高考理科数学概率与统计综合训练

概率与统计综合训练
4.古典概型：基本事件有限个；几何概型：基本事件无限个。

二．解答题常见题型
1.随机变量是不确定数值：通常根据题中所给数据确定。

【练1】盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.（1）两次取出的球标号不同的概率；（2）记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的期望ξE .
2.随机变量ξ服从超几何分布
【练2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率.
3.随机变量ξ服从二项分布；
4.几何概型
【练3】为了解今年高中毕业生的身体素质状况，现从我校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图），已知第一小组为[5，6)，从左到右前5个小组的频率分别为0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是6.(1)求这次实心球测试成绩合格的人数；(2) 用此次测试结果估计我校毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；(3) 经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9.5〜10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率.
5.事件需要列举后再求概率
【练4】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分为两个不相交的区域,
C D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3
分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为1
2
，在
D上的概率为1
3
；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为
1
5
，在D上的概率为
3
5
.假设
共有两次来球且落在,A B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
6.其它
【练5】甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为1
()2
p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
58
．（I ）如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S ，T 的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l ．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和.E ξ
【练6】现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
（Ⅱ) 4人中不
赞成“楼市限购政策”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
（参考公式：
，其中.）
ξξ2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++
【练7】甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
(1) 若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
(2) 若左右手依次各取两球/称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为X,求X的分布列和数学期望.
【练8】为加强八中学生实践、创新能力和团队精神的培养，技术科组举办了智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队X X
伍数记为，求的分布列和数学期望.
【练9】现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。

游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次。

（1）求投球一次，小球落入B槽的概率；（2）设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望。

A B C
二．解答题常见题型
1.随机变量是不确定数值：通常根据题中所给数据确定。

【练1】盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）. （1）两次取出的球标号不同的概率；
（2）记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的期望ξE . 解: 由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的概率分布列如下
随机变量ξ的数学期望：ξE =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. 2.随机变量ξ服从超几何分布
【练2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率. （Ⅰ）解：ξ可能取的值为0，1，2。

2,1,0,)(3
6
3
4
2=⋅==-k C C C k P k k ξ。

所以，ξ的分布列为
（Ⅱ）解：由（1），ξ的数学期望为
15
1
2531510=⨯+⨯+⨯=ξE
（Ⅲ）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为
5
4)1()0()1(=
=+==≤ξξξP P P
3.随机变量ξ服从二项分布
4.几何概型
【练3】某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班
中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格.把所得数据进行
整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图），已知第一小组为[5，
6)，从左到右前5个小组的频率分别为0. 06,0.10,0.14,0. 28,0. 30.第 6 小
组的频数是6.
(1) 求这次实心球测试成绩合格的人数；
(2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽
取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；
(3) 经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9. 5〜10. 5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率.
4.事件需要列举后再求概率
【练4】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分为两个不相交的区域,
C D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3
分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为1
2
，在
D上的概率为1
3
；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为
1
5
，在D上的概率为
3
5
.假设
共有两次来球且落在,A B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
5.其它
【练5】甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为1
()2
p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
58
． （I ）如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S ，T 的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l ．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？ （Ⅱ）求p 的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和.E ξ 解：（Ⅰ）程序框图中的①应填2M =，②应填8n =.(注意：答案不唯一.)…2分
（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.
所以225(1)8p p +-=
，解得： 34p =或14p =，因为12p >，所以3
.4
p =……6分 （Ⅲ）依题意得，ξ的可能值为2，4，6，8.
5(2)8P ξ==，5515(4)(1)8864P ξ==-⨯=，55545
(6)(1)(1)888512
P ξ==--⨯=
， 55527
(8)(1)(1)(1)1888512
P ξ==---⨯=
. 所以随机变量ξ的分布列为
故52468864512512256
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分
【练6】现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
（Ⅱ) 4人中
不赞成“楼市限购政策”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
（参考公式：
，其中.）
【解】（Ⅰ）根据题目得2×2列联表：
…………………………………………………………………………2分
假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策” 的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：
ξξ2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++
…………………………………4分
假设不成立.
所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异. ……6分（Ⅱ）的可能取值有0,1,2,3.
所以的分布列是
所以的期望值是……………………12分
【练7】甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
(1) 若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
(2) 若左右手依次各取两球/称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为X,求X的分布列和数学期望.
【练】某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。

甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为。

假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。

(I)求甲恰好3次考试通过的概率；(II)记甲参加考试的次数为，求的分布列和期望.
【解析】设甲“第一次考A科成绩合格”为事件，“ A科补考后成绩合格”为事件，
2
2
50(311729)
6.27 6.635
(37)(2911)(329)(711)
K
⨯⨯-⨯
=≈<
++++
ξ
2
2
8
4
22
510
62884
(0)
1045225
C
C
P
C C
ξ==⨯=⨯=
211
12
882
44
2222
510510
428616104
(1)
10451045225
C C C
C C
P
C C C C
ξ==⨯+⨯=⨯+⨯=
11
122
82
442
2222
510510
4166135
(2)
10451045225
C C
C C C
P
C C C C
ξ==⨯+⨯=⨯+⨯=
12
42
22
510
412
(3)
1045225
C C
P
C C
ξ==⨯=⨯=
ξ
ξ1047024
2252252255
Eξ=+++=
3
2
2
1ξξ
1
A
2
A
“第一次考B 科成绩合格”为事件，“B 科补考后成绩合格”为事件。

………… 1分 （Ⅰ）甲参加3次考试通过的概率为： …6分 （Ⅱ）由题意知，可能取得的值为：2，3，4
…………………………………………7分 …………8分
………………… 9分
分布列（如右表）………………………………………………………10分
故………………12分
【练9】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望. 【解析】（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则. …4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
.…5分 （Ⅱ）随机变量的可能取值为. ……6分
，，
，.…………10分
随机变量的分布列为：
因为 ，所以 随机变量的数学期望为.…13分 1B 2B 11212
12111215
()()322
332
18
P P A B B P A A B =+=⨯⨯+⨯⨯=ξ111221114(2)()().32
33
9
P P A B P A A ξ==+=⨯+⨯=1121211122111212114
(3)()()()3223323229P P A B B P A A B P A B B ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=12121212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+121112111
.332233229
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=4
4182349
9
9
3
E ξ=⨯+⨯+⨯=X X A ()23!1
5!10
P A ⨯=
=1
10
X 0, 1, 2, 3()24!205!5P X ⨯==
=()323!3
15!10P X ⨯⨯===()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯==
=()23!1
35!10
P X ⨯===X 2311
01231510510
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=X 1
【练10】佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为.
（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间功能室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.
【解析】（1）∵，，，∴，显然……3分由正态分布密度函数的对称性可知，， 即每支这种灯管的平均使用寿命是个月；………5分
（2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为………6分 假设使用个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则，……10分
故至少两支灯管需要更换的概率（写成也可以）……13分
现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。

游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B 槽，
得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过
3次。

（1） 求投球一次，小球落入B 槽的概率；
（2） 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量ξ ，求ξ的分布列
及数学期望。

解：（1）由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为22111()()222
+=……………3分 （2）落入A 槽的概率为211()24=，落入B 槽的概率为12
，落入C 槽的概率为211()24= …4分
ξ可取0,5,10……………5分
311(0)464p ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，……6分 2
1111121(5)2242432p ξ⎛⎫==+⋅+⋅= ⎪⎝⎭
，……8分 21111121(10)4444464p ξ⎛⎫==+⋅+⋅= ⎪⎝⎭……10分 ξ
0 5 10 ξ2
(,)N μσ120.8240.2μ4122(,)N ξμσ:(12)0.8P ξ≥=(24)0.2P ξ≥=(12)0.2P ξ<=(12)(24)P P ξξ<=>1224182
μ+=
=181210.80.2-=12η(4,0.2)B η:1(0)(1)P P P ηη=-=-=0413********.80.80.2625C C =--⨯=≈0.18A B C
121051064326416
E ξ=⨯+⨯+⨯= ……12分。