03 投资者的效用函数

(1 0.6)0.5 [1 (0.3)]0.2 (1 1.2)0.3 1
1.2649 0.9311 1.2669 1
0.4921 49.21%
（一）几何平均收益率的计算
2、多个资产组合 P 的几何平均收益率 假设第 j 个资产组合的收益率如下： 情景 收益率 概率 1 R1,j P1,j 2 R2,j P2,j „ „ „ N-1 RN-1,j PN-1,j N RN,j PN,j
N (1 R1 )(1 R2 ) (1 RN 1 )(1 RN ) 1
几何平均收益率的计算例题
假设某个资产组合的收益率如下：
情景 1 2 3
收益率
概率
0.6
0.5
0.3
0.2
1.2
0.3
试计算其几何平均收益率。 解：这个资产组合的几何平均收益率为：
RG (1 R1 ) P1 (1 R2 ) P2 (1 R3 ) P3 1
三、代入公式：
第三章 投资者风险偏好 与最优资产组合
第一节 投资者的效用函数
第一节 投资者的效用函数
一、效用
例1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100 元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。 （1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是不喜欢的，他仍会去干； （2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
0.5 0.5
高于任一 单个证券的收益率
（二）几何平均收益率方法的运用
运用几何平均收益率法选择最优资产组合，最简单 的办法就是从各种投资方案中选择最高几何平均收益率 的资产组合。 几何平均收益率方法不可能挑选一个收益率可能为负 的投资组合，从而可极大程度地排除非有效组合和不适宜 的有效组合。我们把这种特性称为“有效集中”。 使用几何平均收益率方法选择的最优资产组合通常是 一个分散化的组合。 在收益率是正态分布或对数正态分布条件下，可以 证明几何平均收益率最大化的组合是均值—方差有效的。
i 1
n
i
1,
练习题
• 考虑三种证券：
• Ｃ公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为7%； • Ｓ公司的股票，平均收益率为8％，收益率的标准差为6％；
• Ｕ公司的股票，平均收益率为18％，收益率的标准差为13％。
• 此外，假设Ｃ公司和Ｓ公司之间的相关系数为0.5，Ｃ公司和Ｕ 公司之间的相关系数为0.3，Ｓ公司和Ｕ公司之间的相关系数为 0.2。 • 最后假设无风险借贷利率为 4％。 • 假设允许卖空且可以无风险借贷。
含做空的资产组合练习题（42页）
• 假设投资者拥有１００元可以投资于证券Ａ和证券Ｂ。 • 投资者可以将资金全部投资于证券Ａ，获得１４元的收益，即１４％ 的收益率。 • 另一方面，投资者也可以卖空价值１０００元的证券Ｂ，购买价值１ １００元的证券Ａ，则资产组合的期望收益为１５４元， • 而借入证券Ｂ的成本为８０元， • 因此，最初１００元的投资，可以获得７４元（１５４－８０）的收 益，即期望收益率为７４％。
• 求切点资产组合 G与有效边界。
解题过程
一、条件重述
E ( R1 ) 10%, 1 7%; E ( R2 ) 8%,
1,2
2 6%; E ( R3 ) 18%, 3 13%. 0.5, 1,3 0.3, 2,3 0.2. RF 0.4
二、解方程：
投资收益率的边际效用不变。
二、期望效用无差异曲线
不同类型的无差异曲线
三、最优资产组合的选择
包含无风险资产的组合的有效边界
分离定理
一、对风险资产组合的选择 二、选择包含无风险资产的 资产组合的有效边界 三、无差异曲线将决定最优 资产组合的具体位置。
E ( RP )
确定了具体的位置
G
●
P
*
●
切点组合 （市场组合）
√
对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为０
３．风险偏好型投资者的效用函数
风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。
√
表３-２ 一个等价变量

效用函数的二阶导数为正
风险偏好类型总结
表３-３ 投资者风险态度与效用函数
（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度
投资者的绝对风险厌恶程度
增加 递减绝对风险厌恶
二、安全第一方法
（一）罗伊标准（Ｒｏｙ） （二）卡陶卡标准（Ｋａｔａｏｋａ） （三）特尔瑟标准（Ｔｅｌｓｅｒ）
风险厌恶意味着投资者将拒绝一个等价变量。

表３-２ 一个等价变量
√
如果以U(W)表示效用函数，U″(W) 表示效用函数的二阶 导数，风险厌恶意味着 U″(W) < 0 。
２．风险中性型投资者的效用函数
风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一 个等价变量不影响投资者的决策。
√
表３-２ 一个等价变量
E[W ] p1 W1 p2 W2
E[U P (W )] p1 U P (W1 ) p2 U P (W2 )
效用最大化准则 投资者会选择组合Ｂ，而放弃组合Ａ。
二、效用函数的性质
（一）效用函数的一阶导数为正
随着财富增加，效用也将增加。 非饱和性：
效用 U
U ( X ) U ( X 1)
则这个资产组合的几何平均收益率定义为：
RG (1 R1 ) P1 (1 R2 ) P2 (1 RN 1 ) PN1 (1 RN ) PN 1
当 Pi
1 N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时，
RG (1 R1 )1/ N (1 R2 )1/ N (1 RN 1 )1/ N (1 RN )1/ N 1
(1 11) 2 0.032
0.4356 0.198 0.09 0.3276
p 0.3276 0.5724 57.24%
一、允许卖空且可以无风险借贷
最大化目标函数为：
E ( RP ) RF max P
约束条件为：
X
E ( RA ) RF E ( RP ) RF P A
相对风险厌恶程度的度量
上式对财富 W 的一阶导数是R′(W)。 表３５ 随财富变化的相对风险厌恶
三、效用函数与资产组合选择
一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。 因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即：
它的一阶和二阶导数为：
对W 的限制：
二次型效用函数对应的厌恶度
在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度 的函数式及它们的一阶导数将为：
0
100
100000
100100
财富 W
U ( X ) 0
二、效用函数的性质
（二）效用函数随投资者风险偏好而变化 等价变量：
表３-２ 一个等价变量
随机变量 X
确定性量 y
E[U ( X )] U ( y) 1
称变量 X 为等价变量。
也称变量 y 为 X 的确定性等价量。
１．风险厌恶型投资者的效用函数
RF
●
风险资产组合有效边界
无差异曲线
0

第三节 其他最优资产组合选 择方法
一、几何平均收益率方法 二、安全第一方法
一、几何平均收益率方法
（一）几何平均收益率的计算
1、一个资产组合的几何平均收益率 假设某个资产组合的收益率如下： 情景 收益率 概率 1 R1 P1 2 R2 P2 „ „ „ N-1 RN-1 PN-1 N RN PN
在第二种情景下，资产组合收益率为：
RP 2 0.301/ 3 0.301/ 3 0.601/ 3 0.20
资产组合的几何平均收益率为： RGP
(1 RP1 )0.5 (1 RP 2 )0.5 1
RG,P (1 0.167)0.5 (1 0.20)0.5 1 0.183
E[Rp (11)] 1114% (1 11) 8% 0.74,
2 2 P (w) w2 12 2w(1 w)1 2 (1 w)2 2
2 P (11) 112 0.062 2 11 (1 11) 0.5 (0.06) 0.03
效用 U
0
100
100000
100100
财富 W
一、投资者的效用
资产组合 A 情景 期末财富（元） 效用 概率 1 2000 1 0.5 3000 1.4 2 4000 1.8 0.5 资产组合 B 1 1800 0.6 0.4 3120 1.32 2 4000 1.8 0.6
期望期望财富
期望效用
投资者 财富增加
风险投资 增加？
不变 固定绝对风险厌恶
减少
递增绝对风险厌恶
绝对风险厌恶程度的度量
（３-４）
表３４ 绝对风险厌恶相对于财富的变化
（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度
投资者相对风险厌的恶度
增加 递减相对风险厌恶
投资者 财富增加
风险投资 比例增加？
不变 固定相对风险厌恶
减少
递增相对风险厌恶
二次型效用函数与均值—方差模型的关系
二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。 二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。
如果投资的收益率服从正态分布
（即满足马科维茨均值—方差分析假设条件），
同时投资者效用函数为二次型， 那么不论投资者的风险偏好程度如何， 他们在资产组合的有效边界（有效集）中 总能确定一个最优资产组合。
N (1 R1, j )(1 R2, j ) (1 RN 1, j )(1 RN , j ) 1
几何平均收益率的计算例题
下面举例说明。
表３—６给出了三种可能的投资——证券Ａ、证券Ｂ和证券Ｃ； 每种投资都有两种可能的结果，每种可能性相同； ( P, j 0.5 ) i 该组合中这三种证券比例相等。
则第 j 个资产组合的几何平均收益率定义为：
RG, j (1 R1, j ) (1 R2. j )
P,j 1
P2 , j
(1 RN 1, j )
PN 1, j
(1 RN , j )
PN , j
1
当 Pi , j
1 时， N
RG, j (1 R1, j )1/ N (1 R2, j )1/ N (1 RN 1, j )1/ N (1 RN , j )1/ N 1
• 期望收益率从１４％增加到７４％，但是标准差也从６％增加到５ ７．２％，
• 试写出计算过程。
含做空的资产组合练习题（42页）
解： wA 1100 11, wB 1 wA 1 11 10. 100
E[ Rp (w)] wE[ RA ] (1 w) E[ RB ]
第二章 第二节 风险资产组合的有效边界 允许卖空时的有效边界 含做空的资产组合表示方法 第三节 有效边界的求解 一、允许卖空且可以无风险借贷
含做空的资产组合之例
假设投资者有100元，他卖空价值 900元的证券 A，
购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？
1000 解： wB 10, wA 1 wB 1 10 9. 100
(wA wB wC 1/ 3)
试计算并比较各个资产与资产组合的几何平均收益率。
计算资产组合的几何平均收益率
P, j 0.5, i
wA wB wC 1/ 3.
在第一种情景下，资产组合收益率为：
RP1 0.801 / 3 (0.10) 1/ 3 (0.20) 1/ 3 0.167
计算各个资产的几何平均收益率
P, j 0.5, i
wA wB wC 1/ 3.
RG, A (1 0.80)0.5[1 (0.30)]0.5 1 0.122
资产组合的收益率
RG,B [1 (0.10)]0.5 (1 0.30)0.5 1 0.082 RG,C [1 (0.20)] (1 0.60) 1 0.131
第二节 效用无差异曲线与最 优资产组合
一、资产组合效用函数的类型 二、期望效用无差异曲线 三、最优资产组合的选择
一、资产组合效用函数的类型
（一）凸性效用函数 投资收益率的边际效用递减
一、资产组合效用函数的类型
（二）凹性效用函数 投资收益率的边际效用递增
一、资产组合效用函数的类型
（三）线性效用函数