一元函数的凹凸性在证明不等式中的应用
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
函数的凹凸性在不等式证明中的应用函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数图像的形状。
具体来说，如果函数的图像在一些区间上是向上凸起的，我们称之为凸函数；如果函数的图像在一些区间上是向下凹陷的，我们称之为凹函数。
在不等式证明中，函数的凹凸性具有很重要的应用。
首先，函数的凹凸性可以帮助我们证明不等式的性质。
假设我们要证明一个不等式，例如a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
我们可以考虑定义函数f(x) = x²，则f(x)是一个凸函数。
由凸函数性质可知，对于任意的实数x₁、x₂，有f(λx₁ + (1 - λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 -λ)f(x₂)，其中0 ≤ λ ≤ 1、将x₁ = a，x₂ = b代入上述不等式，可得2ab ≤ a² + b²。
再将a² + b²除以2，即可得到a + b ≥ 2√(ab)。
因此，通过证明函数的凹凸性，我们可以得到不等式的性质。
其次，函数的凹凸性还可以帮助我们求解优化问题。
假设我们要在非负实数集合中找到满足一些条件的最大值或最小值。
我们可以先通过求导得到函数的极值点，然后通过函数的凹凸性判断这个极值点是最大值还是最小值。
具体来说，如果函数是凸函数，那么极值点就是最小值；如果函数是凹函数，那么极值点就是最大值。
通过函数的凹凸性，我们可以在优化问题中确定最优解。
此外，函数的凹凸性还可以帮助我们证明不等式的反面。
例如，我们要证明a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
假设我们采用反证法，假设不等式不成立，即a + b < 2√(ab)。
我们可以定义函数f(x) = x - 2√(x)，其中x为非负实数。
我们可以证明函数f(x)是一个凹函数，然后通过证明f(a) + f(b) < 0，来推出假设的不等式不成立。
通过函数的凹凸性，我们可以证明不等式的反面。
总的来说，函数的凹凸性在不等式证明中具有重要的应用。
函数的凹凸性在不等式中的应用
１ 凹 凸 函数 的 概念
在 曲线 的上方 ； 凹函数 中 ， Ａ 在 弦 Ａ。在 曲线 的下
所 ≤ 以
口＋ 卢≤ ２
≤ １ 理 捂＝， 得 整
求 ＋ ≥９ 证： ｛＋ ．
分析 由反 比例 函数 Ｙ一 在 （ ， 。 ） Ｏ ＋ 。 上
在 推 广 １中 ， ａ ＝ １ ∈Ｎ， ＞ １， 有 若 ＋ｂ ， ｎ 则
结 一 ６ 丢 论口 ， ）－ ＋． ≥（
≥拉 （ ＋ｂ ） ａ ＋ｃ
≥ （ ） 即有 ｓ，
分 析 函数 Ｙ— 在 （ ， ∞ ）上 是 凸 函 Ｏ ＋
（ ） 凸函 数 １
（ ） 凹函 数 ２
数， 于是 有
收 稿 日期 ：２ １ － ０ —１ ． ０１ ９ ０ － 作 者 简 介 ：倪 雪 华 （９ ５ ）女 ， 师 ， 究 方 向 ： 等 数 学 教 育教 学 １７一 ， 教 研 高
第 ２ ４卷第 ６期 ２１ ０ １年 １ ２月
Hale Waihona Puke 高等 函授 学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｇ ｅ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥ ｕ ａｉｎ Ｎａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｈ ｒＣ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔ （ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ ｓ Ｈｉ ｏ
ｙ ●
／
求证 ：
≥（ ａ￣ｂ 一 ）
：
当 ，＞ １ ， ｌ 时 由幂 函数 图像知 ， ＝ Ｘ 在 （ ， Ｏ ＋ ｏ ）上 是 凸函数便 可证 得 。 ｏ
函数凹凸性在不等式中的应用
(下转第54页)函数凹凸性在不等式中的应用李国成郭铁卫(杭州科技职业技术学院浙江·杭州310012)中图分类号：G633.66文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2013）15-0052-02摘要函数凹凸性是一种重要的几何性质，函数的凹凸性也是高等数学的一个基本内容。
函数的凹凸性是证明比较复杂不等式和构造不等式的有力工具。
文章给出了函数凹凸性的定义以及判别方法，进一步探讨了函数凹凸性在证明不等式和构造不等式中的具体应用。
关键词函数凹凸性不等式的研究Jensen 不等式On the Application of Concavity and Convexity of Func 鄄tions to Inequality //Li Guocheng,Guo Tiewei Abstract The concavity and convexity of function is an important geometric properties,the concavity and convexity of functions is a basic content of higher maths.The concavity and convexity offunctions is proved more complex structural inequality inequality and powerful tool.The article gives the concavity of a functiondefinition and discrimination method.To further explore the con-vex function in the proof of inequality and structural inequality in specific applications.Key words concavity and convexity of functions;study of in-equality;Jensen's inequality 不等式是数学中非常重要且值得探讨的问题，不等式的证明问题需要多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现。
利用凹凸函数证明不等式
利用凹凸函数证明不等式凹凸函数在数学中是一类非常特殊的函数，它是用有极大重要意义的。
凹凸函数定义为：当不等式有复数解时，存在符合凹凸函数定义的函数，它可以将不等式转化为一个凸空间，并且以动态平衡的方式证明不等式。
本文将重点介绍如何利用凹凸函数证明不等式。
第二段：凹凸函数的核心思想是利用不等式来构建一个凸凹空间，通过不断对不等式内变量的取值范围的变换，使得凸凹空间内的元素按照一定的规律动态地平衡。
凹凸函数的特点在于，它使得不等式的解可以通过函数的平衡状态被求出。
换句话说，不等式的解可以被凹凸函数所描述，而这种描述法可以很好地证明不等式。
第三段：具体到如何利用凹凸函数证明不等式，我们首先利用凹凸函数将不等式转换成凸空间。
把不等式中的变量代入凹凸函数，得到一个凸凹平衡的函数，并且确定该函数的最大值和最小值的取值之间的范围。
如果不等式是有复数解的，那么就可以得出不等式的解；如果不等式是无解的，则可以通过对函数作减小变量值的取值范围来确定它是无解的。
第四段：除了上述方法外，还可以用重新定义空间的方法证明不等式。
首先，将不等式中的变量作为新定义的空间的坐标，然后用凹凸函数来构造新定义的空间，以及新定义的空间的凹凸平衡性。
在此基础上，若不等式有复解，则可以通过对凹凸函数作减小变量值的取值范围来确定复数解；若不等式是无解的，则可以通过找出不等式解空间的最小取值和最大取值，以及找出变量的取值范围，来证明不等式是无解的。
第五段：凹凸函数是一种极为重要的数学技术，它可以用来证明不等式，并且可以更有效地求出不等式的解。
凹凸函数的使用技巧有很多，但是最重要的是要理解凹凸函数的核心思想，以及如何利用它来证明不等式。
只有当理解了这一点，才能够明确凹凸函数在证明不等式上的重要作用。
第六段：综上所述，凹凸函数对证明不等式具有重要作用，它可以使我们更加清晰地求出不等式的解。
它的使用技巧也有很多，如将不等式变换成凸空间，以及使用重新定义空间的方法。
利用函数的凹凸性证明不等式
利用函数的凹凸性证明不等式使用函数的凹凸性证明不等式的方法，通常分为以下三个步骤：1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
以下是一个示例：要证明不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
函数$f(x)=x^2$在实数域上是凸函数。
我们可以令$a,b$为实数。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
由$f(x)$的凸性可得，对于任意两个实数$a,b$和$\\lambda\\in(0,1)$，有：$$f(\\lambda a+(1-\\lambda)b)\\leq\\lambda f(a)+(1-\\lambda)f(b)$$将$\\lambda$取为$\\dfrac12$，$a,b$代入，得到：$$f\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)\\leq\\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$即：$$\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\leq\\dfrac{a^2+b^2} {2}$$化简可得：$$a^2+2ab+b^2\\leq 2a^2+2b^2$$即：$$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$$3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
由于$a$和$b$都是实数，所以$(a+b)^2$和$2(a^2+b^2)$都存在并且有意义。
因此，不等式成立。
综上所述，我们使用函数的凸性证明了不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
函数凹凸性的几个应用
1 n
(ln
a1
+ln
a2
+… +ln
an )≤l n
a1 +a2
+… +an n
,
化简得
n
a1 a2
…an
≤
1 n
(a 1
+a2
+… +an).
注 :利用函数凸性证明不等式的关键在于 构造或
引进我们所需的辅助函 数 , 使条 件和结 论 、已知 与未 知建立联系.
2. 求最值 从不等式的证明中我们可以看到 , 如果不 等式的
=
1 2
|an
-1Βιβλιοθήκη |2|an - 1| 22|an - 1|
=
2 2
,
又 0≤〈 an - 1 , an〉 ≤π, ∴an - 1 与 an 的夹角为 π4 .
(3)a1
=( x1
,
y1),
a2
=
1 2
(
x1
-
y1
,
x 1 +y1) ,
a3
=
1 4
(
-
2
y1
, 2 x1)=
1 2
(-
y1
,
x1) ,
凸函数.
2.
f(
x1
+x2 2
)
≥
f(
x1)+ 2
f(
x2)
,
则称
f( x)是 上
凸函数.
判定定理 :若函 数 f( x)在[ a, b] 连续 且在(a, b)
内具有一阶和二阶导数 , 则
1. 若在(a , b)内 f″( x) <0, 则 f(x)在[ a, b] 是上
利用导数证明不等式的四种常用方法
利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。
举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。
我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。
通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。
即e^x＞1+x。
方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。
我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。
令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。
我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。
当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。
所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。
同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。
方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。
我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。
利用函数的凹凸性证明不等式
ｎ
即有 入１１ ２２… ＾ｎｎ ａ １ ａ＋ ａ＋ ａ≥
ａ ｌ ａ ２… ａ
意 三 点 总有 ｘ ｘ ＜ Ｘ ： ＜ 。 例 ２ 用 凸 函数 的概 念 证 明不 等 式：对 综 上 ，若 证 明 的 不等 式 的 两 边 或一 边 ｆ ｘ） （１／ ２Ｘ ≤ ｆ ｘ） （２／ ３ｘ 任意实数 ａ ，有 ｅ ｍ／≤ １ ２ ｅ ｅ） （２一 ｘ ｘ－ １ （３一 ｘ） ｘ一 ２ ） ，ｂ ／ （ａ 十 是 同 一 函数 在 不 同 点 处 函数 值 的 叠加 ， 则 分 析 ：再 仔 细观 察 此 不 等 式 ，可变 形 严格 凸函数上式严格不等式成立。 般 需通过将不等式适 当变形构造辅助 函 证明见文献 ［］ １． 为 ｅ ／ （ ）≤ １ ２ １ １ ２ ｅ：与 数 ，利用 凹 凸 性证 明之 。 ／ｂ ／ ｅ＋（— ／ ） 一 定理 ３ 设 为 ｆ ｘ 区 间 １ 的可 导 函 凸函数的定义式 ｆ ＾ｘ＋ 卜 ＾） ≤ 入ｆ （） 上 （ ．（ ｘ） 总 之 ，在 掌 握 函 数 的 凹 凸性 定 理反 映
引 言 ｘ ｎ ＋ ｌ ｙ＞ （ ＋ ） ｎ ｘ ｙ ２。 １ｘ ｙ ｎ ｘ ｙ ｉ ＋ ／ 型 与 前 面 几 道 例 题 有 明显 的 区 别 ， 即 不 在数学中我们所遇到的不等式 已经很 分析：这是一个 函数不等式 ，但其含 等 式左 边 是 １个代 数 式 相 加 的形 式 ，且 ∑ ３ 多 ，且个 别 的不 等式证 明比较复杂 ，而 有两个变量 ，对不等式作简单变形，不等 ＝１ 由此 我 们 自然 想 到 了 凸 函数 定 ， 不 等 式 的证 明 方法 是 我们 必 须 掌握 的一 个 式等价于：ｘ ｎ ＋ １ ｙ ２＞ （＋ ） ２ ｎ 义 的 一 般 情 况 ， 即詹 森 不 等 式 ， 其 应 用 ｌｘ ｙ ｎ／ ｘ ｙ ／ Ｉ 重 要 部 分 。不 等 式 的 证 明方 法 有 很 多 ｘ ／ ，不等式两边含有相 同 “ ｙ ２ 形式 ” ： 相 当 广 泛 。 但 本 题 的 辅 助 函数 不 象 上 题 种 ，其 中利用 函数的 凹凸性证明不等 式 ｔ ｎ ， 可 设辅 助 函数 ｆ ｔ ＝ ｌ ｔ ｔ ） 那 么 容 易 构 造 ，将 原 不 等 式 两 边 取 对 数 ｌｔ故 （） ｔ ｎ （＞０ 。 的方 法是数 学研 究 中常用的 ，也是我 们 因此原不等式可化为 ｆ ｘ ＋ （） ２ （） ｆ Ｙ ／ ＞ 变形 为 ： ｉ １１ ｉｉ…＋ ａ） ｎ（ ａ ＋ ａ＋
应用凹凸函数的性质证明不等式解读
sin Α+co s Α
2
=1+2sin2Α+
4
2sin (Α+
Π4
≥1+2+4
2
=3+2 2.
例2已知A 1,A 2,A 3,…,A n是凸n边形的n个内角.求证:
sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin (n -2Π
n
.
证明 由平面几何知识可知A i ∈
(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n
f (x 2≤2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凸函数;若恒
有f (x 1+f (x 2≥2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凹函数.
应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.
定理 若函数f (x在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n有以下不等式成立:
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有
(x1+1
x12+(x2+1
x2
2+…+(x n+1
x n
2
≥(n2+12
n
.
例4设a、b、c为△A B C的三边,S是
凹凸函数的性质在不等式证明中的应用
凹凸函数的性质在不等式证明中的应用凹凸函数是数学分析中的重要概念，在不等式证明中有着广泛的应用。
凹凸函数在不等式证明中的应用可以帮助我们更精确地估计函数的取值范围，以及确定不等式的成立条件。
下面将分别从凸函数和凹函数两个方面来讨论凹凸函数在不等式证明中的应用。
首先，我们来解释凸函数和凹函数的定义：设函数f(x)在区间I上连续，如果对于区间I上的任意两点x1和x2以及任意t∈[0,1]，都有以下不等式成立：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凸函数；f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凹函数。
接下来，我们将讨论凸函数在不等式证明中的应用。
1.凸函数在不等式证明中的应用：凸函数在区间上的取值比割线的取值更小。
这个性质被称为下凸性。
具体来说，如果函数f(x)在区间I上是凸函数，对于区间上的任意两点x1和x2，都有以下不等式成立：f(x)≥f(x1)+f′(x1)(x-x1)，其中f′(x)表示函数f(x)的导数。
基于凸函数的这个性质我们可以得到以下结论：1.1瑕疵卡西：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意两点，有：f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)，即凸函数的和大于等于函数的和。
1.2 杨辉三角形不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意n个实数x1, x2, ..., xn，有：f(x1+x2+...+xn)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ，即凸函数的和大于等于函数的和。
1.3 杨辉不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I 上的任意n个不等的实数x1, x2, ..., xn，有：f((x1+x2)/2)+f((x2+x3)/2)+...+f((xn-1+xn)/2)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/(n-1) ，即凸函数的均值小于等于函数的均值。
函数凹凸性在证不等式中的应用
第 ３ 期 高 俊 宇 ： 函 数 凹 凸 性 在 不 等 式 中 的 应 用
闭区间时，定理类同。 定理 若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）是［ａ， ｂ］上连续，在（ａ， ｂ ）内具 有一阶和二阶的导数， ∀ ｘ∈ （ａ，ｂ），恒有 ｆ " （ｘ ）＞０（＜０）， 则 曲线 ｙ＝ｆ（ｘ） 在区间［ ａ， ｂ ］ 上对定义 １、定义 ２ 都是上凹（上 凸）的。 （证明省略） ≥（１－ λ k +1 ）ｆ（ｘ＊）＋ λ k +1 f ＝（１－ λ k +1 ）ｆ（
等号仅当 ｘ＊＝ ｘｋ＋１ 时成立． 又由归纳假设，有 ｆ（
∑1 − λ
i =1
k
λi
k +1
xi ）≥ ∑
λi f ( xi ) i =1 1 − λ k +1
k k
因此 ｆ（
是任意正数且
∑λ
i =1
n
i
＝１，ｘｉ ∈Ｉ （ｉ＝１，… ，ｎ）
∑
i =1
k +1
λi xi ）≥（１－ λ k +1 ）
k
∑1 − λ
i =1
λi
k +1
f ( x i ) ＋ λ k +1 f ( x k +1 )
且 ｘ１≤ｘ２≤…≤ｘｎ，则
＝
n
∑λ
i =1 k +1k
i
f ( x i ) ＋ λ k +1 f ( x k +1 ) ，
k +1 i =1
∑ λ f ( x ) ≤ f (∑ λ x )
i i i i i =1 i =1
且等号仅在 ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ 时成立． 证 不妨设 ｘ１≤ｘ２≤…≤ｘｎ，
凹凸函数在不等式证明中的巧用
凹凸函数在不等式证明中的巧用唐才祯1 莫玉忠2 李金继3摘要：本文从凹凸函数原始定义出发，导出其等价的解析不等式.同时从凹凸函数的几何特征导出另一个与凹凸函数原始定义等价的解析不等式.然后利用所得不等式来推导一些常用的不等式，提供了一种不等式证明的技巧.关键词：凹函数；凸函数；不等式；几何特征不等式在数学问题中是经常碰到的，常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法]1[，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法]2[ .本文介绍利用凹凸函数的定义及其几何特征在不等式证明中的应用.一． 凹凸函数定义及几何特征凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1中的两种方式增加，把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凸函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凹函数，其精确定义为1．定义]3[设函数)(x f 在区间I 有定义,若)1,0(,,21∈∀∈∀t I x x 有))()1()())1((()()1()())1((21212121x f t x tf x t tx f x f t x tf x t tx f -+≥-+-+≤-+ ……（1） 则称)(x f 在区间I 是凸函数（凹函数）.根据函数的凸凹定义，不难证明，若函数)(x f 在区间I 是凹的，则函数一)(x f 在区间I 就是凸的，从而，我们从凸函数特征的讨论可在凹函数上适用.为了便于使用，通常把不等式（1）改写成如下等价形式：如：设1,1,2121=--==q q t q t q 有. ))1,0(,(21∈q q则（1）式可改写为)()()(22112221x q x f q x q x q f +≤+ (2)2． 凸函数的几何特征：如图，设21,A A 是凸函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标),(,2121x x x x x ∈<，则存在1,0,2121=+>q q q q ,使得1作者简介： 唐才祯（1963－），男， 广西灵川人，中教一级， 广西医科大学附中. 2作者简介： 莫玉忠（1969－），女， 广西金秀人，讲师， 柳州师专数学系.3作者简介： 李金继（1963－），男，广西灵川人， 灵川化肥厂.,2211x q x q x +=,过点x 作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ，则（2）式左端即为A 点纵坐标，右端即为B 点纵坐标，因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方或曲线在任一点切线上方.根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设)(x f y =为函数，21A A 为)(x f 上的任一弦，设)(,()),(,(222111x f x A x f x A ，不妨设21x x < ，则直线 21A A 的方程为),()()()(112121x x x x x f x f x f y ---+= ),(21x x x ∈ 从而由上所述凸函数几何性质有),()()()()(112121x f x x x x x f x f x f ≤---+ ),(21x x x ∈……（3） 3． 凸函数的判断凸函数的判别准则在一般教材均有述及，下面是[4]中的一个判别凸函数准则： 定理 设)(x f 在),(b a 上二阶可导，则)(x f 在),(b a 上是凸函数的充要条件是 0)(≥''x f下面我们将从不等式（2）、（3）出发，适当选取2121,,,x x q q 来证明一些不等式.二． 等式（2）的应用不等式（2）是凸函数定义的一个等价形式，所以不等式（2）的应用实际上是凸函数定义的直接应用，（2）式的一个直接结果是出詹生（Jenson ）不等式.命题 若函数)(x f 在区间I 是凸的，则有不等式)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ )4( 其中1,,,2,1,0,21=+++=>∈n i i q q q n i q I x 且，其证明可参见[3]，在此略.如在（2）及（4）式中，适当选取)(x f 的表达式，将可巧妙地证明一些不等式.例1． 证明不等式n x x x n x x x p n p p p n +++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121其中 .0,,;1211≥≥n x x x q证明：设,0,)(>=x x x f p 则2)1()(''--=p x p p x f ，由条件可知.0)(''≥x f 从而p x x f =)(为凸函数.取n q q q n 121==== ，再由Jenson 不等式（4）有 n x x x n x x x p n p p p n +++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121例2．证明不等式y y x x y x y x ln ln 2ln )(+≤++ 0,>y x . 证明：取x x x f ln )(=，0>x .1ln )('+=x x f ，.0,01)(''>>=x x x f 如取21,221===q q n .由Jenson 不等式有 y y x x y x y x ln ln 2ln 2+≤++ 即有 y y x x y x y x ln ln 2ln )(+≤++ 三． 不等式（3）的应用 不等式（3）是由凸函数的几何特征得到的，要得到所要证的不等式，需据所给出的不等式形式适当选取21,x x 的值，所以这种方法具有一定的构造性，灵活性，难度相对大些.例3． 证明杨格（young ）不等式：.111,0,,=+>+<qp b a q b p a ab q p 证明：取.ln )(x x f =显然其为凹函数，直线AB 的方程为)(ln ln ln 112121x x x x x x x y ---=-，取)1,0('),,()'1('2121∈∈-+=p x x x p x p x 则 212112121ln )'1(ln '))'1()1'((ln ln ln x p x p x p x p x x x x x y -+=-+---+= 如取.111'1,1',,21qp p p p b x a x q p =-=-=== 由（3）式 q p q p b qa pb q a p ln 1ln 1)11ln(+>+ b a b qa p q p .ln )11ln(>+ 又因为x ln 在定义域上为严格增函数，所以有q p b qa pb a 11.+<. 例4 证明不等式0,,2)2(>+≤+b a b a b a nn n 证明：此例是例1的特例，下面用不等式（3）的方法给予证明.取)(,0,)(x f x x x f y n则>==为凸函数，由（3）式有 21)(21,,),()()()()(2121112121=+=+=+=---+<x x x b a b x b a a x x x x x x f x f x f x f 取从而有)21()()()()21(b a a ba ab a b b a a b a b b a a n n n n +-+-++++++<，化简后得： )(21)2(n n n b a b a +≤+. 结语：综上所述，利用凸函数定义及几何特性证明不等式，关键是要根据所要证不等式，选取相关的函数及适当的21,x x 选取，此法虽具有一定的构造性，但证明的过程却相对简洁.参考文献：[1].梁永固，等，初等代数研究，广东高等教育出版社，1989[2].纪乐刚，等，数学分析，华东师范大学出版社，1993[3].刘玉琏，等，数学分析讲义，高等教育出版社，1996[4].朱来义，等，微积分，高等教育出版社，2000。
利用函数凹凸性质证明不等式
利用函数的凹凸性质证明不等式内蒙古包头市第一中学 张巧霞摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式. 关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理(1)定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，若对于I 上的任意两点21,x x 及实数()1,0∈λ总有()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为I 上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为I 上的凹函数（上凸函数）.特别地，取21=λ，则有()()().2)2(2121x f x f x x f +≥≤+ 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数)(x f 在区间 I 上是二阶可微的，则函数)(x f 是凸函数的充要条件是0)("≥x f ，函数)(x f 是凹函数的冲要条件是.0)("≤x f三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式设)(x f 是定义在区间I 上的一个凸函数，则对()1,0,,,2,1,1=≥=∈∀∑=ni ii i n i I x λλ 有().)(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ特别地，当(),,,2,11n i ni ==λ有 ()()().2)2(2121n n x f x f x f x x x f +++≤+++琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式） 设(),,,2,1,0n i a i =≥则有naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111当且仅当n a a a === 21时，等号成立.证明 设,ln )(x x f -=因为(),,0,01)("2+∞∈>=x xx f 所以)(x f 是()+∞,0上的凸函数，那么就有().)(11ini iin i i x f x f ∑∑==≤λλ现取(),,,2,1,1,n i na x i i i ===λ 则有 (),ln ln 11ln 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n i n i i n i n i i a a n a n 得 ,ln 1ln 111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛∏∑==n i n i n i i a a n由x ln 的递增性可得nni i i n i a a n 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∏∑== （1） 同理，我们取01>=ii a x ，就有,1ln 1ln 111ln 1111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===ni n i i n i n i i a a n an 即nni i ni i a a n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∑== （2） 由（1），（2）两式可得naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤11111（2）柯西——赫勒德尔不等式qni q i pn i p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 其中()n i b a i i ,,2,1,, =是正数，又,1,0≠>p p p 与q 共轭，即111=+qp . 证明 首先构造函数()1,>=p x x f p 时，()()0,0">>x x f 所以()px x f =是()+∞,0上的凸函数，则有pi ni i pn i i i i ni i x x x f ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(λλλ 令 ,1∑==ni iii pp λ这里()n i p i ,,2,1,0 =>，则 ∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ini p ii pni i ni ii pxp p x p 1111即 1111-===⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑p ni i n i p i i pn i i i p x p x p由题设知111=+qp ，得1-=p pq ，所以 qni i pni p i i n i i i p x p x p 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===， 现取qi i i pi i p b x p a 11,==，()n i ,,2,1 = 则pi p i i i i qii pi i i a x p x p p x p b a ===,11，代入上式得qni q i pni p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令2==q p 时，即得到著名的不等式——柯西不等式211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i i n i i b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i i ni i b a b a 121221)(这里()n i b a i i ,,2,1,, =为两组正实数，当且仅当i i b a =时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n 边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r ，内接n 边形的面积为S ，各边所对的圆心角分别为n θθθ,,,21 ，则(),sin sin sin 21212n r S θθθ+++=因为()0sin "<-=x x f ， 所以()x x f sin =是[]π,0上的凹函数，由琴生不等式可得().1)(11i ni ni if nn f θθ∑∑==≥ 即 nnni ini i∑∑-=≥11s i ns i nθθnn ni i πθ2sinsin 1≤∑= 上式只有在n θθθ=== 21时等号才成立，也即正n 边形的面积最大.特别地，若A,B,C 为三角形的三个内角时，由上式可得323sin sin sin =++C B A . 例2 求证对任意的0,0>>y x ，下面的不等式2ln )(ln ln yx y x y y x x ++≥+成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令()0,ln >=t t t t f ，因().01">=tt f 故()t t t f ln =是()+∞,0上的凸函数， 所以有()()(),,0,,22+∞∈∀+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y f x f y x f 即(),ln ln 212ln 2y y x x y x y x +≤++ (),ln ln 2ln )(y y x x yx y x +≤++所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.例3 设i i i i d c b a ,,,都是正实数，证明∑∑∑∑∑=====≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i n i i n i i i i i d c b a d c b a 1414141441.分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办法将其变成标准形式。
函数凹凸性在不等式证明中的应用毕业论文
【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用【作者】陈小翠【关键词】凸性；不等式；几何特征【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】1 引言不等式的证明在数学问题中是经常碰到的，我们在中学时代就常常接触到不等式证明的问题，在那时，我们常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等。
进入大学以后，我们又学习了一些高等数学中常用的证明不等式的方法，例如利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法，除此以外，我们还学习了一种很重要的方法，即是利用函数的凹凸性性质来证明一些不等式。
函数凹凸性，反映在图像上就是曲线的凹凸方向，为此运用它可以更深入和较准确地掌握函数曲线的形状，这对于描绘函数的图形有很大的作用，关于这些，在高等数学的各类教材中都有详尽的论述，本文是在凹凸性常识的基础上，抛开它的主要作用，介绍了凹凸函数的定义及其几何特征，再通过举例说明函数凹凸性在证明不等式中的应用。
2 凹凸函数定义及几何特征图1-1凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1-1中所示的两种方式增加。
直观地看，函数所表示的曲线是向下凸的，于是我们把形如的增长方式的函数称为下凸（凸）函数，而函数所表示的曲线是向上凸的，于是我们把形如的增长方式的函数称为上凸（凹）函数。
在高等数学的教材中，曲线的凹凸性直观定义为：“设曲线弧的方程为，且曲线弧上每一点都有切线。
如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在该区间内是凸的；如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的。
”2.1 定义的推广在许多教材中，曲线的凹凸性有如下定义：定义2.1 设在内连续，如果对内的任意两点恒有那么称在内的图形是向下凸(凸)的，函数称为下凸(凸)函数；如果恒有那么称在内的图形是严格向下凸(凸)的，函数称为严格下凸(凸)函数如果对内的任意两点，恒有那么称在内的图形是向上凸(凹)的，函数称为上凸（凹）函数；如果恒有那么称在内的图形是严格向上凸(凹)的，函数称为严格上凸（凹）函数。
凹凸函数的性质在不等式证明中的应用
从而可得 f ( x2 ) - f ( x1 ) ≤ ( 1 - t) [ f ( x3 ) - f ( x1 ) ], f ( x3 ) - f ( x2 ) ≥ t[ f ( x3 ) - f ( x1 ) ]。
f ( x2 ) - f ( x1 ) ≤ f ( x3 ) - f ( x1 )
(1)
Π x < u < v < y, x, u, v, y ∈ ( a, b) 有 f ( u) - f ( x) ≤ f ( v) - f ( u) ≤ f ( y) - f ( v)
u- x
v- u
y- v
. (3)
故 , Π x1 , x2 ∈ ( a, b) , x1 < x2 ,当 h充分小时 (只要使 2h < x2 - x1 , x1 - h, x2 + h ∈ ( a, b) ,即可 ) 。令 x = x1 - h, u = x1 + h, v = x2 - h, y = x2 + h,将其代入 ( 3) 式 ,即得.
f ( x1
+ h)
-
f ( x)
≤ f ( x2
-
h)
-
f ( x1
+ h)
≤ f ( x2
+ h)
-
f ( x2
-
h) .
2h
x2 - x1 - 2h
2h
令
h → 0有
f′( x1 )
≤ f ( x2 )
x2
-
f ( x1 ) x1
≤ f′( x2 ) ,所以
f′( x) 在 ( a, b) 上单调递增 。
·24·
绵阳师范学院学报 (自然科学版 )
函数凹凸性在不等式中的应用
函数凹凸性在不等式中的应用
作者：刘友军
来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2016年第06期
【摘要】用构造法证明数学问题极具效率，常使人感觉山重水复中或见柳暗花明，但需具备较高逻辑思维能力和空间想象能力。
高中新课程中导数的出现，对函数凹凸性问题迎刃而解。
本文从函数凹凸性的定义出发，利用一类函数的凹凸性，简捷明快的发现并证明一类重要的不等关系。
【关键词】函数凹凸性构造法不等式
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）06-047-01
定义：如果定义在谋区间上的函数的图像上的任意弧，总在该弧所对应的弦的上方（或下方），则成是该区间上的凸函数（凹函数）.如图（一）所示。
凹凸函数定义的一个应用
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凹凸函数定义的一个应用
作者：朱荣华
来源：《中国校外教育·理论》2009年第12期
[摘要] 采用模糊地、不严格的定义来描述函数的凹凸性,不利于理解凹凸函数的性态,更不利于充分利用凹凸函数的一些性质。
文章通过对凹凸函数的严格定义,在不等式证明中很好地
利用了其在严格的定义下所具有的价值。
[关键词] 凹凸函数严格定义不等式
在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念往往被忽视。
在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线(或割线)的上下位置关系来描述。
虽然这样的描述比较形象,但是不精确的非数学语言的定义往往造成学生学习时有困惑——这个“上下”关系未必明显,有时看上去就是“左右”关系,所以无法判断。
事实上,《数学分析》教材上就给了一种比较好的严格定义,值得借鉴,更为重要的是,该定义往往是证明一些较为复杂的不等式的重要工具。
下面,我们首先回顾该定义及相关定理。
所以得证。
通过对以上问题的分析,可见凹凸函数的定义本身在不等式问题中是有着重要价值的,深入挖掘,可以推导出一些重要的不等式,如詹深不等式、柯西不等式等,值得严谨对待。
参考文献:
[1]侯风波.高等数学[M].科学出版社,2005,6.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,1991,3.。
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一元函数的凹凸性在证明不等式中的应用
作者：吴建军刘晶
来源：《教育界·C》2020年第01期
【摘要】函數的凹凸性是函数的重要性质之一，它描述和刻画的是函数图象的弯曲程度。
本文首先介绍了描述函数凸性的四种定义，其次对函数凹凸性的相关性质进行了讨论，总结了函数凸性的判别法和凸函数的一些重要的性质，得到了几个关于函数凹凸性的命题，并对函数凹凸性的应用进行了研究，最后简要地给出了函数凸性在证明不等式方面的一些应用，利用函数凹凸性的定义证明了几个重要的不等式。
【关键词】凹凸性;可导;单调;连续
【基金项目】本文系省级课题“基于核心素养理念下的数学史知识在高中数学课堂教学中的运用研究”（课题编号：GS〔2017〕MSZX141）。
函数是基础数学研究的一个重要组成部分，更是高中数学教学研究的中心课题，了解和掌握函数的内在本质就需要我们从“数”和“形”两个方面去探究和分析。
在具体的研究实践中，我们更多的是通过研究函数的基本性质去刻画和描述函数的图象，再通过观察函数的图象发现更多的更加深刻的函数的基本性质。
函数的凹凸性作为函数的基本性质，它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向。
探究和分析函数的凹凸性，可以较好地掌握函数对应曲线的性状，所以深入研究函数的凹凸性对于我们掌握和了解函数的整体性质和图象具有不可替代的重要意义。
一、下凸函数的几种定义
1.下凸函数的定义1
2.下凸函数的定义2
若不等号严格成立，则称;f（x）;是;I;上的严格下凸函数.
3.下凸函数的定义3
定义3 设函数在区间;I;上有定义，;f（x）;称为;I;上的下凸函数当且仅当曲线;f（x）;的切线保持在曲线之下.若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称;f（x）;是;I;上的严格下凸函数.
二、判定函数凸性的方法
（对严格的下凸函数有类似的结论，只要将“≤”改为“。