七年级数学下册《认识三角形》例题解析(含答案)
苏科版七年级数学下册第七章 认识三角形 附答案
1. 看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若是，则
能组成三角形；反之， 则不能组成三角形.
2. 看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三条线段，
若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.
感悟新知
知识点 4 三角形的角平分线、中线、高
知4－讲
1. 三角形的角平分线、中线和高是三角形中的三种重要线 段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从 不同的角度进行理解，列表如下：
注意 在三角形的 事项 内部
(1)与角的平分线不同 (2)在三角形的内部
(1)与边的垂线不同 (2)不一定在三角形 的内部
重要 特征
一个三角形有 三条中线，它
●●
们相交于三角 形内一点
●●●●
一个三角形有三条角 ●●
平分线，它们相交于 ●● ●
三角形内一点 ●● ● ●● ●
三角形的三条高所 ●●
在的直线相交于一 ●● ●●● ●
感悟新知
(2)三边长满足(a-b)(b-c)=0. 解：因为(a-b)(b-c)=0， 所以a-b=0 或b-c=0. 所以a=b 或b=c. 所以△ ABC 为等腰三角形.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
解题秘方：要判断三角形的形状，可根据“边是否 相等”来判断，所以从条件中分析出三 边长的关系是解决本题的关键.
感悟新知
知2－讲
“a=b 且b=c”与“a=b或b=c”得到的结论是不一样的. 方法点拨：
从边的角度判断三角形的形状，若只能判定两条边 相等，则此三角形是等腰三角形，若能判定三边相等， 则此三角形是等边三角形.
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知识点 3 三角形的三边关系
知3－讲
1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 我们可以从不同的角度理解，列表如下：
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案(北师大版)一选择题（共12小题）1. 下列各组三条线段能组成等腰三角形的是A. B. C. D. ．2. 如图三角形的面积是长方形面积的A. B. C. D.3. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根则该等腰三角形的底边长为A. B. C. D. 或4. 如图在中点是和的平分线的交点．若则A. B. C. D.5. 试通过画图来判定下列说法正确的是A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形6. 三角形是指A. 由三条线段所组成的封闭图形B. 由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D. 由三条线段首尾顺次相接组成的图形7. 在中已知其两直角边长那么斜边的长为A. B. C. D.8. 如图在中是的平分线点是上的一点则下列结论错误的是A. B.C. D.9. 下列说法中正确的是A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形也不是等边三角形B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形或直角三角形C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形也不是等边三角形D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形也不是直角三角形10. 下列说法正确的是A. 如果锐角三角形的一个内角是度那么这个锐角三角形是等边三角形B. 三角形的角平分线就是三角形内角的平分线C. 直角三角形的斜边的长度大于两条直角边长度的和D. 任何三角形的高必相交于一点11. 在凸四边形中则边的取值范围是A. B. C. D.12. 如图以的三条边为边分别向外作正方形连接如果的面积为则图中阴影部分的面积为A. B. C. D.二填空题（共6小题）13. 如果等腰三角形有一边长是另一边长是那么它的周长是．14. 同底（等底）同高（等高）的三角形面积．15. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分则这个等腰三角形的底边长是．16. 在中那么．17. 三个角都是的三角形是锐角三角形；有一个角是的三角形是直角三角形；有一个角是的三角形是钝角三角形．18. 已知等腰三角形的一条边长为周长为那么它的底边长是．三解答题（共5小题）19. 如图三角形与三角形关于直线对称．（1）点的对应点为的对应角为；（2）若求的取值范围．20. 在正方形网格中每个小正方形的边长均为个单位长度三角形三个顶点的位置如图所示现将三角形平移使点移动到点点分别是的对应点．（1）请画出平移后的三角形；（2）求三角形的面积．21. 填空：（1）等腰三角形的两个底角简称为．（2）“等腰三角形三线合一”是指．（3）等腰三角形是图形它有条对称轴它是．（4）等腰三角形的两边长为和这个等腰三角形的周长为．（5）等腰三角形的两边长为和这个等腰三角形的周长为．（6）等腰三角形的腰长为底边的取值范围是．22. 在中求的度数．23. 已知的三边长均为整数且和满足试求的边长．参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】 D8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】或14.【答案】略15.【答案】5cm16.【答案】略17.【答案】略18.【答案】19.【答案】略20. 【答案】（1）如图三角形为所作．（2）三角形的面积．21. 【答案】略22. 【答案】略23. 【答案】．。
初一数学三角形试题答案及解析
初一数学三角形试题答案及解析1.如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，则∠EAD＝【答案】20【解析】∵∠B=30°，∠C=70°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=40°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣40°=20°．故答案为：20．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质2.腰三角形的底角是顶角的两倍，则此等腰三角形的顶角为【答案】36°.【解析】设等腰三角形的顶角度数为x，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理：x+2x+2x=180°，解得x的度数．试题解析：设等腰三角形的顶角度数为x，∵等腰三角形的底角是顶角的两倍，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理：x+2x+2x=180°，解得x=36°.【考点】等腰三角形的性质．3.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，BC=9cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9 cm【答案】A.【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=9cm，BD=5cm，∴CD=BC-BD=9-5=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=4cm，即点D到AB的距离是4cm．故选A．【考点】角平分线的性质．4.在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点C都在x轴上，且点B在点C的左侧，满足BC=OA，若-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项且OA=m，OB=n．（1）m= ；n= ．（2）点C的坐标是．（3）若坐标平面内存在一点D，满足△BCD全等△ABO，试求点D的坐标．【答案】（1）3，2；（2）（5，0）或（1，0）；（3）（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．【解析】（1）根据同类项的概念即可求得；（2）根据已知条件即可求得B（2，0）或（-2，0），根据点B在点C的左侧，BC=OA，即可确定C的坐标；（3）根据三角形全等的性质即可确定D的坐标；试题解析：（1）∵-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项，∴，解得．（2）∵OA=m，OB=n，∴B（2，0）或（-2，0），∵点B在点C的左侧，BC=OA，∴C（5，0）或（1，0）；（3）当C（5，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2）；当C（1，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．所以D点的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.同类项；3.坐标与图形性质．5.如图，在△ABC中，∠B=400，∠C=1100．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【答案】（1）图形见解析；（2）∠DAE=35°．【解析】（1）按照三角形高线和角平分线定义进行画图即可；（2）利用角平分线把一个角平分的性质和高线得到90°的性质可得∠DAE的度数．（1）如图：（2）∵∠DAB=180°﹣∠ABC﹣∠ADB=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣40°﹣110°=30°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=150°，（角平分线的定义）∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=50°﹣15°=35°．【考点】三角形高线和角平分线．6.作图题：（可以不写作法）如图已知三角形ABC内一点P．（1）过P点作线段EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【答案】作图见解析．【解析】（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P画垂线即可．（1）如图，EF即为所求．(2) 如图，PD即为所求．【考点】作图—基本作图．7.如图，AD为△ABC的中线,（1）作△ABD的中线BE；（2）作△BED的BD边上的高EF；（3）若△ABC的面积为60，BD=10，则点E到BC边的距离为多少？【解析】（1）找到边AD的中点E，连接BE，线段BE是△ABD的中线；（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED 的面积，再直接求点E 到BC 边的距离即可．试题解析：（1）如图所示，BE 是△ABD 的中线；（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．（3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，∴S △BED =S △ABC =×60=15；∵BD=10，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷10=3，即点E 到BC 边的距离为3．【考点】1．三角形的角平分线、中线和高；2．三角形的面积；8. 在△ABC 中，已知∠A:∠B:∠C=2:3:4，则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】C ．【解析】根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 分别为2k 、3k 、4k ，则∠A+∠B+∠C=2k+3k+4k=180°，解得k=20°，∴4k=4×20°=80°＜90°，所以这个三角形是锐角三角形．故选C ．考点: 三角形内角和定理．9. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边为_________．【答案】9【解析】等腰三角形的两边长分别为4和9时，当4为腰时，则可知两腰和=4+4=8＜9不符合三角形任意两边和大于第三边。
初一数学三角形试题答案及解析
初一数学三角形试题答案及解析1.小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3种．故选C．【考点】三角形三边关系．2.如图，△ABC≌△AED，∠B=40°，∠EAB=30°，∠ACB=45°，∠D= °．【答案】45°．【解析】根据全等三角形的对应角相等即可得出∠D的度数．试题解析：∵△ABC≌△AED，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠D=45°．【考点】全等三角形的性质．3.如图，∠ACB＞90°，AD^BC，BE^AC，CF^AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中BC边上的高是（）A.CF ；B.BE；C.AD；D.CD；【答案】B.【解析】如图，AD、BE、CF分别是三角形ABC三条边上的高，与AC对应的高是BE．故选B.【考点】作三角形的高．4.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 ____________ . 【答案】1800°．【解析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．试题解析：多边形的边数：360°÷30°=12，正多边形的内角和：（12-2）•180°=1800°．【考点】多边形内角与外角．5.正八边形的每一个内角都等于 °．【答案】135°【解析】多边形的内角和公式=180°×（n-2）=180°×（8-2）=1080°，所以每个内角为1080°÷8=135°.本题涉及了多边形内角和，该题较为简单，主要考查学生对多边形内角和公式的应用，以及对正多边形的内角间的关系。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案(北师大版)一、单选题 1．如图，ABC 的边BC 上的高是（ ）A ．线段AFB ．线段DBC ．线段CFD ．线段BE2．如图直线1l 2l ∥，线段AB 交1l ，2l 于D ，B 两点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，若120∠=︒则2∠=（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．160°3．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中COB ∠的度数是( )A ．75︒B ．105︒C ．115︒D ．100︒4．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，5cmB ．4cm ，4cm ，10cmC ．3cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，4cm ，9cm 5．如图，,72,32AB CD B D ∠=︒∠=︒∥则F ∠的度数（ ）A ．32︒B ．36︒C ．40︒D ．76︒6．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中α∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．75︒D ．80︒7．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，DEC ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．105︒8．某城市几条道路的位置如图所示，道路CD 与道路EF 平行，道路AB 与道路CD 的夹角()CDB ∠为50︒，城市规划部门想修一条新道路BF ，要求F B ∠=∠，则F ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．35︒C ．30︒D ．25︒9．如图，AD 是中ABC 边上的中线，CE 是AB 边上的高，4AB = 6ADC S =△ CE =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，AD 是ABC 的中线，点E 在AD 上，2AE DE =若ABE 的面积是4，则ABC 的面积是（ ）A ．16B ．12C ．10D ．8二、填空题11．将一副直角三角板如图放置，已知0,,345F B ∠=∠=EF BC ∥，则AGD ∠的度数是________．12．将一把直尺与一块三角板如图放置，若1130∠=︒，则2∠的度数为 ________．13．如图，AB//CD 24A ∠=︒ 55C ∠=︒ 则E ∠=_______︒．14．如图，BD EF ∥，AE 与BD 交于点C ，25B ∠=︒ 75A ∠=︒则E ∠的度数为_____．15．将一副直角三角板()90A FDE ∠=∠=︒按如图所示位置摆放，点D 在边AB 上，两条斜边为EF 、BC 且EF BC ∥，则ADF ∠=______︒．三、解答题16．如图，在ABC 中B C ∠=∠，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，连接DE ，12∠=∠ 40BAD ∠=︒求EDC ∠的度数．17．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段的交点称作格点，请按下列要求作图并填空(1)画出ABC 中，AC 边上的高BE ；(2)画出ABC 中，BC 边上的高AD ；(3)直接写出ABC 的面积是______.18．在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 是线段AC 上的动点（不与点A 、D 、C 重合），过点E 作EF AB ∥交直线BD 于点F ，CEF ∠的角平分线所在直线．．．．与射线BD 交于点G .(1)如图1，点E 在线段AD 上运动.①若40ABC ∠=︒，60A ∠=︒则DGE ∠=______°①若40C ∠=︒，则DGE ∠=______°①试探究DGE ∠与C ∠之间的数量关系，并说明理由；(2)若点E 在线段DC 上运动，请在图2中补全图形，并直接写出DGE ∠与C ∠之间的数量关系（不必说明理由）．19．如图，ABC 的中线AD BE 、相交于点F(1)图中与ABE 面积相等是三角形有____个（不含ABE ）；(2)若ABF △的面积是24cm ，求四边形FDCE 的面积．20．已知，在平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点(),A a b 满足630a b -+-=，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．(1)=a _______，b =_______，点C 坐标为________；(2)如图1，点(),D m n 是线段CB 上一个动点．连接OD ，利用OBC △ OBD OCD 的面积关系，可以得到m 、n 满足一个固定的关系式，请求出这个关系式．(3)如图2，以OB 为边作BOG AOB ∠=∠，交线段BC 于点G ，E 是线段OB 上一动点，连接CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，OFC FCG OEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值．。
初一数学三角形试题答案及解析
初一数学三角形试题答案及解析1.如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一个条件是（只需添加一个你认为适合的）【答案】AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D．【解析】根据三角形全等的条件可得出AC=AE，∠C=∠E，∠B=∠D都可以．试题解析：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，即∠BAC=∠DAE，∵AB=AD，∴添加AC=AE，根据SAS即可得证；或添加∠C=∠E，根据AAS即可得证；或添加∠B=∠D，根据ASA即可得证．【考点】全等三角形的判定．2.如图，已知∠EAC=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】∵∠EAC=∠BAD，∴∠EAC+∠BAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAC=∠EAD，当AB=AE时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED．当∠C=∠D时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；当∠B=∠D，而AC=AD，所以∠B与∠D不是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED．故选C．【考点】全等三角形的判定．3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（）A．55°B．125°C．125°或55°D．35°或145°【答案】C.【解析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解:如图（1），∵AB=AC，BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=35°，∴∠A=55°；如图（2），∵AB=AC，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∵∠ABD=35°，∴∠BAD=55°，∴∠BAC=125°；综上所述，它的顶角度数为：55°或125°．故选C．【考点】等腰三角形的性质．4.已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．6D．5【答案】C【解析】根据多边形的外角和是360°，和n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°可列方程求解．【考点】1.多边形内角和公式；2.多边形的外角和5.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形? 应该带（）．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块【答案】B．【解析】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选B．【考点】全等三角形的应用．6.如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A=35°,•∠D=42°,求∠ACD的度数.【答案】83°【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．试题解析：因为∠AFE=90°,所以∠AEF=90°-∠A=90°-35°=55°.所以∠CED=•∠AEF=55°,所以∠ACD=180°-∠CED-∠D=180°-55°-42=83°【考点】对顶角性质；三角形内角和定理7.如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：_________．【答案】.【解析】设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为a-x，宽为y，Ⅲ的长为a-x，宽为b-y，阴影部分的长为x，宽为b-y，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可．试题解析：∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，∴，∴，∴，解得z=∴S=z=．阴影【考点】面积及等积变换．8.八边形的内角和等于____________°，六边形的外角和等于____________°．【答案】1080°；360°．【解析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，已知多边形的边数，代入多边形的内角和公式就可以求出内角和；任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关．八边形的内角和为（8﹣2）•180°=1080°；六边形外角和为360°．故答案是1080°；360°．【考点】多边形内角与外角．9.已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可以是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据三角形的三边关系，得：第三边大于5，而小于13．故选C．【考点】三角形三边关系．10.已知等腰三角形的周长为17，一边长为4，则它的另两边长为．【答案】6，6或5，7．【解析】①当等腰三角形的底长为5时，腰长=（17﹣5）÷2=6；则等腰三角形的三边长为5、6、6；5+6＞6，能构成三角形．②当等腰三角形的腰长为5时，底长=17﹣2×5=7；则等腰三角形的三边长为5、5、7；5+5＞7，亦能构成三角形．故等腰三角形另外两边的长为6，6或5，7．故答案是6，6或5，7．【考点】等腰三角形的性质．11.如图，在△ABC中，∠B=400，∠C=1100．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【答案】（1）图形见解析；（2）∠DAE=35°．【解析】（1）按照三角形高线和角平分线定义进行画图即可；（2）利用角平分线把一个角平分的性质和高线得到90°的性质可得∠DAE的度数．（1）如图：（2）∵∠DAB=180°﹣∠ABC﹣∠ADB=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣40°﹣110°=30°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=150°，（角平分线的定义）∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=50°﹣15°=35°．【考点】三角形高线和角平分线．12.已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有个。
(完整版)人教版七年级下数学第七章三角形知识点+考点+典型例题(含答案).doc
第七章三角形【知要点】一．三角形1．关于三角形的概念及其按角的分定：由不在同一直上的三条段首尾次相接所成的形叫做三角形。
2．三角形的分：①三角形按内角的大小分三：角三角形、直角三角形、角三角形。
②三角形按分两：等腰三角形和不等三角形。
2．关于三角形三条的关系（判断三条段能否构成三角形的方法、比段的短）根据公理“ 两点之，段最短”可得：三角形任意两之和大于第三。
三角形任意两之差小于第三。
3．与三角形有关的段：三角形的角平分、中和高．．三角形的角平分：三角形的一个角的平分与相交形成的段；三角形的中：接三角形的一个点与中点的段，三角形任意一条中将三角形分成面相等的两个部分；三角形的高：三角形的一个点做的垂，条垂段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分、中和高都是段，不是直，也不是射；②任意一个三角形都有三条角平分，三条中和三条高；③任意一个三角形的三条角平分、三条中都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角；角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中交于一点，三条角平分交于一点，三条高所在的直交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直）交与一点，角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角点，角三角形高（所在的直）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和： 180°引申：①直角三角形的两个角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个角；③一个三角中至少有两个内角是角。
（2）三角形的外角和： 360°（3）三角形外角的性：①三角形的一个外角等于与它不相的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相的内角。
——常用来比角的大小5. 多形的内角与外角（ 1）多形的内角和：（ n-2 ） 180°（ 2）多形的外交和：360°引申：（ 1）从 n 形的一个点出能作（n-3 ）条角；（ 2）多形有n(n3)条角。
北师大数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案
北师大版数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案1、认识三角形一、单项选择题1.以下长度的各组线段为边能构成一个三角形的是（）A.9，9，1B.4，5，1C.4，10，6D.2，3，6假如CD均分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（）．°°°°3.以下说法正确的选项是（）A.在一个三角形中起码有一个直角B.三角形的中线是射线C.三角形的高是线段D.一个三角形的三条高的交点必定在三角形的外面4.一个三角形的内角中，起码有（）A.一个钝角B.一个直角C.一个锐角D.两个锐角5.如图，△ABC中BC边上的高为（）A.AEB.BFC.ADD.CF6.知足以下条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A.∠B+∠A=∠CB.∠A：∠B：∠C=2：3：5C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的一个内角7.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其极点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）第1页/共88页A.11平方厘米B.12平方厘米C.13平方厘米D.14平方厘米8.具备以下条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）∠A＋∠B=∠CB.∠A－∠B=∠C C.∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3D. ∠A=∠B=3∠C9.以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，能够画出三角形的个数为（） 个个 个 个10.已知△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不可以确立三角形的形状11.已知三角形的两边长分别为 3cm 和8cm ，则这个三角形的第三边的长可能是( )A.4cmC.6cmD. 13cm12.三角形的以下四种线段中必定能将三角形分红面积相等的两部分的是（ ） A.角均分线 B.中位线 C.高 D.中线二、填空题13.如图，在△ABC 中，∠ACB=58°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=________．14.画三角形内角的均分线交对边于一点，极点与交点之间的线段叫做三角形的________．2，15.如图，在△ABC 中，已知点D 为BC 上一点，E ，F 分别为AD ，BE 的中点，且S △ABC =8cm则图中暗影部分△CEF的面积是_____cm2．第2页/共88页16 .已知三角形两边长分别是3cm，5cm，设第三边的长为xcm，则x的取值范围是________．17.如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么暗影部分的面积是_______．18.各边长度都是整数.最大边长为8的三角形共有________个．三、解答题19.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角均分线，它们订交于点 O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版) 一、单选题1．如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线则（）A．△1=12△BAC B．△1=12△ABC C．△1=△BAC D．△1=△ABC2．两根长度分别为2 10的木棒若想钉一个三角形木架第三根木棒的长度可以是（）A．13B．10C．7D．63．如图给出的三角形有一部分被遮挡则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．如图从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子绳子底端恰好在地面P处若旗杆的高度为13.2米则绳子AP的长度不可能是（）A．13米B．13.3米C．14米D．15米5．利用直角三角板作△ABC的高线下列作法正确的是（）A．B．C．D．6．若一个直角三角形其中一个锐角为40° 则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图AD BE CF是△ABC的三条中线则下列结论正确的是（）A．BC=2AD B．AB=2AF C．AD=CD D．BE=CF8．如图用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限）不计螺丝大小其中相邻两螺丝的距离依次为3 4 5 7 且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．9B．8C．7D．69．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形10．如图若△ABC的三条内角平分线相交于点I 过I作DE△AI分别交AB AC于点D E 则图中与△ICE一定相等的角（不包括它本身）有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图AD AE分别是△ABC的角平分线和高∠B=50°∠C=70°则∠BAD=度∠EAD=度.12．已知三角形三边长分别为2 x 13 若x为正整数则这样的三角形有个．13．已知△ABC中△A=12△B=13△C 则△ABC是三角形．14．同一平面内有A B C三点A B两点之间的距离为5cm点C到直线AB 的距离为2cm且△ABC为直角三角形则满足上述条件的点C有个.三、作图题15．用圆规和直尺作图：已知△AOB（如图）求作：△AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹不写作法和证明过程）．四解答题16．如图AD是△BAC的平分线CE是△ADC边AD上的高若△BAC＝80° △ECD＝25° 求△ACB的度数．17．已知a b c是△ABC的三边长若b=2a−1c=a+5且△ABC的周长不超过20cm 求a范围．18．如图在△ABC中AD△BC 垂直为D △1=△B △C=67° 求△BAC的度数19．如图所示图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．20．如图在△ABC中CE BF是两条高若△A＝70° △BCE＝30° 求△EBF与△FBC的度数．21．如图求△A+△B+△C+△D+△E的大小．22．如图1 AB与CD相交于点O 若△D=38° △B=28° △DAB和△BCD的平分线AP和CP 相交于点P 并且与CD AB分别相交于M N．试求：（1）△P 的度数；（2）设△D=α △B=β △DAP= 13 △DAB △DCP= 13 △DCB 其他条件不变 如图2 试问△P 与△D △B 之间存在着怎样的数量关系（用α β表示△P ） 直接写出结论．参考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴△1=12△BAC故答案为：A.【分析】根据角平分线的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设第三边的长度为x则10−2<x <10+2 即8<x <12 则x =10符合题意 故答案为：B.【分析】设第三边的长度为x 根据三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 列出不等式组 求解可得x 的取值范围 从而一一判断即可得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：由图形可得：该三角形为锐角三角形.故答案为：B.【分析】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角 且第三个角也小于90° 据此可判断出三角形的形状.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵旗杆的高度为AB =13.2米又∵AP ＞AB∴绳子AP 的长度不可能是：13米. 故答案为：A.【分析】直角三角形的性质：斜边大于直角边 据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：A 作法不符合题意 不符合题意；B 作法不符合题意 不符合题意；C 作法符合题意 符合题意；D 作法不符合题意 不符合题意； 故答案为：C ．【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案一、单选题1．如果一个三角形的两边长分别为1和6，则第三边长可能是（）A．5B．6C．7D．82．以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（）A．4，5，9 B．2，4，7 C．4，9，9 D．3，3，73．下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（）A．B．C．D．4．如图所示的图形中，三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．6．下列图形中是平面图形的是（）A．B．C．D．7．若三角形三个角的度数比为2:5:7，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（ ）A ．1刀B ．2刀C ．3刀D ．4刀9．如图，在ABC 中，AD 、AE 分别是边BC 上的中线和高，2AE =，3ABD S ∆=，则BC =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610．边长都是1~9中的正整数（可以相同）的不同的三角形个数有（ ）个．A ．85B ．89C ．92D ．95二、填空题11．如图，AB BD ⊥于点B ，AC CD ⊥于点C ，AC 与BD 交于点E ，若5AE =，3DE =，95CD =，则AB =_____________．12．若a 、b 、c 表示ABC 的三边长，则||||||a b c b c a c b a --+--+--=____________．13．三角形三边长为6、8、x ，则x 的取值范围是_____．14．在ABC 中，::1:3:2A B C ∠∠∠=，则ABC 是__________三角形．15．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有___________对．三、解答题16．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m价格/（元/根） 10 15 20 25 3035 40 45小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为2m 和7m 的木棒，还需要购买一根．(1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？17．(1)说出图中所有的三角形，以及每一个三角形的三条边和三个内角．(2)若40,60A C ∠=︒∠=︒，求ABC ∠的度数．18．如图1，点P 是ABC 内部一点，连接BP ，并延长交AC 于点D ．(1)试探究AB BC CA ++与2BD 的大小关系；(2)试探究+AB AC 与PB PC +的大小关系；(3)如图2，点D ，E 是ABC 内部两点，试探究+AB AC 与BD DE CE ++的大小关系．19．如图，在ABC 中，8AC =，4BC =，高3BD =．(1)作出BC 边上的高AE ；(2)求AE 的长。
【成才教育】七年级初一下学期数学 第18课时认识三角形(解析版)
1．已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能．．．的是，，A．2B．3C．4D．1【答案】D【解析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得1＜第三边＜7，因此可知1不可能.2. 如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF，2，则S△ABC 等于( )A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】∵DF是△CDE的中线，∴S△CDE=2S△DEF，∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF，∵△DEF的面积是2，∴S△ABC=2×8=16．故选C．3. 如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是( )专题18 认识三角形第四章三角形A．△AGC中，CF是AG边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高【答案】C【解析】A、△AGC中，CF是AG边上的高，故A正确，与要求不符；B、△GBC中，CF是BG边上的高，故B正确，与要求不符；C、△ABC中，AD是BC边上的高，故C错误，与要求相符；D、△GBC中，GC是BC边上的高，故D正确，与要求不符．4. 将一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（，A．145° B．135° C．120° D．115°【答案】C【解析】如图：由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=135°，故选：B．5. 己知三角形的三边长分别为2，x，1，3，则三角形周长y的取值范围是__，【答案】6，y，10【解析】根据三角形的三边关系，得3-2＜x-1＜2+3，解得：1<x-1<5，所以三角形周长y的取值范围：1+2+3＜y＜2+3+5，即6＜y＜10，故答案为6＜y＜10．6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠CAD的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解析】∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=80°，∵AD是△ABC的一条角平分线，∴∠CAD=40°．故选A．7. ，，，，ABC=38°，，ACB=100°，AD，，，BAC，AE，BC，，，，，，，DAE，，，，【答案】∠DAE=31∘.【解析】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知) ∴∠BAC=180°―38°―100°=42°（三角形内角和180°)又，AD平分，BAC（己知) ，，BAD=21°，，ADE=，ABC+，BAD=59°（三角形的外角性质) 又，AE是BC边上的高，即，E=90°，，DAE=90°―59°=31°考点：三角形内角和定理以及外角的性质.8. Rt，ABC中，，C=90°，点D，E分别是，ABC边AC，BC上的点，点P是一动点.令，PDA=，1，，PEB=，2，，DPE=，α.，1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且，α=50°，则，1+，2=°，，2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则，α，，1，，2之间的关系为：，，3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则，α，，1，，2之间有何关系？猜想并说明理由.，4）若点P运动到，ABC形外，如图（4）所示，则，α，，1，，2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3），1=90°+，2+α,理由见解析;(4)，2=90°+，1﹣α．【解析】（1，∵∠1，∠2，∠CDP，∠CEP，360°，∠C，∠α，∠CDP，∠CEP，360°，∴∠1，∠2，∠C，∠α，∵∠C，90°，∠α，50°，∴∠1，∠2，140°，故答案为：140，，2，由(1)得∠α，∠C，∠1，∠2，∴∠1，∠2，90°，∠α.故答案为：∠1，∠2，90°，∠α.，3，∠1，90°，∠2，∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2，∠α，∠DME，∠DME，∠C，∠1，∴∠1，∠C，∠2，∠α，90°，∠2，∠α.，4，如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD，∠EFC，∴180°，∠PFD，180°，∠EFC，∴∠α，180°，∠1，∠C，180°，∠2，∴∠2，90°，∠1，∠α.故答案为：∠2，90°，∠1，∠α。
初一数学三角形试题答案及解析
初一数学三角形试题答案及解析1.如图，已知∠EAC=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】∵∠EAC=∠BAD，∴∠EAC+∠BAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAC=∠EAD，当AB=AE时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED．当∠C=∠D时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；当∠B=∠D，而AC=AD，所以∠B与∠D不是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED．故选C．【考点】全等三角形的判定．2.如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由。
【答案】AC与CE垂直．理由见解析.【解析】根据SAS证△ABC≌△CDE，推出∠A=∠ECD，推出∠ACB+∠ECD=90°，求出∠ACE=90°即可．试题解析：∵AB⊥BD，∴∠ABC=90°，∵ED⊥BD，∴∠EDC=90°，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A=∠ECD，∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACE=90°，∴AC与CE垂直．【考点】全等三角形的判定与性质．3.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】B【解析】根据三角形的内角和等于180°，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数。
∵∠A+∠B=180°-∠AGB，∠D+∠C=180°-∠CND，∠E+∠F=180°-∠EMF，又∵∠AGB=∠MGN（对顶角相等），∠CND=∠GNM（对顶角相等），∠FME=∠GMN（对顶角相等），又∵∠MGN+∠GNM+∠GMN=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°-∠AGB+180°-∠CND+180°-∠EMF=540°-180°=360°．故选：B.【考点】三角形内角和定理4.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 ____________ . 【答案】1800°．【解析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．试题解析：多边形的边数：360°÷30°=12，正多边形的内角和：（12-2）•180°=1800°．【考点】多边形内角与外角．5.下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A．5cm，7cm，10cm B．5cm，7cm，13cmC．7cm，10cm，13cm D．5cm，10cm，13cm【答案】B.【解析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．A中，5+7＞10，7-5＜10，符合；B中，5+7＜13，不符合；C中，10+7＞13，10-7＜13，符合；D中，5+10＞13，10-5＜13，符合．故选B．考点: 三角形三边关系．6.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2= 度.【答案】90【解析】连接两交点，根据平行线的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4=180°，再结合矩形的性质、三角形的内角和定理求解即可.解：如图，连接两交点根据矩形两边平行得∠1+∠2+∠3+∠4=180°，又∵矩形的角等于90°，∴∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=180°-90°=90°．【考点】平行线的性质，三角形的内角和定理点评：平行线的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.7.如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC。
新华东师大版七年级数学下册《认识三角形》题及答案.docx
（新课标）华东师大版七年级下册第9章9．1 三角形9．1.1 认识三角形同步练习题1．如图所示，图中共有____个三角形，其中以BC为一边的三角形是_________________；以∠A为一个内角的三角形是______________．2．如图，△ABC有________个内角，________个外角，与∠ABC相邻的外角有________个，它们的关系是________，∠ABC的一个外角与∠ABC的关系是________；当AB＝AC＝BC时，△ABC是________三角形，也称________三角形．3．下列说法正确的有( )①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③三角形的外角与和它相邻的内角互补；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④4．下列说法正确的是( )A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )6．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形7．如图所示，AD是△ABC的角平角线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( )A．20°B．30°C．45°D．60°8．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝________.9．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝________，∠BCE＝________，∠ACB＝________.10．下列说法错误的是( )A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点11．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )A．2对B．3对C．4对D．6对12．已知a，b，c是△ABC的三条边，且(a＋b＋c)(a－b)＝0，则△ABC一定是( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上答案都不对13．如图，填空：(1)在△ABC中，BC边上的高是________；(2)在△AEC中，AE边上的高是________；(3)在△FEC中，EC边上的高是________；(4)若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，则S△AEC＝________cm2，CE＝________cm.14．已知AD为△ABC的中线，AB＝5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，求AC的长度．15．如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．16．如图，AD，CE是△ABC的两条高，AD＝10，CE＝9，AB＝12.(1)求△ABC的面积；(2)求BC的长．17．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm 2，求阴影部分的面积S阴影。
华师大版初中数学七年级下册《9.1.1 认识三角形》同步练习卷(含答案解析
华师大新版七年级下学期《9.1.1 认识三角形》同步练习卷一．填空题（共50小题）1．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为．2．一棵小树被风刮歪了，小明用两根木棒撑住这棵小树，他运的数学知识是．3．下列图形中具有稳定性有（填序号）4．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD边的中点，且S△ABC=8cm2，则S =cm2．△ABE5．线段的重心是；三角形的重心是．6．如图，在△ABC中，BC边上的高是；在△AEC中，AE边上的高是，EC边上的高是．AC边上的高是．7．如图，在△ABC中，已知AB=8cm，AC=5cm，AD是△ABC的中线，则△ABD 的周长比△ACD的周长多cm．8．如图，AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，若△AEC面积为12cm2，则△ABC的面积为cm2．9．在△ABC，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，交于点O，则OD：OA=．10．在△ABC中，AC=3cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长比△ADC的周长大2cm，则BA=cm．11．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，则DE=．12．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则△ABC中BC边上的高是．13．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AB的中点，AD、BE、CF 交于点O，DC=3BD，S=12，S△AOE=3，则AF与CF之间的等量关系为．△DOC14．如图，AD⊥BC于D，那么图中△ABC的高是线段．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是△ABC的中线，则△ACD 的面积是．16．平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，用它们作顶点可以组成三角形的个数是个．17．如图，E，F，G分别是AB，BC，AC边上的中点，则S△ABC=S△BEF=S ．△FGC18．如图所示：正方形网格中的四边形ABCD，若小方格的边长为1，则四边形ABCD的面积是．19．如图是阳光广告公司为某件商品设计的商标图案，图中阴影部分为斜线，若每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是．20．图中可数出的三角形个数为个．21．建筑工地上，我们经常会见到木工师傅在木门框上斜钉上一根木条，这是因为的缘故．22．观察下面两图形的形成过程，若AD=3，DB=4，则△ADE和△BDF面积的和为．23．已知，锐角三角形ABC的三边AB=6cm，BC=7cm，AC=8cm，∠A=α，则△ABC的面积等于cm2（用含α的式子表示）．24．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是a cm．则AE+CD+BF= cm．25．一个三角形的面积为25cm2，一边为5cm，则这条边上的高为．26．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，S△ABD：S△CBD=3：2，则OA：OC的值为．27．△ABC中，D、E分别在AB、AC上，并且AD：DB=2：1，AE：EC=1：2，则S△ADE：S△ABC=．28．已知在△ABC中，AD是中线，G是重心，如果GD=2cm，那么AG=cm．29．如图，G是△ABC的重心，S△DGC=4，S△ABC=．30．一个三角形的三边之比为3：4：5，其中最长边比最短边长4cm，则这个三角形的周长为cm．31．如图，图中阴影部分是黄鹤楼公司某产品的商品图案，若每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积为．32．AD为△ABC中BC边上的中线，则以下面积的关系：S△ADB S△ADC （填“＞”、“＜”或“=”）．33．为了使做好的木门窗在运输、安装过程中不变形，木工师傅在木门窗上斜着加钉了一根木条．其原理是．34．如图中△ABC的面积为．35．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，线段AC比BC短2cm，则△BCD 和△ACD的周长的差是cm．36．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是，AB边上的高是；在△BCE中，BE边上的高是；EC边上的高是；在△ACD中，AC边上的高是；CD边上的高是．37．三角形按角分类，可以把三角形分为．38．三角形的高线、中线、角平分线中，一定能把三角形分为面积相等的两个部分的是．39．已知如图，△ABC的中线AD的中点为E，S△BDE=2cm2，那么S△ABC=cm2．40．已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是．41．如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF=BF，那么△ABF与△ACF的面积比是．42．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD 是AC边上的高，则BD的长为cm．43．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD 是AC边上的高，则BD的长为cm．44．如图，AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线，若△ABC的面积是20cm2，=cm2．则S△ABF45．工人师傅在门框的背面钉一根木条，运用了．46．屋顶钢架常常做成三角形形状，这是利用．47．如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的．48．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．那么AD是△ABC的．（填“中线”或“角平分线”）49．如图，已知AD，AE分别是△ABC的中线和高，且AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长的差为cm．△ABD的面积与△ACD的面积的关系为．50．如图，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点，点F在BC上，若△DEF的面积为16，则△DCF的面积为．华师大新版七年级下学期《9.1.1 认识三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共50小题）1．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为16cm．【分析】根据比例设三角形的三边分别为2k、3k、4k，然后根据周长为36列出方程求解即可．【解答】解：设三角形的三边分别为2k、3k、4k，根据题意得，2k+3k+4k=36，解得k=4，所以，最大的边长为4×4=16cm．故答案为：16cm．【点评】本题考查了三角形，利用“设k法”表示出三边求解更简便．2．一棵小树被风刮歪了，小明用两根木棒撑住这棵小树，他运的数学知识是三角形的稳定性．【分析】当一棵小树被风刮歪了，用两根木棒撑住这棵小树，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：一棵小树被风刮歪了，小明用两根木棒撑住这棵小树，他运的数学知识是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．3．下列图形中具有稳定性有（2），（4）（填序号）【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）2个．故答案为：（2），（4）．【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．4．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD边的中点，且S△ABC=8cm2，则S =2cm2．△ABE【分析】根据三角形的中线平分三角形面积进而得出答案．【解答】解：∵点D、E分别是BC、AD边的中点，=S△ABC，S△ABE=S△ABD，∴S△ABD=S△ABC，∴S△ABE∵S=8cm2，∴S△ABE=8×=2（cm2），△ABC故答案为：2．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及三角形中线的性质，利用三角形中=S△ABC是解题关键．线的性质得出S△ABE5．线段的重心是线段的中点；三角形的重心是中线的交点．【分析】根据线段，三角形的重心的定义填空．【解答】解：线段的重心是线段的中点；三角形的重心是中线的交点．故答案为：线段的中点；中线的交点．【点评】本题考查了三角形与线段的重心的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．6．如图，在△ABC中，BC边上的高是AB；在△AEC中，AE边上的高是CD，EC边上的高是AB．AC边上的高是EF．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，依此即可求解．【解答】解：如图，在△ABC中，BC边上的高是AB；在△AEC中，AE边上的高是CD，EC边上的高是AB．AC边上的高是EF．故答案为：AB；CD；AB；EF．【点评】本题考查了三角形高线的概念，是基础题型．7．如图，在△ABC中，已知AB=8cm，AC=5cm，AD是△ABC的中线，则△ABD 的周长比△ACD的周长多3cm．【分析】根据中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD的周长与△ACD的周长的差为AB﹣AC，从而得解．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ACD的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD=AB﹣AC，∵AB=8cm，AC=5cm，∴△ABD的周长﹣△ACD的周长=8﹣5=3cm，故△ABD的周长比△ACD的周长多3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．8．如图，AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，若△AEC面积为12cm2，则△ABC的面积为48cm2．【分析】根据△ACE的面积=△DCE的面积，△ABD的面积=△ACD的面积计算出各部分三角形的面积，最后再计算△ABC的面积．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，△ACE的面积=△DCE的面积=12cm2，△ABD的面积=△ACD的面积=2△AEC的面积=24cm2，△ABC的面积=2△ABD的面积=48cm2．故答案为：48．【点评】考查了三角形的面积，关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．9．在△ABC，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，交于点O，则OD：OA=．【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，得出O为△ABC重心，利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可得出答案．【解答】解：∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，交于点O，∴O为△ABC重心，∴OD：OA=，故答案为：．【点评】此题主要考查了重心的定义与性质，根据已知得出O为△ABC重心是解题关键．10．在△ABC中，AC=3cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长比△ADC的周长大2cm，则BA=5cm．【分析】先根据中线的性质得出BD=CD，再根据若△ABD周长比△ADC的周长大2cm得出AB﹣AC=2cm，即可求出结果．【解答】解：∵AD是△ABC中线，∴BD=CD，∵△ABD周长比△ADC的周长大2cm，∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）=2cm，∴AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD=AB﹣AC=2cm．∵AC=3cm，∴BA=5cm．故答案为：5．【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，解题时要注意三角形的中线和周长的综合应用．11．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，则DE=2．【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，=S△ADC，∴BD=DC，∴S△ABD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，∴•AB•ED=•AC•DF，∴×3×ED=×4×1.5，∴ED=2．【点评】三角形的中线，把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个知识点．12．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则△ABC中BC边上的高是AD．【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：∵AD⊥BC，∴△ABC中BC边上的高是AD．故答案为：AD．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．13．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AB的中点，AD、BE、CF=12，S△AOE=3，则AF与CF之间的等量关系为AF=交于点O，DC=3BD，S△DOCCF．，等底等高的三【分析】根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△BOD，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列角形的面积相等求出S△BOE式求解即可．=12，【解答】解：∵DC=3BD，S△DOC=×12=4，∴S△BOD∵E是AB的中点，∴S=S△AOE=3，△BOE=x，S△COF=y，设S△AOF=3+3+x=6+x，则S△ABFS△BCF=4+12+y=16+y，∴==，∴x（16+y）=y（6+x），整理得，16x=6y，=，∴AF=CF．故答案为：AF=CF．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记并灵活运用是解题的关键．14．如图，AD⊥BC于D，那么图中△ABC的高是线段AD．【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：△ABC的高是线段AD．故答案为：AD．【点评】本题考查了三角形的高线，熟记概念并准确识图是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是△ABC的中线，则△ACD 的面积是12．【分析】根据直角三角形的面积公式求出△ABC的面积，再根据中线的性质，求得△ACD的面积．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴△ABC的面积：6×8÷2=24，∵CD是△ABC的中线，∴△ACD的面积：24÷2=12．答：△ACD的面积是12．故答案为：12．【点评】考查了直角三角形的面积，中线的性质等知识点，关键是熟悉三角形的中线将三角形的面积分成面积相等的两部分．16．平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，用它们作顶点可以组成三角形的个数是4个．【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）填空．【解答】解：∵平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，∴用它们作顶点可以组成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4个．故填：4．【点评】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接成为三角形．17．如图，E，F，G分别是AB，BC，AC边上的中点，则S△ABC=4S△BEF=4 S△FGC．【分析】根据三角形的中位线定理得出EF∥AC，GF∥AB，EF=AC，GF=AB，再根据相似三角形的性质得出S△BEF ：S△FGC：S△ABC=1：1：4，即可求出答案．【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，BC，AC边上的中点，∴EF∥AC，GF∥AB，EF=AC，GF=AB，∴S△BEF ：S△FGC：S△ABC=1：1：4，∴S△ABC=4S△BEF=4S△FGC，故答案为：4，4．【点评】本题主要考查了三角形的面积；关键是根据三角形的中位线的性质和相似三角形的性质求出答案．18．如图所示：正方形网格中的四边形ABCD，若小方格的边长为1，则四边形ABCD的面积是12．【分析】求出正方形的面积和四个三角形的面积，再相减即可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：四边形ABCD的面积S=5×5﹣×2×3﹣×2×3﹣×3×4﹣×1×2=12．故答案为：12．【点评】本题考查了三角形面积的应用，解此题的关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．19．如图是阳光广告公司为某件商品设计的商标图案，图中阴影部分为斜线，若每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是 3.5．【分析】由图可得，图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去三个三角形的面积，三角形的底、高可根据小正方形的边长为1得到，解答出即可．【解答】解：由题意可得，阴影部分的面积=4×4﹣×1×4﹣×3×3﹣×3×4=16﹣2﹣﹣6=3.5．故答案为3.5．【点评】本题主要考查了三角形的面积，注意不规则图形面积的求法，体现了转化思想．20．图中可数出的三角形个数为48个．【分析】因为图中线段DE上的每条线段都对着两个三角形，故数出线段条数即可求出三角形的个数，以及以AC为轴，左右还有6个，即可得出总数．【解答】解：如图，共有6+5+4+3+2+1=21条线段，则有三角形21×2=42个．以AC为轴，左右还有6个，∴三角形个数一共有48个，故答案为：48．【点评】此题考查了线段的条数的数法，解题过程中利用了转化思想，将三角形个数问题转化为线段条数问题是解题的关键．21．建筑工地上，我们经常会见到木工师傅在木门框上斜钉上一根木条，这是因为三角形具有稳定性的缘故．【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【解答】解：木工师傅在木门框上斜钉上一根木条，是为了构成三角形，因为三角形具有稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．22．观察下面两图形的形成过程，若AD=3，DB=4，则△ADE和△BDF面积的和为6．【分析】由图形的旋转可知，图形顺时针旋转了90°，即∠EDF=∠ADA′=90°，可得∠ADB=90°，△ADE和△BDF面积的和即为△A′DB的面积．【解答】解：观察图形的旋转可知：旋转角∠EDF=∠ADA′=90°，AD=A′D=3，∴∠A′DB=180°﹣∠ADA′=90°，∴S△ADE +S△BDF=S△A′BD=×A′D×BD=6．故答案为：6．【点评】本题考查了旋转的性质，通过旋转将两个图形“移”到同一个图形中去，便于计算面积．23．已知，锐角三角形ABC的三边AB=6cm，BC=7cm，AC=8cm，∠A=α，则△ABC的面积等于24sinαcm2（用含α的式子表示）．【分析】过B点作BD⊥AC垂足为D，在三角形ABD中，根据三角函数的定义求出BD的长，然后根据三角形面积公式进行解答．【解答】解：过B点作BD⊥AC垂足为D，在Rt△ABD中，∵sinα=，∴BD=6sinα，=AC•BD=24sinα，∴S△ABC故答案为24sinα．【点评】本题主要考查三角形面积的知识点，熟记三角形的面积公式是解答本题的关键．24．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是a cm．则AE+CD+BF= cm．【分析】由于AD、BE、CF是△ABC的三条中线，根据中线的性质可以得到AE+CD+BF=（AC+BC+AB），利用这个结论即可求解．【解答】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，∴AF=AB，CD=CB，BF=AB，∴AE+CD+BF=（AC+BC+AB），而△ABC的周长是a cm，∴AE+CD+BF=cm．故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形中线的性质，也利用了三角形的周长计算公式，比较简单．25．一个三角形的面积为25cm 2，一边为5cm ，则这条边上的高为 10cm ．【分析】根据三角形面积的计算公式S=ah ，解答出即可；【解答】解：设这条边上的高为h ，∵三角形的面积为25cm 2，一边为5cm ，∴，解得，h=10cm ；故答案为：10cm ．【点评】本题主要考查了三角形面积的计算公式，熟记三角形面积计算公式，是解答本题的基础．26．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，S △ABD ：S △CBD =3：2，则OA ：OC 的值为 ．【分析】首先根据同底不同高的两个三角形的面积比S △ABD ：S △CBD =3：2推知两个三角形的同底上的高线比=；然后利用相似三角形的判定定理AA 推知Rt △AOE ∽Rt △COF ；最后根据相似三角形的对应边成比例求得==． 【解答】解：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过C 点作CF ⊥BD 于点F ．∵S △ABD ：S △CBD =3：2，∴BD•AE ：BD•CF=3：2，∴=；在Rt △AOE 和Rt △COF 中，，∴Rt △AOE ∽Rt △COF （AA ），∴==（相似三角形的对应边成比例）．故答案是：．【点评】本题考查了三角形的面积比．解答该题时，借用了相似三角形的判定定理AA 和相似三角形的对应边成比例的性质．27．△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，并且AD ：DB=2：1，AE ：EC=1：2，则S △ADE ：S △ABC = 2：9 ．【分析】连接CD ，根据同高三角形的面积等于底边长为比可得△ADE 和△EDC 的面积是1：2，△BCD 的面积是S △ADC =S △ADE ；从而可得△ABC 面积是S △ADC ．【解答】解：连接CD ，△ADE 和△EDC 同高，底边长为AE ：EC=1：2，所以面积也是1：2，所以△ADC 面积就是△ADE 的3倍；又因为△BCD 和△ADC 也是同高，底边是AD ：DB=2：1，所以△BCD 的面积是S △ADC =S △ADE ；所以△ABC 面积是S △ADC ，即S △ADE ：S △ABC =2：9．故答案为：2：9．【点评】考查了三角形的面积，本题的关键是熟练掌握等高的三角形面积比等于底边比的运用及辅助线的添加．28．已知在△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，如果GD=2cm ，那么AG= 4 cm ．【分析】根据三角形重心的性质即可求出AG 的长．【解答】解：∵G 是△ABC 的重心，且AD 是中线，∴AG=2GD=4cm．故答案为：4．【点评】此题考查了三角形重心性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．29．如图，G是△ABC的重心，S△DGC=4，S△ABC=24．【分析】由于G是△ABC的重心，可得AG=2GD，BD=CD，根据等高三角形的面=12；同理D是BC中点，可得出△ABD和△ABC 积比等于底之比，可求出S△ABD的面积比，由此得解．【解答】解：如图，连接BG．∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD，BD=CD，=2S△BGD=2S△CGD=8，∴S△AGB=3S△BGD=12．∴S△ABD∵BD=CD，=2S△ABD=24．∴S△ABC故答案为：24．【点评】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．30．一个三角形的三边之比为3：4：5，其中最长边比最短边长4cm，则这个三角形的周长为24cm．【分析】设三角形的三边长分别为：3xcm，4xcm，5xcm，根据关键语句“最短的边比最长的边短4m，”可得5x﹣3x=4，解可得到x的值，进而可以算出三边长，再计算出周长即可．【解答】解：设三角形的三边长分别为：3xcm，4xcm，5xcm，由题意得：5x﹣3x=4，解得：x=2，则三角形的三边长分别为：6cm，8cm，10cm，周长为：6+8+10=24（cm），故答案为：24．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据三边的比值表示出三边长，再根据关键语句列出方程即可．31．如图，图中阴影部分是黄鹤楼公司某产品的商品图案，若每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积为 2.5．【分析】把阴影部分分成两个三角形和一个平行四边形：左边的三角形，中间的平行四边形，右边的三角形．然后根据面积公式分别计算各部分的面积．【解答】解：阴影部分的面积为=2.5．【点评】考查了根据三角形面积公式进行计算的能力．32．AD为△ABC中BC边上的中线，则以下面积的关系：S△ADB=S△ADC=（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】本题从等底（DB=CD），同高而解得．【解答】解：∵AD为△ABC中BC边上的中线∴BD=CD，S△ADB和S△ADC的高是相等的，∴S△ADB=S△ADC=故填：=，=．【点评】本题考查了三角形的面积，从底边和高考虑，从而解决了问题．33．为了使做好的木门窗在运输、安装过程中不变形，木工师傅在木门窗上斜着加钉了一根木条．其原理是三角形的稳定性．【分析】根据安装过程中不变形，木工师傅在木门窗上斜着加钉了一根木条，是利用了三角形的稳定性．【解答】解：其原理是：三角形的稳定性．【点评】考查了三角形的稳定性的性质．34．如图中△ABC的面积为9.5．【分析】分别过点A、B、C作x轴，y轴的垂线，围成矩形CDEF，S△ABC=S矩形CDEF﹣S△ABE ﹣S△ACD﹣S△BCF．【解答】解：过点A、B、C作x轴，y轴的垂线，围成矩形CDEF，∴S△ABC=S矩形CDEF﹣S△ABE﹣S△ACD﹣S△BCF=4×5﹣3×4÷2﹣1×5÷2﹣1×4÷2=20﹣6﹣2.5﹣2=9.5．【点评】本题考查了三角形面积的计算，并且用了割补法．35．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，线段AC比BC短2cm，则△BCD和△ACD的周长的差是2cm．【分析】由题意易得△ACD和△BCD的周长的差就是线段AC与BC的差，据此求解．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD=BD，又∵△ACD的周长=AC+AD+CD，△BCD的周长=BC+BD+CD，∴△BCD的周长﹣△ACD的周长=BC﹣AC=2cm．【点评】此题主要考查三角形的周长和中线的应用．36．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是AF，AB边上的高是CE；在△BCE中，BE边上的高是CE；EC边上的高是BE；在△ACD中，AC 边上的高是CD；CD边上的高是AC．【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案．【解答】解：根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高，得出：在△ABC中，BC边上的高是AF，AB边上的高是CE；在△BCE中，BE边上的高是CE；EC边上的高是BE；在△ACD中，AC边上的高是CD；CD边上的高是AC．故答案为：AF，CE，CE，BE，CD，AC．【点评】本题主要考查对三角形的高的定义的理解和掌握，能区分一条线段是否是三角形的高是解此题的关键．37．三角形按角分类，可以把三角形分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．【分析】角有锐角、直角和钝角，三角形按角分类分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．【解答】解：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，故答案为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．【点评】此题考查的知识点是三角形，关键明确：有一个角是直角的三角形是直角三角形．三个角都为锐角的三角形是锐角三角形．有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．38．三角形的高线、中线、角平分线中，一定能把三角形分为面积相等的两个部分的是中线．【分析】根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分．【解答】解：把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线．故答案为：中线．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，以及等底等高的三角形的面积相等的性质，三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段，它把三角形的面积分为相等的两部分．39．已知如图，△ABC的中线AD的中点为E，S△BDE=2cm2，那么S△ABC=8cm2．=S△ABD，S△ABD=S△ABC，所以【分析】△ABC的中线AD的中点为E，所以S△BDES△ABC=4S△BDE．【解答】解：∵△ABC的中线AD的中点为E，=S△ABD，S△ABD=S△ABC，∴S△BDE=4S△BDE，∴S△ABC=2cm2，又∵S△BDE∴S=8cm2．△ABC【点评】解答这类题目时，只要找准了图形的底边和底边之间的关系，高和高之间的关系，再根据面积公式来计算就不难理解其中的规律了．40．已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是9．【分析】由于BD是△ABC的一条中线，由此可以得到AD=CD，而△ABD与△BCD 的周长分别为21，12，并且BD公共，利用三角形的周长公式即可求出AB﹣BC的长．【解答】解：∵BD是△ABC的一条中线，∴AD=CD，而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，∴AB﹣BC的长=21﹣12=9．【点评】此题主要考查了三角形的中线的性质，也考查了三角形的周长公式，比较简单．41．如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF=BF，那么△ABF与△ACF的面积比是2：1．【分析】根据三角形的面积公式可得，因为CF=BF，则S=BC×高×，S△ABF=BC×高×，即可求得比值．△ACF【解答】解：∵CF=BF，=BC×高×，S△ACF=BC×高×，∴S△ABF∴△ABF与△ACF的面积比是2：1．【点评】不同底同高的两个三角形面积比等于底边的比．42．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD 是AC边上的高，则BD的长为cm．【分析】根据三角形的面积公式，即可得出关于BD的一元一次方程，解之即可得出结论．=AB•BC=AC•BD，【解答】解：∵S△ABC∴12×5=13•BD，∴BD=cm．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积以及解一元一次方程，利用面积法找出关于BD的一元一次方程是解题的关键．43．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD 是AC边上的高，则BD的长为4cm．【分析】根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，以及直角三角形的特征，可得：AB•BC=AC•BD，据此求出BD的长为多少即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴AB•BC=AC•BD，∴BD===4（cm）．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．44．如图，AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线，若△ABC的面积是20cm2，=5cm2．则S△ABF【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行解答．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线，=S△ABC=×20=5cm2．∴S△ABF故答案为：5【点评】本题考查了三角形的面积，能够利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质求解是解题的关键．45．工人师傅在门框的背面钉一根木条，运用了三角形的稳定性．【分析】用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：工人师傅在门框的背面钉一根木条，运用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．46．屋顶钢架常常做成三角形形状，这是利用三角形的稳定性．【分析】屋顶钢架常常做成三角形形状，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：屋顶钢架常常做成三角形形状，这是利用三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．。
七年级数学思维探究(24)认识三角形(含答案)
24．认识三角形 解读课标从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用． 代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类． 问题解决例1 在ABC △中，高BD 和CE 所在直线想交于O 点，若ABC △不是直角三角形，且60A ∠=︒，则BOC ∠=_________度．试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样ABC △形状应分两种情况讨论． 例2 如图，将纸片ABC △沿着DE 折叠压平，则（ ）．A ．12A ∠=∠+∠B ．()122A ∠=∠1+∠C ．()113A ∠=∠+∠2D ．()1124A ∠=∠+∠试一试 在折叠动态变化中，不变关系是B C AED ADE ∠+∠=∠+∠，这是解本例的关键．例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C ∠、B ∠的关系．（2）如图②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C ∠、D ∠是否还有（1）中的关系？说明理由． （3）请你提出一个类似的问题．试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）．例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，()0,2C -，()3,2D --． （1）求BCD △的面积；（2）如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断CPQ ∠与CQP ∠的大小关系，并证明你的结论；（3）如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在x 轴正半轴上运动，ACB ∠的平分线CE 交DA 的延长线于21DAB ED ABCE 图①DABCF 图②点E ，在B 点的运动过程中，EABC∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．试一试 对于（3），ABC ∠能否用E ∠的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键． 例5 在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：()32200814017+⨯-=（个）．解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，则它们的内角和为180n ︒⋅，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360︒的内角，2008个点共提供内角2008360⨯︒，于是得方程1803602008180n =⨯+，解得4017n =，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形． 角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．例6 （1）如图①，已知ABC △中的两内角平分线交于P 点，两外角平分线交于M 点，一内角平分线与一外角平分线交于N 点．试分别探究BPC ∠、M ∠、N ∠与A ∠关系；（2）如图②，在凹四边形ABCD 中，已知ABD ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，求证：2ADE ∠+∠∠=．分析与解 （1）1902BPC A ∠=︒+∠，1902M A ∠=︒-∠，12N A ∠=∠．（2）凹四边形ABCD 形似“规形”，易证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．图①图②图③NPABC图①x y yxD A BCE 图②图②可分解为两个“规形”，BE ∵、CE 分别平分ABD ∠、ACD ∠，∴可设ABE DBE x ∠=∠=，ACE DCE y ∠=∠=． 由（1）得E A x y ∠=∠++，① D E x y ∠=∠++，②②-①得D E E A ∠-∠=∠-∠，2A DE ∠+∠∠=∴．数学冲浪 知识技能广场1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若100ADF ∠=︒，则BM D ∠=_________度．2．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中1∠的度数为_______．3．如图，ABC △中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠=_______．4．如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；…，2008A BC ∠的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，则2009A ∠=________．5．如图，ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的外角分别记为α、β、γ．若::3:4:5αβγ=，则::A B C ∠∠∠=（ ）．A ．3:2:1B ．1:2:3C ．3:4:5D ．5:4:3MABCEF 1ECBA DABA 1A 26．如图，BP 是ABC △中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的邻补角的平分线．若20ABP ∠=︒，50ACP ∠=︒，则A P ∠+∠=（ ）．A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒7．在等腰ABC △中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．如图，ABC △中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若145BEC ∠=︒，则B D C ∠等于（ ）．A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．115︒9．如图，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，ABM ∠、BAN ∠的平分线交于C ．问：B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．10．如图①，已知ABC △中，ABC ACB ∠=∠，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且ADE AED ∠=∠．（1）求证：2BAD CDE ∠=∠，（2）如图②，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．CBA γαβMPABCECBA D OMNA C思维方法天地11．在ABC △中，50A ∠=︒，高BE 、CF 交于O ，且O 不与B 、C 重合，则BOC ∠的度数为_______． 12．如图，已知C ∠=45︒，452B α∠=︒+，453BAC α∠=︒+，AE 平分BAD ∠，则CAE ∠=_______．13．如图，BP 平分ABC ∠交CD 于F ，DP 平分ADC ∠交AB 于E ，AB 与CD 相交于G ，如果42A ∠=︒，38C ∠=︒，那么P ∠的度数为________．14．如图，已知ABC △中，A ACB ∠=∠，CP 平分ACB ∠，BD 、CD 分别为ABC △的两外角的平分线，给出下列结论：①CP CD ⊥；②1902D A ∠=︒-∠；③P D A C ∥．其中正确结论的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．315．如图，31ABC ∠=︒，又BAC ∠的平分线AE 与FCB ∠的平分线CE 相交于E 点，则AEC ∠为（ ）． A ．14.5︒ B ．15.5︒ C ．16.5︒ D ．20︒图①A BCE 图②EC BADDABCEDGPABCEF DPAB C EFDABCEF16．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②A E F A F E ∠=∠；③E B C C ∠=∠；④A G E F ∠⊥．其中正确的结论是（ ）．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③17．平面内的四条线段AB 、BC 、CD 、DA 首尾顺次连接，已知24ABC ∠=︒，42ADC ∠=︒． （1）如图①，若BAD ∠与BCD ∠的平分线交于点M ，求AMC ∠的值；（2）如图②，点E 在BA 的延长线上，DAE ∠的平分线和BCD ∠的平分线交于点N ，求ANC ∠的值．18．如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC 、DB的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒． （1）求证：DFE A D E ∠=∠+∠+∠； （2）求E ∠的度数；（3）若在图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ，作1C B E ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CB E ∠与2GCE ∠的平分线交于3E ，依此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +，请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．应用探究乐园19．把一副学生用三角板（30︒、60︒、90︒和45︒、45︒、90︒）如图①放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，8AC =．（1）把图①中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图②，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标；（2）如图③，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．GABCEFCBAD图①DNABCE图②DGABC F20．问题提出 以n 边形的他个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC △的三个顶点和它内部的1个点P ，共4个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把ABC △分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以ABC △的三个顶点和它内部的2个点P ，Q ，共5个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①ABC △的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q 在PAC △内部，如图②； 另一种情况，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q 在PA 上，如图③． 显然，不管哪种情况，都可把ABC △分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以ABC △的三个顶点和它内部的3个点P ，Q ，R 共6个点为顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以ABC △的三个顶点和它内部的m 个点，共()3m +个顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共()4m +个顶点，可把四边形分割成_____个互不重叠的小三角形，问题解决 以n 边形的挖个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个顶点，可把ABC △分割成____个互不重叠的小三角形．实际应用 以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）图①图②图③图①图②图③ABC图④24．认识三角形 问题解决例l 当ABC △为锐角三角形时，120BOC ∠=︒；当ABC △为钝角三角形时，60BOC ∠=︒．例2 B 180B C AED ADE A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，又12360B C A E D A D E ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，得()218012360A ︒-∠+∠+∠=︒，化简得()1122A ∠=∠+∠．例3 （1）()12DAE C B ∠=∠-∠；（2）过A 作AG BC ⊥于G ，则()12EFD EAG C B ∠=∠=∠-∠；（3）略例4 （1）3BCD S =△（2）可证明CPQ CQP ∠=∠．（3）CD AB ∥，可证明1122ABCE ABC ABC ∠∠==∠∠为定值．数学冲浪1．85 2．75︒ 3．260︒ 4．20092α5．A 6．C 7．C 8．C9．190452C AOB ∠=︒-∠=︒，为一定值．10．（1）证明略；（2）（1）中的结论仍然成立 11．50︒或130︒ 12．126︒13．40︒ 如图，由对顶三角形性质得122122A P A C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩，解得40P ∠=︒．14． D 15． B 16．C17．（1）可证明()1332AMC ABC ADC ∠=∠+∠=︒．（2）可证明()11801232ANC B D ∠=︒+∠+∠=︒．18．（1）略；（2）2D E ∠=∠，代入（1）得15E ∠=︒；（3）122113022n n n E D +++∠=∠=⋅︒．19．（1）()5,0F -，()1,0H -，()8,4B -． （2）22.52M α∠=︒+，752N α∠=︒-，97.5M N ∠+∠=︒，故M N ∠+∠的值不会改变．20．探究三：7分割示意图：（答案不唯一）． 探究四：()321m +-或21m + 探究拓展：()421m +-或22m +21PGFEDCBA问题解决：()21n m +-或22m n +-实际应用：把8n =，2012m =代入上述代数式，得2222012824024824030m n +-=⨯+-=+-=．CBA。
七年级数学思维探究(24)认识三角形(含答案)
24．认识三角形 解读课标从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用． 代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类． 问题解决例1 在ABC △中，高BD 和CE 所在直线想交于O 点，若ABC △不是直角三角形，且60A ∠=︒，则BOC ∠=_________度．试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样ABC △形状应分两种情况讨论． 例2 如图，将纸片ABC △沿着DE 折叠压平，则（ ）．A ．12A ∠=∠+∠B ．()122A ∠=∠1+∠C ．()113A ∠=∠+∠2D ．()1124A ∠=∠+∠试一试 在折叠动态变化中，不变关系是B C AED ADE ∠+∠=∠+∠，这是解本例的关键．例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C ∠、B ∠的关系．（2）如图②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C ∠、D ∠是否还有（1）中的关系？说明理由． （3）请你提出一个类似的问题．试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）．例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，()0,2C -，()3,2D --． （1）求BCD △的面积；（2）如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断CPQ ∠与CQP ∠的大小关系，并证明你的结论；（3）如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在x 轴正半轴上运动，ACB ∠的平分线CE 交DA 的延长线于21DAB ED ABCE 图①DABCF 图②点E ，在B 点的运动过程中，EABC∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．试一试 对于（3），ABC ∠能否用E ∠的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键． 例5 在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：()32200814017+⨯-=（个）．解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，则它们的内角和为180n ︒⋅，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360︒的内角，2008个点共提供内角2008360⨯︒，于是得方程1803602008180n =⨯+，解得4017n =，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形． 角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．例6 （1）如图①，已知ABC △中的两内角平分线交于P 点，两外角平分线交于M 点，一内角平分线与一外角平分线交于N 点．试分别探究BPC ∠、M ∠、N ∠与A ∠关系；（2）如图②，在凹四边形ABCD 中，已知ABD ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，求证：2ADE ∠+∠∠=．分析与解 （1）1902BPC A ∠=︒+∠，1902M A ∠=︒-∠，12N A ∠=∠．（2）凹四边形ABCD 形似“规形”，易证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．图①图②图③NPABC图①x y yxD A BCE 图②图②可分解为两个“规形”，BE ∵、CE 分别平分ABD ∠、ACD ∠，∴可设ABE DBE x ∠=∠=，ACE DCE y ∠=∠=． 由（1）得E A x y ∠=∠++，① D E x y ∠=∠++，②②-①得D E E A ∠-∠=∠-∠，2A DE ∠+∠∠=∴．数学冲浪 知识技能广场1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若100ADF ∠=︒，则BM D ∠=_________度．2．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中1∠的度数为_______．3．如图，ABC △中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠=_______．4．如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；…，2008A BC ∠的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，则2009A ∠=________．5．如图，ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的外角分别记为α、β、γ．若::3:4:5αβγ=，则::A B C ∠∠∠=（ ）．A ．3:2:1B ．1:2:3C ．3:4:5D ．5:4:3MABCEF 1ECBA DABA 1A 26．如图，BP 是ABC △中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的邻补角的平分线．若20ABP ∠=︒，50ACP ∠=︒，则A P ∠+∠=（ ）．A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒7．在等腰ABC △中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．如图，ABC △中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若145BEC ∠=︒，则B D C ∠等于（ ）．A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．115︒9．如图，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，ABM ∠、BAN ∠的平分线交于C ．问：B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．10．如图①，已知ABC △中，ABC ACB ∠=∠，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且ADE AED ∠=∠．（1）求证：2BAD CDE ∠=∠，（2）如图②，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．CBA γαβMPABCECBA D OMNA C思维方法天地11．在ABC △中，50A ∠=︒，高BE 、CF 交于O ，且O 不与B 、C 重合，则BOC ∠的度数为_______． 12．如图，已知C ∠=45︒，452B α∠=︒+，453BAC α∠=︒+，AE 平分BAD ∠，则CAE ∠=_______．13．如图，BP 平分ABC ∠交CD 于F ，DP 平分ADC ∠交AB 于E ，AB 与CD 相交于G ，如果42A ∠=︒，38C ∠=︒，那么P ∠的度数为________．14．如图，已知ABC △中，A ACB ∠=∠，CP 平分ACB ∠，BD 、CD 分别为ABC △的两外角的平分线，给出下列结论：①CP CD ⊥；②1902D A ∠=︒-∠；③P D A C ∥．其中正确结论的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．315．如图，31ABC ∠=︒，又BAC ∠的平分线AE 与FCB ∠的平分线CE 相交于E 点，则AEC ∠为（ ）． A ．14.5︒ B ．15.5︒ C ．16.5︒ D ．20︒图①A BCE 图②EC BADDABCEDGPABCEF DPAB C EFDABCEF16．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②A E F A F E ∠=∠；③E B C C ∠=∠；④A G E F ∠⊥．其中正确的结论是（ ）．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③17．平面内的四条线段AB 、BC 、CD 、DA 首尾顺次连接，已知24ABC ∠=︒，42ADC ∠=︒． （1）如图①，若BAD ∠与BCD ∠的平分线交于点M ，求AMC ∠的值；（2）如图②，点E 在BA 的延长线上，DAE ∠的平分线和BCD ∠的平分线交于点N ，求ANC ∠的值．18．如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC 、DB的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒． （1）求证：DFE A D E ∠=∠+∠+∠； （2）求E ∠的度数；（3）若在图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ，作1C B E ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CB E ∠与2GCE ∠的平分线交于3E ，依此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +，请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．应用探究乐园19．把一副学生用三角板（30︒、60︒、90︒和45︒、45︒、90︒）如图①放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，8AC =．（1）把图①中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图②，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标；（2）如图③，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．GABCEFCBAD图①DNABCE图②DGABC F20．问题提出 以n 边形的他个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC △的三个顶点和它内部的1个点P ，共4个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把ABC △分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以ABC △的三个顶点和它内部的2个点P ，Q ，共5个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①ABC △的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q 在PAC △内部，如图②； 另一种情况，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q 在PA 上，如图③． 显然，不管哪种情况，都可把ABC △分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以ABC △的三个顶点和它内部的3个点P ，Q ，R 共6个点为顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以ABC △的三个顶点和它内部的m 个点，共()3m +个顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共()4m +个顶点，可把四边形分割成_____个互不重叠的小三角形，问题解决 以n 边形的挖个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个顶点，可把ABC △分割成____个互不重叠的小三角形．实际应用 以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）图①图②图③图①图②图③ABC图④24．认识三角形 问题解决例l 当ABC △为锐角三角形时，120BOC ∠=︒；当ABC △为钝角三角形时，60BOC ∠=︒．例2 B 180B C AED ADE A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，又12360B C A E D A D E ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，得()218012360A ︒-∠+∠+∠=︒，化简得()1122A ∠=∠+∠．例3 （1）()12DAE C B ∠=∠-∠；（2）过A 作AG BC ⊥于G ，则()12EFD EAG C B ∠=∠=∠-∠；（3）略例4 （1）3BCD S =△（2）可证明CPQ CQP ∠=∠．（3）CD AB ∥，可证明1122ABCE ABC ABC ∠∠==∠∠为定值．数学冲浪1．85 2．75︒ 3．260︒ 4．20092α5．A 6．C 7．C 8．C9．190452C AOB ∠=︒-∠=︒，为一定值．10．（1）证明略；（2）（1）中的结论仍然成立 11．50︒或130︒ 12．126︒13．40︒ 如图，由对顶三角形性质得122122A P A C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩，解得40P ∠=︒．14． D 15． B 16．C17．（1）可证明()1332AMC ABC ADC ∠=∠+∠=︒．（2）可证明()11801232ANC B D ∠=︒+∠+∠=︒．18．（1）略；（2）2D E ∠=∠，代入（1）得15E ∠=︒；（3）122113022n n n E D +++∠=∠=⋅︒．19．（1）()5,0F -，()1,0H -，()8,4B -． （2）22.52M α∠=︒+，752N α∠=︒-，97.5M N ∠+∠=︒，故M N ∠+∠的值不会改变．20．探究三：7分割示意图：（答案不唯一）． 探究四：()321m +-或21m + 探究拓展：()421m +-或22m +21PGFEDCBA问题解决：()21n m +-或22m n +-实际应用：把8n =，2012m =代入上述代数式，得2222012824024824030m n +-=⨯+-=+-=．CBA。
初一数学三角形试题答案及解析
初一数学三角形试题答案及解析1.“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是．【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形【解析】因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，【考点】命题与定理2.小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3种．故选C．【考点】三角形三边关系．3.如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【答案】3或厘米/秒.【解析】求出BD，根据全等得出要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CQ或BP=CP，得出方程5=8-3x或3x=8-3x，求出方程的解即可．试题解析：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，∴BD=12厘米，∵∠ABC=∠ACB，∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，即5=8-3x或3x=8-3x，解得：x=1，x=，x=1时，BP=CQ=3，3÷1=3；x=时，BD=CQ=5，5÷=；即点Q的运动速度是3或厘米/秒.【考点】1.全等三角形的判定；2.等腰三角形的性质．4.如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则ΔABD的周长为＿＿＿＿cm。
【解析】要求周长，就要求出三角形的三边，利用垂直平分线的性质计算． 试题解析：因为DE ⊥AC ，AE=CE ， 则DA=DC ，于是C △ABD =AB+BD+DA=AB+（BD+DC ）=AB+BC=10+11=21． ∴△ABD 的周长为21．【考点】线段垂直平分线的性质．5. 已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可以是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C ．【解析】根据三角形的三边关系，得：第三边大于5，而小于13． 故选C ．【考点】三角形三边关系．6. 已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有 个。
七年级数学下册《认识三角形》例题解析(含答案)
《认识三角形》例题解析例1（1）已知：如图1，D是BC上一点，∠C＝62°，∠CAD＝32°，则∠ADB＝_______度．（2）（黑龙江）一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）A．14B．15C．16D．17（3）用7根火柴首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为________．解：（1）∠ADB＝∠CAD＋∠C＝32°＋62°＝94°．故应填94°．（2）∵这个三角形第三边应满足4＜x＜10，∴最小边为5．则周长最小值为3＋5＋7＝15．故应选B．（3）7根火柴可分为:1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3四种，其中能摆成三角形的是：1，3，3；2，2，3两种．故应填2．评析：第（3）小题要分类讨论，并要用三角形三边关系来检验每种情况能否构成三角形．例2如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝60°，∠EBC＝20°，试求∠ADC的度数．解：因为∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝30°．又因为BE是高，所以∠ABE＝30°．而∠EBC＝20°，所以∠ABD＝50°．所以∠ADC＝∠ABD＋∠BAD＝50°＋30°＝80°．评析：解这类题目要明确所求的角属于哪一个三角形的内角或外角，抓住题目中存在的等量关系列式计算即可．有时运用列方程解会更简捷．例3如图3，已知：在直角三角形ABC中，∠A＝90°，BP平分∠ABC，若CP平分∠ＡCB且交BP于P，求∠BPC的度数．解：因为BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB．因为∠BPC＝180°-（∠PBC＋∠PCB），又∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A，所以∠BPC＝180°-12（∠ABC＋∠ACB）＝90°＋12∠A．即∠BPC＝90°＋12×90°＝135°．跟踪练习：1．如图4所示，∠1和∠2是A、B两木板与地面的夹角，∠3是两木板间的夹角．若∠3＝110°，则∠2－∠1＝________．2．如图5，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．3．如图7，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．4．如图8，BP、CP分别平分△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD，BP、CP交于P点，若∠A＝80°，试求∠P的度数．参考答案：1．702．603．874．40。
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《认识三角形》例题解析
例1（1）已知：如图1，D是BC上一点，∠C＝62°，
∠CAD＝32°，则∠ADB＝_______度．
（2）（黑龙江）一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边
长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）
A．14B．15C．16D．17
（3）用7根火柴首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为________．
解：（1）∠ADB＝∠CAD＋∠C＝32°＋62°＝94°．
故应填94°．
（2）∵这个三角形第三边应满足4＜x＜10，
∴最小边为5．则周长最小值为3＋5＋7＝15．
故应选B．
（3）7根火柴可分为:1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3四种，其中能摆成三角形的是：1，3，3；2，2，3两种．故应填2．
评析：第（3）小题要分类讨论，并要用三角形三边关系来检验每种情况能否构成三角形．
例2如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝60°，∠EBC＝20°，试求∠ADC的度数．
解：因为∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝30°．
又因为BE是高，所以∠ABE＝30°．
而∠EBC＝20°，所以∠ABD＝50°．
所以∠ADC＝∠ABD＋∠BAD＝50°＋30°＝80°．
评析：解这类题目要明确所求的角属于哪一个三角形的内角或外角，抓住
题目中存在的等量关系列式计算即可．有时运用列方程解会更简捷．
例3如图3，已知：在直角三角形ABC中，∠A＝90°，BP平分∠ABC，若CP平分∠ＡCB且交BP于P，求∠BPC的度数．
解：因为BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
所以∠PBC＝1
2
∠ABC，∠PCB＝
1
2
∠ACB．
因为∠BPC＝180°-（∠PBC＋∠PCB），又∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A，
所以∠BPC＝180°-1
2
（∠ABC＋∠ACB）＝90°＋
1
2
∠A．
即∠BPC＝90°＋1
2
×90°＝135°．
跟踪练习：
1．如图4所示，∠1和∠2是A、B两木板与地面的夹角，∠3是两木板间的夹角．若∠3＝110°，则∠2－∠1＝________．
2．如图5，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．3．如图7，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
4．如图8，BP、CP分别平分△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD，BP、CP交于P点，若∠A＝80°，试求∠P的度数．
参考答案：
1．702．603．874．40。