S YPS S XP== YAB YAP YBP XAB XAP XBP S S S YPS S S XP+==+ 于是命题得证.8.Menelaus 定理及其逆定理在△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线上分别取点D 、E 、F.若D 、E 、F 共线，则1BD AE CFAD CE BF⋅⋅=证明连AF 、BE 就容易由共边比例定理知道BEF AEF S BD AD S = ，ABE AFE BEF S S AE CE S +=，AEF AEF AEBS CFBF S S =+ 那么就有1BEF ABE AFEAEF AEF BEF ABE AFES S S S BD AE CF AD CE BF S S S S +⋅⋅=⋅⋅=+ 于是命题即得证.反之，当1BD AE CFAD CE BF⋅⋅=时，可延长DE 交BC 的延长线于F’，那么由Menelaus 定理'1'BD AE CF AD CE BF ⋅⋅=可知''CF CF BF BF =1''''''CF BF CF BF BF CF BC CF BF CF BF BF CF BC- = ====-即F 与F’重合，D 、E 、F 共线得证.9.Ceva 定理及其逆定理在△ABC 的边AB 、AC 及BC 上分别取点F 、E 、D.若AD 、BE 、CF 共点P ，则1AF BD CE BF CD AE⋅⋅=证明同样由共边比例定理，知1BPC APCABP APC BCP ABPS S S BF AE CD AF CE BD S S S ⋅⋅=⋅⋅= 其逆定理亦由同一法可证，此处不再赘述.10.Ptolemy 定理以及Ptolemy 不等式在凸四边形ABCD 中(四点顺次)，有AB CD AD BC AC BD⋅+⋅³⋅当且仅当四边形ABCD 为圆的内接四边形时，等号成立1.证明以BC 为边向内作BEC BAD ，则知亦有ABE DBC ，于是AD BD CE BC =，AB AEBD CD=于是知AD BC CE BD ⋅=⋅，AB CD BD AE⋅=⋅从而() AB CD AD BC BD AE CE BD AE CE BD AC BD⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅³⋅其中等号成立时，有AE CE AC+=180180AEB BEC BCD BAD + = + =即等价于四边形ABCD 为圆的内接四边形.命题得证.1等号成立时称作“Ptolemy 定理”.注对矩形使用Ptolemy 定理，可以得到勾股定理.11.圆幂定理在O 所在平面内有一点P ，过点P 的直线与O 交于A 、B .则()()()2222 R PA PB P OP R P R PA PB P ìï-⋅ïïïï=íïïï+⋅ïïî当在圆内当在圆上当在圆外证明作OK AB ^于K ，连OB ，则由垂径定理知BK AK =，当P 在圆内时，()()222222R OP BO OP BK PK BK PK AK PK BP AP-=-=-=-+=⋅以及P 在圆外时，()()222222OP R PO BO PK BK PK BK PK AK BP AP-=-=-=-+=⋅这就得到了证明.圆幂定理包含了相交弦定理和割线定理，分别是：(1)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AC 、BD 交于圆内一点P ，则PA PC PB PD ⋅=⋅(2)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AB 、DC 交于圆外一点P ，则PA PB PD PC ⋅=⋅12.弦切角定理如图，直线MN 与O 切于K ，A 、B 是O 上不同于K 的两点，则1BKM BAK = ，AKN ABK = .证明作过K 的直径PK ，由切线定义知90PKN = ，而PK 是直径，所以APK AKP + =90°，即AKP AKN AKP APK + = + ，故AKN APK ABK = = ，得证.另一1其中AKN 、BKM 分别称作“弦切角”.组角的关系同理亦可证.13.鸡爪定理AD 平分△ABC 中的A ，交其外接圆于D .I 、P 分别为△ABC 的内心和A-旁心.则DI DB DC DP ===证明事实上，通过导角即易得DIC DAC ACI ICB BAD ICB BCD = + = + = + =∠ICD ，于是DI DC =，同理DI DB =.由90IBP ICP = = ，又知I 、B 、P 、C 共圆，而D 即为圆心，故得证.注由同一法亦不难证，若在角平分线AD 所在直线截取DI DP DB ==，则所得I 、P 分别为内心和旁心.14.定差幂线定理在四边形ABCD 1中，等式2222AB BC AD CD -=-被满足的充要条件是AC BD ^.证明先证明充分性.设对角线AC 、BD 交于E.若AC BD ^，则易知222222AB BC AE CE AD CD -=-=-，充分性得证.再证必要性.若2222AB BC AD CD -=-，作1BE AC ^于1E ，2DE AC ^于2E ，则知222222221122AE CE AB BC AD CD AE CE -=-=-=-而1本定理对凸四边形和凹四边形都适用.1122AE CE AE CE +=+这表明1122AE CE AE CE -=-1212,AE AE CE CE ==即1E 、2E 重合为一点，易知这点就是四边形对角线之交点，必要性得证.15.Euler 线定理△ABC 的垂心H ，外心O ，重心G 共线.此线称为Euler 线.证明首先，我们证明一个引理.在△ABC 中，OK BC ^于K ，则2AH OK=事实上，作△ABC 的高AD 和BE ，则知CHE BAC KOC = = ，于是Rt OKC Rt HEC而AHE BCA = ，就又有Rt AHE Rt BCE那么2OK HE AH AHCK CE BC CK===2AH OK=这就使引理得到了证明.这个引理在做其它的几何问题时也常常用到，十分有用.接下来用引理证明原命题.现在，我们设OH 与中线AK 交于G ，注意到OK ∥AH ，由引理我们就知道了12KG OK AG AH ==而重心也恰好把中线(由顶点到对边中点)分为2:1两部分，这说明了G 即为△ABC 的重心，这就证明了O 、H 、G 共线.16.Euler 定理设△ABC 的外心为O ，内心为I ，外接圆、内切圆半径分别为R 、r ，则222OI R Rr=-证明设直线AI 交△ABC 外接圆于D ，作直径DE ，连结CD 、CE .容易知道Rt AIF Rt ECD 这是由于12IAF DEC BAC= = 于是即有AI IF AI CD DE IF DE CD= ⋅=⋅而由鸡爪定理CD ID =，又由圆幂定理22R OI AI ID -=⋅，于是222R OI AI CD IF DE Rr-=⋅=⋅=命题得证.17.九点圆定理H 为△ABC 的垂心，AD 、BE 、CF 为△ABC 的高，X 、Y 、Z 分别为AB 、BC 、AC 的中点，R 、S 、T 分别为AH 、BH 、CH 的中点，则△XYZ 的外接圆还通过D 、E 、F 、R 、S 、T.此圆称作△ABC 的九点圆.证明我们先说明△XYZ 的垂心就是△ABC 的外心.事实上，注意到XZ 、XY 、YZ 都是△ABC 的中位线，均平行于△ABC 的三边.设△XYZ 的垂心为XYZ H ，那么XYZ H X YZ ^，即是XYZ H X AB ^，从而XYZ H 事实上也是△ABC 三边中垂线的交点，即其外心.我们再说明△XYZ 的重心与△ABC 的重心重合.事实上，注意到四边形AXYZ 、BYZX 、CZXY 都是平行四边形，对角线互相平分，所以△XYZ 的中线都在△ABC 的中线上，结论就显然了.这样，就容易知道G 、O 、XYZ H 都在△XYZ 的Euler 线上，而G 、H 、XYZ H 又在△ABC 的Euler 线上，而且122XYZ H G GH OG==我们取△ABC 的中线AY ，交XZ 于N ，显然122XYZ H Y ON AH AR===而1,2YN AY NO AR=于是YNO YAR知NYO AYR= 故Y 、O 、R 共线且O 成为YR 之中点，所以YR 就是⊙O 的一条直径.设⊙O 交BC 于D’，那么RD’就垂直于BC ，故D’与D 重合，这就证明了⊙O 通过D 与R.同理可证⊙O 还通过E 、S 和F 、T ，于是命题就得到了证明.18.蝴蝶定理如图，M 为⊙O 中的弦AB 的中点，过M 任意两条不与AB 重合的不同直线分别交圆于C 、D 以及E 、F ，连结CF 、DE 交弦于P 、Q .则MP MQ =.证明一作K 与F 关于OM 对称，显然K 在⊙O 上，且KMB FMA = ，对⊙O 上的弧进行运算，知：m m KMB FMA BE AFBEBK EK QDK= =+=+== 故M 、D 、K 、Q 共圆，于是知QKM QDM PFM = = ，而MF MK =，故PMF QMK@ 故MP MQ =.证毕.证明二连结OM 、OP 、OQ.作OR CF ^，OS DE ^于R 、S .易知OM AB ^，故M 、P 、R 、O 共圆，Q 、M 、O 、S 共圆，则MOP MRP = ，MOQ MSQ = ，而由CMF EMD而R 、S 恰是对应边的中点，那么显然CRM ESM故CRM ESM = ，那么MOP MOQ = ，这就显然证明了MP MQ =.证毕.注改变观察⊙O 的视角，将其“压缩”成一个椭圆，可以知道本定理在椭圆中也成立，但这不是一个严密的证明，只是一个理解方式，这个证明超出了本文档的范围，就不给出了.19.Simson(Wallace)1定理如图，P 为△ABC 的外接圆上一点，过P 作△ABC 三边所在直线的垂线，垂足分别为X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线2.证明由于90BXP BYP CZP = = = ，容易知道X 、B 、P 、Y 以及Y 、P 、Z 、C 分别四点共圆，于是导角得：()180180XYP ZYP ABP PCZ PCA PCZ + = - + = + =故知X 、Y 、Z 共线，证毕.反之，若X 、Y 、Z 共线，则P 在外接圆上.这个逆定理也成立.事实上，以同样的方法倒过来证明就可以了(即用180ABP ACP + = 来得到结论).20.Fermat 点定理以最大角小于120°的△ABC 的三边向外作三个正三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结CD 、AE 、BF ，则这三条直线交于一点P ，这点P 是三角形中到三顶点距离之和最小的点.证明首先证明CD 、AE 、BF 交于一点.事实上，设BF 、AE 交于P ，那么容易得到1把本定理说成是Simson 定理实际上是张冠李戴了，这是由Wallace 首先发现的.2此直线叫“Simson 线”.ACE FCB@ 则知PAC PFC = ，于是A 、P 、C 、F 共圆，可知ACP AFB = ，而由ACD AFB@ 得到ACD AFB = ，这就表明ACD ACP = ，即D 、P 、C 共线，这就证明了结论.然后证明点P 可以使得该点到三顶点的距离之和最小，即若△ABC 中有另一点Q ，则PA PB PC QA QB QC++£++在PF 上截取PL 使AP PL =，而易知60APF = ，故有正△APL ，那么容易得到APC ALF@ 于是PC LF =，那么即有PA PB PC PL PB LF BF ++=++=.而对于点Q ，我们作正△AQK ，这也很快得到AQ QK =，CQ KF =，而显然QB QK KF BF++³那么即有QA QB QC PA PB PC++³++得证.21.Newton 线定理如图，△ABC 被一条截线DEF 所截，其中D 在AB 上，E 在BC 上，F 在AC 之延长线上，分别取CD 、BF 、AE 的中点N 、M 、K .则N 、M 、K 共线.证明一如图，构造△BDE 的中点三角形XYZ ，可知ZX 经过K ，YZ 经过M ，YX 经过N .并知ZM EF YM DF=，YN BC XN EC =，XK AD ZK AB =而对△BDE 以及截线FCA 运用Menelaus 定理，知1AD BC EF AB CE DF⋅⋅=这恰表明1ZM YN XK YM XN ZK⋅⋅=再由Menelaus 逆定理，即得到了M 、N 、K 共线.证明二取BD 、CF 的中点Y 、P ，容易证明14NPM NYP ABCD S S S == (请读者自证)，用它来进行面积的推导，知()()()()()()1111 244211 44111 44411 44ANM ADN DYN YMN BYM ABMADC DBCF BCD BFD ADC BDCF BCD BFD BDCF BCDF BFC BDCF CDF BDCF BDCF DCF BCF S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =+++-=+++-+=+-=-+--=-+ NEMS = 若设直线MN 交AE 于K’，那么由共边比例定理知'1'ANM MENS AK EK S == 这即表明K’为AE 之中点，故K’与K 重合，得证.22.Archimedes 定理如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为 BAC之中点，过D 向AB 、AC 中较长的一条引垂线，垂足为E ，则E 平分折线AB AC +之长.证明连BD 、CD 、AD ，并在AB 上取K 使EK AE =，那么易知DK AD =.而由于D 为 BAC之中点，则BD CD =，而它们的底角DAB DCB = ，知两个等腰三角形相似.那么就有BDC KDA BDK CDA = = ，且由等腰可推知DKB DAC @ ，这即表明BK AC =，那么就有BE BK KE AE AC =+=+，得证.23.Apollonius 圆定理设平面上有不同的两点A 、B ，那么该平面上使得PB k PA=为定值()1k k ¹的P 的轨迹是一个圆1.证明我们将之放入平面直角坐标系中，设A 为原点，()1,0B k +2，(),P x y .作△ABP 的高PC ，则()22222BC PC k AC PC +=+()()222221k x y k x y +-+=+处理得222111k x y k k æöæö÷÷çç++=÷÷çç÷÷ççèøèø--这表明P 在一个圆上，且圆心为1,01k æö÷ç-÷ç÷çèø-，半径为1k k -.[主要参考文献][1]沈文选.数学奥林匹克小丛书(第二版)之三角形与四边形[M].上海:华东师范大学出版社.2012.[2]柯新立.数学奥林匹克小丛书(第二版)之圆[M].上海:华东师范大学出版社.2012.[3]单墫.平面几何中的小花[M].上海:华东师范大学出版社.2011.[4]沈康身.历史数学名题赏析[M].上海:上海教育出版社.2010.1该圆称作“Apollonius 圆”.2不失一般性.。