一元函数的凹凸性在证明不等式中的应用

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一元函数的凹凸性在证明不等式中的应用

作者：吴建军刘晶

来源：《教育界·C》2020年第01期

【摘要】函數的凹凸性是函数的重要性质之一，它描述和刻画的是函数图象的弯曲程度。本文首先介绍了描述函数凸性的四种定义，其次对函数凹凸性的相关性质进行了讨论，总结了函数凸性的判别法和凸函数的一些重要的性质，得到了几个关于函数凹凸性的命题，并对函数凹凸性的应用进行了研究，最后简要地给出了函数凸性在证明不等式方面的一些应用，利用函数凹凸性的定义证明了几个重要的不等式。

【关键词】凹凸性;可导;单调;连续

【基金项目】本文系省级课题“基于核心素养理念下的数学史知识在高中数学课堂教学中的运用研究”（课题编号：GS〔2017〕MSZX141）。

函数是基础数学研究的一个重要组成部分，更是高中数学教学研究的中心课题，了解和掌握函数的内在本质就需要我们从“数”和“形”两个方面去探究和分析。在具体的研究实践中，我们更多的是通过研究函数的基本性质去刻画和描述函数的图象，再通过观察函数的图象发现更多的更加深刻的函数的基本性质。函数的凹凸性作为函数的基本性质，它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向。探究和分析函数的凹凸性，可以较好地掌握函数对应曲线的性状，所以深入研究函数的凹凸性对于我们掌握和了解函数的整体性质和图象具有不可替代的重要意义。

一、下凸函数的几种定义

1.下凸函数的定义1

2.下凸函数的定义2

若不等号严格成立，则称;f（x）;是;I;上的严格下凸函数.

3.下凸函数的定义3

定义3 设函数在区间;I;上有定义，;f（x）;称为;I;上的下凸函数当且仅当曲线;f（x）;的切线保持在曲线之下.若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称;f（x）;是;I;上的严格下凸函数.

二、判定函数凸性的方法

（对严格的下凸函数有类似的结论，只要将“≤”改为“