抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性

一、 抽象函数的对称性

定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象

关于直线x= 2a b

+对称。

推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)

（或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。

推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n

个根，则此n 个根的和为na 。

定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则

函数y=f (x) 的图象关于点(

,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数

y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。

定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2b a

-对称。

定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于点

(,)22b a c -对称。

性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2b

a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。

性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。

性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（2a

b -,0）对称。

二、抽象函数的周期性

定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为

周期的周期函数。

定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a

＋b ）为周期的周期函数。

定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)

为周期的周期函数。

定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)

为周期的周期函数。

定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。

性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a

－b)；

性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周

期2(a －b).

特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期

4(a －b).

特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。