历届女子数学奥林匹克试题

目录

2002年女子数学奥林匹克 (1)

2003年女子数学奥林匹克 (3)

2004年女子数学奥林匹克 (5)

2005年女子数学奥林匹克 (7)

2006年女子数学奥林匹克 (9)

2007年女子数学奥林匹克 (11)

2008年女子数学奥林匹克 (13)

2009年女子数学奥林匹克 (16)

2010年女子数学奥林匹克 (19)

2011年女子数学奥林匹克 (21)

2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克

1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200

2.

2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.

（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.

3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式

k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)

4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.

5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：

1P

1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.

6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.

7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.

8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是

P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯

88的最大值.

图1

2003年女子数学奥林匹克

1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设

AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .

证明： （1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;

（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.

2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动

[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.

3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.

图1

4.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；

（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.

5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.

6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥

λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1

7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互

不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：

（1）a b+c=b c+a+c a+b;

（2）∠BAA>90°.

8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n

中至多有一半元素的个位数为3.

2004年女子数学奥林匹克

1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.

（苏淳供题）

2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.

（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1

的等腰直角三角形覆盖△ABC.

（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这

副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.

（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求

u+v+v的最小值. （陈永高供题）

6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、

F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段