第二节向量及其坐标表示法

cos γ = ± 1 − cos 2 α − cos 2 β
1 2 2 2 = ± 1−( ) − ( ) 3 3
2 =± 3
因此
1 α x = α cos α = 6 × = 2 , 3 2 α y = α cos β = 6 × = 4 , 3
2 （ = α z = α cos γ = 6 × ± ） ±4. 3
是非零向量，由数乘向量的定义可知， 设 a 是非零向量，由数乘向量的定义可知， a 向量 的模等于 1 ， 所以有 同方向， 且与 a 同方向， a
a a° = , a
因此任一非零向量 a 都可以表示为
a = a a°.
二、向量的坐标表示法
在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中， 与x 轴、y 轴、z 轴的正向 同向的单位向量分别记为 i、 j、k， 称为基本单位向 ， 称为基本单位向 量. 设向量 a 的起点在坐标原点 O， ， 终点为 P(x, y, z). ( ) 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 ( ) 标轴， 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 ， ， 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA = x i , 同理 OB = y j , OC = z k .
于是， 由向量的三角形法则， 于是， 由向量的三角形法则， 有 a = OP = OQ + QP
记作 的坐标表达式， 称 a = xi + yj +பைடு நூலகம்zk 为向量 a 的坐标表达式，
= xi + yj + zk .
= OA + OB + OC
2
解 由条件可得
M1 M2 = { 4 − 1 , 2 − (−2 ) , − 1 − 3 } = { 3 , 4 , − 4 },
M 1 M 2 = 3 2 + 4 2 + ( −4) 2 = 41 ,
cos α = 3 41 , cos β = 4 41 , cos γ = −4 41 .
1 例 4 设向量 a 的两个方向余弦为 cos α = , 3 2 cos β = , 又 α = 6 , 求向量 a 的坐标 的坐标. 3 1 2 解 因为 cos α = , cos β = . 可知 3 3
2 2 a ax + a2 + az y az az cos γ = , = 2 2 2 a ax + ay + az
cos β =
ay
=
ay
,
cos α + cos β + cos γ = 1
2 2 2
例 3 已知 M1 ( 1 , −2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , −1 )， 、 ， 的模及方向余弦. 求 M 1 M 的模及方向余弦
a = {ax , ay , az } = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
z
= ( x2i + y2 j + z2k ) − ( x1i + y1 j + z1k ) = ( x 2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k
A
a
B
a = { x , y , z },
的坐标. 其中 x，y，z 称为向量 a 的坐标 ， ，
向量的坐标表示法
A x
z C P k i O Q a j B y
为起点， 例 1 已知 a = AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， ( B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 为终点的向量， ( 式. 解 a = AB = OB − OA
b a c=a−b
即
是一个非零向量， 定义 2 设 a 是一个非零向量，λ 是一个非零 实数， 实数， a 与 λ 的乘积仍是一个向量，记作 λa ， 且 的乘积仍是一个向量， 则 ( 1 ) | λa | = | λ | | a |; 反向， ， 与 a 反向，当 λ < 0， 0， 如果 λ = 0 或 a = 0，规定 λa = 0. 数乘向量满足结合律与分配律， 数乘向量满足结合律与分配律，即 µ(λa ) = ( µλ ) a ， λ ( a + b ) = λa + λb ， ( λ + µ ) a = λa + µ b ， 是数量. 其中 λ，µ 是数量. ( 2 ) λa 的方向 同向， 与 a 同向，当 λ > 0， ，
O y
x
设
a = a x i + a y j + a zk ,
b = b x i + b y j + b zk ,
则
a ± b = (a x ± bx )i + (a y ± b y ) j + (a z ± bz )k ,
λ α = ( λ α x )i + ( λ a y ) j + ( λ a z )k ,
所以 α ={2 , 4 , 4 }或 α ={2 , 4 ,－4 }. { { －
例 5 已知作用于一质点的三个力为 F1 = i－2k ， 求其合力F F F2 = 2i－ 3j + 4k ， 3 = j + k ，求其合力 的大小及 方向角. 方向角 解 因为 F = F1 + F2 + F3 = { 1, 0 , − 2 }+ { 2 , − 3 , 4 }+ { 0 , 1 , 1 }
第八章
向量代数
空间解析几何
第二节
向量及其坐标表示法
一、向量的概念 二、向量的坐标表示法
一、向量的概念
既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、 既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、 加速度等. 这类量称为向量 或称为矢量 加速度等. 这类量称为向量，或称为矢量. 向量， 矢量. 记作 | a |; 模等 的大小称为该向量的模， 向量 a 的大小称为该向量的模， 的向量称为单位向量 单位向量. 于 1 的向量称为单位向量. 与 a 同向的单位向量记 为 a °，模等于 0 的向量称为零向量， 记为 0 ，其 的向量称为零向量 零向量， 方向不定. 方向不定 如果方向 不论起点是否一致， 两个向量 a 与 b 不论起点是否一致， 相同、模相等， 相同、模相等， 则它们是相等的 记为 a = b . 即经 相等的， 则它们是相等的， 平行移动后，两向量完全重合. 平行移动后，两向量完全重合 允许自由移动的向 量称为自由向量 自由向量. 量称为自由向量
(λ 为数量 为数量). 或 a ±b =
( a x ± bx , a y ± b y , a z ± bz ),
λ a = {λ a x , λ a y , λ a z }.
例2 解
已知 a = { 2 , − 1 , − 3 }， b = { 2 , 1 , − 4 } ， ， a + b = {2 + 2 , − 1 + 1 , − 3 + (−4)}
= { 3 , − 2 , 3 },
所以， 所以，可得
F = 3 2 + ( −2) 2 + 3 2 = 22 ≈ 4.7,
cosα = 3 22 , cos β = −2 22 , cosγ = 3 22 .
查表可得
α ≈ 50 ° 1 4 ′ ，
β ≈ 115 ° 1 4 ′ ,
γ ≈ 50 ° 1 4 ′ ,
a b a+b b a a b (a+b)+c=a+(b+c) a+b b+c c
从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结 从图中可以看出 向量的加法满足交换律和结 合律. 合律 a+b=b+a (a + b ) + c = a + (b + c). 根据向量加法的三角形法则， 根据向量加法的三角形法则， 若向量 b 加向 量 c 等于向量 a ， 则称向量 c 为 a 与 b 之差， 之差， 记为 c = a − b .
以 定义 1 设有两个非零向量 a 、b ， a 、b 为 边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图 如左图， 边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图， 和向量， 称为两向量 a 与 b 的和向量，记为 a + b， 这就 ， 是向量加法的平行四边形法则 平行四边形法则. 是向量加法的平行四边形法则 则由 a 的起点， 若以向量 a 的终点作为向量 b 的起点， 的终点的向量. 的和向量. 的起点到 b 的终点的向量 也是 a 与 b 的和向量 这是向量加法的三角形法则 三角形法则. 这是向量加法的三角形法则 这个法则可以推广到 任意有限个向量相加的情形. 任意有限个向量相加的情形
求 a + b , a − b , 3a − 2b .
=
a−b
{ 4 , 0 , − 7 }, = { 2 − 2 , − 1 − 1 , − 3 − ( − 4 )}
= { 0 , − 2 , 1 },
3a − 2b = { 6 , − 3 , − 9 } − { 4 , 2 , − 8 }
= { 2 , − 5 , − 1 }.
a 的起点放在坐标原点，那么它的终点坐标 A 的起点放在坐标原点， 的坐标就是( 的坐标就是(ax , ay , az). 由两点间距离公式可知
2 a = OA = a x + a 2 + a z2 . y
z R A
γ
O
P x
β α
Q y
非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 α 、β 、γ 其中0 (其中 ≤α ≤ π , 0 ≤ β ≤ π , 0 ≤ γ ≤π )，称为向量 α 方向角; 的方向角 这三个角的余弦 cos α、cos β、 、 cos γ 称为向量 的方向余弦 因为△OPA、△ORA 称为向量a 方向余弦. 因为△ 都是直角三角形， 都是直角三角形，所以 ax ax cosα = , = 2 2 a ax + a2 + az y