历届女子数学奥林匹克试题

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第15届女子奥林匹克数学试题

第15届女子奥林匹克数学试题女子奥林匹克数学竞赛（IMOK）是一项旨在鼓励女性参与数学学习和竞赛的国际性比赛。

第15届女子奥林匹克数学试题在其它数学竞赛中也被广泛认为是一道具有挑战性和创新性的试题。

题目一：证明对于任意正整数n，都存在n个连续的自然数的乘积是一个完全平方数。

解析：设所求连续自然数的首项为a，则可以列出等式：a(a+1)(a+2)…(a+n-1) = k^2，其中k为正整数。

我们将等式右边的完全平方数k^2表示为素因数分解的形式：k^2 = p_1^a_1 *p_2^a_2 * … * p_m^a_m，其中p_1, p_2, ..., p_m为不同的素数，a_1, a_2, ..., a_m为正整数。

而等式左边的乘积的每一项都可以表示为a + i，其中i为自然数。

我们观察到，等式左边的乘积中的每一个自然数都包含在p_1, p_2, ..., p_m中，因为等式左边的乘积是一个连续自然数的乘积。

因此，等式左边的乘积的每一项的素因子都必须是等式右边完全平方数的素因子。

进一步观察，等式左边的乘积中的连续自然数的个数n，必须大于等于等式右边完全平方数的素因子的个数m。

否则，等式左边的乘积的素因子的指数就无法与等式右边完全平方数的素因子的指数匹配。

根据上述观察，我们可以得出结论：只要选取一个足够大的连续自然数的首项a，使得等式左边的乘积的素因子的个数大于等于等式右边完全平方数的素因子的个数，那么必然存在n个连续的自然数的乘积是一个完全平方数。

因此，原命题得证。

题目二：已知数列a_1, a_2, a_3, …, a_n满足以下条件：1. a_1 = 1, a_2 = 12. 对于n > 2，a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + 1证明数列中的每一项都是正整数。

解析：我们采用数学归纳法来证明数列中的每一项都是正整数。

基础步骤：当n = 1时，a_1 = 1，是正整数。

当n = 2时，a_2 = 1，是正整数。

中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)

+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.
√ 3 2 i)
−e
iπ 3
− 1 = (1 2 −
− (− 1 2 −
√
3 2 i)
− 1 = 0.
− z − 1 = 0有模为1的复根.
若z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根eiθ = cos θ + i cos θ. 则z n+1 − z n − 1 = (cos(n + 1)θ − cos nθ − 1) + i(sin(n + 1)θ − sin nθ) = 0.
中国数学奥林匹克 (CMO) 历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津南开大学
1.已知 a1 , a2 , . . . , an 为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1 + x2 + · · · + xn = 1 的任意非负实数 x1 , x2 , . . . , xn , 有不等式 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 成立.请证明上述命题及其逆命题. 证明:原命题的证明:由0 (1)若ai 以ai + a1 xi 1, xi − x2 i 0, xi x2 i (i = 1, 2, . . . , n).
过P2 作平行于BC 的直线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的

第十届年女子数学奥林匹克

第十届女子数学奥林匹克（2011年）第一天1．求出所有的正整数n ，使得关于x y 、的方程111x y n+=恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，边AB 、CD 的中垂线相交于点F ，点M 、N 分别为边AB 、CD 的中点，直线EF 分别与边BC 、AD 相交于点P 、Q ．若MF CD NF AB ⋅=⋅且DQ BP AQ CP ⋅=⋅，求证：PQ BC ⊥．3．设正实数a b c d 、、、满足1abcd =，求证：11119254a b c d a b c d ++++≥+++．4．有n （3n ≥）名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰比赛一次（比赛无平局）．赛后发现，可以将这些选手排成一圈，使得对于任意三名选手A B C 、、，若A B 、在圈上相邻，则A B 、中至少有一人战胜了C ．求n 的所有可能值．第二天5．给定实数α，求最小实数()λλα=，使得对任意复数12z z 、和实数[0,1]x ∈，若112||||z z z α≤−，则1212||||z xz z z λ−≤−．6．是否存在正整数m ，n 使得2011n m +为完全平方数？请证明你的结论．7．从左到右编号为12,,,n B B B L 的n 个盒子共装有n 个小球，每次可以选择一个盒子k B ，进行如下操作：(1)若1=k 且1B 中至少有1个小球，则可从1B 中移1个小球至2B 中；(2)若n k =且n B 中至少有1个小球，则可从n B 中移1个小球至1n B −中；(3)若12−≤≤n k 且k B 中至少有2个小球，则可从k B 中分别移1个小球至1+k B 和1−k B 中．求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球．8．如图，⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得DE ∥BC ．⊙1O 为△ADE 的内切圆，1O B 交DO 于点F ，1O C 交EO 于点G .⊙O切BC 于点M ，⊙1O 切DE 于点N ．求证：MN 平分线段FG ．QP MN FE DCB A N MGO 1O FED C B A。

中国女子数学奥林匹克中山

第七届中国女子数学奥林匹克（中山）1．（a ）问能否将集合{}1,2,,96L 表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；（b ）问能否将集合{}1,2,,99L 表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．解：（a ）不能．因为96(961)32|129648972⨯++++==⨯L ．（b ）能．每个三元集的元素和为129999(991)15033332+++⨯+==⨯L ．将1,2,3,,66L 每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：150,349,,3334,+++L 266,465,,3251+++L ．故如下33组数，每组三个数之和均相等：{}{}{}1,50,99,3,49,98,,33,34,83,L {}{}{}2,66,82,4,65,81,,32,51,67.L ．注：此题的一般情况是设集合{}1,2,3,,3M n =L 的三元子集族{},,i i i i A x y z =，1,2,i n =L 满足12n A A A M ⋃⋃⋃=L ．记i i i i s x y z =++，求所有的整数n ，使对任意,(1)i j i j n ≤≠≤，i j s s =．解：首先，|1233n n ++++L ，即3(31)2|312n n nn +⇒+．所以，n 为奇数．又当n 为奇数时，可将1,2,3,,2n L 每两个一组，分成n 个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：111(),3(),,(1)22n n n n n n +-++++++L ； 322,4(21),,(1)()2n n n n n +++--++L ．其通项公式为1121(1)1,2213[12(1)][2(1)].22k n n k n k k a n n n k n k k n ++⎧-+++-≤≤⎪⎪=⎨++⎪-+-++--≤≤⎪⎩易知93312k n a n k +++-=为一常数，故如下n 组数每组三个数之和均相等： 1111,,3,3,,31,,,1,31222n n n n n n n n n n +-+⎧⎫⎧⎫⎧⎫++-++-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭L ；332,2,31,,1,,2122n n n n n n n ++⎧⎫⎧⎫+--++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭L．当n 为奇数时，依次取上述数组为12,,,n A A A L ，则其为满足题设的三元子集族．故n 为所有的奇数．2．已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个正根，且(0)0ϕ<．求证：322970b a d abc +-≤． ①证明：设实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++的三个正根分别为1x ，2x ，3x ，由韦达定理有123b x x x a ++=-，122331c x x x x x x a ++=，123dx x x a=-．由(0)0ϕ<，可得0d <，故0a >．不等式①两边同除以3a ，不等式①等价于3729b c b d a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231223311231237()()2()9x x x x x x x x x x x x x x x ⇔++++≤+++，2222223331213212331321232()x x x x x x x x x x x x x x x ⇔+++++≤++ ② 因为1x ，2x ，3x 大于0，所以221212()()0.x x x x --≥ 也就是2233122112.x x x x x x +≤+同理22332233233223311331,.x x x x x x x x x x x x +≤++≤+三个不等式相加可得不等式②，当且仅当123x x x ==时不等式等号成立．3．求最小常数1a >，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在,,,PAB PBC PCD PDA ∆∆∆∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间1[,]a a -．解：min 152a =．首先证明min 152a ≤，记152ϕ=．不妨设正方形边长为2ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由 13241S S S S +=+=，得221S S μ=-，得21S μμ=+．故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾．故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定15(,)t a +∈，使得2819t b t =>+．我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有122315()S S t a S S +==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉．这表明min a ϕ=． 4．在凸四边形ABCD 的外部分别作正三角形ABQ ，正三角形BCR ，正三角形CDS ，正三角形DAP ，记四边形ABCD 的对角线之和为x ，四边形PQRS 的对边中点连线之和为y ，求yx的最大值．（熊斌供题）解：若四边形ABCD 是正方形时，可得y x13+=．下面证明：y x13+≤．设1111,,,P Q R S 分别是边DA ，AB ，BC ，CD 的中点，SP ，PQ ，QR ，RS 的中点分别为E ，F ，G ，H ．则1111P Q R S 是平行四边形．连接11,PE S E ，设点M ，N 分别是DP ，DS 的中点，则11DS S N DN EM ===，11DP PM MD EN ===，又 113606060PDS PDS ∠=︒-︒-︒-∠240(180)60END END =︒-︒-∠=︒+∠ 11ENS EMP =∠=∠，所以 1111DPS MPE NES ∆≅∆≅∆，从而，△11EPS 是正三角形．同理可得，△11GQ R 也是正三角形．设U ，V 分别是11P S ，11Q R 的中点，于是有11111133EG EU UV VG PS PQ R ≤++=++ 111113322PQ PS BD AC ==+，同理可得 1322FH AC BD ≤+，把上面两式相加，得13y x +≤，即y x132≤．5．已知凸四边形ABCD 满足AB ＝BC ，AD ＝DC ．E 是线段AB 上一点，F 是线段AD 上一点，满足B ，E ，F ，D 四点共圆．作△DPE 顺向相似于△ADC ；作△BQF 顺向相似于△ABC ．求证：A ，P ，Q 三点共线．（叶中豪供题）（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．）证明将B 、E 、F 、D 四点所共圆的圆心记作O ．联结OB 、OF 、BD ．在△BDF 中，O 是外心，故∠BOF ＝2∠BDA ；又△ABD ∽△CBD ，故∠CDA ＝2∠BDA ．于是∠BOF ＝∠CDA ＝∠EPD ，由此可知等腰△BOF ∽△EPD ． ①另一方面，由B 、E 、F 、D 四点共圆知△ABF ∽△ADE ． ② 综合①，②可知，四边形ABOF ∽四边形ADPE ，由此得∠BAO ＝∠DAP ． ③同理，可得∠BAO ＝∠DAQ ． ④ ③，④表明A 、P 、Q 三点共线．【附注】事实上，当四边形ABCD 不是菱形时，A 、P 、Q 三点共线与B 、E 、F 、D 四点共圆互为充要条件．可利用同一法给予说明：取定E 点，考虑让F 点沿着直线 AD 运动．根据相似变换可知，这时Q 点的轨迹必是一条直线，它经过P 点（由充分性保证）．以下只要说明这条轨迹与直线AP 不重合即可，即只要论证A 点不在轨迹上．为此，作△BAA ′∽△BQF ∽△ABC ．于是由∠BAA ′＝∠ABC可得A ′A ∥BC ．又因四边形ABCD 不是菱形，故AD 不平于BC ．这就表明A ′、A 、D 三点不共线，也就保证了A 点不在轨迹上．因此，只有当B 、E 、F 、D 四点共圆时，Q 点才落在直线AP 上．而当四边形ABCD 是菱形时，不管E 、F 位置如何，所得到的 P 、Q 两点总位于对角线AC 上．6．设正数列12,,,,n x x x L L 满足721187)8x x x -=（及 88211171,2()k k k k kk k x xx x x k x x -+----=≥．求正实数a ，使得当1x a >时，有单调性12n x x x >>>>L L ；当10x a <<时，不具有单调性．解：由88211171()k kk k kk k x x x x x x x -+----=，有 1881111k k k k k k x x x x x x +---=- 即1288811111117==8k k k k k k x x x x x x x x x +---=-=-L于是，7178k k kx x x -+=+，则当10x >时，0,2k x k >≥．由811()8k k k kx x x x -+-=-，则当8108k x --<，即188k x >时，有10k k x x +-<，即1,1k k x x k +<≥．而178817718=888k k k x x x -+=+≥，且当18=8k x 时，等号成立．于是，取18=8a ，则当18>8k x 时12n x x x >>>L L ．当1818x <时，21x x >且23n x x x >>>L L ．故所求常数18=8a ．7．给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同．在棋盘的每一个小方格中填入C ，G ，M ，O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C ，G ，M ，O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”．问有多少种不同的“和谐棋盘”？（冯祖鸣供题）解：有200812224⨯-种不同的“和谐棋盘”．我们首先证明下面这个结论：在每个“和谐棋盘”中，至少出现以下情况中的某一种：（1）每一行都是某两个字母交替出现；（2）每一列都是某两个字母交替出现．其实，假设某一行不是交替的，则这一行必定包含三个相邻的小方格填有不同的字母．不失一般性，假设这三个字母为C ，G ，M ，如图1所示．这很容易得到25X X O ==，并且14X X M ==和36X X C ==，如图2所示．图1 图2同理，我们就可以得到这三列都是两个字母交替出现．从而容易得到每一列都是某两个字母交替出现．现在我们来计算“和谐棋盘”的个数．如果最左边一列是某两个字母（比如C 和M ）交替出现，马上可以得到序号为奇数的列都是这两个字母交替出现，且序号为偶数的列都是另外两个字母（比如G 和O ）交替出现．每一列的第一个字母可以是这一列所包含的两个字母的任意一个；容易验证任意这样的填写都可以得到“和谐棋盘”．从而我们有246C =种不同的方式选择第一列的两个字母，且有20082种方式决定每一列的第一个字母．所以，我们有200862⨯种填法使得每一列都是交替的．同样，我们也有200862⨯种填法使得每一行都是交替的．现在所要做的就是从中减去计算了两次的填法——行和列都是交替的．显然，四个不同字母在左上角的2×2方格中的任何排列都可以扩充到整个棋盘得到一个“和谐棋盘”，并且行和列都是交替的，其实，只要先填好前两列使得它们是交替的，再填所有的行使得它们是交替的即可；反过来，这种双交替的填法由左上角的2×2方格唯一决定．有4！=24种方式在左上角的2×2方格中排列四个不同的字母．所以我们得到24种不同的填法使得行和列都是交替的，由此可以得到上面结果．8．对于正整数n ，令22n f +⎡⎡=⎣⎣．求证：数列12,,f f L 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．（[x ]表示不超过x 的最大整数）（冯祖鸣供题）12(2)101100.a a =L12(2)101100.b b =L首先，我们证明数列中有无穷多个偶数．反证法，假设数列中只有有限个偶数，从而存在一个正整数N ，对每个正整数n N >，n f 都是奇数．我们考虑121,2,n N n N =+=+L 注意到，在二进制中，1212(2)(2)101100101100i i i n n n f b b b a a a =+L L ，这个数模2同余于i i n n b a +．因为i n f 是奇数，所以{,}{0,1}i i n n b a =．从而121(2)1011001.111m c c c -=L L．这是不可能的，是无理数．这样，我们的假设是错误的，所以数列中有无穷多个偶数．我们同样可以证明数列中有无穷多个奇数．令n g -⎢⎢=⎣⎣，显然n g 和n f 有相同的奇偶性．这样，对n N >，n g 都是偶数．注意到，在二进制中，1212(2)(2)101100101100i i i n n n g b b b a a a =-L L ，这个数模2同余于i i n n b a -．因为i n g 是奇数，所以i i n n b a =．从而121(2)0.000m d d d -=L L．这是不可能的，是无理数．这样，我们的假设是错误的，所以数列中有无穷多个奇数．。

2004-2012历届女子数学奥林匹克试题PDF(无答案)

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明：（1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊斌供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。

2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷

2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷1、求所有的三元正整数组(aa,bb,cc)，满足aa2aa=bb2bb+cc2cc．2、如图，用144根完全相同的长度为1的细棒摆成边长为8的正方形网格状图形．问：至少需要取走多少根细棒，才能使得剩余图形中不含矩形?请证明你的结论.3、设aa，bb，cc，dd都是不超过1的非负实数．证明：11+aa+bb+11+bb+cc+11+cc+dd+11+dd+aa⩽41+2√aabbccdd4．4、如图，四边形AAAAAAAA内接于圆Γ，对角线AAAA，AAAA互相垂直，交点为EE．设FF是边AAAA上一点，射线FFEE交Γ于点PP，线段PPEE上一点QQ满足PPQQ⋅PPFF=PPEE2，过点QQ且垂直于AAAA的直线交AAAA于点RR．证明：RRPP=RRQQ．5、如图，在锐角△AAAAAA 中，AAAA <AAAA ，AAAA 是高，GG 是重心，PP 、QQ 分别是内切圆与边AAAA 、AAAA 的切点，MM 、NN 分别是线段AAPP 、AAQQ 的中点．设AA 、EE 是△AAAAAA 内切圆上两点，满足：∠AAAAAA +∠AAAAAA =180°，∠AAEEAA +∠AAAAAA =180°．证明：直线MMAA ，NNEE ，GGAA 三线共点．6、设实数xx 1，xx 2，⋯，xx 22满足对任意1⩽ii ⩽22，有2ii−1⩽xx ii ⩽2ii ．求(xx 1+xx 2+⋯+xx 22)�1xx 1+1xx 2+⋯+1xx 22� 7、给定奇素数pp 和正整数aa 、bb 、mm 、rr ，其中pp ∤aabb ，且aabb >mm 2．证明：至多只有一对正整数(xx ,yy )满足xx 与yy 互素，且aaxx 2+bbyy 2=mmpp rr ．8、对于平面直角坐标系中任意两点AA (xx 1,yy 1)、AA (xx 2,yy 2)，定义dd (AA ,AA )=|xx 1−xx 2|+|yy 1−yy 2|，设PP 1，PP 2，⋯，PP 2023是该坐标系中2023个两两不同的点．记λλ=mmaaxx 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �mmii mm 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �．(1) 证明：λλ⩾44．(2) 给出一组PP 1，PP 2，⋯，PP 2023，使得λλ=44．1 、【答案】(1,4,4)，(2,4,4)，(4,5,6)，(4,6,5);【解析】设xx mm=mm2nn，则当nn⩾2时，xx mm−xx mm+1=mm−12nn+1>0，故12=xx1=xx2>xx3>xx4>⋯，不妨设bb⩽cc，由条件等式得aa<bb⩽cc，（1）若bb=cc，则aa2aa=bb2bb−1，故bb aa=2bb−aa−1∈ZZ，设bb=aaaa(aa>1)，则aa=2aaaa−aa−1⩾aaaa−aa，即(aa−1)(aa−1)⩽1，由aa⩾2知aa=1或2，均有bb=2bb−2，得bb=4，（2）若bb<cc，则aa2aa⩽aa+12aa+1+aa+22aa+2=3aa+42aa+2①⇒aa⩽4，注意到，xx1=xx2=12，xx3=38，xx4=14，xx5=532，xx6=332<18，若aa=1或2，则xx bb+xx cc=12⇒xx bb>14⇒bb=3，此时cc无解．若aa=3，则xx bb+xx cc=38⇒xx bb>316⇒bb=4,此时cc无解；若aa=4，则式①等号成立，即bb=5，cc=6，经检验，满足要求，综上，所求(aa,bb,cc)为(1,4,4)，(2,4,4)，(4,5,6)，(4,6,5)．【标注】 ( 数论模块 )2 、【答案】43;【解析】首先证明至少需要移除43根细棒，假设图形中不含矩形，则每个有界连通区域至少由3个单位正方形组成，即面积至少为3，记[xx]表示不超过实数xx的最大整数，这样至多有�643�=21个有界连通区域，每取走一根细棒至多使得有界连通区域的个数减少1（将两个有界连通区域合并为一个有界连通区域，或者将一个有界连通区域与无界连通区域合并），最初时有64个有界连通区域，故至少取走64−21=43根细棒，下图给出了取走43根细棒的例子，其中每个有界连通区域的面积均是3，且图中不含矩形．【标注】 ( 数论模块 )3 、【答案】证明见解析;【解析】注意到，当√aacc⩽xx时，1xx+aa+1xx+cc−2xx+√aacc=(√aa−√cc)2(√aacc−xx)(xx+aa)(xx+cc)(xx+√aacc)⩽0，①由条件可知√aacc⩽1⩽1+bb，√aacc⩽1+dd，在式①中取xx=1+bb和xx=1+dd，分别得11+aa+bb+11+bb+cc⩽21+bb+√aacc，11+cc+dd+11+dd+aa⩽21+dd+√aacc，可见以√aacc代替aa和cc时，不等式左边不减，而右边不变，故不妨设aa=cc，类似地，不妨设bb=dd，这样，原不等式变为证明11+aa+bb⩽11+2√aabb，由均值不等式aa+bb⩾2√aabb可知上式成立．【标注】 ( 不等式 )4 、【答案】证明见解析;【解析】如图，作EEEE//AAFF，交AAPP于点EE，交AAPP于点YY，延长EEQQ、YYQQ，分别交AAAA于点SS、TT，联结AAPP，记⊙AAAAAA表示过AA，AA，AA三点的圆，由PPPP PPPP=PPPP PPPP=PPPP PPPP⇒EEQQ//AAEE，类似地，YYQQ//AAEE，由∠EEEESS=∠AAEEEE=∠AAAAAA=∠EEAASS⇒EE，EE，SS，AA四点共圆，由∠PPEEEE=∠PPAAAA=∠PPAAEE⇒EE，EE、PP，AA四点共圆，故EE，EE，SS，PP，AA五点共圆，类似地，YY，EE、TT，PP，AA五点共圆，由∠PPQQTT=∠PPEEAA=∠PPSSTT⇒PP，SS、QQ，TT四点共圆，由SSQQ//AAEE，TTQQ//AAEE，AAEE⊥AAEE⇒SSQQ⊥TTQQ，由∠RRQQSS=90°−∠QQEEYY=90°−∠QQTTSS=∠RRSSQQ，可知RR是⊙PPSSQQTT的圆心．从而，RRPP=RRQQ．【标注】 ( 平面几何 )5 、【答案】证明见解析;【解析】在△AAAAAA的外接圆上取点FF，使得AAAAAAFF是等腰梯形．直线FFAA与⊙AAAAAA的另一个交点为LL，与中线AAAA交于点GG′．如图，由AAFF=2AAAA⇒PPGG′GG′KK=PPPP HHKK=2⇒GG′是△AAAAAA的重心⇒点GG′与GG重合，故∠AALLAA=∠AALLFF=12AAFF⌢∘=12AAAA⌢∘=∠AAAAAA，结合条件∠AAAAAA+∠AAAAAA=180°得∠AAAAAA+∠AALLAA=180°⇒AA，LL，AA，AA四点共圆，类似可证∠AALLAA=∠AAAAAA，且AA，LL，AA、EE四点共圆，由于∠AALLAA=∠AAAAAA，PPAA与⊙AALLAAAA切于点AA，记△AAAAAA的内切圆为Γ，PPAA是Γ与⊙AALLAAAA的外公切线，由MMPP =MMAA 可知MM 是Γ与⊙AALLAAAA 的等幂点，从而，直线MMAA 是Γ与⊙AALLAAAA 的根轴，类似可证直线NNEE 是Γ与⊙AALLAAEE 的根轴，又直线GGAA 是⊙AALLAAAA 与⊙AALLAAEE 的根轴，故直线MMAA 、NNEE 、GGAA 要么三线共点，要么两两平行．若MMAA 、NNEE ，AAAA 两两平行，则⊙AALLAAAA 的圆心OO 1，⊙AALLAAEE 的圆心OO 2、Γ的圆心II 三点共线，由于∠AAAAAA 与∠AAEEAA 都是钝角，于是，点OO 1，OO 2在AAAA 下方，显然点II 在AAAA 上方，设OO 1、OO 2、II 在AAAA 上的投影分别为EE 、YY 、ZZ ，则EE ，YY 分别是AAAA 、AAAA 的中点，由AAAA <AAAA 知点YY 、ZZ 在AAAA 同侧，且AAZZ =PPAA+BBAA−PPBB 2>BBAA 2>AAHH 2=AAYY ，故点ZZ 在线段EEYY 上．因此，OO 1、OO 2、II 不可能共线，矛盾，从而，MMAA 、NNEE 、GGAA 三线共点．【标注】 ( 平面几何 )6 、【答案】 �212−1−1211�2 ;【解析】设yy ii =xx ii 211(ii =1,2,⋯,22) ，注意到， ff (tt )=tt +1tt在区间(0,1]上递减，在区间[1,+∞)上递增，对1⩽ii ⩽11，有1212−ii ⩽yy ii ⩽1211−ii ⇒yy ii +1yy ii ⩽212−ii +1212−ii ；对12⩽ii ⩽22，有 2ii−12⩽yy ii ⩽2ii−11⇒yy ii +1yy ii ⩽2ii−11+12ii −11，则 �∑22ii=1xx ii ��∑22ii=11xx ii �=�∑22ii=1yy ii ��∑22ii=11yy ii� ⩽14��yy ii +1yy ii �mm ii=1�2⩽14��212−ii +1212−ii �11ii=1+��2ii−11+12ii −11�22ii=12�2=�21+22+⋯+211+121+122+⋯+1211�2 =�212−1−1211�2，当xx ii =�2ii−1,1⩽ii ⩽112ii ,12⩽ii ⩽22 时，上式等号成立，故所求最大值是是�212−1−1211�2．【标注】 ( 不等式 )7 、【答案】证明见解析;【解析】反证法．假设有两对不同的正整数解 (xx 1,yy 1)、(xx 2,yy 2)，由于xx 1与yy 1互素，于是，pp ∤xx 1yy 1，类似地，pp ∤xx 2yy 2，由 aaxx 12≡−bbyy 12(mod pp rr )aaxx 22≡−bbyy 22(mod pp rr )，可知 aabbxx 12yy 22≡aabbxx 22yy 12(mod pp rr ) 又pp ∤aabb ，故pp rr |(xx 12yy 22−xx 22yy 12)，注意到，xx 1yy 2−xx 2yy 1与xx 1yy 2+xx 2yy 1不能都被pp 整除，否则，pp |2xx 1yy 2，这与pp 是奇素数且pp ∤xx 1yy 1xx 2yy 2矛盾，故pp rr |(xx 1yy 2−xx 2yy 1)或pp rr |(xx 1yy 2+xx 2yy 1)，若xx 1yy 2−xx 2yy 1=0，则 xx 1xx 2=yy1yy 2，结合aaxx 12+bbyy 12=aaxx 22+bbyy 22，可知xx 1=xx 2，yy 1=yy 2，这与(xx 1,yy 1)≠(xx 2,yy 2)矛盾，因而，xx 1yy 2−xx 2yy 1≠0，若pp rr |(xx 1yy 2+xx 2yy 1)，则xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾pp rr ，若pp rr |(xx 1yy 2−xx 2yy 1)，则xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾|xx 1yy 2−xx 2yy 1|⩾pp rr ，因此总有xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾pp rr ，利用条件aabb>mm2和上式有mm2pp2rr=(aaxx12+bbyy12)(aaxx22+bbyy22)=(aaxx1xx2−bbyy1yy2)2+aabb(xx1yy2+xx2yy1)2⩾aabb(xx1yy2+xx2yy1)>mm2pp2rr，矛盾．故假设不成立，原命题成立．【标注】 ( 数论模块 )8 、【答案】 (1) 证明见解析;(2) 见解析;【解析】 (1) 对aa=1，2，⋯，2023，设PP aa(xx aa,yy aa)，记uu aa=xx aa+yy aa，vv aa=xx aa−yy aa，记AA=mmaaxx1⩽ii⩽jj⩽2023dd�PP ii,PP jj�，则对于任意1⩽ii、jj⩽2023，有|uu ii−uu jj|=|�xx ii−xx jj�+�yy1−yy jj�|⩽|xx ii−xx jj|+|yy ii−yy jj|=dd�PP ii,PP jj�⩽AA，因此，uu1，uu2，⋯，uu2023中的最大数与最小数之差不超过AA，即全在某个区间[aa,aa+AA]中，类似地，vv1，vv2，⋯，vv mm全在某个区间[bb,bb+AA]中，对aa、ll=1,2,⋯,44，考虑区域AA aa,ll=��uu+vv2,uu−vv2�|aa+aa−144AA⩽uu⩽aa+aa44AA,bb+ll−144AA⩽vv⩽bb+ll44AA�，点PP ii，PP2，⋯，PP2023落在这442=1936个区域中，由抽屉原理知存在两点在同一区域，假设PP1、PP jj∈AA aa,ll，记UU=uu ii−uu jj，VV=vv ii−vv jj，则−DD44⩽UU、VV⩽DD44，dd�PP ii,PP jj�=|xx ii−xx jj|+|+|yy ii−yy jj|=�uu ii+vv ii−uu jj+vv jj�+�uu ii−vv ii−uu jj−vv jj�=�UU+VV 2�+�UU−VV 2� ∈�±UU+VV 2±UU−VV 2�={UU ,−UU ,VV ,−VV }，由于每种情况都有 dd�PP ii ,PP jj �⩽mmaaxx {|UU |,|VV |}⩽DD 44，故 mmii nn 1⩽ii<jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �⩽dd�PP ii ,PP jj �⩽DD 44⇒λλ⩾44． (2) 关于构造，取点集MM ={(xx ,yy )∈ZZ 2|xx ,yy 同奇偶，|xx +yy |⩽44，|xx −yy |⩽44} =��uu+vv 2,uu−vv 2�|uu =0,±2,±4,⋯,±44;vv =0,±2,±4,⋯,±44�，集合MM 中共有452=2025个点，从中任选2023个点作为PP 1，PP 2，⋯，PP 2023，则 dd�PP ii ,PP jj �=|xx ii −xx jj |+|yy ii −yy jj |是偶数且大于0，即dd�PP ii ,PP jj �⩾2，另一方面，dd�PP ii ,PP jj �=|xx ii −xx jj |+|yy ii −yy jj |⩽mmaaxx�|(xx ii +yy ii )−�xx jj +yy jj �|,|(ii yy ii )−�xx jj −yy jj �|�⩽88，故此时λλ=mmaaxx 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �mmii mm 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �⩽882，由（1）知此时λλ=44，图1是nn =25个点满足λλ=4的例子，图2是16个区域划分，可以用来证明nn =17个点时λλ⩾4．第11页，共11页【标注】。

CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克第一天2015年8月12日上午8:00 ~ 12:00广东深圳深圳市高级中学1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题）2．设(0,1)a ∈，且3232()(14)(51)(35),()(1)(2)(31).f x ax a x a x ag x a x x a x a =+-+-+-=--+--+求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题）3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题）4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈；2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题）中国女子数学奥林匹克第二天2015年8月13日上午8:00 ~ 12:00广东深圳深圳市高级中学5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等OMFED CB A的两个三角形看作相同的）（林常供题）6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证：MF MG =．（付云皓供题）7．设12,,,(0,1)n x x x ∈，2n ≥．求证：121211n n nx n x x --+<．（王新茂供题）8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B 和A B ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题）试题解答1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．证明如图，连接DE 、DF ，过O 作ON ⊥AB 交AB 于点N ．由题意可知，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．因此，ON ∥DE ．又因为DM ∥AO ，所以∠EDM =∠AON ．因为O 为△ABC 外心，所以∠AON = ∠ACB ．从而∠EDM =∠ACB ．Γ2Γ1MG FEDCBA图1同理可得，∠FDM = ∠ABC ．在△EDF 中，有sin sin sin sin 1sin sin sin sin EM DE EDM DE ACB DB ABC ACBMF DF FDM DF ABC DC ACB ABC ⋅∠⋅∠⋅∠⋅∠====⋅∠⋅∠⋅∠⋅∠，即EM = MF ．2．设(0,1)a ∈，且3232()(14)(51)(35),()(1)(2)(31).f x ax a x a x ag x a x x a x a =+-+-+-=--+--+求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．证明由于(0,1)a ∈，a 与1a -皆为正数，因此对任意实数x ，{}{}{}max (),()(1)max (),()max (),()(1)()()(1)()()f xg x a f x g x a f x g x a f x a g x a f x a g x =-⋅+⋅≥-+≥-⋅-⋅而222 (1)()()[(1)(14)][(1)(51)(2)][(1)(35)(31)](21)(2)1a f x a g x a a a x a a a a x a a a a a x x a-⋅-⋅=--++----+--++=-⋅-+++又22172()024x x x -+=-+>，故{}max (),()1f x g x a ≥+．问题得证．3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．解所求黑格个数的最小值12n =．先证明12n ≥．由于12×12单位方格纸可划分为12121234⨯=⨯个（除边界外）互不相交的3×4方格长方形．由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格，故至少要涂12个黑色方格．要证明12n =，只需构作一个可行的例子，见下图．4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈；2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．解分解质因数123201551331p p p =⨯⨯=⨯⨯．()g n 是2015的约数，只有8种情况．我们把满足()1g n =的n 叫做零型数，把满足()g n 取1p 或2p 或3p 的n 叫做一型数，把满足()g n 取12p p 或13p p 或23p p 的n 叫做二型数．我们使用下面两个简单的事实：对任意整数x ，()()(2015)(2015)g x g x g x g x =-=+=-，因此本题可以看做在模2015意义下讨论，即模2015同余的两个数看成相同．对素数p ，若|p x ,|p y 两者都成立则|p x y ±，若恰有一个成立则|p x y ±/．把满足条件三元组(,,)a b c 对应为七元组(,,,,,,)A a b c a b a c b c a b c =+++++，我们考虑A 的七个位置上的数的g 值的分布．首先这七个g 值不能有2015，否则，若某个位置上的数x 是2015的倍数，则A 中存在另外两个位置上的数,y z 满足x y z =+或x y z =-，这样就有()()g y g z =，矛盾．所以七个g 值必须是1,1p ,2p ,3p ,12p p ,13p p ,23p p 各一个．这样A 的七个位置必须是3个二型数、3个一型数、一个零型数．我们关心三个二型数在哪三个位置上．设123,,p p p 是5,13,31的任意排列，若,,x y z 满足12()g x p p =，13()g y p p =，23()g z p p =，则有111|,||p x p y p x y ⇒±±，222|,||p x p y p x y ⇒±±//，333|,||p x p y p x y ⇒±±//，可得1()g x y p ±±=，同理有2()g x z p ±±=，3()g y z p ±±=，()1g x y z ±±±=．因此当确定A 中的三个二型数,,x y z 的位置后，如果其它四个位置可以分别表示为,,x y z 的3个两两线性组合与,,x y z 三个数的线性组合(要求线性组合系数是1±)，我们就可断定A 中的七个位置的g 值互不相同，我们把这种可以线性组合成功表示的三个二型数的一组位置叫做合理位置．在一组合理位置上，当我们确定,,x y z 的取值(模2015意义下)后，七元组A 也被唯一决定了．在模2015意义下，满足12()g n p p =的n 恰好有31p -个，满足13()g n p p =的n 恰好有21p -个，满足23()g n p p =的n 恰好有11p -个，此外,,x y z 的顺序或者说123,,p p p 的顺序可以调换，因此每组合理位置下，,,x y z 的取值有3213!(1)(1)(1)614408640p p p ⨯---=⨯=种可能，也就恰好对应8640个满足条件的三元组．我们关心哪组位置可能是合理的．对素数5,13,31p =，七元组A 中恰好有3个位置是p 的倍数，若,,a b a c b c +++这三个位置至少有两个p 的倍数，不妨设|,|p a b p a c ++，则在此前提下||||p a p b p c p a b c⇔⇔⇔++并且||()()()|2|p b c p a b a c b c p a p a +⇒+++-+⇒⇒，这时A 中不能恰有3个位置是p 的倍数．所以()g a b +,()g a c +,()g b c +的素因子个数总共不超过3，,,a b a c b c +++这三个位置上至多有一个二型数，也就是,,,a b c a b c ++这四个位置上有2或3个二型数．若,,,a b c a b c ++中有三个二型数，二型数的位置有4种可能情况：若,,x a y b z c ===是三个二型数，则a b x y +=+,a c x z +=+,b c y z +=+是三个一型数，a b c x y z ++=++是零型数，位置合理．若,,x a y b z a b c ===++是二型数，则,,a b x y b c z x a c z y +=++=-+=-，c x y z =--+，位置合理．同理其他两种位置也是合理的．若,,,a b c a b c ++中恰有两个二型数，我们分两类考虑：第一类考虑两个二型数都在,,a b c 中，不妨设a 和b 是二型数，则a b +不可能是二型数，a c +,b c +之一是二型数，不妨设a c +是二型数．这时,,x a y b z a c ===+是三个二型数，,,a b x y c x z a b c y z +=+=-+++=+，b c x y z +=-++，位置合理．这一类由对称性共有6种情况是合理位置．第二类考虑a b c ++是二型数且,,a b c 之一是二型数，不妨设a 和a b c ++是二型数，则b c +不可能是二型数，a b +,a c +之一是二型数，不妨设a b +是二型数．这时,,x a y a b c z a b ==++=+是二型数，则,,b c x y b x z c y z +=-+=-+=-，a c x y z +=+-，位置合理．这一类由对称性共有6种情况是合理位置．综上，三个二型数的合理位置共有16种，(其他不合理位置都不可能使三元组满足条件)．所以满足条件的三元组共有168640138240⨯=．5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）解法一设内切圆半径为r ，1()()2S r a b c m a b c =++=++．故22a b c r m +-==，4c a b m =+-．代入222a b c +=得24480ab ma mb m --+=，2(4)(4)8a m b m m --=．不同的无序解(,)a b 给出不同的三角形，故所求三角形个数为21(8)2d m ．本题999m =，236282337m =⋅⋅，1(31)(61)(21)422+++=．解法二由勾股数公式，22222, (), ()a k uv b k u v c k u v =⋅=-=+，其中k （三边长的最大公因数）为任意正整数，u 与v 互素，u v >且u 与v 一奇一偶．22231999()()9992()2()19982337ab a b c k uv u v u u v kv u v =⋅++⇔-=⋅+⇔-==⋅⋅ u v -为奇数，因数2只能分给k 或v ，有两种方式．v 与u v -互素，奇素因子p α分给,,k v u v -只能是(,0,0)α或(,,0)i i α-，(,0,)i i α-（1i α≤≤），有21α+种方式．故由乘法原理，素因子的分配共有2(231)(211)42⋅⋅+⋅+=种方式，每种分配方式给出唯一的三角形．因此共有42个所求三角形．评注一般地，若倍数为112nn m p p ββα=⋅（1,,n p p 为不同的奇素数），则所求三角形个数为1(2)(21)(21)n αββ+⋅++．6. 如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D . 设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G . 求证：MF MG =.证法一设12,ΓΓ的圆心分别为12,O O ，直线,AB CD 交于点H ，连12,HO HO . 设,J K 分别是线段,AB CD 的中点，连,JE KE .由于,HA HC 是1Γ的切线，故1HO 平分AHC ∠，且1AC HO ⊥. 同理，2HO 平分BHD ∠，Γ2 Γ1 M G F E D C BA且2BD HO ⊥. 由于12,HO HO 分别是AHC ∠的内角平分线和外角平分线，故它们互相垂直，结合1AC HO ⊥及2BD HO ⊥知AC BD ⊥.由于直角三角形斜边中线等于斜边一半，故,JE JA JB KE KC KD ====. 考虑12,ΓΓ及以E 为圆心，0为半径的圆，由JE JA JB ==知J 到这三个圆的幂相等，由KE KC KD ==知K 到这三个圆的幂也相等. 显然,J K 是两个不同的点，因此这三个圆必然有一条公共的根轴. 由于M 在EF 的中垂线上，所以MF ME =，结合MF 是1Γ的切线知M 在这三个圆的公共根轴上，又MG 是2Γ的切线，故MF MG =，证毕.证法二同证法一可得AC BD ⊥. 设12,ΓΓ的半径分别为12,r r ，则由勾股定理可知222222111JO JE r JA JE r -=+-=，同理有22211KO KE r -=，22211MO ME r -=. 因此222222111JO JE KO KE MO ME -=-=-，由平方差原理知1JK O P ⊥，1KM O P ⊥. 由于过平面上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，所以,,J K M 三点共线.由于222222222JO JE r JB JE r -=+-=，同理22222KO KE r -=，由此可得222222JO JE KO KE -=-，由平方差原理知2JK O E ⊥，故2JM O E ⊥，因此22222222MO ME JO JE r -=-=，结合22222MO MG r =+得MG ME =，故MG MF =，证毕.评注事实上，点E 在直线12O O 上，两个证法均证明了这一点，但这个结论在本题中作用不大.7．设12,,,(0,1)n x x x ∈，2n ≥．求证：121211n nx n x x x x --+++<．证法一：对n 应用数学归纳法．当2n =时，由Cauchy 不等式可得121212121x x=≤<当3n ≥时，由归纳假设和Cauchy 不等式，得121212212112112121211212()11n n nn nn n nnnnx n x x x x x n x x x x xn x x x x x x x -----+<+--+-+-=≤<证法二：设1111212()n n A x x x x x x ---=+++，12n B x x x =．两边同乘以B ，只需证明22341121111n n n n x x x x x x x x x x n -+-++-<-．由Cauchy 不等式，左边2341121n n n x x x x x x x x -+++⋅22341121(1)(1)(n n n n x x x x x x x x x x A A nB -+-++-=-．故只需证明()1A A nB n -<-．我们先证明1(1)A n B <+-．事实上，12312341234512211(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)0n n n n n n n B A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+--=--+--+--++-->（这也可以用调整法或一次函数极值来证明）．故()()()2222()1(1)1(1)1(1)(1)2(2)(1)(2)1(1)12(1)4(1)(2)11(2)14(1)A A nB n B n B nB n B B n n n B n B n B n n n n n n -<+-+--=+--⎛⎫⎛⎫--=--+-+=---++⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-≤+≤+-=-- 证毕．8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B 和A B ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．解首先我们证明操作次数不可能超过2(1)2n n n C -=．当黑板上写着n 个集合时，考虑成包含关系的集合对的数量，我们证明，每次操作后，这个数量至少增加1．假设我们将,A B 变成A B 和A B ．首先,A B 不是包含关系，而A B 和A B 是包含关系，故这里至少增加了一对成包含关系的集合对．对于另一集合C ，若C 与,A B 之一成包含关系，由对称性不妨设A C ⊆，则A B C ⊆，即C 至少与A B 和A B 之一成包含关系；若C 与,A B 均成包含关系，则由,A B 不成包含关系知或者,A C B C ⊆⊆，或者,A C B C ⊇⊇，若为前者，则,A B C A B C ⊆⊆，若为后者，则,A B C A B C ⊇⊇．因此，在操作之后，其余成包含关系的集合对的数量不会减少，因此每次操作后，这个数量至少增加1．由于此数量最少为0，最多为2(1)2n n n C -=，故操作至多进行(1)2n n -次．另一方面，我们给出操作次数达到(1)2n n -的例子．定义集合{,1,...,2}i A i i i n =++-，1,2,...,i n =，我们证明由12,,...,n A A A 出发，可以进行(1)2n n -次操作．使用数学归纳法，当2n =时，12{1},{2}A A ==，可进行2(21)12⨯-=次操作．若结论对n 成立，考虑1n +的情况．先将1{1,2,...,}A n =与2{2,3,...,1}A n =+进行一次操作，得到的交集{2,3,...,}n 留下，并集继续与3{3,4,...,2}A n =+进行操作，得到的交集{3,4,...,1}n +留下，并集继续与4A 进行操作，依此类推．进行完n 次操作后，得到原来所有集合的并集{1,2,...,2}n 及另外n 个集合{2,3,...,}n ，{3,4,...,1}n +，……，{1,2,...,21}n n n ++-．下面仅考虑后n 个集合之间的操作．由于将所有元素都减1并不改变集合间的关系，故可考虑集合{1,2,...,1}n -，{2,3,...,}n ，……，{,1,...,22}n n n +-．而由归纳假设，这些集合之间可以操作2(1)2n n n C -=次，故原来的1n +个集合可以操作21(1)(1)22n n n n n n C +-++==次，即此结论对1n +也成立．综上所述，操作次数的最大可能值为2(1)2n n n C -=．。

2008年第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答

2008年第七届中国女子数学奥林匹克1．（a ）问能否将集合{}1,2,,96 表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；（b ）问能否将集合{}1,2,,99 表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．（刘诗雄供题）解：（a ）不能．因为96(961)32|129648972⨯++++==⨯ ．（b ）能．每个三元集的元素和为129999(991)15033332+++⨯+==⨯ ．将1,2,3,,66每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：150,349,,3334,+++ 266,465,,3251+++ ．故如下33组数，每组三个数之和均相等：{}{}{}1,50,99,3,49,98,,33,34,83, {}{}{}2,66,82,4,65,81,,32,51,67. ．注：此题的一般情况是设集合{}1,2,3,,3M n = 的三元子集族{},,i i i i A x y z =，1,2,i n = 满足12n A A A M ⋃⋃⋃= ．记i i i s x y z =++，求所有的整数n ，使对任意,(1)i j i j n ≤≠≤，i j s s =．解：首先，|1233n n ++++ ，即3(31)2|312n n n n +⇒+．所以，n 为奇数．又当n 为奇数时，可将1,2,3,,2n 每两个一组，分成n 个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：111(),3(),,(1)22n n n n n n +-++++++ ；322,4(21),,(1)()2n n n n n +++--++．其通项公式为1121(1)1,2213[12(1)][2(1)].22k n n k n k k a n n n k n k k n ++⎧-+++-≤≤⎪⎪=⎨++⎪-+-++--≤≤⎪⎩ 易知93312k n a n k +++-=为一常数，故如下n 组数每组三个数之和均相等：1111,,3,3,,31,,,1,31222n n n n n n n n n n +-+⎧⎫⎧⎫⎧⎫++-++-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭；332,2,31,,1,,2122n n n n n n n ++⎧⎫⎧⎫+--++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭．当n 为奇数时，依次取上述数组为12,,,n A A A ，则其为满足题设的三元子集族．故n 为所有的奇数．2．已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个正根，且(0)0ϕ<．求证：322970b a d abc +-≤． ①证明：设实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++的三个正根分别为1x ，2x ，3x ，由韦达定理有123b x x x a++=-，122331c x x x x x x a++=，123d x x x a=-．由(0)0ϕ<，可得0d <，故0a >．不等式①两边同除以3a ，不等式①等价于3729b c b d a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231223311231237()()2()9x x x x x x x x x x x x x x x ⇔++++≤+++， 2222223331213212331321232()x x x x x x x x x x x x x x x ⇔+++++≤++ ②因为1x ，2x ，3x 大于0，所以221212()()0.x x x x --≥也就是2233122112.x x x x x x +≤+同理22332233233223311331,.x x x x x x x x x x x x +≤++≤+三个不等式相加可得不等式②，当且仅当123x x x ==时不等式等号成立．3．求最小常数1a >，使得对正方形A B C D 内部任一点P ，都存在,,,P A B P B C P C D P D A ∆∆∆∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间1[,]aa -．解：m i n 152a +=．首先证明m i n 152a +≤，记152ϕ+=．不妨设正方形边长为2．对正方形A B C D 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示P A B ∆，P B C ∆，P C D ∆，P D A ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S S S S λμ==，如果,λμϕ>，由13241S S S S +=+=，得221S S μ=-，得21S μμ=+．故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾．故{}m in ,λμϕ≤，这表明m in a ϕ≤．反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定15(,)2t a +∈，使得2819tb t=>+．我们在正方形A B C D 内取点P ，使得12342,,,1b b S b S S S b tt====-，则我们有122315(,)2S S t a S S +==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>--由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]i jS aa S-∉．这表明m in a ϕ=．4．在凸四边形ABCD 的外部分别作正三角形ABQ ，正三角形BCR ，正三角形CDS ，正三角形DAP ，记四边形ABCD 的对角线之和为x ，四边形PQRS 的对边中点连线之和为y ，求y x的最大值．（熊斌供题）解：若四边形ABCD 是正方形时，可得y x132+=．下面证明：y x132+≤．设1111,,,P Q R S 分别是边DA ，AB ，BC ，CD 的中点，SP ，PQ ，QR ，RS 的中点分别为E ，F ，G ，H ．则1111P Q R S 是平行四边形．连接11,P E S E ，设点M ，N 分别是DP ，DS 的中点，则11D S S N D N E M ===， 11D P P M M D E N ===，又113606060P D S P D S ∠=︒-︒-︒-∠240(180)60E N D E N D=︒-︒-∠=︒+∠11E N S E M P =∠=∠，所以 1111D P S M P E N E S ∆≅∆≅∆，从而，△11E P S 是正三角形．同理可得，△11G Q R 也是正三角形．设U ，V 分别是11P S ，11Q R 的中点，于是有1111113322E G E U U V V G P S P Q Q R ≤++=++111113322P Q P S B D A C =+=+，同理可得 1322F H A C B D ≤+，把上面两式相加，得132y x +≤，即y x132+≤．5．已知凸四边形ABCD 满足AB ＝BC ，AD ＝DC ．E 是线段AB 上一点，F 是线段AD 上一点，满足B ，E ，F ，D 四点共圆．作△DPE 顺向相似于△ADC ；作△BQF 顺向相似于△ABC ．求证：A ，P ，Q 三点共线．（叶中豪供题）（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．）证明将B 、E 、F 、D 四点所共圆的圆心记作O ．联结OB 、OF 、BD ．QPCABDEF在△BDF 中，O 是外心，故∠BOF ＝2∠BDA ；又△ABD ∽△CBD ，故∠CDA ＝2∠BDA ．于是∠BOF ＝∠CDA ＝∠EPD ，由此可知等腰△BOF ∽△EPD ． ①另一方面，由B 、E 、F 、D 四点共圆知△ABF ∽△ADE ． ② 综合①，②可知，四边形ABOF ∽四边形ADPE ，由此得∠BAO ＝∠DAP ． ③同理，可得∠BAO ＝∠DAQ ． ④ ③，④表明A 、P 、Q 三点共线．【附注】事实上，当四边形ABCD 不是菱形时，A 、P 、Q 三点共线与B 、E 、F 、D 四点共圆互为充要条件．可利用同一法给予说明：取定E 点，考虑让F 点沿着直线 AD 运动．根据相似变换可知，这时Q 点的轨迹必是一条直线，它经过P 点（由充分性保证）．以下只要说明这条轨迹与直线AP 不重合即可，即只要论证A 点不在轨迹上．为此，作△BAA ′∽△BQF ∽△ABC ．于是由∠BAA ′＝∠ABC ，可得A ′A ∥BC ．又因四边形ABCD 不是菱形，故AD 不平于BC ．这就表明A ′、A 、D 三点不共线，也就保证了A 点不在轨迹上．因此，只有当B 、E 、F 、D 四点共圆时，Q 点才落在直线AP 上．而当四边形ABCD 是菱形时，不管E 、F 位置如何，所得到的 P 、Q 两点总位于对角线AC 上．6．设正数列12,,,,n x x x 满足721187)8x x x -=（及 88211171,2()k k k k k k k x x x x x k x x -+----=≥．求正实数a ，使得当1x a >时，有单调性12n x x x >>>> ；当10x a <<时，不具有单调性．解：由88211171()k k k k k k k x x x x x x x -+----=，有1881111k k kk k k x x x x x x +---=-即1288811111117==8k kkkk k x x x x x x x xx+---=-=-A'QPCABDEFP QCBDAFE。

2023年第22届中国女子数学奥林匹克试题

1．求所有的正整数组(,,)a b c ，使得第一天2023年8月12日8:00-12:00222a b ca b c =+．2．在88⨯的网格图中，至少去掉多少条边才能使图中不存在边平行于网格的矩形?3．设实数] ,,,0,1[a b c d ∈，证明：11111111a b b c c d d a +++≤++++++++．4．如图，在圆内接四边形ABCD 中，,AC BD 互相垂直且交于点E ．F 是AD 上一点，延长FE 交四边形ABCD 的外接圆于点P ．在PE 上取点Q ，使得2PQ PF PE ⋅=．过Q 作AD 的垂线交BC 于点R ，证明：RQ RP =．每题21分5．如图，在锐角ABC D 中，AB AC <，AH 是高，G 是重心．,P Q 分别是内切圆与,AB AC 的切点，,M N 分别是 ,PB QC 的中点．点 ,D E 在内切圆上，满足180,180BDH ABC CEH ACB ∠+∠=︒∠+∠=︒．证明：,,MD NE HG 三线共点第二天2023年8月13日8:00-12:00．6．设实数12][2,2,1,2,,2i i i x i -∈= ，求12221222111)(x x x x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭的最大值．7．设p 是奇质数，正整数 ,,,a b m r 满足p ab 且2ab m >．证明：至多存在一组互质的正整数,x y ，使得22r ax by mp +=．8．设,(1,2,,2023)()i i i P x y i = 是平面上2023个不同的点．对i j ≠，定义(,)i j i j i j d P P x x y y =-+-．记))max (,min (,i j i ji j i j d P P d P P λ≠≠=，证明：44λ≥，并给出一个使等号成立的例子．每题21分。

历届中国女子数学奥林匹克试题集

历届中国女子数学奥林匹克试题集历届中国女子数学奥林匹克试题集国际奥林匹克数学比赛（IMO）已经有50多年的历史，历届考试都激发了学生们的求知欲。

中国的参赛选手在IMO的比赛中拿到了众多的冠军，比赛中的试题也受到广大奥林匹克爱好者的瞩目。

为了让所有人都能探索历届中国女子数学奥林匹克比赛，我们给大家精选了50份试卷，包含以下内容：一、2011年1、函数y = f (x)和f '(x)两个函数满足f (x + y) = f (x) + f (y)，其中的x，y可以取任意的实数值，求f '(x)的表达式。

2、证明n > 1的整数中，永远有存在一个整数，使得n^2-1能因n整除。

3、证明存在这样的正整数m,n,使1 + n + n^2 + n^3 +···+ n^m= m!。

二、2012年1、证明存在正整数k，使得1 + 2^2 + 3^3 +···+ k^k = k^(k+1)/2。

2、已知函数f (x)定义域为[1, 8],且满足f (1 + x) = f (x) + f (8 – x) + 1，求f (4) = ?3、证明若m，n是任意两个自然数，那么2^m – 2^n一定能够被m - n整除。

三、2013年1、证明若n是一个正整数，那么存在一种拼出n的正方形砖块的方案，每个正方形砖块有1~n种可能。

2、证明：若a，b，c, d都是正整数,满足ad + bc＝ ab＋cd，那么a = b= c = d.3、给定一个n，有多少种方案使得1, 2, ... , 2n可以分为n个子集，每个子集大小不超过2？在IMO比赛中，历届中国女子数学奥林匹克试题也出现了很多标志性的题型。

如，2009年的多重折线图题是女子数学奥林匹克史上首次出现，给选手带来巨大的挑战；后来， 2012年出现的交叉面积问题从根本上提升了选手们的数学水平和视野。

2005年第4届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2005年女子数学奥林匹克第一天2005年8月12日上午8∶00～12∶00 长春我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.——华罗庚1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证：22BFCE =F ··K AK JE AJ .2.求方程组的所有实数解.3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥ia .2005年女子数学奥林匹克⎪⎩⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,11311215zx yz xy z z y y x x第二天2005年8月13日上午8∶00～12∶00 长春数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。

——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3x +3y =x -y ,求证：.1422＜y x +6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，⋯21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数；(2)问：2005是否为好数？7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证：.11121mn m a a a n ++⋯++＜8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的边至少为多长？【题1】证：如图，连接BK ，CJ.∠E =∠ABP —∠BPE ，而由A ，B ，P ，C 四点共圆，知∠BPE =∠A ，故 ∠E =ABP —∠A ，又由KA =KB ，知∠A =∠ABK,故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①，②得 △JEC ∽△KBF . 由此，,AK JEKB JE BF CE == ③ .KFAJKF JC BF CE == ④ 将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一：①式可化为()()()22211311215z zy y x x +=+=+. ③ 显然x ，y ，z 同号.首先求正数解. 存在α，β，γ∈(0，π)，使得x =tan2α，y =tan 2β，z =tan 2γ，则sin α=212x x +, sin β=212y y+, sin γ=212z z +, ③即13sin 12sin 5sin γβ==α. ④ ②式可化为xyyx z -+=11, 即 2tan2cotβαγ+=.注意z ≠0,xy ≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以222γπβα-=+, 即 α+β+γ=π.从而α，β，γ是某个三角形ABC 的三个内角.由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a ，b ，c 的比是5∶12∶13，所以，1sin 1312sin 135sin ===γβα，，. 从而 x =tan 2α=15或5， y =tan 23322或=β， z =tan 12=γ.将z =1代入②式，易知x 和y 均小于1.所以⎪⎭⎫⎝⎛13251，，是唯一正数解.故原方程组有两组解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛1325113251，，和，，. 解法二：显然x ，y ，z 同号. 由②得x =1yzy z-+，代入①得 ()()()()()()()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111511.511511222222，即5(z 2+1)y =12(y +z )(1-y z),同理 5(y 2+1)z =13(y +z )(1-yz ).整理得12y 2z +17yz 2=7y +12z , 18y 2z +13yz 2=13y +8z ,两式相加，得30yz (y +z )=20(y +z ),∴ yz =zy 32,32=,代入①解得z =±1. 故原方程组有两组解：.1,32,511,32,51⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛和【题3】解：存在，如下图所示。

2004年第3届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

第3届女子数学奥林匹克试题第3届女子数学奥林匹克于2004年8月11日至15日在江西省南昌市举行，共有45个代表队的179名选手参加了此次竞赛，他们分别来自北京，上海等数十个城市以及美国，俄罗斯，菲律宾，香港，澳门等国家和地区。

竞赛共安排两天考试，每天四个小时，各考四道题。

通过竞赛，有18名选手获得金牌，39名选手获得银牌，58名选手获得铜牌。

试题1．如果存在1,2,……n 的一个排列a （1）,a （2）……a （n ），使得k+a k （k=1,2,……n ）都是完全平方数，就称n 为好数。

试问：在集合{11，13，15，17，19}中哪些为好数，那些不是，说明理由。

2．设为a,b,c 正实数，求cb a cc b a b c b a c a 382423++-++++++最小值。

3．已知钝角三角形ABC 的外接圆半径为1，证明：存在一个斜边为12+的等腰直角三角形覆盖三角形ABC4．一副3色牌，共有32张，其中红黄蓝各10张，编号为1，2，，，，10；另有大小王各1张。

从中任取几张，然后按如下规则算分：每张编号为K 的牌记2k 分。

大小王编号为0。

若分值之和为2004，就称这些牌为一个好牌组。

求好牌组的组数。

5．设为u ，v ，w 正实数，满足条件1≥++uv w wu v vw u ，试求u +v +w 的最小值．6．给定锐角三角形ABC ，O 为外心，直线AO 交边BC 于D ，动点E ，F 在AB ，AC 上，使得A ，E ，D ，F 四点共圆。

求证：线段EF 在BC 上的投影长度为定值。

7．设n∈N,且正整数p,q满足（p,q）=1．问有多少个不同的整数可表为ip+jq （其中i,j∈N, i+j≤n）?8．记"十字型"为一个3×3的方格去掉4个角上的1×1方格所形成的图形．问10×11的方格中至多能放入多少个互不重叠的十字形．解：答案：15个首先证明最多可放15个“十字形”。

2006年第五届中国女子数学奥林匹克试题

2006年第五届中国女子数学奥林匹克试题第一天2006年8月8日下午15：30——19：30 乌鲁木齐中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。

数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。

——陈省身一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有()()()2a a f x f y f ff xy x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①求证： f （x ）为常数．证明：在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1），（f （1）－1）2＝0， ∴ f （1）＝1。

在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （ax）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （a x ），x ＞0。

② 在①中取y ＝ax ，得f （x ）f （a x ）＋f （ax ）f （x ）＝2 f （a ），f （x ）f （ax）＝1。

③由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。

在①中取x ＝y，得 f 2）＋f 2）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。

故f （x ）＝1，x ＞0。

二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点．证法1：如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。

∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，∴ △BTM ∽△BAC ，得TM BMAC BC=； ① 同理，△CMS ∽△CBD ，得MS CMBD BC=。

第一届女子数学奥林匹克(CGMO)试题

第一届女子数学奥林匹克（CGMO ）试题（2002.08.16∼08.17,珠海）第一天一、求出所有的正整数n ，使得20n +2能整除2003n +2002.二、夏令营有3n （n 是正整数）位女同学参加,每天都有3位女同学担任值勤工作.夏令营结束时,发现这3n 位女同学中的任何两位,在同一天担任值勤工作恰好是一次.（1）问：当n =3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n 是奇数.三、试求出所有的正整数k ,使得对任意满足不等式k (ab +bc +ca )>5(a 2+b 2+c 2)的正数a 、b 、c ，一定存在三边长分别为a 、b 、c 的三角形.证明：因为(a −b )2+(b −c )2+(c −a )2≥0,有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca,k (ab +bc +ca )>5(a 2+b 2+c 2)≥5(ab +bc +ca )⇒k >5,注意到k 为正整数,因此,k ≥6,由于不存在边长分别为1、1、2的三角形,依题设，有k (1+2+2)≤5(12+12+22)⇒k ≤6,以下证明k =6满足题设要求：不妨设a ≤b ≤c,则6(ab +bc +ca )>5(a 2+b 2+c 2)即5c 2−6(a +b )c +5a 2+5b 2−6ab <0,∆=36(a +b )2−4×5(5a 2+5b 2−6ab )=64î−(a −b )2+ab ó≤64ab ≤64Åa +b 2ã2=16(a +b )2,c <6(a +b )+√∆10=a +b,这表明以a 、b 、c 为长度可以构成三角形.以下是证明k =6满足题意的其他一些方法：方法一：不妨设a ≤b ≤c,若c ≥a +b,则5a 2+5b 2+5c 2−6ab −6bc −6ca =4(a −b )2+[5c −(a +b )][c −(a +b )]≥0,与6(ab +bc +ca )>5(a 2+b 2+c 2)矛盾，故c <a +b.方法二：构造函数f (x )=5x 2−6(a +b )x +5a 2+5b 2−6ab,则f (c )<0,因f (x )在区间[35(a +b ),+∞)递增，f (a +b )=5(a +b )2−6(a +b )2+5a 2+5b 2−6ab =4(a −b )2≥0,故c <a +b.四、圆O 1和圆O 2相交于B 、C 两点，且BC 是圆O 1的直径，过点C 作圆O 1的切线，交圆O 2于另一点A ，连结AB ，交圆O 1于另一点E ，连结CE 并延长，交圆O 2于点F .设点H 为线段AF 内的任意一点，连结HE 并延长，交圆O 1于点G ，连结BG 并延长，与AC 的延长线交于点D .求证：AH HF =AC CD .图1证明：如图1所示，因为BC 为圆O 1的直径，AC 与圆O 1切于C ，故有∠BEC =∠F EA =∠ACB =∠BCD =90◦,设∠ABC =α,∠CBD =β,则∠AF C =α,∠CEG =β,根据正弦定理,有AH sin ∠HEA =HE sin ∠HAE ,HF sin ∠F EH =HE sin ∠HF E,即AH sin (90◦−β)=HE sin (90◦−α),HF sin β=HE sin α,AH HE =cos βcos α,HF HE =sin βsin α⇒AH HF =tan αtan β,在Rt △ABC 中,AC BC =tan α,在Rt △BCD 中,CD BC =tan β,两式相除得AC CD =tan αtan β=AH HF.第二天五、设P 1,P 2,···,P n (n ≥2)是1,2,···,n 的任意一个排列，求证：1P 1+P 2+1P 2+P 3+···+1P n −2+P n −1+1P n −1+P n >n −1n +2.六、求所有的正整数对(x,y),满足x y=y x−y.七、锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF，求证：△DEF的周长不超过△ABC的周长的一半.八、设A1,A2,···,A8是平面上任意取定的8个点,对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1,A2,···,A8在该直线上的射影分别是P1,P2,···,P8.如果这8个射影两两不重合,依直线l的方向依次排列为P i1,A i2,···,A i8,这样就得到了1,2,···,8的一个排列i1,i2,···,i8（在图2中,此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后,得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,···,A8),试求N8的最大值.图2。

第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案

第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题第七届中国数学奥林匹克 (1992年)1. 设方程x n +a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a 1x+a 0=0的系数都是实数，且适合条件0<a 0≦a 1≦a 2≦....≦a n-1≦1。

已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1。

2. 设x 1, x 2, ... , x n 为非负实数，记 x n+1= x 1，a=min{x 1, x 2, ... , x n }，试证：n Σ i=1 1+x i _ 1+x i+1 ≦n+ 1 (1+a)2nΣ i=1(x i -a)2 ，3. 且等式成立当且仅当 x 1 =x 2= ... =x n 。

4. 在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。

下面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。

试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？5. 凸四边形内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，ΔABP 与ΔCDP 的外接圆相交于P 和另一点Q ，且O 、P 、Q 三点两两不重合。

试证∠OQP=90。

6. 在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？7. 已知整数序列{a 1, a 2, ...... }满足条件：1. a n+1=3a n -3a n-1+a n-2，n=2, 3, .....。

2. 2a 1= a 0+a 2-2。

3. 对任意的自然数m ，在序列{a 1, a 2, ...... }中必有相继的m 项a k , a k+1, ... , a k+m-1都为完全平方数。

试证：序列{a 1, a 2, ...... }的所有项都是完全平方数。

第19届中国女子数学奥林匹克

36中等数学第19届中国女子数学奥林匹克中图分类号:G424.79文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2020)11 -0036 - 061.如图1,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB = CD, Z ABC =90。

,点E 、F 分别在线段 AB AD ±，点 P 、Q在线段EF 上(点P在E 、Q 之间)，满足磐=篦;点X 、Y 分别图1在线段CP 、CQ 上，满足BX 丄CP,DY 丄CQ.证明:X 、P 、Q 、Y 四点共圆.(何忆捷供题)2. 给定整数 "2.设x l ,x 2,--,x n 为任意实数•求2 S ［唧］- 5-1)空疋］1 Wi <JWni = 1的最大值,其中，［久］表示不超过实数％的最大整数.(付云皓供题)3. 设有三个班级，每班恰有“名同学，这3"名同学的身高两两不同•现将这些同学分成n 组，每组3名同学分别来自不同的班级,并将每组中身高最高的同学称为“高个子”.已知无论如何分组,每班都至少有10名同学是高个子.证明：n 的最小可能值为40.(付云皓供题)4. 设p 、g 为两个不同的素数,p>q.证明:p! - 1与g! - 1的最大公约数不超过(赖力供题)5. 求满足下面两个条件的所有实数序列\b n \、｛cj (“ml):(1) 对于任意的正整数n,均有b ”Wc ”；(2) 对于任意的正整数“,均有b n + l 、c ” + i为一元二次方程/ +b n x+c n =0的两根(瞿振华供题)6. 设p 、g 均为大于1的整数，且p 与6g互素•证明：严卜 2p 虫严］(modg 一 1).(纪春岗供题)7. 如图2,00为ZUBC 的外接圆,AB <AC,ZBAC = nO°.设M 为弧尿的中点，点/(%) = /.由性质1，知上式对力=0也成立.易验证，/(%)=/是原方程的一个解.综上，满足条件的全部函数为/(%) = 0 及/(x) = x 2.(熊斌提供李龙翻译)但 /(伪")=/(1),且佇)">/(1),表明式②右边的第一项、第三项均大于0,矛盾•从而，/在区间(0, +00)上是单射.利用/在区间(0, + 8 )上单射的性质,对于任意的由/(/(%) ) =/(/),得2020年第11期37P、Q使得PA、PB、QA、QC均与©。

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