3第三章 时域分析法11

② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表
s0 1
③ 求解辅助方程得:
1 劳斯表何时会出现零行?
[解]：劳斯表为：
s 3 a0
a2
s 2 a1
a3
s 1 a1a2 a0a3 0 a1
s 0 a3
0
系统稳定的充要条件为：
❖ a0 , a1 , a2 , a3 均大于零 ❖ 且 a1a2 a0a3 0
时域分析法
例2：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
[解]：劳斯表为：
时域分析法
[例]：s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
s6 1 8 20 16
辅助方程为：
s5 2 12 16 0 1 6 8 s4 2 12 16 0 1 6 8
s 3 01 03 00 0
s4 6s2 8 0 求导得： 4s3 12s 0
s2 3 8
b2
a1 a5 a1a4 a0a5
a1
a1
a0 a6
b3
a1 a7 a1a6 a0a7
a1
a1
时域分析法
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5 s n2 b1 b2 b3 sn3 c1 c2 c3 sn4 d1 d 2 d 3
a1 a3
c1
b1 b2 b1a3 b2a1
时域分析法
线性定常系统稳定的充要条件
系统特征方程的根（即闭环极
点）全部具有负实部。或者说， 稳
特征方程的根应全部位于s平面 的左半平面。
定 区
j s平面
临不
界稳
稳0 定
定 区
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，
只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信 号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与 零点无关。
大小相等符号 相反的实根
共轭虚根
对称于实轴的 两对共轭复根
时域分析法
2）劳斯表某一行中所有的系数都为零
[处理方法]可将不为零的最后一行的系数组成 辅助方程，并以此辅助方程式对s求导所得方程 的系数代替全零的行。
大小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到，而且根的数目总是偶数（辅 助方程应为偶次数的）。
b1
b1
a1 a5
c2
b1 b3 b1a5 b3a1
b1
b1
s0 g1
a1 a7
c3
b1 b4 b1a7 b4a1
b1
b1
用同样的方法，求取表中其它行的系数，一直进
行到第n+1行（s0行）为止。
为了简化数值计算，可以用一个正数去除或乘某 一行的各项，并不改变稳定性的结论。
时域分析法
时域分析法
3.如果所有系数都是正的，则可以将多项式系数 按下列格式列出劳斯阵列表（劳斯表）
a0 s n a1s n1 an1 s an 0
sn a0 a2 a4
sn1 a1 a3 a5
s n2 b1 b2 b3
sn3 c1 c2 c3
sn4 d1 d 2 d 3
s0 g1
劳斯表的前两行由特征方 程的系数组成。
s1 1Biblioteka Baidu
s0
3 8
或 s3 3s 0 用1，3，0代替全零行即可。
第一列元素都大于零，说明s右半平面没有闭环极点。 但出现了全零行，表明系统有共轭虚数极点。
时域分析法
[例]：s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0 系统的共轭虚数极点可由辅助方程求出。 辅助方程为： s4 6s2 8 0
4.根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判 据来判断系统的稳定性
劳斯判据的内容如下： 系统稳定的充要条件是劳斯表第一列各元 素均为正数。如果第一列系数中有负数，则系 统不稳定，且第一列系数符号的改变次数等于 特征方程式的根在s平面右半部分的个数。
时域分析法
例1：特征方程为： a0 s 3 a1s 2 a2 s a3 0 ， 如果要使系统稳定，试判断各个系数满足的条件。
时域分析法
例：特征方程式为： s4 2s3 s2 2s 1 0 ，试 判断稳定性。
[解]：劳斯表为：
s4 1 1 1
s3
2
2
0
s2 0( ) 2 0
s1 2 2 0
0
s0 1 0 0
若
0
则
2 2
故第一列有两次符号变化， s右半平面有两个极点， 系统不稳定 。
时域分析法
2）劳斯表某一行中所有的系数都为零，表明在s平面内 存在大小相等但位置径向相反的根，至少要下述几种情 况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根；或 一对共轭虚根；或对称于实轴的两对共轭复根。
第一行为1，3，5，…项 系数组成，
第二行为2，4，6，…项 系数组成。
时域分析法
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5
s n2 b1 b2 b3
sn3 c1 c2 c3 sn4 d1 d 2 d 3
s0 g1
a0 a2
b1
a1 a3 a1a2 a0a3
a1
a1
a0 a4
(s2 2)( s2 4) 0
解得： s1,2 j 2 , s3,4 j2 此时系统是临界稳定的。 控制工程上认为是不稳定的。
时域分析法
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
劳 s4 1 7 6
s3 51 51
斯 s2 61 61 表 s1 02
时域分析法
3-9 劳斯—赫尔维茨判据 一、劳斯(Routh)判据 使用劳斯判据判断系统稳定性的步骤如下： 1.列出系统特征方程式
a0 s n a1 s n1 an1 s an 0 式中各项系数均为实数，且使 a0 > 0 。
2.判断各项系数是否都为正值
特征方程式各项系数均为正值是系统 稳定的必要条件。
s5 1 1 s4 2 3
s 3 0.5 1.5
s2 9 5 s1 32 0
9
s0 5 0
4
5
0
-1 3 0（ 2）
0
0
1 0 0（ 9 ） 32
劳斯表第一列有 负数，系统是不 稳定的。
其符号变化两次， 表示有两个极点 在s的右半平面。
0
时域分析法
5.两种特殊情况
1）劳斯表某一行中的第一列项等于零，但其余 各项不全为零或者没有其余项。 [处理方法] 用一个很小的正数ε来代替这个 零，并据此计算出阵列中的其余各项。 如果上下两项的符号相同，则说明系统存在一 对虚根，系统处于临界稳定状态； 如果不同，表明有一次符号变化，系统不稳定。