电磁波在介质中的传播规律
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电磁波在介质中的传播规律
电磁波的传播是电磁场理论的重要组成部分。我们只考虑电磁波在各向同性均匀线性介质中传播,分别对电磁波在线性介质和非线性介质中的传播规律进行讨论。
1、电磁场的波动方程
一般情况下,电磁场的基本方程是麦克斯韦方程,而我们讨论的介质是各向同性均匀线性的,即(0,0==j ρ)的情形。麦克斯韦方程组的解既是空间的函数又是时间的函数,而我们只考虑随时间按正弦函数变化的解的形式。对于这种解,其形式可表示成一个与时间无关的复矢量和一个约定时因子()t j ωex p 相乘,这里ω是角频率。在这种约定下,麦克斯韦方程组便可表示成[]1
ΗE ωμj -=⨯∇ (1) ΕΗωεj =⨯∇ (2) 0=⋅∇Ε (3) 0=⋅∇Η (4) 对方程(1)两边同取旋度,并将式(2)代入便得
ΕΕεμω2=⨯∇⨯∇ (5) 利用如下矢量拉普拉斯算子定义以及方程(3)
()ΕΕΕ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇2 (6) 方程(5)式变为[]2
022=+∇ΕΕk (7)
μεω=k (8) 类似地,可得Β所满足的方程为
022=+∇ΒΒk (9) 方程(7)和(9)式称为亥姆霍兹(Helmholtz )方程,是电磁场的波动方程。
2、平面波解
一般的电磁波总可用傅里叶分析方法展开成一系列。单色平面波的叠加。所以,对单色平面波的研究具有重要的理论和实际意义。假定波动方程(7)和(8)式的单色平面波的复式量解为[]3
()[]r k ΕΕ⋅-=t j ωex p 0 (10) ()[]r k ΒΒ⋅-=t j ωex p 0 (11) 式中0Ε,0Β分别为Ε,Β振幅,ω为圆频率,k 为波矢量(即电磁波的传播方向)。
()[]t kx j ω-ex p 代表波动的相位因子。
为了描述均匀平面波的相位在空间的变化快慢,在此引入相速的概念,即平面波等相位的传播速度。很显然等相位面由下面方程决定[]1
const kr t =-ω (12)
方程(12)两边对时间t 求导可得
k
dt dr v ω==
(13) 由式(8)可知
εμ1=v (14)
将(10)和(11)式代入我们上面给出的麦克斯韦方程组可得[]3
00Βk Εω-=⨯ (15)
0201Εk Βωv
=⨯ (16) 00=⋅Εk (17) 00=⋅Βk (18) 由(17)和(18)可以看出,介质中传播的电磁波是横波,电场与磁场都与传播方向垂直;
由(15)和(16)式可知:0Ε,0Β与k 三者相互垂直,且满足右手螺旋关系。
3、电磁波在线性介质中的传播[]1
电磁波在线性介质中的传播,即电介质参数和磁导率都为实数的波传播情况。由关系式(8)可知,波数k 必为实数。根据平面波解形式(10)易知,平面电磁波在线性介质中传播,只有相位发生变化,无幅值变化。将式(15)写成
ΗΕk η=⨯ (19) 其中⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==εμωμηk 。而且η的单位是Ω,故称为波阻抗。其物理意义是垂直于传播方向平面上的电场和磁场的比值。在线性介质中,波阻抗η为实数,也就是纯电阻,所以电场和磁场同相。
4、电磁波在非线性介质中的传播[]1
实际中见到的非线性介质是电介质参数为复数的情形,即"'εεεj -=,譬如海水、湿地。通常这种介质的损耗是由电导率σ引起,故又有ω
σε="。根据关系式(8)有 2/1"''1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=εεμεωj k (20)
将复数k 写成 αβj k -= (21)
由式(20)不难推出 2/12"'1'12⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εεμεωβ (22) 2/12'"'112⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εεμεωα (23)
由此可知,平面电磁波在非线性介质中传播,除了相位以传播常数β随距离变化外,其
幅值也要以衰减常数α随距离指数衰减。此时波阻抗为
2/1''"1⎪⎭⎫ ⎝⎛-==εεεμεμηj (24)
由此可知,在非线性介质中,一般来说电场和磁场不再同相。下面我们分弱耗和良导体中两种情况进行讨论。在弱耗情况下,即210'
"-<εε,式(22),(23),(24)可近似为 'μεωβ≈ (25)
'
'"
22εμσεμωεα=≈ (26) 'ε
μη= (27) 由此可知,在弱耗情况下,传播常数β与在线性介质中传播下相同,衰减常数α与频率无关,电场和磁场同相。在良导体下,即2'"
10>ε
ε,式(22),(23),(24)可近似为 22"
ωμσ
μεωβ=≈ (28)
2ωμσβα≈
= (29)()σ
ωμη21j += (30) 由式(30)可知,在良导体中,电场和磁场不在同相,而是电场始终超前磁场4
π。由式(29)可知,电磁波在良导体中传播衰减很快,很难深入到良导体内部。一般电磁场能量集中于良导体表面。为此定义一个趋附深度δ,描述电磁波穿透导体的能力,具体定义式是
σδ1
= (31)即为
电磁波幅值减到原来的≈-1e 0.37时,所传播的厚度。
参考文献
[1] 盛新庆. 电磁波述论[M]. 北京: 科学出版社, 2007
[2] 郭硕鸿. 电动力学(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006
[3] 沙湘月, 伍瑞新. 电磁场理论与微波技术[M]. 南京: 南京大学出版社,
2004