3第三章 时域分析法11
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第3章 时域分析法
第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。
由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。
瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。
稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。
在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。
所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。
选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。
常见的典型输入信号如下。
1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。
2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。
图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。
脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理 第三章 时域分析法
二阶欠阻尼系统的输出
拉氏逆变换得：
二阶欠阻尼系统输出分析
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和 暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分 量为衰减过程，振荡频率为ωd。
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
下面根据上图来分析系统的结构参数 、 n 对阶
跃响应的影响。
• 平稳性（％）
结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡 倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小，
三、稳定性判据
本节主要讲下代数判据，代数判据的形式很 多，有劳斯判据（Routh），赫尔维茨 （Hurwitz)稳定判据，林纳德 奇帕特 （Lienard-Chipard)判据，劳斯-侯维智稳 定判据等。
由前面的讲述可知，判定系统稳定的最直接 方法是求出系统的闭环特征根，根据特征根 的位置判断，但有时候这种计算不方便。代 数判据的目的是不直接求特征根，通过间接 的方法判断系统稳定性。
二阶系统单位阶跃响应
过阻尼系统分析
• 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大
的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰 减速度慢
• 衰减项前的系数一个大，一个小 • 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和
超调，但又不同于一阶系统
• 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，
• 快速性
从图中看出，对于5％误
差带，当 0.707时，调
节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量<5 ％，平稳性也较好，故称
0.707为最佳阻尼比。
总结： n
越短；当
越大，调节时间 t
一定时， n
s
越大，快速性越好。
• 稳态精度
h(t)11 12entsin(dtarccos)
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
第3章 时域分析法
第 3章 时域分析
3.2.2 零输入响应与零状态响应
1. 系统的 0 初始状态与 0 初始条件
对于n阶系统，一般称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的 0 初始
状态，称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的初始条件。 在系统微分方程的时域经典解法中，需要采用初始条件来确定 齐次通解的待定系数。也就是说：系统的初始条件可以通过奇异 函数匹配法以及初始状态和外激励产生的零状态响应及其各阶导 数的初始值 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 共同确定。 显然，在时域经典解法中初始条件的确定需要大量计算工作， 使微分方程的求解过程过于繁琐。而在 s 域内的Laplace变换方 法，可直接利用LTI系统已知的初始状态求解微分方程，避免了 确定初始条件的繁琐计算（详见第5章）。
第 3章 时域分析
齐次通解 yh (t ) 由微分方程的特征根决定。
表3-1 几种可能的特征根及其对应的齐次通解
几种可能的特征根 单实根
i
r 1
对应的齐次通解 yh (t )
Ci e t
Cr 1i e t Cr 2i r 2 e t C1i e t C0 e t
f (t ) Ae
st
根据式中 A 和 s 的不同取值，具体有下面三种情况： (1) 若 A = a1和 s =ζ 均为实常数，则 f (t) 为实指数信号
f (t ) Ae a1e
st
t
第 3章 形如图3.3-1所示。 由图5.3-1可知：当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数增长； 当 0 时， f (t ) 则等于常数 a ； 当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数衰减。
第三章控制系统的时域分析法11
Routh稳定判据
(4)Routh表中第一列元素都是正数 实部为正数的根的个数等于Routh表的第一列元素符号 改变的次数
由此可知e.g.1的(3)是稳定的。
Routh稳定判据的应用
e.g.3 某系统的特征方程为a3S3+a2S2+a1S+a0=0，判 断系统稳定的充要条件。
解: (1) 必要性：ai＞0，i=0,1,2,3
3.1 引言
➢ 传递函数：建立的数学模型
➢ 性能分析：稳定性、动态性能和稳态性能分析
➢ 分析方法：时域分析法、根轨迹法、频域分析法
➢ 时域分析法：直接在时间域中对系统进行分析， 具有直观，准确的优点，可以提供系统时间响应 的全部信息
适用范围
拉氏变换
系统微分方程(t)
传递函数(S)
稳定性
拉氏变换
输入信号(t)
b2
b3
S n3
c1
c2
c3
S n4 d1
d2
d3
S2
e1
e2
S1
f1
S0
g1
Routh稳定判据
Routh计算表的前两行元素由多项式的系数所组成。 从第三行开始，各行元素按下列公式计算：
an an2
b1
an1 an3 an1
an1 an3
c1
b1 b2 b1
b1 b2
d1
c1 c2 c1
(2) 列Routh表如下 S 4 1 3 2 S3 3 3 S2 2 2 S1 0 S0 0 0
？ (3)
Routh稳定判据的应用
Key:如果Routh表第一列元素出现0，则可以用一个小的
正数 代替它，然后继续计算其他元素
第三章书后复习题答案
第三章 控制系统的时域分析法课后部分系统参考答案3-2 已知系统的单位脉冲响应为()t t e e t g 5.02.0510--+=试求系统的传递函数。
解：由于是单位脉冲响应，其单位脉冲响应的拉普拉斯变换等于传递函数，即()()()()()()()()5.02.06155.02.02.055.0105.052.010+++=+++++=+++==s s s s s s s s s s G s C3-7设单位反馈控制系统的开环传递函数为()()11.0100+=s s s G试求当输入信号r (t )=(1+2t +t 2)u (t ) 时系统的稳态误差。
解：方法一：根据题意，在输入信号作用下的闭环系统误差传递函数为()()()()()()()s R s s ss s R s s s s s R s G s E ⨯+++=⨯+++=⨯+=1000101010011.011.01122当输入信号为r (t )=(1+2t +t 2)u (t ) 时，其对应的R (s )=1/s + 2/s 2+ 2!/s 3。
相应的稳态误差为()()∞++=⎪⎭⎫⎝⎛++⨯+++==→→02.00!22110001010lim lim 32200s ss s s s s s s sE e s s ss方法二：采用误差系数方法：()()01111.0100lim 0010=∞+=+=∞=+==→rk r e s s s G k p ss s p ()()02.0100210011.0100lim lim 020====+==→→v ss s s v k r e s s ss G s k ()()∞====+==→→0!2011.0100lim lim 0322v ss s s a k r e s s ss G s k ∞=∞++=++=02.00321ss ss ss ss e e e e3-8 已知单位反馈系统闭环传递函数为()()106.21.525.123401+++++=s s s s b s b s R s C ①在单位斜坡输入时，确定使稳态误差为零的参数b 0，b 1应满足的条件；②在①求得的参数b 0，b 1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。
第3章 时域分析法
6．稳态误差 在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表 示，通常用ess反映系统跟踪输入时的稳态精度。
稳态误差ess：对单位负反馈系统，当t→∞时，系统单位阶跃响应的实际稳态 值与给定值之差，即
ess1= 1 − c(∞) 如果c(∞)为1, 则系统的稳态误差为零。
函数的图形如图3-5所示。
t 0
图3-5 正弦函数图形
3.2 阶跃响应的性能指标
（1）动态过程。动态过程也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信 号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数 选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。显然，一 个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳 定的，动态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼 情况等信息，这些信息是用系统动态性能描述的 。
（2）稳态过程。稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号 作用下，当t→∞时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复 现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。在分 析系统性能时，认为当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围以后， 系统进入稳态。
由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳 态性能指标两部分组成，一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状 态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么在其他输入形式 作用下的动态性能也能满足要求。
时间ts。稳态值称为误差带，可以是5%或2%，前者称为5%误差带， 后者称为2%误差带。
5．峰值时间
在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的峰值时间可以用tp来 表示，通常用tp评价系统的响应速度，也反映系统的局部快速性。
时域分析法
动,试分析系统在x扰动下的特性。
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：
自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
简明教程第三章控制系统的时域分析法
§第三章 控制系统的时域分析法
§3.3 二阶系统的时域分析
d 2 y (t ) dy(t ) T1 T2 y (t ) x(t ) 2 dt dt
Y ( s) 1 (s) X ( s ) T1S 2 T2 S 1
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
n C ( s) (s) 2 R( s ) S 2 n n 2
2
（3-18）
T2 2 T1
2 n
T2 T1
n 2
1 T1
n
1 T1
n －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
§第三章 控制系统的时域分析法
§3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统的动态特性，可以用 和 n 加以描述,二阶系统的特征方程：
S 2 2 n S n 0
S1, 2 n n 2 1
1 T
t0
t s 3T ５％
§第三章 控制系统的时域分析法
§3.2 一阶系统的时域分析
§3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
当
1 R(s) 2 S
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 TS 1 S 1 TS S S
例1 R-L-C 串连电路
ui u R u L u0
u R Ri di ul L dt 1 u 0 idt C
d 2u0 du LC RC 0 u 0 u i dt dt 2
d 2 y (t ) dy(t ) T1 T2 y (t ) x(t ) 2 dt dt
第三章 时域分析法
, 2n
F J
F F
Fc 2 JK
引入两个新的参量
n——无阻尼自然频率或固有频率 ——阻尼比
特征方程(characteristic equation)：s2 2ns n2 0
特征根：
s1,2 n n 2 1
过阻尼 overdamping
临界阻尼
critical damping
1 1
初始状态为零的系统，在典型外作用下输出量的动态过程。
(1) 单位阶跃响应： H (s) (s) R(s) (s) 1
s
h(t) L1[(s) 1] s
(2) 单位斜坡响应：
Ct
(s)
(s)
R(s)
(s)
1 s2
ct
(t)
L1[(s)
1 s2
]
(3) 单位脉冲响应： K(s) (s) R(s) (s) 1 (s)
(s s1) (s s2 ) s
C3 C1es1t C2es2t
式中：
C1
(s1
n2
s2 )s1
C2
(s2
n2
s1)s2
C3 1
1) 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应(Unit step response of overdamped second order system)
1 s1,2 n n 2 1
0 1 s1,2 n jn 1 2 jd
n
——实根模值
d n 1 2 ——阻尼振荡角频率
• 特征根在s平 面上的分布
0 1 j
n
arccos
jn 1 2
n
n
jn 1 2
• 时域响应解
C(s)
(s)
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大小相等符号 相反的实根
共轭虚根
对称于实轴的 两对共轭复根
时域分析法
2）劳斯表某一行中所有的系数都为零
[处理方法]可将不为零的最后一行的系数组成 辅助方程，并以此辅助方程式对s求导所得方程 的系数代替全零的行。
大小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到，而且根的数目总是偶数（辅 助方程应为偶次数的）。
s1 1
s0
3 8
或 s3 3s 0 用1，3，0代替全零行即可。
第一列元素都大于零，说明s右半平面没有闭环极点。 但出现了全零行，表明系统有共轭虚数极点。
时域分析法
[例]：s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0 系统的共轭虚数极点可由辅助方程求出。 辅助方程为： s4 6s2 8 0
时域分析法
线性定常系统稳定的充要条件
系统特征方程的根（即闭环极
点）全部具有负实部。或者说， 稳
特征方程的根应全部位于s平面 的左半平面。
定 区
j s平面
临不
界稳
稳0 定
定 区
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，
只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信 号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与 零点无关。
② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表
s0 1
③ 求解辅助方程得:
1 劳斯表何时会出现零行?
时域分析法
[例]：s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
s6 1 8 20 16
辅助方程为：
s5 2 12 16 0 1 6 8 s4 2 12 16 0 1 6 8
s 3 01 03 00 0
s4 6s2 8 0 求导得： 4s3 12s 0
s2 3 8
第一行为1，3，5，…项 系数组成，
第二行为2，4，6，…项 系数组成。
时域分析法
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5
s n2 b1 b2 b3
sn3 c1 c2 c3 sn4 d1 d 2 d 3
s0 g1
a0 a2
b1
a1 a3 a1a2 a0a3
a1
a1
a0 a4
4.根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判 据来判断系统的稳定性
劳斯判据的内容如下： 系统稳定的充要条件是劳斯表第一列各元 素均为正数。如果第一列系数中有负数，则系 统不稳定，且第一列系数符号的改变次数等于 特征方程式的根在s平面右半部分的个数。
时域分析法
例1：特征方程为： a0 s 3 a1s 2 a2 s a3 0 ， 如果要使系统稳定，试判断各个系数满足的条件。
时域分析法
3-9 劳斯—赫尔维茨判据 一、劳斯(Routh)判据 使用劳斯判据判断系统稳定性的步骤如下： 1.列出系统特征方程式
a0 s n a1 s n1 an1 s an 0 式中各项系数均为实数，且使 a0 > 0 。
2.判断各项系数是否都为正值
特征方程式各项系数均为正值是系统 稳定的必要条件。
[解]：劳斯表为：
s 3 a0
a2
பைடு நூலகம்s 2 a1
a3
s 1 a1a2 a0a3 0 a1
s 0 a3
0
系统稳定的充要条件为：
❖ a0 , a1 , a2 , a3 均大于零 ❖ 且 a1a2 a0a3 0
时域分析法
例2：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
[解]：劳斯表为：
(s2 2)( s2 4) 0
解得： s1,2 j 2 , s3,4 j2 此时系统是临界稳定的。 控制工程上认为是不稳定的。
时域分析法
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
劳 s4 1 7 6
s3 51 51
斯 s2 61 61 表 s1 02
时域分析法
例：特征方程式为： s4 2s3 s2 2s 1 0 ，试 判断稳定性。
[解]：劳斯表为：
s4 1 1 1
s3
2
2
0
s2 0( ) 2 0
s1 2 2 0
0
s0 1 0 0
若
0
则
2 2
故第一列有两次符号变化， s右半平面有两个极点， 系统不稳定 。
时域分析法
2）劳斯表某一行中所有的系数都为零，表明在s平面内 存在大小相等但位置径向相反的根，至少要下述几种情 况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根；或 一对共轭虚根；或对称于实轴的两对共轭复根。
b1
b1
a1 a5
c2
b1 b3 b1a5 b3a1
b1
b1
s0 g1
a1 a7
c3
b1 b4 b1a7 b4a1
b1
b1
用同样的方法，求取表中其它行的系数，一直进
行到第n+1行（s0行）为止。
为了简化数值计算，可以用一个正数去除或乘某 一行的各项，并不改变稳定性的结论。
时域分析法
时域分析法
3.如果所有系数都是正的，则可以将多项式系数 按下列格式列出劳斯阵列表（劳斯表）
a0 s n a1s n1 an1 s an 0
sn a0 a2 a4
sn1 a1 a3 a5
s n2 b1 b2 b3
sn3 c1 c2 c3
sn4 d1 d 2 d 3
s0 g1
劳斯表的前两行由特征方 程的系数组成。
b2
a1 a5 a1a4 a0a5
a1
a1
a0 a6
b3
a1 a7 a1a6 a0a7
a1
a1
时域分析法
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5 s n2 b1 b2 b3 sn3 c1 c2 c3 sn4 d1 d 2 d 3
a1 a3
c1
b1 b2 b1a3 b2a1
s5 1 1 s4 2 3
s 3 0.5 1.5
s2 9 5 s1 32 0
9
s0 5 0
4
5
0
-1 3 0（ 2）
0
0
1 0 0（ 9 ） 32
劳斯表第一列有 负数，系统是不 稳定的。
其符号变化两次， 表示有两个极点 在s的右半平面。
0
时域分析法
5.两种特殊情况
1）劳斯表某一行中的第一列项等于零，但其余 各项不全为零或者没有其余项。 [处理方法] 用一个很小的正数ε来代替这个 零，并据此计算出阵列中的其余各项。 如果上下两项的符号相同，则说明系统存在一 对虚根，系统处于临界稳定状态； 如果不同，表明有一次符号变化，系统不稳定。