人教版 九年级数学 垂径定理讲义 (含解析)

第9讲垂径定理

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础偏上

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理

讲解用时：15分钟

垂径定理及其推论

（1）垂径定理

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平

分这条弦所对的弧。

（2）相关推论

①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这

条弦，并且平分这条弦所对的弧；

①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；

①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平

分这条弦所对的弧；

课堂精讲精练

【例题1】

下列说法正确的个数是（）。

①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，

①垂直于弦的直径平分弦；故错误；

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

①圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；

①圆的对称轴有无数条；故正确；

①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。

教学建议：逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：香坊区校级月考年份：2016秋

【练习1】

如图，①O的半径OC与弦AB交于点D，连结OA，AC，CB，BO，

则下列条件中，无法判断四边形OACB为菱形的是（）。

A．①DAC=①DBC=30°B．OA//BC，OB//AC

C．AB与OC互相垂直D．AB与OC互相平分

【答案】C

【解析】本题主要考查的是垂径定理、菱形的判定等知识，

①在①O 中，AB 是弦，半径OC①AB ，

①AD=DB ，

①①DAC=①DBC=30°，或OA//OB ，OB//AC ，或AB 与OC 互相平分 可得：AC=BC ，OA=OB ，OD=DC ，AD=BD ，DO=CD ，AB①CO ， ①四边形OACB 为菱形，

但AB 与OC 互相垂直，不能判断四边形OACB 为菱形的，故选：C ． 讲解用时：5分钟

解题思路：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可。 教学建议：熟练掌握菱形的判定方法是解题关键。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：上城区一模 年份：2018

【例题2】

如图，AB 是①O 的直径，AB①CD 于E ，AB=10，CD=8，则BE 为（ ）。

A ．2

B ．3

C ．4

D ．3.5

【答案】A

【解析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，

连接OC ，①AB 是①O 的直径，AB=10，①OC=OB=2

1AB=5； 又①AB①CD 于E ，CD=8，①CE=2

1CD=4（垂径定理）； 在Rt①COE 中，OE=3（勾股定理），

①BE=OB ﹣OE=5﹣3=2，即BE=2，故选：A ．

讲解用时：3分钟

解题思路：连接OC 构建Rt①COE ．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC=5，CE=4；然后根据勾股定理求得OE=2；最后利用线段间的和差关系求得BE=OB ﹣OE 求得BE 的长度即可。

教学建议：根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：天水模拟 年份：2018

【练习2】

如图，AB 是①O 的直径，弦CD①AB ，垂足为E ，若CD=22，CA=6，则直径AB 的长为（ ）。

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B

【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，

①AB 是①O 的直径，弦CD①AB ，垂足为E ， CD=22，①CE=2，

在Rt①ACE 中，①CE=2，CA=6， ①AE=22CE AC =2，

连接OC ，设此圆的半径为x ，则OE=2﹣x ，

在Rt①OCE 中，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=（2）2+（2﹣x ）2，

解得x=2

3，①AB=2x=3，故选：B ． 讲解用时：5分钟

解题思路：先根据垂径定理得出CE 的长，在Rt①ACE 中利用勾股定理可求出AE 的长，连接OC ，设此圆的半径为x ，在Rt①OCE 中利用勾股定理即可求出x 的值，进而求出AB 的值。

教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形解答。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：聊城二模 年份：2018

【例题3】

①O 的半径是13，弦AB//CD ，AB=24，CD=10，则AB 与CD 的距离是 。

【答案】7或17

【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，

如图，AE=21AB=2

1×24=12，