自动控制原理及其应用2.1-1

解： 分解为
F(s)=
A1 (s+1)2
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A2 s+1
+
A3 s
+
A4 s+3
按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：
A1=
-1 2
A3=
2 3
A4=112
A2=
-3 4
A将f(2t作=各)(=2业待-=2-11td习定)e[!-(题st(系-dd(ss2s+4：3+-数123[e)F)代-]td(+sss入=)2232(---1s1上3=-+p(-41式1131,2)22得)e])-3：st =p1
-10 s+2
第一节 控制系统的微分方程
例 已知系统微分方程，求系统的输出响应。
d2dct(2t)+2ddct(t)+2c(t)=r(t) c(0)=c'(0)=0 r(t)=δ(t) 解： 将方程两边求拉氏变换得：
s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s) R(s)=1
C(s)=
s2+21s+2=
因式分解
=
K(s-z1)(s-z2)···(s-zm) (s-p1)(s-p2)···(s-pn)
零点 极点
转换为
=
s-Ap11 +
sA-p22
+···+
An s-pn
待定系数
则 f(t)=A1ep1t +A2e p2t +···+ Anepnt
部分分式法求拉氏反变换
第一节 控制系统的微分方程
部分分式法待定系数的确定
1 9
A2=1
A3=
1 9
F(s)=
1/9 s
-
s/9 (s2+9)
+
1 (s2+9)
f(t)=
1 9
-
1 9
cos3t+
1 3
sin3t
第一节 控制系统的微分方程
课堂练习题：
求下列函数的拉氏反变换
F(s)=
1 s(s+1)
F(s)=
s+6 s(s2+4)
第一节 控制系统的微分方程
3. 重极点
F(s)=(s-p1)r(s-Apr(+s1))···(s-pn)
F(s)=∫0∞
te-stdt
=
1 s2
0
t
t
4. 正弦函数sinωt
F(s)=∫0∞
sinωte-stdt
=
ω s2+ω2
第一节 控制系统的微分方程
5. 余弦函数cosωt
F(s)=∫0∞cosωte-stdt
=
s s2+ω2
6. 指数函数e-at
f(t)
1
F(s)=∫0∞
e-ate-stdt
=
例
求拉氏反变换．
F(s)=
s+1 s(s2+9)
解：
F(s)=
A1s+A2 (s2+9)
+
As3= (-ss2/9++91) +
1/9 s
F(s)(s2+9)s=j3=A1s+A2 s=j3
s+s 1 s=j3=A1s+A2 s=j3
j3+1 j3
=j3A1+A2
j3+1=-9A1+j3A2
A1=
-
L[sinωt]=
1 2j
[ s-1jω -
s+1jω]
=
s2
ω +ω2
2. 微分定理 L[ ddf(tt)]=sF(s)-f(0)
L[ dd2ft(2t)]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)
第一节 控制系统的微分方程
例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换．
解：
已知
d[t] dt
=I(t)
则 A1=F(s)(s-p1) s-=p1 同理 A2=F(s)(s-p2) s=p2 An=F(s)(s-pn) s=pn
┇
第一节 控制系统的微分方程
例 求拉氏反变换．
F(s)=
s2+5s+5 s2+4s+3
解：F(s)=(ss+2+1)5(ss++53)
=1+(s+s1+)(2s+3)=1+
A1 s+1
第一节 控制系统的微分方程
五．用拉氏变换解线性微分方程
例 求微分方程的解 d2c(t) r(t)=201(t) c(0)=5 c'(0)=15 dt2
+3
ddct(t)+2c
(t)=r(t)
解： (1) 将微分方程拉氏变换
s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)
=
20 s
C(s)(s2+3s+2)
=
20 s
+5s+30
(2)
解代数方程
C(s)=
5s2+30s+20 s(s2+3s+2)
=
5s2+30s+20 s(s+1)(s+2)
(3) 求拉氏反变换 c(t)=10+5e-t-10e-2t
C(s)=
A1 s
+
A2 s+1
+
A3 s+2
=
10 s
+
5 s+1
+
0τ
t
第一节 控制系统的微分方程
5. 位移定理
L[e-atf(t)]=F(s+a)
例 求f(t)=e-atsinωt的拉氏变换．
解：
F(s)=
ω (s+a)2+ω2
6. 初值定理
Lt→im0 f(t)=sl→im∞sF(s)
7. 终值定理
tL→i∞m f(t)=sl→im0 sF(s)
第一节 控制系统的微分方程
1 (s+1)2+1
c(t)=e-tsint
输出响应曲线
c(t)
r(t) c(t)
0
t
第一节 控制系统的微分方程
课堂练习题：
解下列微分方程 c(0)=c'(0)=0
dd2ct2(t)+4
dc(t) dt
+3c(t)=I(t)
作业习题： 2-4(1)
返回
1 s+a
0
t
7.
抛物函数
1 2
t2
f(t)
F(s)=∫0∞
1 2
t2e-stdt=
1 s3
0
t
第一节 控制系统的微分方程
三、拉氏变换的定理
1. 线性定理 L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)
例 求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换．
解：
sinωt
=
ejωt -e-jωt 2j
有r个重 极点
分解为
=
A1 (s-p1
)r
+(s-pA1 2)r-1
+···+
sA-pr1 +
sA-pr+r+11
+···+
An s-pn
Ar= (r-11)!(
dr-1[F(s)(s-p1 dsr-1
)r]
)
s=p1
下面举例说明
第一节 控制系统的微分方程
例
求拉氏反变换．
F(s)=
(s+2) s(s+1)2(s+3)
第二章 自动控制系统的数学模型
第二节 拉氏变换解线性微分方程
一、拉氏变换的定义 二、常用函数的拉氏变换 三、 拉氏变换的定理 四、拉氏反变换 五、用拉氏变换解线性微分方程
第一节 控制系统的微分方程
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。
拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
时域t
线性微分方程
拉氏变换
拉氏反变换为：
f(t)=L-1[F(s)]
第一节 控制系统的微分方程
二、常用函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数I(t)
f(t)
f(t)
F(s)=∫0∞ I(t)e-stdt =
1 s
1
2. 单位脉冲函数δ(t) 0
t0
t
F(s)=∫0∞δ(t)e-stdt =1
f(t)
f(t)
3. 单位斜坡函数t
0
L[t]=
1 s2
L[I(t)]= L(
d[t] dt
)=s
1 s2
-0=
s1
3. 积分定理
L[
∫ f(t)dt]=
1 s
F(s)+
f-1(0) s
4. 延迟定理 L[ f(t-τ)]=e-τsF(s)
例 求f(t)= t-τ的拉氏变换。 f(t)
解：
F(s)=L[t]e-
τ
s=
1 s2
e-τ
s
t
t-τ
复数域s
代数方程
求
解
拉氏反变换
微分方程的解
代数方程的解
第一节 控制系统的微分方程
一、拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件：
(1) t <0 时 f(t)=0
(2) t≥0 时 f(t)是分段连续的
(3) ∫0∞f(t)e-st<∞
f(t)的拉氏变换为： F(s)=∫0∞f(t)e-stdt 记作 F(s)=L[f(t)]
复数极点
分解为 F(s)(s-p1 )(s-p2 )s=p1
=
[(s-Ap11
s+A2 )(s-p2
)
+
sA-p33
+···+
sA-pnn
](s-p1)(s-p2)
s=p1
得 F(s)(s-p1)(s-p2) s=p=1 (A1s+A2) s=p1
复数方程可求得待定系数A1 ,A2 。
第一节 控制系统的微分方程
+sA+32
A1=(s+(1s)+(s2+)3)(s+1)
s=-1
=
1 2
A2=(s+(1s)+(s2+)3)(s+3)
s=-3
=
1 2
f(t)=δ(t)+
1 2
e-t+
1 2
e-3t
第一节 控制系统的微分方程
2. 复数极点
p1 ,p2 共轭
F(s)=(s-p1)(s
A(s) -p2)···(s-pn)
课堂练习题： 求下列函数的拉氏变换
f(t)=e-4tcos12t f(t)=t2+3t+2
作业习题： 2-2(1,4)
第一节 控制系统的微分方程
四、拉氏反变换 求解过程
象函数的一般表达式：
F(s)=
b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0 sn+a1sn-1+···+an-1s+an
1. 不相等实数极点
分解为
F(s)=
A(s) (s-p1)(s-p2)···(s-pn)
(s-p1 )F(s)s=p=1 ( s-Ap11 + sA-p22 +···+ sA-pnn )(s-p1 )s=p1 =[ s-Ap11(s-p1 )+ sA-p22(s-p1 )+···+ sA-pnn(s-p1 )] s=p1