三点共线向量表示及其性质应用

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平面向量的三点共线定理及其应用技巧

思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面向量中三点共线的证明及其应用

平面向量中三点共线的证明及其应用在平面向量中，三点共线说明这三个点满足下面的条件：重合、向垂直、和向平行。

如果三点共线，这意味着他们在同一条线上，且在同一条平面空间内。

三点共线的证明有两种方式-零空间的方法和二维的方法。

在零空间的方法中，每个点的位置可以用三个极坐标系表示，r,θ,φ是相应的极角度和极坐标（或旋转角度）。

用三维立体的形式表示每个点的位置，我们可以使用下面的表达式来表示：其中，x=r*cosθ*sinφ，y=r*cosθ*cosφ，z=r*sinθ由于这三个点共线，它们将在三维中共同满足右边的方程：a*x+b*y+c*z=0可以看出，这个方程具有三个参数-a,b,c，这意味着它可以用来描述和表示任何三点共线的情况。

另一种方法是二维法，它直接使用三点的平面坐标来证明三点共线。

在这里，两个点的坐标用（x1,y1）和（x2,y2）表示，而另一个点的坐标用（x,y）表示。

为了证明三点共线，需要满足方程m*(x1-x2)+n*(y1-y2)=0在这里，m和n是方程的参数。

如果这个方程能够成立，意味着第三个点（x，y）与其余两个点在同一条线上。

三点共线的数学原理在日常生活中得到广泛的应用。

其中最常见的应用是画图和土木计算，通常需要三角测量。

绘图包括绘制几何形状、图像和其他图案，这些图案通常与空间位置有关，因此必须确保三点共线，以便得出正确的结论。

土木计算中也经常会遇到三点共线的问题，例如评估桥梁的结构安全性时，在桥梁的两端设置两个支撑，这就是一个三点共线的示例。

总之，三点共线是一个重要的数学原理，具有重要的应用。

研究人员、土木工程师，甚至是普通的绘图师都会经常使用这个原理。

向量三点共线定理等于1

向量三点共线定理等于1
三点共线定理是一种在几何中使用的定理，它声明如果三个点都
位于同一条直线上，则该条直线上任意两个向量之积为1。

它通常被称为线性联结定理，是一个非常基本的定理，在平面几何中非常常见。

首先，让我们描述三点共线定理。

它宣称，如果三个点位于同一
条直线上，则任意两个向量之积为1。

也就是说，如果给定三个点A，B，C，如果A，B和C位于同一条直线上，那么AB·BC = 1。

在数学中，向量之积通常表示为一个叉乘，也就是一个乘号包围的两个向量，它
可以表示两个向量的乘积。

三点共线定理被广泛应用于几何和Math中，它提供了一种很好
的方法来判断三个点是否位于同一条直线上。

例如，在进行交叉检验时，可以将三点共线定理应用于绿点和红点，如果三点共线定理成立，即AB·BC = 1，则说明交叉成功，如果AB·BC值不等于1，则说明交
叉失败。

有许多几何定理可以帮助人们更好地了解世界和理解各种几何现象，但三点共线定理最能帮助我们理解那些在几何中的稳定性。

在更
复杂的用例中，三点共线定理也可以使用，研究其他模式。

总而言之，三点共线定理是一种广泛应用于几何中的基本定理，
它声明，如果三个点位于同一条直线上，则任意两个向量之积为1。

它在几何中有着重要的应用，并可以用于对更多的模式的分析，总之，
它是几何中的有用工具。

三点共线算法

三点共线算法三点共线算法是数学中的一个重要概念，用来判断给定的三个点是否在同一条直线上。

这个算法在几何学、计算机图形学以及计算机视觉等领域中都有广泛应用。

本文将介绍三点共线算法的原理和应用，以及一些相关的概念和定理。

一、三点共线算法的原理三点共线算法的原理其实很简单，就是利用向量的线性相关性来判断三个点是否在同一条直线上。

具体来说，我们可以将三个点分别表示为向量A、B和C，然后计算向量AB和向量AC的叉积。

如果叉积为零，即(AB × AC) = 0，那么这三个点就在同一条直线上；如果叉积不为零，那么这三个点就不在同一条直线上。

三点共线算法在几何学中有广泛的应用。

例如，在解析几何中，我们经常需要判断一个三角形的三个顶点是否共线，这时就可以利用三点共线算法来判断。

此外，在计算机图形学和计算机视觉中，三点共线算法也常用于图像处理和目标识别等任务中。

三、相关概念和定理除了三点共线算法，还有一些相关的概念和定理也与之密切相关。

例如，共线点定理指出，如果一个点在一条直线上，那么它的任意两个点也在同一条直线上。

这个定理可以作为三点共线算法的基础。

还有一些定理可以用于判断三个点是否共线。

例如，如果三角形的两边的中点和第三边的一个顶点共线，那么这三个点就共线。

另外，如果一个三角形的内心和外心与三个顶点共线，那么这三个点也共线。

四、三点共线算法的优化虽然三点共线算法很简单，但是在实际应用中可能会遇到一些性能问题。

例如，当处理大规模数据时，如果对所有的三个点都执行一次三点共线算法，那么算法的时间复杂度将会很高。

为了提高算法的效率，可以采用一些优化措施，例如使用空间分割树结构来加速算法的执行。

五、总结三点共线算法是一种判断给定的三个点是否在同一条直线上的算法。

它的原理很简单，只需要计算两个向量的叉积即可。

这个算法在几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域中有广泛的应用。

此外，还有一些相关的概念和定理可以用于判断三个点是否共线。

平面向量中的三点共线结论的应用

若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。

高中数学三点共线讲解

高中数学三点共线讲解
三点共线是初中数学中的基础知识，而在高中数学中，三点共线的概念更加深入和复杂。

本文将从定义、性质和应用三个方面，对高中数学中的三点共线进行详细讲解。

一、定义
三点共线是指三个点在同一条直线上。

在平面直角坐标系中，设三个点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则当且仅当它们满足以下条件时，三点共线：
(x2-x1)/(x3-x1) = (y2-y1)/(y3-y1)
这个条件也可以写成：
(x2-x1)*(y3-y1) = (x3-x1)*(y2-y1)
二、性质
1. 三点共线的充分必要条件是它们满足上述条件。

2. 三点共线的直线方程可以用点斜式或两点式表示。

3. 如果三点共线，则它们的向量共线。

4. 如果三点共线，则它们的线段长度比满足以下条件：
AB/AC = x2-x1/x3-x1 = y2-y1/y3-y1
5. 如果三点共线，则它们的重心也在同一条直线上。

三、应用
三点共线在几何中有着广泛的应用，下面列举几个例子：
1. 证明三角形的垂心、重心、外心、内心四点共线。

2. 求解两条直线的交点，可以将它们表示为两点式，然后解方程。

3. 求解平面上的最短距离，可以将点表示为向量，然后求解向量的模长。

4. 求解平面上的中垂线，可以先求出两点的中点，然后求出中垂线的斜率，最后用点斜式表示中垂线的方程。

总之，三点共线是高中数学中的重要概念，它不仅有着广泛的应用，而且还是其他几何概念的基础。

因此，我们需要深入理解三点共线的定义、性质和应用，才能更好地掌握高中数学的知识。

平面向量三点共线的应用

B
D EA
O
C
【典例】2.
在ABC中，点P是AB上一点，且 BP 2PA，Q是BC的中点， AQ与CP的交点为 M , 又CM tCP, 求实数t的值。
A P
M
B
Q
C
【变式】.
在ABC中，点P是AB上一点，且 BP 2PA，Q是BC的中点， AQ与CP的交点为 M , 又 AM t AQ, 求实数t的值。
A P
M
B
Q
C
【典例】3. 已知G为ABC的重心，过点 G的直线与边 AB, AC分别相交于点 P, Q，若AP 3 AB, 求ABC与APQ的面积之比。
5
A
P B
G Q
C
【典例】4.
已知在平行四边形ABCD中，M , N分别是边BC,CD的中点， AM与BN相交于点P,若a AB,b AD,用a,b表示AP的结果是（）
N
D
C
P
M
A
B
平面向量中三点共线定理的应用
----求向量（线段）的比例关系
知识梳理
三点共线定理
【典例】1.
如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2：1的一个内分点，
DC和OA交于点E，设OE OA,求实数的值。
BD Leabharlann AOC【变式】.
如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2：1的一个内分点， DC和OA交于点E，设CE xCD, 求实数x的值。

平面向量中三点共线定理的推广及应用

平面向量中三点共线定理的推广及应用
三点共线定理是指在平面向量中，三个点A，B，C，如果向
量AB与向量AC的夹角为0°或180°，则三点A，B，C共线。

三点共线定理的推广及应用主要有以下几点：
1. 平面向量中四点共线定理：在平面向量中，如果四个点A，B，C，D满足向量AB与向量AC的夹角为0°或180°，向量BC与向量CD的夹角也为0°或180°，则四点A，B，C，D共线。

2. 平面向量中多点共线定理：在平面向量中，如果n个点A，B，C，D，…，P满足，任意两个相邻的向量的夹角为0°或180°，则n个点共线。

3. 平面向量中两点共线定理：在平面向量中，如果两个点A，B满足向量AB的夹角为0°或180°，则两点A，B共线。

4. 平面向量中多边形共线定理：在平面向量中，如果n边形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n边形共线。

5. 平面向量中多角形共线定理：在平面向量中，如果n角形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n角形共线。

6. 平面向量中多条直线共线定理：在平面向量中，如果n条直线的每两条直线的夹角都为0°或180°，则n条直线共线。

以上是平面向量中三点共线定理的推广及应用，它们在几何图形中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析几何图形。

平面向量三点共线定理证明

平面向量三点共线定理证明平面向量三点共线定理是指，在平面上，若给定三个向量 a、b 和 c，如果存在实数 k 和 l，使得 a = kb + lc，则称向量 a、b 和 c 共线。

换句话说，如果存在两个实数 k 和 l，使得 a 是向量 b 和向量 c 的线性组合，那么这三个向量是共线的。

为了证明这一定理，我们可以使用向量的坐标表示以及向量共线的性质。

假设给定三个向量a=(x1,y1)、b=(x2,y2)和c=(x3,y3)。

我们知道，两个向量共线是指它们的方向相同或相反。

因此，我们先证明如果a和b共线，且a和c共线，那么a、b和c三个向量共线。

首先，假设a和b共线，即存在实数k1和l1，使得a=k1b+l1c。

同样地，假设a和c共线，即存在实数k2和l2，使得a=k2b+l2c。

然后，我们将这两个等式相减，得到：a-a=(k1b+l1c)-(k2b+l2c)0=(k1-k2)b+(l1-l2)c根据向量等式的传递性，上述等式成立当且仅当系数相等，即：k1-k2=0且l1-l2=0这意味着k1=k2且l1=l2将这些相等的系数代回前面的等式中，我们得到：a=k1b+l1c因此，我们证明了a、b和c三个向量共线。

接下来，我们证明反过来也成立：如果a、b和c三个向量共线，那么a和b共线，且a和c共线。

假设 a、b 和 c 三个向量共线，即存在实数 k 和 l，使得 a = kb+ lc。

我们可以将b和c表示为a和c的线性组合：b=(1/k)a-(l/k)c然后，我们可以看到：a = k((1/k)a - (l/k)c) + lc将a替换为b和c的线性组合：a = a - lc + lc上述等式成立。

因此，我们证明了反过来的结论：如果a、b和c三个向量共线，那么a和b共线，且a和c共线。

综上所述，我们证明了平面向量三点共线定理的两个方向。

最后，值得注意的是，我们假设了a、b和c三个向量不同于零向量。

这是因为零向量与任何向量都共线，而我们关注的是非零向量的共线性。

三点共线的向量表示方法

三点共线的向量表示方法
向量法是解决几何问题的重要方法，掌握了向量法就可以将平面几何问题和空间几何问题转化为向量问题，通过向量运算得出几何结论，实现几何问题的代数化.本文将针对平面几何中三点共线问题探讨向量法的解决思路和方法。

1.
三点共线的向量表示方法 A
如右图，我们知道平面内三点A、B、C共线
可以用向量表示为（其中O为平面内任意一点）
B
1.
;
2.
; C
3.
O
针对上面三种表示方法，在不同的题目中应选择适当的方法应用，使题目简单易做。

1.
典例剖析
例1 是不共线的非零向量,，判断A、B、C 三点的位置关系.
【分析】判断A、B、C三点是否共线，只需看A、B、C三点是否满足向量关系（或）即可。

【解析】根据向量的加减运算法则有，，，显然，故A、B、C三点共线。

说明：此题用第一种表示方式简洁明了。

例2在ΔOAB中, ,，AD与BC交于点M,设试用表示 .
【分析】此题的解决需注意到点B、M、C三点共线，以及点A、M、D三点共线，故一方面我们将用表示，另一方面，将用表示出来，然后在转化成即可。

【解析】设，又
，于是有：
解之得：
故： .
说明：以上解法运用了第三种表示方式。

另一方面： ,又
,于是有：
解之得：
故： .
说明：以上解法运用了第二种表示方式。

向量几何问题是试卷中常见的考题，在高考中也经常考察，只要能够将几何问题合理地转化为向量问题，掌握三点共线的向量表示方法，并能理解三种表示方法的联系，恰当应用，就可以使此类问题迎刃而解。

向量的三点共线定理

向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。

它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。

二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。

在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。

定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。

三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。

特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。

性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。

四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。

特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。

特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。

五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。

规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。

特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。

三点共线向量式的巧妙运用

三点共线向量式的巧妙运用三点共线向量式是利用向量的几何性质来解决几何问题的一种方法。

它是基于以下事实：如果三点A、B、C在同一直线上，那么向量AB与向量BC是共线的。

这个性质可以用来解决很多几何问题，下面我们将介绍几个巧妙运用三点共线向量式的例子。

例子1：判断四边形的对角线是否相交考虑一个四边形ABCD，我们想判断它的对角线AC和BD是否相交。

我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AC=C-A向量AD=D-A向量AB=B-A如果AC与AD共线，即向量AC与向量AD的方向相同或相反，那么对角线AC与BD相交；如果AC与AB共线，即向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么对角线AC与BD不相交。

例子2：判断线段是否相交考虑两条线段AB和CD，我们想判断它们是否相交。

首先，我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AC共线且AB与AD共线，即向量AB与向量AC以及向量AB与向量AD的方向相同或相反，那么线段AB和线段CD相交；如果AB与AC共线但AB与AD不共线，即向量AB与向量AC的方向相同或相反但向量AB与向量AD的方向不同，那么线段AB和线段CD不相交。

例子3：判断四边形是否能构成平行四边形考虑四边形ABCD，我们想判断它是否能构成平行四边形。

我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AD共线且AC与AB共线，即向量AB与向量AD以及向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么四边形ABCD能构成平行四边形；如果AB与AD共线但AC与AB不共线，即向量AB与向量AD的方向相同或相反但向量AC与向量AB的方向不同，那么四边形ABCD不能构成平行四边形。

以上是三点共线向量式的几个巧妙运用，它们可以帮助我们在解决几何问题时更加便捷地判断线段是否相交、对角线是否相交以及判断四边形是否能构成平行四边形。

平面向量中三点共线定理的应用

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明：因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。

平面内三点共线的向量表示

§2. 平面内三点共线的向量表示描述平面内三点共线方法有很多种，其中的向量表示，有以下两种，我们可以把它们作为结论来应用．【结论1】点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数t ，使得t =．【结论2】设O 是平面内任意一点，点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数λ、μ，使得 μλ+=，其中1=+μλ．【结论1】很容易理解，下面我们利用【结论1】来证明【结论2】．先证明充分性：如果存在实数λ、μ，使得OB OA OCμλ+=，其中1=+μλ，则)1(λλ-+=，将这个式子变形后可得)(-=-λ，即AB BC λ=，所以A 、B 、C 三点共线。

再来证明必要性：如果A 、B 、C 三点共线，则存在实数t ，使得t =．在平面内任取一点O ，则有)(OA OB t OA OC -=-，即OB t OA t OC +-=)1(令t -=1λ，t =μ，则存在实数λ、μ，使得μλ+=，其中1=+μλ．故结论2成立。

【说明】（1）由于结论1和结论2中A 、B 、C 三点地位平等，所以结论可以作相应的改变。

（2）由结论2的证明可以理解，三点共线的这两种向量形式可以互化。

下面我们通过一些例题谈一谈三点共线的这两种向量形式的应用。

【例1】如图，已知34=，31=，用，表示OP ，则=（）O.A OB OA 3431+ .B OB OA 3431+-.C 3431-- .D 3431-【解析】本题根据结论2，不用计算，就能确定答案是.B【例2】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A ()1,3，B ()3,1-，若点C 满足βα+=，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（）.A 01023=-+y x .B 4)1()1(22=-+-y x .C052=-+y x .D 052=-+y x【解析】本题根据结论2，易知A 、B 、C 三点共线，故点C 的轨迹是直线AB ，选.D 【例3】如图，已知点G 是ABC ∆的重心，点M 是边AB 的中点。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。

假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。

又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。

反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。

将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。

在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。

1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。

首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。

2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。

这个方法可以使用来判断三个点是否共线。

3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。

首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。

将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。

4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。

首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。

三点共线向量表示形式的应用举例

三点共线向量表示形式的应用举例三点共线的充要条件：已知o、a、b是不共线的三点，且存在实数x，v使得op=xoa+yob，则a、b、p三点共线的充要条件是x+y=1。

这是三点共线的一个充要条件，主要以向量形式表述，用其来解决一些与三点共线有关的问题，显得非常简便和巧妙。

举例如下：一、解决与三点共线有关的求值问题如图中△abc，an=13ac，p是bn上的一点，若ap=mab+211ac，则m的值为.解：∵an=13ac，∴ap=mab+211ac=mab+611an又b、p、n三点共线，∵m+611=1∴m=511本题直接利用三点共线的向量式中x+y=1来解决.2.△abc中，o点是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab、ac 于不同的两点m、n。

若ab=mam，ac=nan，则m+n=.解：∵ao=12ab+12ac又ab=mam，ac=nan∴ao=m2am+n2an又o、m、n三点共线，∴m2+n2=1即m+n=23.变式：△abc中，点o是bc的中点，k为ao上一点，且ao=2ak.过点k的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n。

若ab=mam，ac=nan，则m+n=.解：∵ao=12ab+12acab=mam，ac=nan∴ao=m2am+n2an，又ao=2ak∴2ak=m2am+n2an∴ak=m4am+n4an又k、m、n三点共线，∴m4+n4=1即m+n=4以上两题实质都是以ao为桥梁，利用三点共线的充要条件整体求值，体现了三点共线的向量式x+y=1中在求值问题（尤其是整体求值）中的重要作用.二、在向量的表示中的应用4.△abc中，点e在ab边上，f在边ac上，且ae=2eb，af=13fc，bf与ce交于点m，设am=xae+yaf，则x+y=.解法一：∵e、m、c三点共线，∴设am=mae+（1-m）ac又ac=4af∴am=mae+4（1-m）af①∵b、m、f三点共线∴设am=nab+（1-n）af又ab=32ae∴am=32nae=（1-n）af②又ae，af又不共线，∴32n=m1-n=4（1-m）解得m=910n=35，∴am=910ae+410af∴x+y=1310此种解法主要通过两组三点共线的向量式设定系数，用同一组基底来表示向量am，再结合平面向量基本定理求解系数。

三点共线向量表示及其性质应用

平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。

，使得 PC= PA+( 1- )PB . 证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。

我们不妨从结论出发探寻线路，欲证 PC= PA + (1-) PB ，只需证PC = PA + PB - PBPC - PB = ( PA - PB )BC = BA BC // BA .这样证明思路有了。

证法：•••向量 BC 与向量 BA 共线，• BC = BA ,即 PC - PB = ( PA - PB ),PC = PA +PB - PB ,••• PC = PA + (1- ) PB .证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。

考察向量等式BC= BA ，结合图形，易知，当点 C在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0W < 1;当点C 在线段AB 延长线上时，则 BC 与BA 反向，有 <0;当点C 在线段BA 延长线上时，则 BC 与BA 同向，有 > 1. 此例题逆命题亦成立，即已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若存在实数，，有PC = PA + PB , 且 +=1,则A , B , C 三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + (1-) PB .或叙述为：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + PB ，则有 +=1.性质2 :已知 A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若存在实数，，有PC= PA + PB ，且 + =1,则 A , B , C 三点共线.三点共线性质在解题中的应用：例1 •如图，在 ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、的两点M 、N ，若AB = mAM , AC =nAN ，则m n 的值为 ________________________ . 1——.解析：连结AO ,因为点O 是BC 的中点，所以有 AO = 1AB mAM2 2 21 1 因为M 、O 、N 三点共线，所以-m -n 1，故m n2 .221 uuir例题：如图，A ，B ，C 是平面内三个点, P 是平面内任意一点，若点 C 在直线AB 上，则存在实数1=1-=，简便求出m n 的值.例2 (湖北省2011届高三八校第一次联考)如图uuir 2,在厶 ABC 中, AN」NC，点P是BC上3的一点，若uuuAPuuu 2 uur mABAC , 则实数m的值为( )11, 9 B_5 小3 r 2A.— c.— D.—11 111 11uuu解：Q B, P,N 三点共线，又Q APuuumAB 2 UULT AC 11UUU 2 mAB— 11UULT 4AN UUU 8 UULT mAB AN 118 3m 1 m ，故选C 11 11 例3 (广东省2015届高三六校联考) 所示: 点G 是厶OAB 的重心,动点，且P 、G 、Q 三点共线•设 OP xOA , OQ yOB , 证明：Q 因为G 是VOAB 的重心, UUL T OG 1 UUU 2(OAUUU QOP uuu xOA UUU 1 UUU OA OP x UULT QOQ UUU yOB UUL T OG1 UUU 3(OA UULT OB) 1 1 uuu 3(XOP1 UULT -OQ) yUULT OG1 UUU OP 3x Q 分别是边OA 、OB 上的 BUUUOB) UU UOB1 证明：- 1 -是定值; 3?O Q又Q P,G,Q 三点共线, 13x例4.如图，在 ABC 中, OC !OA , 4 OD 2OB , OA a,OB AD 与BC 交于M 点，设(I)用a , b 表示OM ； (n)在已知线段 AC 上取一点 ■ - 4 OF qOB .求证：一 7pE , 37q 在线段BD 上取一点 F ，使EF 过点解析：(I )因为B 、M 、C 三点共线, 1 — — 1 所以存在实数 m 使得OM = mOC (1 pOA ,M •设 0E m)OB=m OA (1 m)OB=— ma (1 m)b ;又因为 A 、M 、D 三点共线，所以存在实数 4 4 n 使得OM =nOA (11 m n, n)OD = na 1(1 n)b •由于a , b 不共线，所以有 42 1 m 弓(1 n), 解得,47, 1 7•故OM = 7(n)因为 1a 3b 7 E 、M 、F 三点共线，所以存在实数 pa (1)qb •结合(I),易得出 (1 使得OM = OE 1 7，消去、 3 )q 7，(1 )OF得, 7P 2 1 • 7q 点评：本题是以a , b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示•解(I) 中的实数,n 的几何意义为：m=^ = 4 |BC| 7 n =1 DM 1 =1, m , n €( o , 1 )；解(n)中的实数 |DA| 7 |FM|FE| 7p例5.如图, AP平行四边形 ABCD 中，点P 在线段AB 上，且 m , Q 在线段ADPB 上，且AQ QD PR n , BQ 与CP 相交于点"，求怎的值. QD解析：设PR =RC冲PR ，则= PC 1 • 1，BR =_1BA .BC+( 1-) BP .因为 APm ，所以BP1 ---- BA ， m 111PB且 BR= ----BC +-p AQ又•••nAD=n BC ， • BQ'BA AQ ，即 BQn BC BA.又••• BRQDn 1n 1n 1与BQ 共线，n 1 =0,解得n1 n 1 (1)(m'(m 1)(n1)'点评：我们先要确定好组基底BA, BC ，看准BR , BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因 P, R,C三点共线，中途要以 BP,BC 作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1,得BR =——BC +（ 1 -------------- ）BP ;最终BR 与BQ 都得转化到由BA, BC 两基底线性表示，1 1此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.例6 （汕头市东山中学 2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形 ABCD 中，uuu 1 uuu LULT 1 LULTUUU rUUUT r LULTAE-AB , AF — AD ,CE 与 BF 相交于 G 点，记 ABa ,ADb ，贝U AG3 42 r 1 r2 r3 r3 r 1 r4 r orA. -a 丄匕B. -a -bC. -aD. 4a -b77 77 7777'<■分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。