5 第五章 频率特性及其图示

出近似解。
两种图示法： 极坐标图示法和对数极坐
标图示法。
Nyquist图（奈氏图）
在复平面上，用一个矢量来表示某一频率ω下
的量G(jω)。矢量的幅值为G(ω)=| G(jω) |，相 角为φ(ω)=∠ [G(jω) ]。当频率ω从0→∞变化时， 矢量的轨迹就表示频率特性。 把频率特性在复平面上用极坐标表示的几何图 形，称为频率特性的极坐标图，或称Nyguist图。 一般的习惯，把开环系统的频率特性极坐标图 称为Nyquist图。
小结： 0，1，2型系统的奈氏图曲线在从0 下都终于原点，终点切线为nm。 但起点不
同，顺时针在s平面上旋转。
系统类型 (0) (∘) () (∘)
0
1
0
-90
-(n-m)90
-(n-m)90
2
-180
-(n-m)90
第三节 频率特性的对数坐标图 （Bode图）
对数频率特性曲线（Bode图）
另外：系统的频率特性G(jω)，也等于系
统在单位正弦函数作用下的稳态响应 y∞(ωt)对该正弦函数1(t)cosωt的比。
y (t ) G( j ) cos t G( j ) 1(t ) cos t 1(t ) cos t
频率特性的特点（1）
（1） G ( j ) G ( s )
s j
系统的频率特性就等于在系统传递函数 G(s)中以s=jω代入后所得的结果G(jω)。
频率特性的特点（2）
（2）G(jω)是以ω为自变量的复变函数
G( j ) G( )e j ( ) G( ) ( ) Re G( j ) j Im G( j )
幅频特性
第一节 频率特性
频率特性
ui=Uicosωt
线性网络
u0=U0cos(ωt+φ)
如图线性电路中双端口网络，设其输入端加正
弦电压ui=Uicosωt，则电路知识可知，稳态输 出电压为u0=U0cos(ωt+φ)，即：输出的稳态响 应总具有与输出相同的频率，这一结论具有普 遍意义。（证明过程见P106-108）
G ( )
K ( i ) 2 1
m
(Tk ) 2 1
k 1
i 1 n
b
a
( ) 90 tg 1 ( i ) tg 1 (Tk )
i 1 k 1
0：G(0) ；（0） 90 ：G() 0；（） n m)90 （ K a)：n m 2 如 j (Tj 1) K b)：n m 3 如 j (T1j 1)(T2j 1)
两种坐标形式间的转换
G ( ) G ( j ) Re 2 ( ) Im 2 ( ) 1 Im( ) ( ) tg Re( )
Re( ) G( )cos ( ) Im( ) G( )sin ( )
极坐标图（Nyquist图）在直角坐标系或者极坐标系表示均可。
3) 2型系统的奈氏图
G(s) H (s)
K ( i s 1) s 2 ( k s 1)
k 1 i j ) H ( j )
K ( i j 1)
i 1
m
( j ) 2 ( k j 1)
k 1
n
G ( )e j ( )
G( ) G( j )
相频特性
( ) G ( j )
2 2
Re G( j ) Im G( j )
Im G ( j ) tg Re G ( j )
1
系统的频率特性由幅频特性和相频特性构成
第二节 频率特性的极坐标图 （Nyquist图）
基本概念
频率特性分析法—图解法—方便迅速求
0 ζ 1
1 T 2 T j 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 T ) (2 T ) (1 T ) (2 T ) 1 G ( ) ： 0 (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
2 2
2 T ( ) tg 2 2 1 T
Bode图的优点
1．展宽视野，便于研究细微部分的变化规律（ω： 0→1000或更多）。 2．对频率特性取对数后，其各因子之间的乘除 运算便转化成了加减运算使运算简单了。 3．Bode图是由频率特性中各因子的“叠加”而 构成的，故它能反映出各因子对总Bode图形状 的影响。这对分析系统中不同环节的作用以及 由某些环节综合为一个整体，都是非常方便的。 4．可以采用由折线构成的具有高精度的渐近特 性，以近似的代替精确的Bode图，容易绘制。
s

1
G ( j ) e j G ( ) 1 φ( )
=0,2k/,...
奈氏图非常有用，它是用开环频率特性分析闭环 控制系统性能 主要是稳定性。 开环系统频率特性
G ( s) H ( s) s j G ( j ) H ( j )
开环传函的求法：打开闭环求通路之积 Gi 奈氏图绘制：取ω=0,1,2,…逐点计算G、 或Re、Im，描点绘线成图。
10 例 绘制 频率特性Nyquist图 ( s 1)(0.1s 1) 10 解： G ( j ) ( j 1)(0.1 j 1) G1 ( j )G2 ( j )G3 ( j )
G1 ( j ) 10 G2 ( j ) G3 ( j ) 1 1 2 1 e jarctg e
结论： – 线性系统在正弦相量作用下的稳态响应是一 个与输入信号同频率的正弦相量。 定义： – 稳定的线性系统在单位正弦相量作用下的稳 态响应为频率响应。 – 系统稳态响应的正弦相量对输入的正弦相量 的比，称为系统的频率特性，即：
y (t ) G ( j )e jt G ( j ) jt 1 (t ) 1(t )e
1
G ( )： 0 1
( )： 180 0
0
： 0 G ( )： 0 1 ( )： 180 0
0
0.5
1.0 0
Mr, r 谐振频率和 谐振峰值
G ( ) 0 1 有M r , r 1 半圆曲线
6. 迟延环节：G( s) e
高阶系统奈氏图
1) 0 型系统的奈氏图
G(s) H (s)
K ( i s 1)
m
(
k 1
m
i 1 n
( m n)
k
s 1)
其频率特性
G ( j ) H ( j ) K ( i j 1)
i 1 n
(
k 1
G ( )e j ( )
第五章 频率特性及其图示
频率特性及其图示
第一节 频率特性 第二节 频率特性的极坐标图(Nyquist图)
第三节 频率特性的对数坐标图(Bode图)
第四节 由闭环频率特性估计暂态性能 第五节 由开环Nyquist图确定闭环频率
特性
本章主要讲第一节、第二节和第三节的内容
以前我们曾讨论了阶跃、斜坡、抛物线 等函数的输入信号对控制系统的作用， 现在考虑另一种重要函数——正弦函数 作为输入信号对系统的作用，从而引出 有关频率特性的概念。

曲线为一个半圆 1 Re( ) (T ) 2 1 T Im( ) (T ) 2 1
0.5
1.0 0
Re( 0.5)2 Im2 ( ) 0.52
圆方程
1 5. 二阶振荡环节：G ( s) 2 2 T s 2Ts 1
1 G ( j ) 2 T ( j ) 2 2 Tj 1
极坐标
相特性曲线）。
OA 端点A形成轨迹曲线，称为Gj的极坐标图（幅
G( j ) G( j ) e
jG ( j1 )
当ω ： 时， 0
A
极坐标图

0
极轴
直角坐标
G( j ) R( ) jI ( )
jI
IA
极坐标图
A R
0
RA
在直角坐标上表示的曲线也称为极坐标图
jarctg (0.1 )
1 (0.1 )
2
G ( )
10 1 2 1 (0.1 ) 2
( ) tg 1 tg 1 (0.1 )
0,0.5,1, 2, ,10
G 10,8.9, ,0.71
10
0 , 29.4 , ,129.3
-90
1 2
5 10 20 50 100
对数相频特性
互为倒数的对数频率特性图的性质：
图形关于实轴对称，因为互为倒数的对数频
率特性的Lm、是大小相等，符号相反。
典型环节频率特性的极坐标图
1. 比例环节 G ( s) K
jI()
j0
G( j ) K j 0 Ke 1 2. 积分环节 G ( s ) s 1 1 j2 G ( j ) e j
3. 微分环节 G( s) s
G ( j ) j e 相位超前90
2) 1型系统的奈氏图
G(s) H (s)
K ( i s 1) s ( k s 1)
k 1 i 1 n
m
( m n)
G ( j ) H ( j )
K ( i j 1) j ( k j 1)
k 1 i 1 n
m
G ( )e j ( )
j
K
R()
相位滞后90 模减小

2
模增大
1 4. 惯性环节：G ( s ) Ts 1 1 1 G ( j ) e jarctgT 1 jT (T ) 2 1 ： 0 G( )： 0 低通滤波器 1