函数章末整合
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
三角函数章末归纳整合2
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
【例4】 如图所示，某市郊外景区内有一 条笔直的公路a经过三个景点A、B、C. 景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点D位于景点A的北偏东 30°方向上8 km处，位于景点B的正北 方向，还位于景点C的北偏西75°方向 上．已知AB＝5 km. (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路， 不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km)
3>8，应舍去， 所以 x＝4 3－3≈3.9，即这条公路的长约为 3.9 km.
AD AB (2)在△ABD 中，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin∠ABD sin∠ADB AD 4 sin∠ABD＝sin∠CBD＝ · sin∠ADB＝ ＝0.8，所以 cos∠CBD AB 5 ＝0.6.在△CBD 中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝ sin(∠CBD＋75° )＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得
(1)已知两角和任意一边，求另两边和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
网络构建 专题归纳 解读高考 高考真题
【例1】 在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，A＝30° ，求边 c 的长．
解
a b bsin A 3 由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ . sin A sin B a 2
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
3．正弦定理、余弦定理常用作为解斜三角形的工具，有时也 用于立体几何中的有关三角形的边、角的计算中．在三角 形中，常与三角函数的有关公式相联系，解决相关问 题．另外，解三角形问题易于与多种知识综合且在实际中 应用广泛，因而是高考考查的一个热点，题型一般是选择 题、填空题，也可能是中档难度的解答题． 4．在近几年的高考中大多数省份都在此知识点命题，估计今 后几年高考中，此知识点仍是考查的重点、热点，学习时 应引起重视．
2014年高中数学(思维启迪+状元随笔)第二章 基本初等函数Ⅰ章末高效整合同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
(2)由 (1)可知 x ＋ 1 2 1 1 1＋ f(x)＝ log ＝ log (x>1)， x － 1 2x－ 1 2 2 令 u(x)＝1＋ (x>1)，对任意的 1<x1<x2，有： x－ 1 2 2 1 ＋ u(x1)－ u(x2)＝1＋ － x － 1 x － 1 1 2 2x2－x1 ＝ . x1－1x2－1
[规范解答] (1)∵ f(x)为奇函数，∴f(－ x)＝－f(x)， 1＋ ax 1－ ax x－ 1 1 1 1 ∴ log ＝－ log ＝ log . 2－ x－ 1 2 x－ 1 21－ ax 1＋ ax x－ 1 ∴ ＝ ， －x－1 1－ ax 即 (1＋ax)(1－ax)＝－ (x＋ 1)(x－1)， ∴a＝－1(a＝ 1 舍去)．
1．点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运 算法则， 化简或求值是本章知识点的主要呈现方式． (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成 幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式， 再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达 到化繁为简的目的．
(2)根式的运算中， 有开方和乘方两种运算并存的情 况．此时要注意两种运算的顺序是否可换，如当 n m n m a≥0 时， a ＝( a) ，而当 a<0 时，则不一定可 换，应视 m，n 的情况而定．
2．点击对数运算 (1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的 和(差)化成积(商)的对数； 将积(商)的对数拆成对数 的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法． (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用 lg 5 ＋lg 2＝1 来求解． (3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简 求值． (4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的 对数符号都有意义时，等式才成立．
高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
第26章 反比例函数章末核心要点分类整合 人教版数学九年级下册复习课件(55张PPT)
章末核心要点分类整合
1. 双曲线y＝kx中k的几何意义：设P是双曲线y＝kx上任意一 点，过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为H，G，连接
PO(O为坐标原点)，则S△POH＝S△POG＝|2k|，S矩形PHOG＝|k|. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的步骤：一设、二代、
ax＋b与反比例函数y＝axb(a， b为常数且均不等于0)在同 一坐标系内的图象可能是 图26-1 中的( )
解题秘方：对a，b的取值分四种情况讨论，结合函数图象 进行判断. 解：分四种情况： (1)当a>0，b>0时， 一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、
二、三象限，此时反比例函数y＝
ab x
频率f /MHz 10
15
50
波长λ/m
30
20
6
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式； 解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝kf (k≠0). 把(10，30)代入上式，得1k0＝30，解得k＝300. ∴λ＝30f 0．
(2)当f＝75 MHz时，求此电磁波的波长λ .
解：当f＝75 MHz时，λ＝37050＝4(m). ∴ 当f＝75 MHz时，此电磁波的波长λ为4 m ．
解：∵
k＝5＞0，∴反比例函数y＝
5 x
的图象分别位于第一、
三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
又∵ A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝5x 的图象上，
∴ A(x1，－1)在第三象限，B(x2，1)，C(x3，5)在第一象限， 且x3＜x2. ∴ x1＜0，x2＞x3＞0. ∴ x1＜x3＜x2．
∵ A(－2 ，3)，B(3，－2)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴ቊ－3a2＋a＋b＝b＝－32，，解得ቊab＝＝－1. 1， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋1．
专题63 高中数学三角函数章末复习(原卷版)
专题63 三角函数章末复习一 知识系统整合二 规律方法1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2k π＋30°，k ∈Z ，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sin α＝yr ≠sin ×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2k π＋α(k ∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)π2±α，π±α，3π2±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f (x ＋T )＝f (x )应强调的是自变量x 本身加常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是f (2x )的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β，其变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)应用广泛；公式cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2常用来升幂或降幂．7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)主要掌握由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A ，ω，φ与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．考点一 三角函数的概念1．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．2．若角α的终边所在直线经过点P (－2,3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝－21313C ．sin α＝31313D ．tan α＝－323．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝_____.4．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是5．有一个扇形的弧长为π2，面积为π4，则该弧所对弦长为考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用1．若cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－53，则sin(－5π＋α)＝2．已知1－cos x ＋sin x1＋cos x ＋sin x ＝－2，则tan x 的值为3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )， 且cos α＝306，则|a －b |＝4．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，则sin α－cos α＝5．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2cos (－π＋α)的值为6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝7．已知3sin （π＋α）＋cos （－α）4sin （－α）－cos （9π＋α）＝2，则tan α＝8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.9．已知tan α＝－43，求下列各式的值：(1)2cos α＋3sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π.求： (1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.11．已知tan α＝－34.(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α的值．12．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．13．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x 的值为________．14．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于15．若sin θ＝33，则cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值为________．16. 已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n ∈Z)．考点三 三角恒等变换的综合应用1．化简1－2sin (π＋4)cos (π＋4)等于( )A ．sin4－cos4B ．cos4－sin4C ．－sin4－cos4D ．sin4＋cos42．2sin 215°－1的值是3．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝5．在3sin x ＋cos x ＝2a －3中，a 的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎝⎛⎦⎤－∞，12C.⎝⎛⎭⎫52，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－52，－12 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．7．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．8．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为10．已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________．11．求值：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°.12．化简：2sin130°＋sin100°(1＋3tan370°)1＋cos10°.13．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.14．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.15．求证：1＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝1＋tan α1－tan α.16．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x.17．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.18．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求cos β的值．19．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求： (1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．20．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．21．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．22．已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．23．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．24．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．25．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且－π4<α<π4，π4<β<3π4，求cos[2(α－β)]的值．考点四 三角函数的图象与性质1．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为______________．2．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是__________________．3．对于函数f (x )＝sin2x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为24．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝6．在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )A ．f (cos A )>f (cosB ) B ．f (sin A )>f (sin B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (sin A )<f (cos B )7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ是奇函数，当φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，φ的值为________．8．若函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π6对称，则a ＝________.9．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③10．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R)，下列说法错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为13．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<014．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )15．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为2π，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π≤x <0，sin x ，0≤x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－174π＝________.16．已知f (x )＝sin 2x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，则f (x )的值域为________．17．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是18．函数f (x )＝sin x (1－sin x )1－sin x的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又偶函数D ．非奇非偶函数19．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．20．已知|x |≤π4，求函数y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1的最小值．21．函数f (x )＝log 12cos x 的单调递增区间是___________．22．下列函数中，周期为4π的是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos2xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝sin x 223．已知函数f (x )＝log a cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(其中a >0，且a ≠1)． (1)求它的定义域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．24．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． ①求f (x )的单调区间；②若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．26．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点，求a 的取值范围．27．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π428．函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R)．(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．29．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．30．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到；(3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围．考点五 三角函数的图象变换问题1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π2B.π4C ．0D ．－π43．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式．5．如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？考点六 三角函数的应用1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P 的一直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.(1)将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？。
2014-2015学年高一数学必修1精品课件：1章 集合与函数概念 章末高效整合1
(3) 求函数值要“对号入座”，即先确定自变量所在定义
域，再按对应解析式求值；求函数值对应的 x 值，要将函数值 代入各解析式一一确定．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估
8．细解函数的单调性与奇偶性 单调性与奇偶性是函数的两个珠联璧合的重要性质．它们 之间的关系非常密切，相辅相成，但两者之间既有联系又有区 别． (1)单调性与奇偶性的区别 ①函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在
3．空集的透析 空集是不含有任何元素的集合．除了它本身的实际意义 外，在研究集合与集合之间的关系和运算时，必须予以单独考 虑． (1)空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的 真子集，因此∅⊆{0}和∅ {0}都成立． (2)对于任意集合A，都有A∩∅＝∅，A∪∅＝A，∁AA＝∅，∁A ∅＝A成立．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估
5．把握函数概念，重视构成要素 函数的三要素是定义域、对应关系、值域． (1)定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值集合． (2)对应关系f可以是解析式、表格、图象，对应函数的三 种表示方法——解析法、列表法、图象法． (3)函数的值域由自变量和对应关系确定．
区间之间应用“和”连接，而不能用“∪”． ②函数奇偶性的判断中应先求定义域，若定义域关于原点 对称，再依据定义判断奇偶性． ③对于奇函数，若它在x＝0处有意义，则它的图象必过原
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估
7．分段函数的深入理解 (1)分段函数是一个函数，而它的解析式表现为多个，依据
定义域来分段．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域
人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 章 末核心素养整合
=2sin(x+ + )+2sin - =-2sin - +2sin - =0.
(方法二)原式=sin xcos +cos xsin +2sin x·cos -2cos xsin
− cos cos x- sin sin x
=sin x+ cos x+sin x- cos x+ cos x-sin x=0.
D.先向左平移 个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长
到原来的 2 倍,纵坐标不变
答案:A
解析:由题图知 A=1,最小正周期
T= −
-
=π,
所以 ω= =2.所以 y=sin(2x+φ).
又图象过点 , ,
由“五点法”知 +φ=π,所以 φ=.所以 y=sin + .
f(α)=
.
(-)(--)
(1)化简 f(α);
(2)若 cos
=
,求
f(α)的值;
(3)若 α=-1 920°,求 f(α)的值.
解:(1)由题意,利用三角函数的诱导公式,
[-(+)]
-
化简得 f(α)=
=
=cos
-[-(+)]
所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+] (k∈Z).
章末整合2
章末整合专题总结专题一通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前n项的和．现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)12，34，78，1516，3132，…；(2)－12，34，－58，716，－932，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)1,3,6,10,15，….解析：(1)不难看出，各项的分母是2的n次幂，分子比分母小1，∴a n＝2n－1 2n.(2)观察数列的前5项发现如下规律：分子1,3,5,7,9与序号的关系是序号的2倍减1，即2n －1；分母2,4,8,16,32与序号的关系是2的序号次幂，即2n ，而各项的符号变化为负，正，负，正，…与序号的关系是(－1)n .所以数列的一个通项公式是a n ＝(－1)n ·2n －12n . (3)a n ＝39(10n －1)＝13(10n －1)． (4)a n ＝12n (n ＋1)． 总结点评：用观察法写出数列的通项公式．一般考虑如下几点：①考虑公式中是否有(－1)n 或者(－1)n －1部分．②考虑各项的变化规律与序号关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后，规律表现的不那么明显的项，同时注意等差、等比的关系．③应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方数列{n 2}与(－1)n 有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．【变式训练】1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，45，910，1617，…；(2)1，－13，17，－115，131，…；(3)34，78，1516，3132，…；(4)21,203,2005,20007，…；(5)0.2,0.22,0.222,0.2222，…；(6)1,0,1,0,1,0，…；(7)1，32，13，54，15，76，….解析：(1)∵各项的分子分别是12,22,32,42，分母比分子大1.∴数列的通项公式a n＝n2n2＋1.(2)奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1.∴数列的通项公式为a n＝(－1)n＋1·12n－1.(3)∵各项的分母分别是22,23,24,25，…，分子比分母小1，∴数列的通项公式为a n ＝2n ＋1－12n ＋1.(4)各项可看作21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2005＝2×1000＋5,20007＝2×10000＋7.∴数列的通项公式为a n ＝2×10n ＋(2n －1)．(5)把各项适当变形0.2＝2×0.1＝29×0.9＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0.22＝2×0.11＝29×0.99＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100， 0．222＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11000，0.2222＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110000，…， ∴数列的通项公式为a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (6)奇数项皆为1，偶数项皆为0∴数列的通项公式为a n ＝1＋(－1)n －12. (7)各项可看作1＝1＋0，32＝12＋1，13＝13＋0，54＝14＋1，15＝15＋0，76＝16＋1，…， ∴数列的通项公式为a n ＝1n ＋1＋(－1)n 2. 2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．前n 项和关系式有两种形式：一种是S n 与n 的关系式，记为S n ＝f (n )，它可由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)直接求出通项a n ，但要注意n ＝1与n ≥2两种情况能否统一；另一种是S n 与a n 的关系式，记为f (a n ，S n )＝0，求它的通项公式a n .例2记等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．解析：设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以得a1(q4－1)q－1＝1①a1(q8－1)q－1＝17②由①、②式得q8－1q4－1＝17，整理，得q4＋1＝17.解得q4＝16，所以q＝2或q＝－2.将q＝2代入①式，得a1＝115，∴a n＝2n－1 15；将q＝－2代入①式，得a1＝－1 5，∴a n＝(－1)n×2n－15.例3已知在数列{a n}中，a n>0，S n是数列{a n}的前n项和，且a n＋1a n＝2S n，求a n.解析：此题按一般方法转化为数列{a n}的递推公式难以求出通项a n，不妨利用a n ＝S n－S n－1(n≥2)先把它转化为数列{S n}的递推公式，先求S n，再求a n.对于a n ＋1a n＝2S n 且a n >0① 当n ＝1时，a 1＋1a 1＝2a 1，∴S 1＝a 1＝1. 当n ≥2时，把a n ＝S n －S n －1代入①得S n －S n －1＋1S n －S n －1＝2S n ，化简得S 2n －S 2n －1＝1.所以数列{S 2n }是以S 21＝a 21＝1为首项，公差d ＝1的等差数列，即S 2n ＝1＋(n －1)·1＝n .∵a n >0，∴S n >0，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1.而n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝n －n －1. 总结点评：对于已知S n ，求a n ，即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，必须验证n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)来表示． 【变式训练】2．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n(41－n)2，试求数列{|a n|}的前30项的和T30.解析：可利用通项与前n项和关系a n ＝S n－S n－1(n≥2)先求a n，再讨论a n的符号来求T30.a1＝S1＝3×1×(41－1)2＝60.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－3n＋63.∵n＝1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式a n＝－3n＋63.由a n＝－3n＋63≥0，得n≤21.即当n≤21时，a n≥0；当n≥22时，a n<0.∴T30＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＋…＋|a30|＝(a1＋a2＋…＋a21)－(a22＋a23＋…＋a30)＝S21－(S30－S21)＝2S21－S30＝2×3×21×(41－21)2－3×30×(41－30)2＝765.3．累差法和累商法(1)形如：已知a1且a n＋1－a n＝f(n)，f(n)为可求和数列的形式均可用累差法．(2)形如：已知a1且a n＋1a n＝f(n)，f(n)为可求和数列的形式均可用累商法．例4根据条件求通项公式a n.(1)已知a1＝1，a n＋1－a n＝2n－n，求a n；(2)已知a1＝1，a n＋1a n＝n＋2n，求a n.解析：(1)∵a n＋1－a n＝2n－n，∴a2－a1＝21－1，a3－a2＝22－2，a4－a3＝23－3，…，a n－a n－1＝2n－1－(n－1)．∴当n≥2时，a n－a1＝(21－1)＋(22－2)＋…＋(2n－1－n＋1)＝(2＋22＋…＋2n－1)－[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝2n－n(n－1)2－2.∵a1＝1，∴a n＝2n－n(n－1)2－1.而a1＝1也适合上式．故{a n}的通项公式为a n＝2n－n(n－1)2－1.(2)∵a n＋1a n＝n＋2n，∴a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53，…，a na n－1＝n＋1n－1，∴当n≥2时，a na1＝3·4·5·…·(n＋1)1·2·3·…·(n－1)＝n(n＋1)2.∵a1＝1，∴a n＝n(n＋1)2.而a1＝1也适合上式，故{a n}的通项公式为a n＝n(n＋1)2.总结点评：题设条件是递推公式．根据递推公式求通项公式，常用两种方法：其一，由递推公式求出前五项，然后根据前五项的规律猜想通项公式；其二，利用递推公式中表现出的规律求解，如差后累加，商后累积等．【变式训练】3．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝n n＋1a n，求通项a n.解析：∵a n＋1＝nn＋1a n对所有正整数均成立，即a n＋1a n＝nn＋1恒成立，∴a2a1＝12，a3a2＝23，…，a na n－1＝n－1n.以上各式累乘得a2a1×a3a2×…×a na n－1＝12×23×…×n－1n，即a na1＝1n.又∵a1＝1，∴a n＝1n，且a1适合a n.综上，通项为a n＝1 n.4．构造法形如：已知a1，a n＋1＝pa n＋q(p，q为常数)形式均可用构造等比数列法，即a n＋1＋x ＝p(a n＋x)，{a n＋x}为等比数列，或a n＋2－a n＋1＝p(a n＋1－a n)，{a n＋1－a n}为等比数列．例5若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝1 2a n＋1，求a n.解法1：∵a n＋1＝12a n＋1，∴a n＋2＝12a n＋1＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝12(a n ＋1－a n ) 令b n ＝a n ＋1－a n (n ＝1,2,3，…)，则b 1＝a 2－a 1＝32－1＝12，b n ＋1＝12b n ， 数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列．∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解法2：设a n ＋1－A ＝12(a n －A )， 则a n ＋1－12a n ＝－12A ＋A ， 根据a n ＋1＝12a n ＋1可得：－12A ＋A ＝1，即A ＝2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)． 令b n ＝a n －2，则b 1＝a 1－2＝－1，b n ＋1＝12b n ， ∴数列{b n }是以－1为首项，12为公比的等比数列．∵b n ＝b 1·q n －1＝(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴a n ＝2＋b n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解法3：(迭代法)a n ＝12a n －1＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －2＋1＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122a n －2＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －3＋1＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123a n －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋1 ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 总结点评：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．【变式训练】4．在正整数数列{a n }中，a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，求通项公式a n .解析：由递推关系式难以直接求其通项公式，此时，应设法构造辅助数列，使问题转化为等差或等比数列问题．∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2， 即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令c n ＝b n －2，则c n ＋1＝12c n ，且a 1＝1， ∴b 1＝0，c 1＝－2，∴{c n }为等比数列，∴c n ＝－2(12)n －1＝－(12)n －2. ∴b n ＝2－(12)n －2，a n ＝n-212-()22.专题二 前n 项和的求法数列中求前n 项和是数列运算中的重要内容，高考题多涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n 项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律．确定恰当的解题方法．常见的数列求和方法有以下几种：1．公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．例6数列{a n}的通项为a n＝2n＋1，则由b n＝a1＋a2＋…＋a nn所确定的数列{b n}的前n项和是()A．n(n＋2) B.12n(n＋4)C.12n(n＋5) D.12n(n＋7)解析：a1＋a2＋…＋a n＝S n＝n(a1＋a n)2即S n＝n(3＋2n＋1)2＝n(n＋2)，∴b n＝n(n＋2)n＝n＋2.令T n为数列{b n}的前n项和，则T n＝n(b1＋b n)2＝n(3＋n＋2)2＝n(n＋5)2.答案：C例7设数列{x n}满足log a x n＋1＝1＋log a x n(a>0，且a≠1，n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200的值为()A．100a B．101a2C．101a100D．100a100解析：由log a x n＋1＝1＋log a x n，得log a x n ＋1＝log a(ax n)，∴x n＋1x n＝a，即数列{x n}是公比为a的等比数列．设b1＝x1＋x2＋…＋x100，b2＝x101＋x102＋…＋x200，即在数列{x n}中每隔100项取和按原顺序排列构成新数列{b n}，则{b n}为等比数列，公比为Q＝a100.∴b2＝b1·Q＝100·a100.即x 101＋x 102＋…＋x 200＝100a 100. 答案：D总结点评：利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．【变式训练】5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75. 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1. ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为1 2.∴T n＝14n2－94n.2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：①1n(n＋k)＝1k·(1n－1n＋k)；②若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；③1n＋1＋n＝n＋1－n等．例8已知数列{a n}，且a n＝1(3n－2)(3n＋1)，求其前n项和．解析：∵a n＝1(3n－2)(3n＋1)＝13(13n－2－13n ＋1)， ∴前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3n －2)(3n ＋1) ＝13[(1－14)＋(14－17)＋(17－110)＋…＋(13n －2－13n ＋1)] ＝13(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1. 总结点评：本题将所求和式中的一项拆成两项，出现抵消项达到求和的目的，这种方法是裂项求和法，常见的拆项还有：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1b ＝a ＋1b ，1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)． 【变式训练】6．已知数列{a n }：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…，求它的前n 项和．解析：∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．例9求和：S n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋2n －12n . 解析：数列1,3,5，…，2n －1成等差数列，数列12，14，18，…，12n 成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．∵S n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n －1)×12n ① ∴12S n ＝1×14＋3×18＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1② ①－②得，12S n ＝1×12＋2×14＋2×18＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝1×12＋2×14－2×12n ＋11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n (n ∈N *)．总结点评：将通项公式a n ＝2n －12n 拆分成(2n －1)·12n ，2n －1为等差数列，12n 为等比数列，符合错位相减法的特点．【变式训练】7．利用等比数列前n项和公式的推导方法，求通项为a n＝nx n－1的数列的前n项和S n.解析：当x＝1时，S n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2；当x≠1时，S n＝1＋2x＋3x2＋…＋(n－1)x n－2＋nx n－1，①xS n＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)x n－1＋nx n.②①－②得(1－x)S n＝1＋x＋x2＋…＋x n－1－nx n＝1－x n1－x－nx n，∴S n＝1－x n(1－x)2－nx n1－x.4．倒序相加法当数列{a n}满足a k＋a n－k为常数时，可用倒序相加法来求数列{a n}的前n项和．例10设f (x )＝4x4x ＋2，求和S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008. 解析：因为f (x )＝4x4x ＋2， 所以f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝44＋2·4x ＝24x ＋2， 所以f (x )＋f (1－x )＝1.所以S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20062008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008.② ①＋②得2S ＝2007.所以S ＝20072. 总结点评：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．【变式训练】8．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 13＝M ，a n ＋a n －1＋…＋a n －12＝N ，求S n .解析：(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋…＋(a13＋a n－12)＝M＋N而a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a13＋a n－12＝M＋N13，∴S n＝(a n＋a1)n2＝(M＋N13)·n2.5．分组求和法如果一个数列中连续等段的和具有一定的规律性，则可考虑分组求和．分组求和实际上就是通过“拆”和“组”的手段把问题化归为可求或易求和的数列问题．解题时要依据段的特点，对n的取值进行讨论．例11求和S n＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n·(2n－1)．解析：n为偶数时，S n＝2×n2＝n；n为奇数时，S n＝2×n－12＋(－1)n·(2n－1)＝n－1－(2n－1)＝－n.∴S n＝(－1)n·n.总结点评：S n＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋……把每二项分成一组，其和为常数，便于求解，但注意项数，因此分为奇数和偶数讨论．【变式训练】9．(1)求数列112，214，318，…，(n ＋12n )的前n 项和；(2)求和S n ＝3＋33＋…＋33...3n 个.解析：(1)S n ＝112＋214＋318＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋1－12n . (2)a n ＝33...3n 个＝39×99...9n 个＝13(10n －1)． ∴S n ＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n －1)＝13(10＋102＋…＋10n )－n 3＝13×10(1－10n )1－10－n 3＝1027(10n －1)－n 3.专题三思想方法1.函数与方程的思想数列是特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题．比如求等差数列前n项和S n的最值，常转化为关于n的二次函数求最值或数形结合利用函数图象求最值．等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中含有a1，n，d(q)，a n，S n这五个基本量，已知其中任三个，通过解方程组可以求出其余两个．例12数列{a n}共七项，其中a1，a3，a5，a7成等差数列，其和为S；a2，a4，a6成等比数列，若S－a2·a6＝42，a1＋a4＋a7＝25，求a4.解法1：S＝a1＋a3＋a5＋a7，∵a1＋a7＝a3＋a5，∴2(a1＋a7)＝S.又a1＋a4＋a7＝25，∴a4＝25－(a1＋a7)＝25－S 2.∵a2，a4，a6成等比数列，∴a 24＝a 2a 6，又a 2a 6＝S －42，即a 24＝S －42，∴(25－S 2)2＝S －42，即S 2－104S ＋2668＝0，∴S ＝46或S ＝58，∴a 4＝±2或a 4＝±4. 检验知a 4＝－2或a 4＝4不合题意， 故a 4＝2或a 4＝－4.解法2：由解法1可知a 4＝25－S 2， ∴S ＝50－2a 4，又a 2·a 6＝a 24，代入S －a 2·a 6＝42， 可得50－2a 4－a 24＝42，即a 24＋2a 4－8＝0，解得a 4＝2或a 4＝－4.例13在等差数列{a n }中，首项a 1>0，S n 是其前n 项的和，且S 3＝S 10.问当n 等于多少时，S n 的值最大？最大值是多少？解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝S 10，得3(a 1＋a 1＋2d )2＝10(a 1＋a 1＋9d )2，则d ＝－16a 1.所以S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝na 1＋12n (n －1)(－16a 1)＝－112a 1(n －132)2＋16948a 1， 故当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值，最大值为72a 1. 总结点评：数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作是以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题是常用的思想方法．【变式训练】10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n为数列{S n n }的前n 项和，求T n 的最大值． 解析：列方程组可求得S n ，继而求得T n ，把T n 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . ∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝2115a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝3a 1＋7d ＝－5，解得a1＝9，d＝－2.∴S n＝na1＋n(n－1)2d＝9n－(n2－n)＝10n－n2.则S nn＝10－n.∵S n＋1n＋1－S nn＝－1，∴数列{S nn}是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n＝n·[9＋(10－n)]2＝－12n2＋192n＝－12(n－192)2＋3618.∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，T n有最大值45.2．整体思想整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想．整体思想的灵活运用，通常可将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简捷．例14在等比数列{a n}中，前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求S30.解析：易知公比q≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝a 11－q (1－q 10)＝10 ①S 20＝a 11－q (1－q 20)＝30 ②. ②÷①，得1＋q 10＝3，即q 10＝2，代入①，得a 11－q ＝－10.故S 30＝a 11－q(1－q 30)＝－10×(1－23)＝70.总结点评：在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部分为一个整体，采用整体代换，整体消元，可以大大减少运算量，提高解题速度．【变式训练】11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3 解析：{a n }为等比数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…成等比数列，令S 3＝k .∵S 6S 3＝3，S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k . S 9－S 6＝4k ，∴S 9＝7k ，S 9S 6＝73，故选B.答案：B3．分类讨论的思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决．分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗．例15在数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，3n (n 为偶数)，求其前n 项和S n . 解析：显然奇数项组成等差数列且公差为4，偶数项组成等比数列且公比为9.①当n ＝2m (m ∈N *)时，S n ＝1＋5＋…＋(4m －3)＋9＋92＋…＋9m ＝m (4m －2)2＋9(1－9m )1－9＝n (n －1)2＋98(3n －1)． ②当n 为奇数时，则n －1为偶数，∴S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)(n －2)2＋98(3n －1－1)＋2n －1＝n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)． 综合上述可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n －1)2＋98(3n －1)(n 为偶数)，n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)(n 为奇数).总结点评：解答本题时容易误认为其公差为2，公比为3.因此在分析情景比较新颖的数列问题时，最好是从特例入手，也就是先写出该数列的前几项．【变式训练】12．求数列1，－22,32，－42，…，(－1)n －1n 2，…的前n 项和．解析：①当n 为偶数时，S n ＝(1－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋[(n －1)－n ]·[(n －1)＋n ]＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ]＝－n (n ＋1)2. ②当n 为奇数时，则n －1为偶数，∴S n ＝S n －1＋n 2＝－(n －1)n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 综合①②可知：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n (n ＋1)2(n 为偶数)n (n ＋1)2(n 为奇数).4．转化思想转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法．数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决．例16设a 0是常数，且a n ＝3n －1－2a n －1(n ∈N *)．证明：对任意n ≥1，都有a n ＝15[3n ＋(－1)n －1·2n ]＋(－1)n ·2n a 0.证明：这里a n －1的系数是－2，无法直接用递推法求解．先将已知递推式的两边同除以3n －1得到a n 3n －1＝1－2a n －13n －1，即3·a n 3n ＝1－2·a n －13n －1.若令b n ＝a n 3n ，则有3b n ＝1－2b n －1.设3(b n ＋k )＝－2(b n －1＋k )，即3b n ＝－5k －2b n －1，∴－5k ＝1，即k ＝－15.于是b n －15b n －1－15＝－23， 即{b n －15}是以b 1－15为首项，公比为－23的等比数列．∴b n －15＝(b 1－15)(－23)n －1＝(a 13－15)(－23)n －1＝(1－2a 03－15)(－23)n －1， ∴a n ＝3n [2－10a 015·(－23)n －1＋15]， ∴a n ＝15[3n ＋(－1)n －1·2n ]＋(－1)n ·2n a 0(n ≥1)．总结点评：有些数列虽然不是等差数列或等比数列，但可以通过变形，化简，转化为等差数列或等比数列问题进行解决．【变式训练】13．已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n≥1，n∈N*)，求通项a n.解析：由已知条件得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴a n＋1＋1a n＋1＝2(n≥1，n∈N*)．∴数列{a n＋1}是一个公比为2的等比数列，且首项为a1＋1＝2，∴a n＋1＝(a1＋1)·q n－1＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n－1.。
高一数学必修一《函数》章节整合
2.
3. 幂函数在第一象限内直线 x=1 的右侧，顺时针旋转指数逐渐变小。 二、幂函数单调性的应用 1. 利用单调性比较大小
1) a=( )3 ,
3
4 1
b=(2)3 ,
2
c= (− )3
3
2
, d=( )2 的大小顺序为
4
3 1
2.
利用单调性解不等式 2) 已知幂函数
y= x m²−2m −3 (m ∈ N + ) 的 图 像 关 于 1）
若
五、 含参数的函数奇偶性的判断 1) 判断 f(x)= x + a − x − a (a∈ R)的奇偶性
2) 判断函数 f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈ R, x ∈ R)的奇偶性
3) 已知函数 f(x)=x²+ x − a +1（a∈ R，x ∈ R），试判断 f(x)的奇偶性
抽象函数奇偶性的判定（另见文档） 抽象函数单调性与奇偶性的综合应用（另见文档） 六、 函数单调性与奇偶性的综合应用 1. 函数 f(x)=1+x 2 是定义在（-1,1）上的奇函数，且 f(2)=5. 1) 确定函数 f(x)的解析式 2) 用定义法证明：f(x)在（-1,1）上是增函数 3) 解不等式：f(t-1) +f(t)<0
x² − 2x + 3，（x > 0） 判断函数 f(x)= 0，（x = 0） x² − 2x − 3，（x < 0） 的奇偶性
函数奇偶性的应用 一、 利用函数奇偶性求函数值 1) 已知 f(x) ， g(x)都是定义在 R 上的奇函数，且 F(x)=3 f(x)+5 g(x)+2,若 F（a）=b，则 F（-a）= 2) 设函数 f(x)=ax ³ +cx+d 的图像如图，则 f(-1)+ f(1)= 3) 已知函数 f(x)为奇函数， g(x)= f(x)+9， g(-2)=3， 则 f(2)= 二、 利用函数奇偶性求解析式 1) 已知定义在 （-∞， +∞） 上的函数 f(x)的图像关于原点对称， 且当 x> 0时， f(x)=x²-2x+2，求函数 f(x)的解析式。 2) 设函数 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且 f(x)+ g(x) =x −1，求 f(x) 和 g(x)的解析式 三、 利用函数奇偶性求参数的值 1) 若函数 f(x)=ax²+bx+3a+b 是定义在 a − 1,2a 上的偶函数， 求 a,b 的值。 2) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)=x 2 +nx +1,求 n,m 的值。 3) 若函数 f(x)=x 2 − x + a 为偶函数，求实数 a 的值。 四、 利用奇函数、偶函数图像的对称性解题 1) 已知 y= f(x)和 y= g(x)都是定义在 −π ，π 上的函数，y= f(x)是偶 函数， y= g(x) 是奇函数， x ∈ 0，π 上的图像如图所示，求不等式
基本初等函数末专题整合
对数函数的应用举例
求解方程
对数函数可以用于求解一些方程，例如求解指数 方程。
金融计算
在金融学中，对数函数被广泛应用于计算复利、 折现等。
统计学
在统计学中，对数函数被用于对数据进行正态分 布或泊松分布的转换。
06
三角函数的性质与应 用
正弦函数的性质与应用
定义域：实数集 值域：[-1, 1]
周期性：最小正周期为2π
基本初等函数末专题整合
汇报人： 日期:
目录
• 函数与导数基础 • 一次函数的性质与图像 • 反比例函数的性质与图像 • 幂函数的性质与图像 • 对数函数的性质与图像 • 三角函数的性质与应用 • 极坐标系与极坐标方程
01
函数与导数基础
函数的概念与性质
01
02
03
函数的定义
函数是定义在非空数集之 间的一种对应关系，对于 每一个输入值，都有唯一 的输出值与之对应。
在一些情况下，我们可能需要计算幂函数的近似值。这时，我们可以使用泰勒级数来进行计算。例如，对于 $e^x$，其泰勒级数展开式为$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。
05
对数函数的性质与图 像
对数函数的概念与性质
定义域与值域
对数函数的定义域为正实数， 值域为实数。
定义域：实数集 值域：[-1, 1]
周期性：最小正周期为2π
余弦函数的性质与应用
奇偶性：偶函数
导数：$f'(x) = -\sin x$，在区间(0, π/2)上单调递增，在区间(π/2, π)上 单调递减
有界性：在区间[0, π]上单调递减， 在区间[π, 2π]上单调递增
应用：在信号处理、电力、声学等领 域都有广泛的应用，如滤波器、调制 器、反射等
高中数学第二章函数章末小结课件北师大版必修1
(2)函数的定义域是 R ，设 x2＝t，则 t≥0. 则 y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，t≥0. ∵y＝(t＋1)2－3 在 t≥0 上是单调递增的， ∴当 t＝0 时，y 取最小值－2. ∴函数 y＝x4＋2x2－2 的最小值为－2. ∴y≥－2，故值域为[－2，＋∞)． 1 (3)法一：由函数的解析式可知，1－2x≥0，∴x≤ . 2 1 －∞， ∵函数 y＝x，y＝－ 1－2x在 2 上均单调递增， 1 －∞， ∴函数 y＝x－ 1－2x在 2 上均单调递增，
[对点训练]
1．解答下列各题： (1)已知 f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当 x ＞ 0 时， f (x )＝x 2－ x ＋1，求 f (x )的解析式； (2)若 f (x )＝x 2－2x ，g(x )＝ x 2＋1，求 f (g(x ))的解析式； 1 (3)已知 f (x )＋ 2f ( )＝3x ，求 f (x )的解析式； x (4)若 f (x )＝f (－x )·x ＋10，求函数的解析式 f (x )．
a＋1 4a＋1 解：(1)由 f(1)＝2，得 ＝2.由 f(2)<3，得 <3. b＋c 2b＋c ∵f(x)为奇函数，故 f(x)的定义域关于原点对称， c xx≠－ 又 f(x)的定义域为 b (显然 b≠0， 否则 f(x)为偶函数)， c ∴－ ＝0，即 c＝0. b
解：(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0. 当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋x＋1＝x2＋x＋1， 即－f(x)＝x2＋x＋1，∴x＜0 时，f(x)＝－x2－x－1. x2－x＋1 x＞0 ， ∴f(x)＝ 0 x＝0 ， －x2－x－1 x＜0 .
(2)f(g(x))＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＝x4－1. 1 1 3 (3)由 f(x)＋2f( )＝3x，知 f( )＋2f(x)＝ . x x x 1 2 由上面两式联立消去 f x ，可得 f(x)＝ －x. x (4)由 f(x)＝f(－x)·x＋10，知 f(－x)＝f(x)·(－x)＋10， 联立两式消去 f(－x)，得 f(x)＝－f(x)·x·x＋10x＋10， 所以 f(x)＝ 10x＋10 . 2 x ＋1
九年级数学上二次函数章末整合提升训练专训1利用二次函数解决问题的四种类型浙教
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？ 并求该三角形面积的最小值．
＝－54，c＝5.故抛物线的表达式为 y＝－54x2＋5.当 x＝1 时，y＝145； 当 x＝32时，y＝3156.故1，145，32，3156两点在抛物线上． 当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，桶高为 0.3×5＝1.5＝32(米)． ∵32＜145且32＜1365，∴网球不能落入桶内．
(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？
解：∵AB＝x m，∴BC＝(24 －3x) m，此时S＝x(24－3x) ＝－3x2＋24x.
(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？
解：由已知得－3x2＋24x＝45，整理可得 x2－8x＋15＝0.解得 x1＝5，x2＝3. ∵0＜24－3x≤10，得134≤x＜8， ∴x2＝3 不符合题意，故 AB＝5 m.
－S△ CDF－S△ ADG＝12(AG＋FC)·FG－12FC·FD－12DG·AG ＝12(y＋y＋2)×4－12(y＋2)·x－12(4－x)·y＝2y－x＋4.
将 y＝－12x2＋52x－2 代入，得 S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x －2)2＋4，当 x＝2 时，y＝1，此时 S△ACD 最大，最大值为 4.∴ D(2，1)．∵S△ACD＝12AC·DE，AC＝2 5，∴当△ ACD 的面积最 大时，高 DE 最大，则 DE 的最大值为1 4 ＝1 4 ＝4 55.∴当
1章章末归纳总结
1章章末归纳总结优思教辅共享课件分享人：唐一博人教版选修2-2 第一章数学C1版课件CONTENTS 导数的概念及几何意义的应用01利用导数研究函数的单调性02利用导数研究函数的极值和最值03目录利用导数求参数的取值范围0405导数的实际应用06定积分及应用1.导数的概念对于函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率，即ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx 有极限，我们就说y＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，即y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .函数y＝f(x)的导函数f′(x)，就是当Δx→0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx之间的比值ΔyΔx的极限，即f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．导数的意义(1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x))处的切线的斜率k，即k＝f′(x)．(2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，运动物体在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝v′(t)．3．利用导数的几何意义求切线方程利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x，y)得y 0－y1＝f′(x1)(x－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y)的切线方程．[例1]设f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率．[分析]根据导数的几何意义可知，欲求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率，即求f′(1)，即可得所求斜率．[解析] ∵f (x )为可导函数，且lim x →0 f (1)－f (1－x )2x＝－1， ∴12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝－1，即12f ′(1)＝－1，∴f ′(1)＝－2.因此y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为－2.[例2]已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．[分析]直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．[解析](1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，∴3x20－3＝0，∴x0＝±1，当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：∵f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0，或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.1.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减，求函数的单调区间转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.[例3](2010·山东文，21)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－a x－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．[分析]本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．[解析] (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.(2)因为f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，有x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增；②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(1a－1)]，(ⅰ)当a＝12时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减；(ⅱ)当0<a <12时，1a －1>1>0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )递减；x ∈(1，1a －1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )递增；x ∈(1a －1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )递减；③当a <0时，由1a －1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )递减x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增；当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上递减；当0<a <12时，f (x )在(0,1)上递减，在(1，1a －1)上递增，在(1a－1，＋∞)上递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚.利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．[例4]已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．[解析](1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．因此f(x)在x＝1处取极小值－4，在x＝3处取得极大值．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－4f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0f ′(3)＝27a ＋6b ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝6，c ＝－9，∴f (x )＝－x 3＋6x 2－9x .则f (x )在x ＝3处取得极大值f (3)＝0.(2)g (x )＝－3(x －1)(x －3)＋6(m －2)x＝－3(x 2－2mx ＋3)，g ′(x )＝－6x ＋6m ＝0，得x ＝m .①当2≤m ≤3时，g (x )max ＝g (m )＝3m 2－9；②当m <2时，g (x )在[2,3]上是递减的，g (x )max ＝g (2)＝12m －21；③当m >3时，g (x )在[2,3]上是递增的，g (x )max ＝g (3)＝18m －36.因此g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12m －21 (m <2)3m 2－9 (2≤m ≤3)18m －36 (m >3).已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．[例5]设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．(1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b .因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2取得极值，所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝024＋12a ＋3b ＝0，解得a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.因此c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞).利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[例6]某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出L的最大值Q(a)．[解析] (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x (元)的函数关系式为：L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x 1＝6＋23a 或x 2＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′(x )的值由正变负，故①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )．②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a －3－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3.∴Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9(6－a )，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3，92≤a ≤5.答：若3≤a <92时，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3(万元).利用定积分求曲边梯形的面积、变力做功等问题，要注意用定积分求曲边梯形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)解方程组确定积分区间；(3)根据图形的特点确定积分函数；(4)求定积分．[分析]本题考查定积分知识．[例7] 设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎜⎛01f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为____________．[答案] 33[解析] 由⎠⎜⎜⎛01f (x )dx ＝⎠⎜⎜⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c (a ≠0)，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.[例8]计算由y 2＝x ，y ＝x 2围成的图形的面积．[解析] 为确定图形的范围，先求两曲线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x y ＝x 2得出交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此所求图形的面积S ＝⎠⎜⎜⎛01x d x －⎠⎜⎜⎛01x 2d x 对于⎠⎜⎜⎛01x d x ，取F 1(x )＝23x 32，对于⎠⎜⎜⎛01x 2d x ，取F 2(x )＝13x 3.则S ＝[F 1(1)－F 1(0)]－[F 2(1)－F 2(0)] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0＝13.∴所求图形面积为13.祝学业有成优思教辅整理课件-优思网校-让课堂无处不在THANKS。
高中数学 第三章 函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学
第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。
八年级数学上册第4章一次函数章末整合练新版北师大版
一次函数
章末整合练
CONTENTS
目
录
01
知识梳理
02
核心考点巩固
考点1 函数的概念
1. 下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是(
A
B
1
2
3
C
4
5
6
7
C
)
D
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知函数 y ＝(1－3 m ) x ＋ － m2是正比例函数，那么 m
的取值是(
B
解得 x ＝8；小轮从甲地返回后到追上小辅时，50 x －100＝
150( x －10)，解得 x ＝14.
所以小轮出发7 min，8 min或14 min，与小辅相距100 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以∠ BOE ＝∠ BEO ，∠ COF ＝∠ CFO .
所以 BO ＝ BE ， CO ＝ CF .
所以△ ABC 的周长＝ AB ＋ BO ＋ OC ＋ AC ＝ AB ＋ BE
＋ CF ＋ AC ＝ AE ＋ AF .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为△ AEF 的周长为8， EF ＝ x ，△ ABC 的周长为 y ，
1
2
3
4
5
6
7
8
第二章 章末整合-高中同步学案优化设计数学A版必修第一册配人教版教学课件
1)x-1=0有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知x1+x2=
由题意知x1+x2=0,∴k=1.
−1
,
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(3)解 当 k>0 时,x1=1,x2=- <0,不符合题意;
1
- > 2,
1
1
当-1≤k<0 时,x1=- ,x2=1,2< <3,得 1
解得-2<k<-3;当 k<-1
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;
(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.
解 (1)由不等式 y>0 的解集为{x|-3<x<1},可知方程 ax2+(b-2)x+3=0 的两
3
(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-2成立?若存在,求出 k 的值;若不存
三角函数 章末整合提升5
所以 tan α＝－13，
因为－π2<α<0，所以 sin α＝－ 1100， 则2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝2si2n2αcossinαα＋＋－2 5
5 .
(2)原式＝2s－in2π4s－in2xxccooss22xπ4＋－12x＝2sin12π41－－xscino2s2xπ4－x cosπ4－x
三角函数性质的综合问题 [规范答题]
数)．
(12 分)已知函数 f(x)＝sinx＋π6＋sinx－π6＋acos x＋b(a，b∈R，且均为常
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)若 f(x)在区间－π3，0上单调递增，且恰好能够取到 f(x)的最小值 2，试求 a，b 的值．
[审题指导] (1)把函数 f(x)化为一个角的三角函数，利用周期的计算公式求解； (2)根据函数的单调性和最值列出方程组，可求 a，b 的值．
[规范解答] (1)f(x)＝sinx＋π6＋sinx－π6＋acos x＋b＝2sin xcosπ6＋acos x＋b ＝ 3sin x＋acos x＋b ＝ a2＋3sin(x＋φ)＋b①.(4 分) 所以，函数 f(x)的最小正周期为 2π.(6 分)
(2)由(1)可知：f(x)的最小值为－ a2＋3＋b，所以－ a2＋3＋b＝2②. ①(8 分) 另外由 f(x)在区间－π3，0上单调递增， 可知 f(x)在区间－π3，0上的最小值为 f－π3， 所以 f－π3＝－32＋a2＋b＝2.②(10 分) 由①②解得 a＝－1，b＝4.(12 分)
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．
2．由图象或部分图象确定解析式 y＝Asin(ωx＋φ)中的参数 (1)A：由最大值、最小值来确定 A． (2)ω：通过求周期 T 来确定 ω. (3)φ：利用已知点列方程求出．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数章末整合知识结构·理脉络要点梳理·晰精华1．函数的定义初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：[不同点]传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．[相同点]两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．2．函数三种表示方法的优缺点三种表示法的特点(优缺点)比较如下：解析法优点(1)简明、全面地概括了变量间的关系；(2)可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值．缺点不够形象、直观，且有些实际问题的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式．图像法优点(1)直观、形象地反映出函数关系变化的趋势；(2)便于通过图像研究函数的性质．缺点只能近似地得到自变量对应的函数值，有时误差较大．列表法优点查询方便，不需计算便可直接得出自变量对应的函数值． 缺点(1)只能表示有限个数的函数关系； (2)数较多时使用不方便.⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．) 3．常见函数的值域(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R . (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．4．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )则为增(减)函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图像关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图像关于y 轴对称． (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数； f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数． 5．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，使f (x )＝0的实数x 称为函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图像与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．素养突破·提技能专题 常见函数模型的应用1．二次函数典例1 已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ＞0)在区间[2,3]上的值域为[2,5]． (1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的函数g (x )＝f (x )－(m ＋1)x 在区间[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围． 思路探究：(1)二次函数固定区间上求值域，要先判断对称轴与区间端点的关系；(2)单调函数分单调递增和递减两种情况讨论．解析：(1)∵f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a ，且a ＞0， ∴函数f (x )的图像开口向上且对称轴为直线x ＝1. ∴函数f (x )在[2,3]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 2－2x ＋2，∴g (x )＝x 2－(m ＋3)x ＋2.∴函数g (x )的图像开口向上，且对称轴为直线x ＝m ＋32.①若g (x )在[2,4]上单调递增，则m ＋32≤2，解得m ≤1；②若g (x )在[2,4]上单调递减，则m ＋32≥4，解得m ≥5.故实数m 的取值范围是{m |m ≥5或m ≤1}．归纳提升：解决二次函数在某区间上的最值问题，关键是对函数图像的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论，一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解．二次函数的单调性和最值问题是本章的重点知识． 2．分段函数典例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0，且f (x )为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．思路探究：(1)已知函数奇偶性求参数值，可利用奇偶性的定义或特殊值来求解；(2)分段函数各段的单调性可分段判断，并借助于图像来求解．解析：(1)设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋2x . 又∵当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ， ∴m ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x >00， x ＝0x 2＋2x ， x <0.作出f (x )的图像(如图)．要使函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则－1<a －2≤1，即1<a ≤3. ∴实数a 的取值范围为(1,3]．归纳提升：分段函数在函数中占有重要的地位，对分段函数的问题要注意以下几点： (1)分段函数的图像问题、求分段函数的解析式、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、解分段函数对应的方程或不等式等的解法均可归纳为“分段处理”四个字． (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按照分段函数的含义及奇偶性的定义来处理． 3．对勾函数典例3 已知函数f (x )＝x ＋mx，且f (1)＝3.(1)直接写出m 的值及该函数的定义域、值域和奇偶性；(2)判断函数f (x )在区间 (0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解析：(1)m ＝2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为(－∞，－22]∪(22，＋∞)，为奇函数．(2)f (x )在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增．证明：设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2若2＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，x 1x 2－2＞0， ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2 ＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．同理，若0＜x 1＜x 2＜2，则f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(0，2)上单调递减．归纳提升：形如f (x )＝ax ＋bx(a ＞0，b ＞0)的函数的奇偶性、单调性及图像的形状如下：(1)f (x )为奇函数． (2)函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－b a ，0和⎝⎛⎭⎫0，b a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫－∞，－b a 和⎝⎛⎭⎫b a ，＋∞上单调递增．(3)图像如图所示，这个函数的图像形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数． (4)“对勾”函数求值域也可用均值不等式来求解． 专题 函数性质的综合应用 1．函数的单调性与奇偶性的综合应用典例4 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜0的解集．思路探究：f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上为单调函数，分情况讨论．解析：∵f (x )是奇函数，且f (1)＝0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (－1)＝－f (1)＝0，且f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜0可化为 ⎩⎨⎧x －12＞0，f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f (1)或⎩⎨⎧x －12＜0，f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f (－1)，即0＜x －12＜1或x －12＜－1，解得12＜x ＜32或x ＜－12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－12或12＜x ＜32.归纳提升：有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主要有比较函数值的大小、解不等式等，关键是利用奇、偶函数的对称性，将不在同一单调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性来处理，使问题得以解决． 2．函数的零点与方程根的关系及应用典例5 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两个实数根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2.求a 的取值范围．思路探究：令f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，其图像是开口向上的抛物线，它在(0,1)和(1,2)区间内与x 轴相交，则有f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0. 解析：设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，∵x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0＜x 1＜1＜x 2＜2， ∴函数f (x )的图像如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2＜0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2＞0，解得－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. ∴a 的取值范围是(－2，－1)∪(3,4)．归纳提升：抓住三个二次之间的关系是解此题的关键，将一元二次方程根的分布问题转化为函数零点问题．函数零点的应用主要是利用函数零点存在定理求参数值或范围，体现化归转化思想，数形结合思想．真题精练·悟考情1．(2019·全国 Ⅱ文数)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝ ( D ) A ． e －x －1B ． e －x ＋1C ． －e －x －1D ． －e －x ＋1解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝e －x －1，又f (x )为奇函数，有f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1. 2．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是__[－1,7]__. 解析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域． 由已知得7＋6x －x 2≥0 ，即x 2－6x －7≤0，解得－1≤x ≤7， 故函数的定义域为[－1,7]．3．(2019·北京理数改编)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝__－1__. 解析：首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )， 即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立， 则a ＋1＝0，得a ＝－1.4．(2019·全国Ⅱ卷理数)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( B )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，94B ． ⎝⎛⎦⎤－∞，73C ． ⎝⎛⎦⎤－∞，52 D ． ⎝⎛⎦⎤－∞，83 解析：∵f (x ＋1)＝2f (x ), ∴f (x )＝2f (x －1) ∵x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎡⎦⎤－14，0 ； ∴ x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎡⎦⎤－12，0 ； ∴x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1,0] ， 如图：当x ∈(2,3]时，由4(x －2)(x －3)＝－89解得x 1＝73，x 2＝83，若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m ≤73.则m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73. 故选B ．5．(2019·浙江)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x ，若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是__43__.解析：存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，即有|a (t ＋2)3－(t ＋2)－at 3＋t |≤23，化为|2a (3t 2＋6t ＋4)－2|≤23，可得－23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23，即23≤a (3t 2＋6t ＋4)≤43， 由3t 2＋6t ＋4＝3(t ＋1)2＋1≥1，可得0＜a ≤43.则实数a 的最大值是43.。