人教B版数学高一必修2学案2.4空间直角坐标系

数学人教B必修2第二章2.4 空间直角坐标系
1．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
2．会推导空间两点间的距离公式，并能在具体问题中正确应用．
1．空间直角坐标系的建立
为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都______，这样它们中的任意两条都互相垂直．
轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿____时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点．每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限，如图所示．
______平面：由x轴及y轴确定的坐标面；
______平面：由x轴及z轴确定的坐标面；
______平面：由y轴及z轴确定的坐标面．
2．点在空间直角坐标系中的坐标
取定了空间直角坐标系后，就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．
点M为空间一已知点，在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的________，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是点M相应的一个______．设点M在x轴，y轴，z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，记为________，并依次称x，y和z为点M的x坐标、y坐标和z坐标．反之，设(x，y，z)为一个三元有序数组，过x轴上坐标为x的点，y轴上坐标为y的点，z轴上坐标为z的点，分别作x轴，y轴，z轴的________，这三个平面的交点M 便是三元有序数组(x，y，z)唯一确定的____．所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．
八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点：
Ⅰ：(＋，＋，＋)；Ⅱ：(－，＋，＋)；Ⅲ：(－，－，＋)；
Ⅳ：(＋，－，＋)；Ⅴ：(＋，＋，－)；Ⅵ：(－，＋，－)；
Ⅶ：(－，－，－)；Ⅷ：(＋，－，－)．
【做一做1】若半径为r的球在第Ⅴ卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是()．
A．(r，r，r) B．(r，r，－r)
C．(－r，－r，r) D．(r，－r，r)
3．空间两点的距离公式
空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广，如图．
M1(x1，y1，z1)，P(x2，y1，z1)，
M2(x2，y2，z2)，N(x2，y2，z1)，
|M1P|＝__________，|PN|＝__________，
|M2N|＝__________，
|M1N|2＝|M1P|2＋|PN|2＝____________，
|M1M2|2＝|M1N|2＋|NM2|2＝______________.
∴点M1与M2间的距离为
d(M1，M2)＝____________________________.
应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和再开方．
特别地，点M(x，y，z)到原点的距离公式为
d(O，M)＝__________.
【做一做2】求下列两点间的距离：
(1)A(1,1,0)，B(1,1,1)；(2)C(－3,1,5)，D(0，－2,3)．
求空间一点A(x，y，z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标．
剖析：对称点坐标问题，无非就是中点与垂直问题．空间点关于已知点的对称点，与平面内点关于点的对称点定义一样，已知点与其对称点连接线段的中点即为对称中心；空间点关于已知直线的对称点，与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样，已知点与其对称点连接线段被对称轴垂直平分；空间点与其关于已知平面的对称点的连接线段垂直于平面，且中点在平面内．
A(x，y，z)关于坐标平面xOy的对称点A1(x，y，－z)；
A(x，y，z)关于坐标平面yOz的对称点A2(－x，y，z)；
A(x，y，z)关于坐标平面xOz的对称点A3(x，－y，z)；
A (x ，y ，z )关于x 轴的对称点A 4(x ，－y ，－z )；
A (x ，y ，z )关于y 轴的对称点A 5(－x ，y ，－z )；
A (x ，y ，z )关于z 轴的对称点A 6(－x ，－y ，z )；
A (x ，y ，z )关于原点的对称点A 7(－x ，－y ，－z )．
题型一 空间点的坐标
【例1】已知一个长方体的长、宽、高分别为5,4,3，试建立适当的空间直角坐标系，将长方体的各个顶点表示出来．
分析：可以以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为原点．
反思：建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单．
题型二 空间点的对称问题
【例2】在空间直角坐标系中，给定点M (1，－2,3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
分析：此题要类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
反思：本题反映了求对称点时的一个规律：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 题型三 空间中点坐标公式的应用
【例3】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，试建立适当的空间直角坐标系，求点E ，F 的坐标．
分析：E ，F 分别为棱BB 1和面对角线D 1B 1的中点，应先求出点B ，B 1，D 1的坐标，再根据公式求E ，F 两点的坐标．
反思：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 题型四 空间两点的距离公式的应用
【例4】在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别是A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C ⎝⎛⎭⎫12，52，3.求证：△ABC 是直角三角形．
分析：欲证△ABC 是直角三角形，可从三边长之间的关系满足勾股定理入手求证． 反思：本题通过空间两点的距离公式，求解三角形的三边长，进而判断三角形的形状．
【例5】在三棱锥A －BCD 中， |AD |＝|BC |＝1，|AC |＝|AB |＝|DC |＝|DB |＝2，求该三棱锥的体积．
分析：三棱锥的六条棱长都已知，且比较特殊，我们不难求得△ACB 的面积，但点D 在面ABC 内的射影位置不明显，三棱锥的高比较难求．于是，我们以点A 为原点，建立空间直角坐标系，问题便转化为求点D 的坐标，而这不难用空间两点的距离公式求解．
反思：本题采用建立空间直角坐标系，将问题转化为求点D 的坐标问题的方法，避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算，思路也比较自然，求解也不复杂．这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题，显得有规律可循，而且少了立体几何的空间想象．
题型五 易错辨析
【例6】已知点A (1,2,3)，B (3，－1，－2)，且|MA |＝|MB |，求动点M 的轨迹方程． 错解：设M (x ，y ，z )，依题意得，
(x －1)2＋(y －2)2＋(z －3)2＝(x －3)2＋(y ＋1)2＋(z ＋2)2，
整理得2x －3y －5z ＝0.
∴动点M 的轨迹方程为2x －3y －5z ＝0，轨迹是线段AB 的垂直平分线．
错因分析：把平面几何中的结论硬套在空间中了，实际上满足|MA |＝|MB |的动点M 在空间中的轨迹是线段AB 的垂直平分面．注意范围的改变．
1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )．
A ．y 轴上
B ．xOy 平面上
C ．xOz 平面上
D ．第一卦限内
2点P (1,2,1)关于xOz 平面的对称点坐标是( )．
A ．(1，－2,1)
B ．(－1，－2,1)
C ．(1,2，－1)
D ．(－1，－2，－1)
3如图所示，正方体的棱长为1，M 是所在棱上的中点，N 是所在棱上的四分之一分点，则M ，N 之间的距离为( )．
A ．
214 B ．294 C ．212 D ．292
4已知点P (2,3,4)，则点P 到x 轴的距离是__________．
5指出下列各点在空间中的哪一个卦限．
(1)(－1,3,2)；(2)(3,3,－1)；(3)(－5,－2,－2)；
(4)(－5,1,－1)．
答案；
基础知识·梳理
1．垂直 逆 xOy xOz yOz
2．平行平面 坐标 (x ，y ，z ) 垂直平面 点
【做一做1】B
3．|x 2－x 1| |y 2－y 1| |z 2－z 1| (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2 x 2＋y 2＋z 2
【做一做2】解：(1)d (A ，B )＝(1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2＝1.
(2)d (C ，D )＝(－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2＝22.
典型例题·领悟
【例1】解：如图所示，以A 为坐标原点，AB ＝3所在的直线为x 轴，AD ＝5所在的直线为y 轴，AA 1＝4所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .
则A (0,0,0)，B (3,0,0)，D (0,5,0)，A 1(0,0,4)，C (3,5,0)，D 1(0,5,4)，B 1(3,0,4)，C 1(3,5,4)．
【例2】解：M (1,－2,3)关于坐标平面xOy 对称的点是(1,－2,－3)，关于xOz 面对称的点是(1,2,3)，关于yOz 面对称的点是(－1,－2,3)；M (1,－2,3)关于x 轴对称的点是(1,2,－3)，关于y 轴对称的点是(－1,－2,－3)，关于z 轴对称的点是(－1,2,3)；M (1,－2,3)关于原点的对称点是(－1,2,－3)． 【例3】解：如图，建立空间直角坐标系．
由于正方体的棱长为1，可得B ，B 1，D 1的坐标分别为B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)， ∵E 为B 1B 的中点，F 为B 1D 1的中点，
∴E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋12
，1＋12，1＋02＝⎝⎛⎭⎫1，1，12， F 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋02，1＋02，1＋12＝⎝⎛⎭⎫12，12，1.
【例4】证明：d (A ，B )＝(－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，
d (A ，C )＝
⎝⎛⎭⎫－1－122＋⎝⎛⎭⎫2－522＋(3－3)2＝102， d (B ，C )＝⎝⎛⎭⎫2－122＋⎝⎛⎭⎫－2－522＋(3－3)2＝3102
. 故[d (B ，C )]2＋[d (A ，C )]2＝
904＋104＝25＝[d (A ，B )]2， ∴△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．
【例5】解：以点A 为原点，△ABC 所在平面为xOy 面，将AB 置于Oy 轴的正半轴上，建立空间直角坐标系，如图所示．
|AC |＝|AB |＝2，|BC |＝1，
易求得S △ABC ＝12×1×152＝154
. A (0,0,0)，B (0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫154，74，0. 设D (x ，y ，z )，由|DA |＝1得x 2＋y 2＋z 2＝1，①
由|DC |＝2，得⎝
⎛⎭⎫x －1542＋⎝⎛⎭⎫y －742＋z 2＝4，② 由|DB |＝2，得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4.③
由①③，得－4y ＋4＝3，y ＝14
.④ 将①④代入②，得x ＝
1560
.⑤ 将④⑤代入①，得
z ＝1415＝14×1515＝21015， ∴三棱锥的体积为13×154×21015＝1412
. 【例6】正解：设M (x ，y ，z )，依题意，得
(x －1)2＋(y －2)2＋(z －3)2＝(x －3)2＋(y ＋1)2＋(z ＋2)2，整理得2x －3y －5z ＝0，
∴动点M 的轨迹方程为2x －3y －5z ＝0，轨迹是线段AB 的垂直平分面．
随堂练习·巩固
1．C 已知点的坐标确定点在空间直角坐标系中的哪个位置的题目，要先从特殊坐标值0入手，如果有一个坐标值为0，那么这个点就一定在坐标平面内，如果有两个坐标值为0，那么这个点就一定在坐标轴上，如果有3个坐标值为0，那么这个点就一定在原点上．如果没有特殊的坐标值0，关键就是判断好坐标的性质符号，然后与卦限的符号对应．
因为点(2,0,3)的纵坐标为0，所以此点一定在xOz 平面上．故选C.
2．A
3．B 根据题意，得点M 和点N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，0，12，⎝⎛⎭
⎫14，1，0，根据空间两点间的距离公式，得⎝⎛⎭⎫1－142＋(0－1)2＋⎝⎛⎭⎫12－02＝294
. 故选B.
4．5 在空间直角坐标系中，从点P (2,3,4)作x 轴的垂线，垂足的坐标为Q (2,0,0)，所以|PQ |＝0＋32＋42＝5.
5．解：(1)点(－1,3,2)在第Ⅱ卦限；(2)点(3,3，－1)在第Ⅴ卦限；(3)点(－5，－2，－2)在第Ⅶ卦限；(4)点(－5,1，－1)在第Ⅵ卦限．。