港澳台联考数学真题 (含答案与详细解析)
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绝密★启用前
2015年中华人民共和国普通高等学校
联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） （）
（A） （B） （C） （D）
（2）设平面向量 ， ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
（2）设平面向量 ， ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
（3）设集合 ，若 至少有3个元素，则这样的 共有（）
（A） 个（B） 个（C） 个（D） 个
【答案】C
（4）设 是 的反函数，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
（5）设函数 在区间 是减函数，则 的最小值为（）
（3）设集合 ，若 至少有3个元素，则这样的 共有（）
（A） 个（B） 个（C） 个（D） 个
（4）设 是 的反函数，则 （）
（A） （B） （C） （D）
（5）设函数 在区间 是减函数，则 的最小值为（）
（A） （B） （C） （D）
（6）不等式 的解集为（）
（A） （B） （C） （D）
（7）已知函数 的图象关于直线 B
【解析】令 ，得 ，故 的最小值为 。
（8）函数 的图象按向量 平移后，所得图象对应的函数为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
（9）函数 的最大值为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
（10）直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则 的斜率为（）
（15）复数 的共轭复数 _______________．
（16） ， ， 为球 的球面上三点， ，若球 的表面积为 ， 到 ， 的距离均为3，则 到平面 的距离为____________．
（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面 的垂线，垂足为______________．
（18）若多项式 ， ，用 除 的余式为2， ___．
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（19）设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，求 和 ．
（20）设函数 ，当 时， 取得极值。
（ ）求 ；
（ ）求 的单调区间。
（21）已知数列 的前 项和 。
（ ）证明：数列 是等差数列；
（ ）求 的通项公式。
（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面 的垂线，垂足为______________．
【答案】
（18）若多项式 ， ，用 除 的余式为2， ___．
【答案】
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（19）设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，求 和 ．
（22）设 和 是抛物线 ： 上的两点，且 。
（ ）若 ，求直线 的方程；
（ ）证明：当点 ， 在 上运动时，线段 的垂直平分线过定点。
2015年港澳台联考数学试题解析版
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
（15）复数 的共轭复数 _______________．
【答案】
（16） ， ， 为球 的球面上三点， ，若球 的表面积为 ， 到 ， 的距离均为3，则 到平面 的距离为____________．
【答案】
【解析】球的表面积为 ， ，因此 ，同理 ，因为 ，所以△ 的外接圆的半径为 ，故 ．
【解析】因为 ，由正弦定理得， ，又 ，
故 ，解得 ，
由 ，故 ．
（20）设函数 ，当 时， 取得极值。
（ ）求 ；
（ ）求 的单调区间。
【解析】 的定义域为 ， ，
（ ）由 ，故 ．
（ ） ，令 ，得 ，故增区间为 ；
令 ，得 ，又定义域为 ，故减区间为 和 ．
（21）已知数列 的前 项和 。
（ ）证明：数列 是等差数列；
（A） （B） （C） （D）
（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共6小题；每题5分。
（13）点 关于直线 的对称点为_____________．
（14）曲线 在点 处的切线方程为_____________________．
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
二、填空题：本大题共6小题；每题5分。
（13）点 关于直线 的对称点为_____________．
【答案】
（14）曲线 在点 处的切线方程为_____________________．
（ ）求 的通项公式。
【解析】（ ）当 时， ，得 ，两边同时乘以 ，得 ，所以 ，即数列 是等差数列；
（ ） 时； ，解得 ，
由（ ）知， ，得 ．
（22）设 和 是抛物线 ： 上的两点，且 。
（A） （B） （C） （D）
（8）函数 的图象按向量 平移后，所得图象对应的函数为（）
（A） （B） （C） （D）
（9）函数 的最大值为（）
（A） （B） （C） （D）
（10）直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则 的斜率为（）
（A） （B） （C） （D）
（11）设等比数列 的前 项和为 ， 公比为 ，且 ，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】定理：在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则 .
证明：设M、N两点的坐标分别为 、 ，
则有
，得
又
，
利用上述结论，
（11）设等比数列 的前 项和为 ， 公比为 ，且 ，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
（6）不等式 的解集为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】方法一：特殊值法，取 ，不等式成立，排除B，D；再令 ，不等式不成立，排除C。
方法二：分段讨论法：当 时， ，解得 ；当 时， 恒成立．综上得， ．选A．
（7）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为（）
2015年中华人民共和国普通高等学校
联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） （）
（A） （B） （C） （D）
（2）设平面向量 ， ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
（2）设平面向量 ， ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
（3）设集合 ，若 至少有3个元素，则这样的 共有（）
（A） 个（B） 个（C） 个（D） 个
【答案】C
（4）设 是 的反函数，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
（5）设函数 在区间 是减函数，则 的最小值为（）
（3）设集合 ，若 至少有3个元素，则这样的 共有（）
（A） 个（B） 个（C） 个（D） 个
（4）设 是 的反函数，则 （）
（A） （B） （C） （D）
（5）设函数 在区间 是减函数，则 的最小值为（）
（A） （B） （C） （D）
（6）不等式 的解集为（）
（A） （B） （C） （D）
（7）已知函数 的图象关于直线 B
【解析】令 ，得 ，故 的最小值为 。
（8）函数 的图象按向量 平移后，所得图象对应的函数为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
（9）函数 的最大值为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
（10）直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则 的斜率为（）
（15）复数 的共轭复数 _______________．
（16） ， ， 为球 的球面上三点， ，若球 的表面积为 ， 到 ， 的距离均为3，则 到平面 的距离为____________．
（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面 的垂线，垂足为______________．
（18）若多项式 ， ，用 除 的余式为2， ___．
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（19）设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，求 和 ．
（20）设函数 ，当 时， 取得极值。
（ ）求 ；
（ ）求 的单调区间。
（21）已知数列 的前 项和 。
（ ）证明：数列 是等差数列；
（ ）求 的通项公式。
（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面 的垂线，垂足为______________．
【答案】
（18）若多项式 ， ，用 除 的余式为2， ___．
【答案】
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（19）设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，求 和 ．
（22）设 和 是抛物线 ： 上的两点，且 。
（ ）若 ，求直线 的方程；
（ ）证明：当点 ， 在 上运动时，线段 的垂直平分线过定点。
2015年港澳台联考数学试题解析版
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
（15）复数 的共轭复数 _______________．
【答案】
（16） ， ， 为球 的球面上三点， ，若球 的表面积为 ， 到 ， 的距离均为3，则 到平面 的距离为____________．
【答案】
【解析】球的表面积为 ， ，因此 ，同理 ，因为 ，所以△ 的外接圆的半径为 ，故 ．
【解析】因为 ，由正弦定理得， ，又 ，
故 ，解得 ，
由 ，故 ．
（20）设函数 ，当 时， 取得极值。
（ ）求 ；
（ ）求 的单调区间。
【解析】 的定义域为 ， ，
（ ）由 ，故 ．
（ ） ，令 ，得 ，故增区间为 ；
令 ，得 ，又定义域为 ，故减区间为 和 ．
（21）已知数列 的前 项和 。
（ ）证明：数列 是等差数列；
（A） （B） （C） （D）
（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共6小题；每题5分。
（13）点 关于直线 的对称点为_____________．
（14）曲线 在点 处的切线方程为_____________________．
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
二、填空题：本大题共6小题；每题5分。
（13）点 关于直线 的对称点为_____________．
【答案】
（14）曲线 在点 处的切线方程为_____________________．
（ ）求 的通项公式。
【解析】（ ）当 时， ，得 ，两边同时乘以 ，得 ，所以 ，即数列 是等差数列；
（ ） 时； ，解得 ，
由（ ）知， ，得 ．
（22）设 和 是抛物线 ： 上的两点，且 。
（A） （B） （C） （D）
（8）函数 的图象按向量 平移后，所得图象对应的函数为（）
（A） （B） （C） （D）
（9）函数 的最大值为（）
（A） （B） （C） （D）
（10）直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则 的斜率为（）
（A） （B） （C） （D）
（11）设等比数列 的前 项和为 ， 公比为 ，且 ，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】定理：在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则 .
证明：设M、N两点的坐标分别为 、 ，
则有
，得
又
，
利用上述结论，
（11）设等比数列 的前 项和为 ， 公比为 ，且 ，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
（6）不等式 的解集为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】方法一：特殊值法，取 ，不等式成立，排除B，D；再令 ，不等式不成立，排除C。
方法二：分段讨论法：当 时， ，解得 ；当 时， 恒成立．综上得， ．选A．
（7）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为（）