曲线和方程习题

曲线和方程 同步练习

教学目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

3、学会已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；

4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

一、选择题：（每小题5分）

1．下列各点在方程x 2+y 2=25(y ≥0)所表示的曲线上的是

（A ）(–4, –3) （B ）(–3, （C ）(–2, （D ）(3, –4)

2．下列方程表示相同曲线的是

（A ）y =|x |与y （B ）|y |=|x |与y 2=x 2

（C ）y =x 与y （D ）x 2+y 2=0与xy =0

3．已知A (–1, –1), B (3, 7)，则线段AB 的垂直平分线的方程是

（A ）x +2y –7=0 （B ）x +2y +7=0 （C ）x –2y –7=0 （D ）x –2y +7=0

4．曲线2y 2+3x +3=0与曲线x 2+y 2–4x –5=0的公共点的个数是

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

5．到直线y =x 的距离与到x 轴的距离相等的点的轨迹是

（A ）y =

23x （B ）y =33x （C ）y =23x 或y =–3

2x （D ）y =33x 或y =–x 6．AB 是等腰三角形OAB 的底边，O 是原点，A 点的坐标是（3，4），则点B 的轨迹方程是（ ）

A ．

2522=+y x

B ．2522=+y x [除去点（3，4）]

C ．2522=+y x [除去点（3，4），点（-3，-4）]

D ．2522=+y x [除去点（3±4），点（-3±4）]

二、填空题（每小题5分）

7．若直线y =mx +1与曲线x 2+4y 2=1恰有一个交点，则m 的值是 .

8．直线y =2x 与曲线y 2–x 2=1交于A , B 两点，则AB 的长是 .

9．设曲线y =x 2和y =ax +5(a ∈R )的交点的横坐标为α, β，则α+β= ，αβ= .

10．若两直线x+y+5a=0与x-y-a=0的交点在曲线

a x y +=2上，则a=___________。 三、解答题：

11．已知一条曲线在x 轴上方，它上面的每一个点到点(0, 2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。

12．在△ABC 中，|BC |=1, tan B ·tan C =3cot A +1且cot A ≠0，且点A 的轨迹方程。

13．点P 分线段AB 为1∶2，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，若AB 的长度为2，求点P 的轨迹方程。

14．已知点)0,3(-A 、)0,3(B ，动点M 与A ，B 的连线所成的角∠AMB=α。

（1）若α=60°，求动点M 的轨迹；

（2）若α=90°，求动点M 的轨迹。

15.过点P(2,4)作互相垂直的直线l 1,l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.

一、选择题答案：

6、C

二、填空题：

7．23± 7、3

152 9. a -5 10. 0或-1

11、x 2=8y (x ≠0)

12、233(0).4

y x y =-+≠

13题．1169492

2=+y x

14题：．（1）)0(03222>=--+y y y x ，或)0(03222<=-++y y y x

（2）)0(322≠=+y y x 15题：分析一：设M （x,y)为所求轨迹上任意一点，利用l1⊥l2，由k1·k2=-1求解. 解法一：设M(x,y)为所求轨迹上任一点，

∵M 为AB 中点，

∴A （2x,0),B(0,2y),

∵l1⊥l2且l1,l2过点P （2，4），

∴PA ⊥PB

∴kPA ·kPB=-1

∵kPA=x 224

-(x ≠1)

kPB=224y

-

∴x 224-·224y

- =-1

即：x+2y-5=0(x ≠1)

当x=1时，A （2，0）、B （0，4）,此时AB 中点M 的坐标

为（1，2），它也满足方程x+2y-5=0.

∴所求点M 的轨迹方程为x+2y-5=0. 分析二：连结PM ，由l1⊥l2， ∴△APB 为直角三角形,

｜PM ｜=21

｜AB ｜

解法二：连结PM.

设M （x,y),

则A(2x,0),B(0,2y)

∵l1⊥l2，∴△PAB 为直角三角形

∴｜PM ｜=21

｜AB ｜ 即

2

2224421)4()2(y x y x +=-+- 化简：x+2y-5=0

∴所求点M 的轨迹方程为x+2y-5=0.