2019-2020学年上海市控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
2020-2021上海控江初级中学高一数学上期末试卷(含答案)
2020-2021上海控江初级中学高一数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-2．设23a log =，b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e5．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1111．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________． 14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________ 15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.16．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．19．函数()()4log 5f x x =-+________. 20．若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由. 23．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。
2019-2020学年上海中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1. 函数f(x)=√2−x +ln (x −1)的定义域为________．2. 设函数f(x)=(x+1)(x−a)x 为奇函数，则实数a 的值为________．3. 已知y ＝log a x +2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，点P 在指数函数y ＝f(x)的图象上，则f(x)＝________．4. 方程92x+1＝(13)x 的解为________．5. 对任意正实数x ，y ，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(9)＝4，则f(√3)=________．6. 已知幂函数f(x)＝(m 2−5m +7)x m 是R 上的增函数，则m 的值为________．7. 已知函数f(x)={2x (x ≤0)log 2x(0<x ≤1)的反函数是f −1(x)，则f −1(12)＝________．8. 函数y ＝log 34|x 2−6x +5|的单调递增区间为________．9. 若函数f(x)=log a (x 2−ax +2)(a >0且a ≠1)满足：对任意x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f(x 1)−f(x 2)>0，则a 的取值范围为________√2） ．10. 已知x >0，定义f(x)表示不小于x 的最小整数，若f （3x +f(x)）＝f(6.5)，则正数x 的取值范围为________．11. 已知函数f(x)＝log a (mx +2)−log a (2m +1+2x )(a >0且a ≠1)只有一个零点，则实数m 的取值范围为________．12. 已知函数f(x)={log 12(1−x),−1≤x ≤n 22−|x−1|−3,n <x ≤m ，(n <m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：（1）n ＝0时，m ∈(0, 2]；（2）n =12时，m ∈(12,2]；（3）n =[0,12)时，m ∈(n, 2]，其中正确的结论的序号为________．二、选择题下列函数中，是奇函数且在区间(1, +∞)上是增函数的是（ ）A.f(x)＝3|x|B.f(x)=1x −xC.f(x)＝−x 3D.f(x)＝−log 2x+1x−1已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增，若实数m 满足f(|m −1|)>f(−1)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)∪(2, +∞)B.(−∞, 0)C.(0, 2)D.(2, +∞)如果函数f(x)在其定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)＝f(x 0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”，若f(x)=lg a 2x +1为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A.(32,3)B.(12,32)C.(32,3]D.(3, +∞]定义在(−1, 1)上的函数f(x)满足f(x)=1f(x−1)+1，当x ∈(−1, 0]时，f(x)=1x+1−1，若函数g(x)＝|f(x)−12|−mx −m 在(−1, 1)内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[14,916)B.(14,916)C.[14,12)D.(14,12) 三.解谷题已知函数f(x)＝2x −1的反函数是y ＝f −1(x)，g(x)＝log 4(3x +1)．（1）画出f(x)＝2x −1的图象；（2）解方程f −1(x)＝g(x)．已知定义在R 上的奇函数f(x)＝ka x −a −x （(a >0且a ≠1)，k ∈R)．（1）求k 的值，并用定义证明当a >1时，函数f(x)是R 上的增函数；（2）已知f(1)=32，求函数g(x)＝a 2x +a −2x 在区间[0, 1]上的取值范围．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t <10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q =6p(t)−1500t −60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？对于定义域为D 的函数y ＝f(x)，若存在区间[a, b]⊂D ，使得f(x)同时满足，①f(x)在[a, b]上是单调函数，②当f(x)的定义域为[a, b]时，f(x)的值域也为[a, b]，则称区间[a, b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f(x)＝x 3的所有“和谐区间”[a, b]；（2）函数f(x)=|4x −3|是否存在“和谐区间”[a, b]？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在(2, k)上的函数f(x)=2m −4x−1有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)＝e x +2e x −9，ℎ(−2)＝ℎ(0)＝1，ℎ(−3)＝−2．（1）求g(x)和ℎ(x)的解析式；（2）若对于x 1，x 2∈[−1, 1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；（3）设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在（2）的条件下，讨论方程f[f(x)]＝a +5的解的个数．参考答案与试题解析2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解谷题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
上海市杨浦区控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海市杨浦区控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知点(a,12)在幂函数f(x)=(a −1)x b 的图象上，则函数f(x)是( ) A. 奇函数B. 偶函数C. 定义域内的减函数D. 定义域内的增函数2. 已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 3. 当时，幂函数y =(m 2−m −1)x −5m−3为减函数，则实数m 的值为( )A. m =2B. m =−1C. m =−1或m =2D. m ≠1±√524. 命题p ：∃x ∈R ，使得2x >x ，命题q ：若函数y =f(x −1)为偶函数，则函数y =f(x)的图象关于直线x =1对称，下列判断正确的是( )A. p ∨q 真B. p ∧q 真C. ￢p 真D. ￢q 假二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. A ={x|x ≥−1}，B ={x|x <3}，则A ∪B = ______ ．6. 函数f(x)=√x−3的定义域是______ ．7. 设函数f(x)={x 2−2x ,(x ⩽0)f(x −3),(x >0)，则f (5)的值为________． 8. 已知函数f(x)的图像关于y 轴对称，且x >0时，f(x)=1x .则x <0时，y =f(x)的图像为________________．9. 已知集合A ={1,3,a }，B ={1,a 2−a +1}，且B ⊆A ，则a =_________．10. 若函数f(x)=a x (a >0且a ≠1)的反函数的图象过点(3,−1)，则a = ______ ．11. 已知函数f (x )=2x 2x −1+a 为奇函数，则实数a =________． 12. 已知函数f(x)={e x +a,x ≤03x −1,x >0(a ∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)=2ax+a 2−1x 2+1，其中a ∈R ，在x ∈[0,+∞)上存在最大值和最小值，则a 的取值范围是______ ． 14. 若3x =12y =8，则1x −1y =__________．15. 函数f(x)=x 2+2x 2+1的值域为______ ． 16. 已知函数f(x)=√9−x 2−√4−x 2，则f(x)的最大值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知函数f(x)=|x −a|−|x +3|，a ∈R ．(1)当a =−1时，解不等式f(x)≤1；(2)不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，求a 的取值范围．18. 设函数f (x ){2x −2,x ≥1,x 2−2x,x <1.求函数g (x )=f (x )−14的零点19. 心理学家通过研究和实验表明，学生在一节课45分钟内的注意力保持的程度指数f(t)与上课时间(分钟)之间近似满足：f(t)={−0.1t 2+2.6t +43,0<t ≤1059,10<t ≤16−2t +91,16<t ≤4011,40<t ≤45．若f(t)的值越大，表示学生的注意力越集中，按照上述结论，请回答以下问题：(Ⅰ)上课开始5分钟后和上课开始18分钟后比较，何时学生的注意力更集中？(Ⅱ)上课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，可以持续多久？(Ⅲ)一道数学题，雷要讲解15分钟，且要求学生的注意力程度指数始终至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题？请说明理由．20.已知函数．(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是减函数；(2)证明：f(x)有零点；(3)设f(x)的零点在区间(1n+1,1n)内，求正整数n．21.已知函数f(x)=(12)x．⑴若存在x∈(0,+∞)，使af(x)−f(2x)>1成立，求实数a的取值范围；⑴若a>0，且当x∈[0,15]时，不等式f(x+1)⩾f[(2x+a)2]恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于基础题．利用幂函数的性质直接求解即可．解：点(a,12)在幂函数f(x)=(a −1)x b 的图象上，∴a −1=1，解得a =2；又2b =12，解得b =−1，∴f(x)=x −1；∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ． 2.答案：B解析：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 2<1，解得−1<x <1.即可判断出关系．解：x 2<1，解得−1<x <1．∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．故选：B ．3.答案：A解析：本题考查幂函数的定义和性质，属于基础题．利用幂函数的定义和单调性求解即可得结果．解：因为函数y =(m 2−m −1)x −5m−3是幂函数又是上的减函数，所以{m 2−m −1=1,−5m −3<0,解得m=2．故选A．4.答案：A解析：解：由图象可知，函数y=2x恒在y=x的上方即2x>x恒成立，故p为真命题若函数y=f(x−1)为偶函数，则其图象关于x=0对称，根据函数的图象的平移可知函数y=f(x)的图象关于直线x=−1对称，故q为假命题p∨q为真命题故选A由图象可知，函数y=2x恒在y=x的上方即2x>x恒成立，可知p为真命题；由偶函数的图象关于x=0对称及函数的图象的平移可知函数y=f(x)的图象关于直线x=−1对称，故q为假命题，然后根据复合命题的真假关系即可判断本题以复合命题的真假关系的判断为载体，主要考查了指数函数的性质，偶函数的性质及函数的图象的平移的应用5.答案：R解析：解：∵A={x|x≥−1}，B={x|x<3}，∴A∪B=R，故答案为：R由A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6.答案：(3,+∞)解析：解：要使原函数有意义，则x−3>0，即x>3．∴函数f(x)=的定义域是(3,+∞)．√x−3故答案为：(3,+∞)．直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.答案：12解析：本题考查函数值的求法，属于基础题．根据题设条件可得f(5)=f(2)=f(−1)，然后代入已知函数解析式即可求解．解：由题意得f(5)=f(2)=f(−1)，当x≤0时，f(x)=x2−2x，所以f(−1)=(−1)2−2−1=1−12=12，故答案为12．8.答案：解析：本题考查函数图像的对称变换．先做出x>0时，f(x)=1x的图像，在关于y轴对称．解：做出x>0时，f(x)=1x的图像如图：关于y轴对称得图像为．故答案为．9.答案：−1或2解析：本题考查集合间包含关系的运用，根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2−a+1=3或a2−a+1= a，分两种情况讨论即可得到结果．解：∵B⊆A，∴a2−a+1=3或a2−a+1=a，①由a2−a+1=3得a2−a−2=0，解得a=−1或a=2，当a=−1时，A={1,3，−1}，B={1,3}，满足B⊆A，当a=2时，A={1,3，2}，B={1,3}，满足B⊆A，②由a2−a+1=a得a2−2a+1=0，解得a=1，当a=1时，A={1,3，1}不满足集合元素的互异性，综上，若B⊆A，则a=−1或a=2．故答案为−1或2．10.答案：13解析：解：∵函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,−1)，∴3=a−1，．解得a=13．故答案为：13利用互为反函数的性质即可得出．本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：−12解析：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．掌握奇函数的性质f(x)=−f(−x)是解题的关键．解：由题意，函数f(x)=2x 2x −1+a 为奇函数， 则有f(x)+f(−x)=2x 2x −1+a +2−x 2−x −1+a =0， 整理得a =−12(2x 2x −1+2−x 2−x −1)=−12(2x2x −1+11−2x)=−12， 故答案为：−12． 12.答案：[−1,0)．解析：分析：先作出函数y 1=e x ，和函数y 2=3x −1，数形结合即可求得。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷一.填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知全集{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<，则A = ． 2．（4分）设实数a 满足2log 4a =，则a = ． 3．（4分）已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图象不经过原点，则实数m = ．4．（4分）函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是 ． 5．（4分）函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．6．（4分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若()9f α=，则α= ．7．（5分）若函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上的最大值为4，则其最小值为 ． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若f （a ）1=-，则a 的值是 ． 9．（5分）如果关于x 的方程|5||3|x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是 ． 10．（5分）若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是 ．11．（5分）函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有个．二.选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）函数111y x =-+的值域是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1⋃，)+∞D ．(,)-∞+∞14．（5分）若a b c >>，0a b c ++=，则下列各是正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b b c >D ．ab bc >15．（5分）已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =，则()F x 是( )A ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D ．偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减 16．（5分）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )AB ．2C ．4D．三.解答题（14+14+14+16+18＝76分） 17．（14分）已知函数2()21f x ax ax =++．（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3-，2]上的最大值为2，求实数a 的值． 18．（14分）设函数()|2|f x x a =-，()2g x x =+． （1）当1a =时，求不等式()()()f x f x g x +-的解集；（2）求证：1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12．19．（14分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0x ∈，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当[16x ∈，40]时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．（16分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数． （1）求实数m 的值（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值．21．（18分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数．（1）已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1-，0]上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4-，2]-上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；②如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知全集{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<，则A = [7，10] ． 【解答】解：{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<， ∴[7A =，10]，故答案为：[7，10]．2．（4分）设实数a 满足2log 4a =，则a = 16 ． 【解答】解：2log 4a =，42a ∴=， 即16a =， 故答案为：16．3．（4分）已知幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图象不经过原点，则实数m = 2 ．【解答】解：幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图象不经过原点，11m ∴-=且2350m m --<，则实数2m =， 故答案为：2．4．（4分）函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是 3a ． 【解答】解：函数2()21f x x ax =--是开口向上的抛物线，对称轴方程为x a =， 所以()f x 在(,)a -∞上单调递减，若函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数， 则3a ．所以函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是3a ． 故答案为：3a ．5．（4分）函数22()log (1)f x x =-的定义域为 (1,1)- ． 【解答】解：要使函数有意义，必须210x ->，解得11x -<< 故答案为：(1,1)-．6．（4分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若()9f α=，则α= 9-或3 ．【解答】解：由题意可得09αα⎧⎨-=⎩或209αα>⎧⎨=⎩9α∴=-或3α=故答案为：9-或37．（5分）若函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上的最大值为4，则其最小值为 12． 【解答】解：函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上单调递增， 最大值为f （2）24a ==，解得2a =；所以()2x f x =在[1-，2]上的最小值为11(1)22f --==． 故答案为：12． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若f （a ）1=-，则a 的值是13- ． 【解答】解：函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称 ∴函数()y g x =与3x y =互为反函数则3()log g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称 3()log ()f x x ∴=-，又f （a ）1=-3log ()1a ∴-=-，13a =-故答案为：13-．9．（5分）如果关于x 的方程|5||3|x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是 [8，)+∞ ． 【解答】解：由于|5||3|x x -++表示数轴上的x 对应点到5和3-对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++=有解，可得8a ， 实数a 的取值范围是[8，)+∞． 故答案为：[8，)+∞．10．（5分）若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是 (-∞，4)(4-⋃，)+∞ ．【解答】解：定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴函数()f x 是在(,0)-∞上是增函数，又(4)0f -=，f ∴（4）0=，由()0xf x >，得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，解得4x >或4x <-．x ∴的取值范围是(-∞，4)(4-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，4)(4-⋃，)+∞．11．（5分）函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是 (-∞，1]- ． 【解答】解：函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ， 必须满足：2210x x a -++->， 即1(22)x x a ->-+，由于函数()1(22)x x g x -=-+的最大值为1-． 所以实数a 的取值范围是(-∞，1]-． 故答案为：(-∞，1]-．12．（5分）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有2 个．【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数2241(0)y x x x =++<的图象关于原点对称的图象， 看它与函数2(0)xy x e =交点个数即可． 如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即()f x 的“友好点对”有：2个． 故答案为：2．二.选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）函数111y x =-+的值域是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1⋃，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：因为101x ≠+， 故1111x-≠+， 故函数111y x =-+的值域{|1}y y ≠． 故选：C ．14．（5分）若a b c >>，0a b c ++=，则下列各是正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b b c >D ．ab bc >【解答】解：a b c >>，0a b c ++=，0a c ∴>>． ab ac ∴>．故选：A ．15．（5分）已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =，则()F x 是( )A ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D ．偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减【解答】解：1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ->>⎧⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩，()f x ∴为奇函数，又2()()F x x f x =，22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=--=-=-，()F x ∴是奇函数，可排除C ，D ． 又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，可排除A ，故选：B ．16．（5分）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )AB ．2C ．4D．【解答】解：22222211111121025(5)()(5)()()a ac c a c a a c a ab a a b a b a b b a b ++-+=-+++=-++---， 22()()24b a b a b a b +--=，当且仅当2a b =时取等号， 2222214424()a a a b a b aa ∴++=-，当且仅当a =时取等号， ∴222211121025(5)044()()a ac c a c a ab a a b b a b ++-+=-+++=--，故选：A ．三.解答题（14+14+14+16+18＝76分） 17．（14分）已知函数2()21f x ax ax =++．（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3-，2]上的最大值为2，求实数a 的值． 【解答】解：（1）当1a =时，2()21f x x x =++， 该函数在(1,)-+∞上为增函数，在(,1)-∞-上为减函数， 又3x y =是增函数，由复合函数的单调性可得， 函数()3f x y =的增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）当0a =时，函数()y f x =为常数函数，在区间[3-，2]上无最值；当0a >时，函数2()21f x ax ax =++的对称轴方程为1x =-，在[3-，2]上先减后增，当2x =时，函数取得最大值为812a +=，则18a =；当0a <时，函数2()21f x ax ax =++的对称轴方程为1x =-，在[3-，2]上先增后减， 当1x =-时，函数取得最大值为12a -+=，则1a =-．故18a =或1a =-．18．（14分）设函数()|2|f x x a =-，()2g x x =+． （1）当1a =时，求不等式()()()f x f x g x +-的解集；（2）求证：1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12．【解答】（1）解：当1a =时，|21||21|2x x x -+++，1242x x x ⎧-⎪⎨⎪-+⎩无解；112222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+⎩，解得102x <；1242x x x ⎧⎪⎨⎪+⎩，解得1223x ． 综上，不等式的解集为2|03x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：若1(),(),()222b b f f f -都小于12，则1122112211122a b a b a ⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得1122a -<<与第三式1322a <<矛盾．故1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12． 19．（14分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0x ∈，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当[16x ∈，40]时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解答】解：（1）当(0x ∈，16]时，设2()(12)84(0)f x b x b =-+<，2(16)(1612)8480f b =-+=，14b ∴=-，∴21()(12)844f x x =--+．当(16x ∈，40]时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-， 0.8()log (15)80f x x ∴=-+．综上，20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）当(0x ∈，16]时，令21()(12)84684f x x =--+<，得[0x ∈，4]，当(16x ∈，40]时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -+≈，[30x ∴∈，40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟．20．（16分）已知函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-是奇函数． （1）求实数m 的值（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值．【解答】解：（1）函数1()log (0,1)1a mx f x a a x -=>≠-是奇函数， ∴对定义域任意x ，恒有()()0f x f x -+=，即11011aa mx mx log log x x +-+=---， 解得1m =-或1m =（舍去），∴实数m 的值为1-．------（3分）（2）由（1）得12()(1)11a a x f x log log x x +==+--， 当1a >时，()f x 在(1,)+∞上递减，当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上递增． 现证明如下： 设12111x t x x +==+--， 121x x ∀>>，211212122()22011(1)(1)x x t t x x x x --=-=<----， 12t t ∴<，当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <，即()f x 在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，12log log a a t t >，即12()()f x f x >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增．----（8分）（3）由题意知()f x 是定义域为(-∞，1)(1⋃，)+∞的奇函数．①当(n ，2)(a -⊆-∞，1)-，即21a --，即01a <<时，由（2）知()f x 在(,2)n a -上为增函数，由值域为(1,)+∞，得1121a n log n a +⎧⎪-⎨⎪-<⎩，无解．②当(n ，2)(1a -⊆，)+∞，即12n a -，有3a >，由（2）知在(,2)n a -上()f x 为减函数，由值域为(1,)+∞，得1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩，解得a =1n =．------（12分） 21．（18分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数．（1）已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1-，0]上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4-，2]-上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；②如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()g x x =是：因为[1x ∀∈-，0]，333()()()0222g x g x x x +-=+-=>； 2()h x x =不是，反例：当1x =-时，311(1)()(1)1224h h h -+==<-=． （2）由题意得，||||x n x +>对于[4x ∈-，2]-恒成立，等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4x ∈-，2]-恒成立，因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9．（3）①不是构造,()1,Rx x Q f x x x C Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意的正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=； 若R x C Q ∈，则R x q C Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=．因此()f x 是R 上的q -增函数，但()f x 不是增函数．②根据题意，当0x 时，22()||f x x a a =--，则当2x a 时，2()2f x x a =-，当20x a 时，()f x x =-，由奇函数的对称性可知： 当2x a -时，2()2f x x a =+，当20a x -时，()f x x =-， 则可得函数图象如图：易知图象与x 轴交点为2(2M a -，0)，2(2N a ，0)，因此函数()f x 在2[a -，2]a 上是减函数，其余区间上是增函数， ()f x 是R 上的4-增长函数，则对任意的x ，都有(4)()f x f x +>， 易知当220a x -时，()0f x ，为保证(4)()f x f x +>，必有(4)0f x +>，即242x a +>， 故220a x -且242x a +>，所以244a >，解得11a -<<，a∈-．故答案为(1,1)。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_41
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据交集、补集的定义计算可得.【详解】解: ,故选:【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知，=（，6），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.【详解】，=（，6），且则即故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】【分析】直接根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题.4.已知角的终边过点，，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】解：由题意可得，，，，解得，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.6.设函数与函数的图象交点坐标为，则所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断函数的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设，则，即函数存在零点，即函数与函数图象的交点横坐标所在的区间为．故选：．【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．8.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10.若函数的定义域、值域都是则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数的对称轴为，结合题意和二次函数的性质可得：，即：，整理可得：，解方程有：或(舍去)，综上可得本题选择A选项11.函数，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的解析式，选出正确选项【详解】解：由题意曲线与的图象沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的图形，故的图形沿轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：．【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量的系数不是的情况，平移时要注意平移的大小是针对于系数是来说的，属于中档题．12.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．【详解】解：由题意可知，，故即函数的周期，当时，，则，．故选：．【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解的取值集合得答案．【详解】解：解得且，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】设，再根据得到方程组，解得.【详解】解：设，解得故，则在基底下的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题.15.已知为第三象限角且，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再用二倍角公式及平方关系化简求值.【详解】解：且为第三象限角解得（舍去）或故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.16.函数的零点个数为_______________.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（1）计算（2）化简【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知即可求出，再根据函数的最小正周期求出，又函数过点，代入即可求出从而得到函数解析式；（2）由的取值范围求出的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知，解得解得又函数过点即，解得，，（2）【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19.已知集合，函数在区间内有解时，实数a的取值范围记为集合B.（1）若，求集合B及；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数在区间内有解时求出参数的取值范围即得到集合，当时带入求出集合，再根据并集的定义计算；（2）可判断集合不为空集，再由集合包含关系得到不等式组解得.【详解】解：函数在区间内有解时，即在区间内有解，因为函数在区间上单调递增，且，则即（1）当时，，（2）因为所以若，解得当时，不符题意，舍去故【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知，，与的夹角是.（1）求；（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根据代入计算可得；（2）依题意可得且，得到不等式解得；【详解】（1），，与的夹角是.（2）与的夹角为钝角且即，即解得解得综上可得【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【解析】【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年【点睛】本题考查指数型函数模型应用，指数对数的运算，属于基础题.22.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：.（1）求，并证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得；（2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①.则即②①加②得，从而可得（2）即令，且函数在定义域上单调递增，，对上恒成立，即对上恒成立，令，则当且仅当即时取等号即【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得.【详解】解: ,故选:【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知，=（，6），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.【详解】，=（，6），且则即故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直接根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题.4.已知角的终边过点，，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】解：由题意可得，，，，解得，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.6.设函数与函数的图象交点坐标为，则所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断函数的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设，则，即函数存在零点，即函数与函数图象的交点横坐标所在的区间为．故选：．【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．8.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10.若函数的定义域、值域都是则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数的对称轴为，结合题意和二次函数的性质可得：，即：，整理可得：，解方程有：或(舍去)，综上可得本题选择A选项11.函数，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的解析式，选出正确选项【详解】解：由题意曲线与的图象沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的图形，故的图形沿轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：．【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量的系数不是的情况，平移时要注意平移的大小是针对于系数是来说的，属于中档题．12.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．【详解】解：由题意可知，，故即函数的周期，当时，，则，．故选：．【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解的取值集合得答案．【详解】解：解得且，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】设，再根据得到方程组，解得.【详解】解：设，解得故，则在基底下的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题.15.已知为第三象限角且，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再用二倍角公式及平方关系化简求值.【详解】解：且为第三象限角解得（舍去）或故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.16.函数的零点个数为_______________.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（1）计算（2）化简【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知即可求出，再根据函数的最小正周期求出，又函数过点，代入即可求出从而得到函数解析式；（2）由的取值范围求出的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知，解得解得又函数过点即，解得，，（2）【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19.已知集合，函数在区间内有解时，实数a 的取值范围记为集合B.（1）若，求集合B及；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数在区间内有解时求出参数的取值范围即得到集合，当时带入求出集合，再根据并集的定义计算；（2）可判断集合不为空集，再由集合包含关系得到不等式组解得.【详解】解：函数在区间内有解时，即在区间内有解，因为函数在区间上单调递增，且，则即（1）当时，，（2）因为所以若，解得当时，不符题意，舍去故【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知，，与的夹角是.（1）求；（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根据代入计算可得；（2）依题意可得且，得到不等式解得；【详解】（1），，与的夹角是.（2）与的夹角为钝角且即，即解得解得综上可得【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【解析】【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年【点睛】本题考查指数型函数模型应用，指数对数的运算，属于基础题.22.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：.（1）求，并证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得；（2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①.则即②①加②得，从而可得（2）即令，且函数在定义域上单调递增，，对上恒成立，即对上恒成立，令，则当且仅当即时取等号即【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.。
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A ．2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.2．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |x x -=的两个根1x 、2x ，则（ ） A ．120x x < B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <【答案】D【解析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <，所以1201x x <<， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4．己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+，可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B. 【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5．方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x =. 【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案. 【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=， 所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x =， 故答案为：18x =. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6．函数y =________. 【答案】[0,)+∞【解析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞. 【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 7．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x . 【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目. 8．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 9．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10．若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果. 【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1). 【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11．己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果. 【详解】 由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数. 【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12．函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[【解析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】 因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减，根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断， 所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[. 【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13．函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞【解析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 14．关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果. 【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞U ， 则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16．已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】3313,4424⎡---+⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎢⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x x f x x x x x x x x x ⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况： ①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩313313x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥， ⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =； 所以a 的取值范围为31331313[,[,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[][,)24---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U .【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17．已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 的解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=，所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--；（2）因为()f x 为奇函数，当0x <时，0x ->， 22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-，且(0)0f =， 所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18．设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0x x +-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果；（2）将式子1936(5)0x x k k k +-+-=整理得出309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0x x k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x +-=，解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =，（2）由1936(5)0x x k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=， 所以309336x x k =-⋅+， 令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈， 所以22315933636()24x x t t t -⋅+=-+=-+， 由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154， 当9t =时，2315()24t -+的最大值为60， 所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤， 所以k 的取值范围是1[,8]2. 【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车.（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..【解析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x =⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟， 根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x --≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --+≤≤ 因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟；（3）令29060162030()+=1818x u x t t x x x x-=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯ 303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增， 结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小.【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ；（2）若2()ln 1a f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析【解析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln1a f x x =+属于集合M ，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244x g x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln 1a f x x =+属于集合M ， 可得方程22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解， 即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+综上，实数a 的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>，故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>， 故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21．对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点；（2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性；（3）当0c =，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】（1）将0c =，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c =，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =-或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+，所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。
2019年控江中学高一期末
控江中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin(2)y x =-的定义域2. 函数2tan()13y x ππ=++的最小正周期为3. 已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =4. 已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=- 5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =6. 在△ABC 中，角A 所对的边为a ，若2a =，且△ABC 的外接圆半径为2，则A =7. 已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，n *∈N ，则数列{}n a 的通项公式为n a =8. 已知数列{}n a的通项公式为124221n n n n k a n k ++=⎧⎪=⎨=-⎪⎩()k *∈N ，n S 是其前n 项和，则38S = （结果用数字作答）9. 在等差数列{}n a （n *∈N ）中，11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么，当n S 取 得最小正值时，n =10. 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim()1n n qq a →∞+-=，则首项1a 的取 值范围是11. 在数列{}n a （n *∈N ）中，12a =，n S 是其n 项和，当2n ≥时，恒有n a ，n S ，2n S -成等比数列，则2lim(1)n n n n a →∞++⋅=12. 设集合{2|016,}n A n n =≤≤∈N ，它共有136个二元子集，如12{2,2}，13{2,2}，L 等等，记这136个二元子集为123136,,,,B B B B ⋅⋅⋅，设1{,}B x y =（1136i ≤≤，i *∈N ），定义()||i S B x y =-，则123136()()()()S B S B S B S B +++⋅⋅⋅+= （结果用数字作答）二. 选择题13. 已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“sin 2cos )x x x ϕ+=+”等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 已知ϕ是常数，如果函数5cos(2)y x ϕ=-+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ 的最小值为（ ） A.3π B. 4π C. 6π D. 2π 15. 某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设n k =（k *∈N ）时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”，现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A. 当8n =时，该命题不成立B. 当8n =时，该命题成立C. 当6n =时，该命题不成立D. 当6n =时，该命题成立16. 已知n *∈N ，实数x 、y 满足关系式2(2)23n x y nx n +=++，若对于任意给定的n *∈N ，当x在[1,)-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ）A. 6B. 0C. 4D. 1三. 解答题17. 在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，n *∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(21)n n b n a =-，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 设函数22()2cos(2)4sin 3f x x x π=-+，定义域为R . （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =-.19. 已知函数2()(1)f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q （q ∈R ，1q ≠）的等比数列，且1(1)a f d =-，9(1)a f d =+，2(1)b f q =-，4(1)b f q =+. （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足：112233n n n b c b c b c b C a +++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），求数列{}n c 的通项公式.20. 已知常数λ∈R 且3λ>-v ，在数列{}n a （n *∈N ）中，首项1a λ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，n *∈N .（1）设12n n n b a a +=-，n *∈N ，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（2）设2n n na c =，n *∈N ，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图像的一条对称轴. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =， 若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围；（3）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数λ∈R ，n *∈N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.参考答案一. 填空题1. [1,3]2. 1T =3. 34. 135. 29arccos48π- 6. 6π或56π 7. 23n n a =+ 8. 1049448 9. 10 10. [2,3)(3,4)U 11. 2- 12. 1835028二. 选择题13. C 14. C 15. C 16. A三. 解答题17.（1）153n a n =-（n *∈N ）；（2）1111()4612n S n n =-+++（n *∈N ）. 18.（1）T π=，单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ； （2）(1)()2126k k x πππ=+-⋅-+，k ∈Z . 19.（1）10n a n =-，22n n b -=；（2）21811()22n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.20.（1）1(3)2n n b λ-=+⋅（n *∈N ）；（2）3344n c n λλ+-=+（n *∈N ）；（3）214(,)99--. 21.（1）()cos2f x x =；（2）1)；（3）1λ=-，1347n =.。
2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝．2．（4分）设函数f（x）＝+，g（x）＝﹣，则函数f（x）•g（x）的定义域为．3．（4分）已知函数f（x）满足f（）＝x，则f（4）＝4．（4分）将函数f（x）＝x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（2）＝．5．（4分）已知常数a∈R，设集合A＝[a，+∞），B＝{﹣1，0，1}，若B⊆A，则a的最大值为．6．（4分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝．7．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝为奇函数，则a＝．8．（5分）已知常数a∈R，函数f（x）＝x2﹣4x+a在[1，4]上有两个不同的零点，则a的取值范围为．9．（5分）已知常数a∈R、函数f（x）＝，若f（x）的最大值与最小值之差为2，则a＝．10．（5分）设x，y，z∈R+，满足2x＝3y＝6z，则2x+﹣的最小值为．11．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝log2（x2+a），g（x）＝f[f（x）]若f（x）与g（x）有相同的值域，则a的取值范围为．12．（5分）已知常数a∈R．设函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），若f（x）的最小值为0，则a的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知常数a∈Q，如图为幂函数y＝x a的图象，则a的值可以为（）A．B．C．﹣D．﹣14．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B＝{x|≥0}．则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）设集合S＝{（x，y，z）|x y＝y z＝z x，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等}，则S中（）A．元素个数为0B．元素个数为3C．元素个数为6D．含有无穷个元素16．（5分）若函数f（x）的图象上存在关于直线y＝x对称的不同两点，则称f（x）具有性质P，已知a，b为常数，函数g（x）＝2x+，h（x）＝，对于命题：①存在a∈R+，使得g（x）具有性质P；②存在b∈R+，使得h（x）具有性质P，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）已知常数a∈R，函数f（x）＝|2x﹣1|+a．（1）若a＝﹣3，解不等式f（x）≤0；（2）若关于x的不等式f（x）≥1对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）＝2x﹣．（1）求函数g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点；（2）若f（x）为偶函数，当x＜0时，解不等式f（x）＜﹣4x﹣3．19．（14分）研究发现，在40分钟的一节课中，注意力指标p与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为p＝．（1）在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；（2）根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳．现有一节40分钟的课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20．（16分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．21．（18分）已知函数f（x），g（x）的定义域分别为D1，D2，若存在常数C∈R+，满足：①对任意x0∈D1，恒有x0+C∈D1，且f（x0）≤f（x0+C）；②对任意x0∈D1，关于x的不等式组f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，则称g（x）为f（x）的一个“C型函数”．（1）设函数f（x）＝和g（x）＝，求证：g（x）为f （x）的一个“型函数”；（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．若g（x）为f （x）的一个“1型函数”，求a的取值范围；（3）设函数f（x）＝x2﹣4x（x≥0）．问：是否存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝{1，2，3}．【分析】由集合A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（4分）设函数f（x）＝+，g（x）＝﹣，则函数f（x）•g（x）的定义域为[0，+∞）．【分析】由根式内部的代数式大于等于0分别求解f（x）与g（x）的定义域，取交集可得函数f（x）•g（x）的定义域．【解答】解：由，解得x≥0，∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）；同理求得函数g（x）的定义域为[0，+∞）．则函数f（x）•g（x）的定义域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．（4分）已知函数f（x）满足f（）＝x，则f（4）＝16【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，将x＝4代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝x，则f（x）＝x2，（x≥0）；故f（4）＝42＝16；故答案为：16．【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题．4．（4分）将函数f（x）＝x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（2）＝0．【分析】根据函数平移关系进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）＝x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝（x﹣2）3，则g（2）＝0，故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．5．（4分）已知常数a∈R，设集合A＝[a，+∞），B＝{﹣1，0，1}，若B⊆A，则a的最大值为﹣1．【分析】根据集合的包含关系，求出a．【解答】解：集合A＝[a，+∞），B＝{﹣1，0，1}，若B⊆A，所以a≤﹣1，故a最大值为﹣1，故答案为：﹣1【点评】考查集合与集合的关系，含参问题求范围，中档题．6．（4分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝3．【分析】由互为反函数的性质可得，直接求出a的值．【解答】解：由互为反函数的性质可得：由题意可得：若f﹣1（a）＝3，即a＝f（3）＝log2（3×3﹣1）＝log28＝3，故答案为：3．【点评】考查互为反函数的性质，属于基础题．7．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝为奇函数，则a＝1．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣（），变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则有＝﹣，变形可得：（a﹣1）•2x＝a﹣1，则有a＝1；故答案为：1．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．8．（5分）已知常数a∈R，函数f（x）＝x2﹣4x+a在[1，4]上有两个不同的零点，则a的取值范围为[3，4）．【分析】根据二次函数的单调区间，结合函数零点判定定理列出不等式解得即可【解答】解：函数f（x）对称轴为x＝2，且在x＜2时单调递减，在x＞2时单调递增，要使函数f（x）＝x2﹣4x+a在[1，4]上有两个不同的零点，则f（1）＝1﹣4+a≥0，f（4）＝16﹣16+a≥0，f（2）＝4﹣8+a＜0，解得3≤a＜4，故a的取值范围是[3，4），故答案为[3，4）．【点评】本题考查函数的基本性质，函数零点判定定理，属于中档题，9．（5分）已知常数a∈R、函数f（x）＝，若f（x）的最大值与最小值之差为2，则a＝．【分析】x∈R，f′（x）＝＝，﹣x2﹣2ax+1＝0，即x2+2ax ﹣1＝0必有两个不等实数根x1，x2．不妨设x1＜x2，f′（x）＝，可知：x＝x1时取得极小值即最小值，x＝x2时取得极大值即最大值．f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝2，化简把根与系数的关系代入即可得出．另解：运用判别式法，利用求根公式即可得出．【解答】解：x∈R，f′（x）＝＝，﹣x2﹣2ax+1＝0，即x2+2ax﹣1＝0必有两个不等实数根x1，x2．不妨设x1＜x2，x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣1．f′（x）＝，可知：x＝x1时取得极小值即最小值，x＝x2时取得极大值即最大值．f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝2，化为：﹣x1+x2+a+a﹣（x1﹣x2+a+a）＝2（1+1++）．∴a＝．另解：由y＝，化为：yx2﹣x+y﹣a＝0，由x∈R，∴△＝1﹣4y（y﹣a）≥0，解得：≤y≤．∴﹣＝2，解得a＝，经过验证满足题意．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）设x，y，z∈R+，满足2x＝3y＝6z，则2x+﹣的最小值为2．【分析】结合对数的换底公式及基本不等式的性质即可求解．【解答】解：设2x＝3y＝6z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，k＞1，则2x+﹣＝2log2k+log k6﹣log k3＝2log2k+log k2，当且仅当2log2k＝log k2时取等号，此时取得最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了对数的换底公式的应用及利用基本不等式求解最值属于基础试题．11．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝log2（x2+a），g（x）＝f[f（x）]若f（x）与g（x）有相同的值域，则a的取值范围为（0，1]．【分析】由已知求得f（x）的最小值，结合题意可得f（x）的最小值小于0，求解对数不等式得答案．【解答】解：∵a∈R+，x2+a≥a，∴f（x）min＝log2a，函数g（x）＝f[f（x）]，若f（x）与g（x）有相同的值域，则f（x）min＝log2a≤0，即0＜a≤1．∴a的取值范围为（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知常数a∈R．设函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），若f（x）的最小值为0，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），f（x）的最小值为0，可得f（x）≥0，化为：a≥．令t＝＞2，则x2＝．可得a≥＝f（t），t＞2．变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），f（x）的最小值为0，∴f（x）≥0，化为：a≥＝．令t＝＞2，则x2＝．∴a≥＝f（t），t＞2．则f（t）＝≤＝．∴a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知常数a∈Q，如图为幂函数y＝x a的图象，则a的值可以为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据幂函数的图象关于y轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C选项正确．【解答】解：根据幂函数y＝x a的图象关于y轴对称，函数是偶函数，排除B、D选项；再根据幂函数y＝x a的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，所以a＜0，排除A，即C选项正确．故选：C．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B＝{x|≥0}．则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】利用不等式的解法化简A，B，即可判断出关系．【解答】解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}＝{x|x≥2，或x≤﹣1}，B＝{x|+≥0}＝{x|x≥2，或x＜﹣1}．则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设集合S＝{（x，y，z）|x y＝y z＝z x，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等}，则S中（）A．元素个数为0B．元素个数为3C．元素个数为6D．含有无穷个元素【分析】设1＜x＜y，∵x y＝y z，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等，可得z＜y，由y z＝z x，则x＞z，由x y＝z x，则y＜x．得出矛盾，即可得出结论．【解答】解：设1＜x＜y，∵x y＝y z，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等，∴z＜y，由y z＝z x，则x＞z，由x y＝z x，则y＜x．与1＜x＜y矛盾，因此不存在x，y，z满足条件．因此S中不含有元素．故选：A．【点评】本题考查了指数函数幂函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在关于直线y＝x对称的不同两点，则称f（x）具有性质P，已知a，b为常数，函数g（x）＝2x+，h（x）＝，对于命题：①存在a∈R+，使得g（x）具有性质P；②存在b∈R+，使得h（x）具有性质P，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】关于直线y＝x对称的两点一定在直线y＝﹣x+m上，所以若函数f（x）具有性质P，则函数f（x）与直线y＝﹣x+m有两个不同交点，然后联立函数与直线方程，求解方程根的个数问题即可．【解答】解：关于直线y＝x对称的两点一定在直线y＝﹣x+m上，所以若函数f（x）具有性质P，则函数f（x）与直线y＝﹣x+m有两个不同交点．①令＝﹣x+m，化简得3x2﹣mx+a＝0，若有两个交点，则△＝m2﹣12a＞0，可取m＝4，a＝1，故存在a∈R+，使得g（x）具有性质P，即①为真命题；②令h（x）＝＝﹣x+m，化简得x3﹣mx2+bx﹣1＝0，即，因为b∈R+，所以该式子不可能有两个根，故不存在b∈R+，使得h（x）具有性质P，即②为假命题．故选：C．【点评】本题考查了函数的新定义问题，考查了学生转化与化归的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）已知常数a∈R，函数f（x）＝|2x﹣1|+a．（1）若a＝﹣3，解不等式f（x）≤0；（2）若关于x的不等式f（x）≥1对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）代入a＝﹣3，得到|2x﹣1|≤3，求出x的范围即可；（2）不等式|2x﹣1|+a≥1对任意x∈R恒成立可化为a≥[1﹣|2x﹣1|]max，利用|2x﹣1|≥0恒成立即可求出a的范围．【解答】解：（1）∵a＝﹣3，f（x）≤0，即|2x﹣1|﹣3≤0，即﹣3≤2x﹣1≤3，解得﹣1≤x≤2，∴f（x）≤0的解集为[﹣1，2]．（2）∵对任意x∈R，不等式f（x）≥1恒成立，即|2x﹣1|+a≥1恒成立，∵|2x﹣1|≥0，∴a≥[1﹣|2x﹣1|]max＝1，∴a≥1．【点评】本题主要考查绝对值不等式解法、考查运算能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）＝2x﹣．（1）求函数g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点；（2）若f（x）为偶函数，当x＜0时，解不等式f（x）＜﹣4x﹣3．【分析】（1）将求函数的零点转化为求方程的解，进而求出方程的解，可得函数的零点；（2）由于函数为偶函数，由偶函数的性质，由已知x≥0的解析式可得x＜0的f（x）的解析式，进而求出不等式的解集．【解答】解：（1）求g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点，即是求方程f（x）＝x（x≥0）的解，由题意可得：2x﹣＝x，整理可得：x2+x﹣2＝0，x≥0，所以解得x＝1，所以g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点为：1；（2）若f（x）为偶函数，设x＜0，则﹣x＞0，由题意可得f（﹣x）＝2（﹣x）﹣＝﹣2x+，由于f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣2x+，所以f（x）＝﹣2x+，x＜0，由题意可得：﹣2x+＜﹣4x﹣3，x＜0．整理可得：2x2+x﹣1＞0，x＜0，解得：x＜﹣1，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）．【点评】考查函数的偶函数的性质及函数的零点与方程根的互化，属于基础题．19．（14分）研究发现，在40分钟的一节课中，注意力指标p与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为p＝．（1）在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；（2）根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳．现有一节40分钟的课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；（2）分段求出满足P≥80的t的范围，再与25比较即可得出结论．【解答】解：（1）当0＜t≤14时，P＝﹣，∴当t＝时，P的值最大，最大值为：82；（2）当0＜t≤14时，令P＝﹣≥80，解得，∴，当14＜t≤40时，令83﹣log3（t﹣5）≥80，解得5＜t≤32，∴t∈[14，32]，∴，∵32﹣（12﹣2）＝20+2＜25，∴教师不能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．20．（16分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的性质，即可解得；（2）根据复合函数的单调性可知，f（x）在x∈[0，]单调递减，再根据二次函数的单调性和f（）≥0，即可求出；（3）当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，所以方程解的个数可转化为直线y ＝a+3与曲线y＝t+在[a，+∞）上的图象的交点个数，即可求出．【解答】解：（1）a＝3时f（x）＝x2﹣3x+1，所以方程为：log3（x2﹣3x+1）＝log3[3（x ﹣）]＝log3（3x﹣4），所以可得：解得：x＝5或x＝1（舍），所以方程的解为：x＝5．（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减可得：f（x）＞0，且f（x）在x∈[0，]单调递减，所以可得解得，即所以a的取值范围为：[]；（3）x＝﹣1显然不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解．当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，所以当0＜a＜2﹣3时，方程无解；当a＝时，方程只有一解；当＜a＜时，方程有两解；当a时，方程只有一解．故n（a）＝．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，对数函数的性质，复合函数的单调性，以及含参的一元二次方程在限定区间上的解的个数问题的解法，考查学生利用所学知识综合处理问题的能力，属于较难题．21．（18分）已知函数f（x），g（x）的定义域分别为D1，D2，若存在常数C∈R+，满足：①对任意x0∈D1，恒有x0+C∈D1，且f（x0）≤f（x0+C）；②对任意x0∈D1，关于x的不等式组f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，则称g（x）为f（x）的一个“C型函数”．（1）设函数f（x）＝和g（x）＝，求证：g（x）为f （x）的一个“型函数”；（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．若g（x）为f （x）的一个“1型函数”，求a的取值范围；（3）设函数f（x）＝x2﹣4x（x≥0）．问：是否存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）①x0∈[0，]时，f（x0）＝﹣1，f（x0+）＝1，﹣1≤g（x）≤g（x+）≤1，判断是否有解即可得出．②x0时，f（x0）＝1，f（x0+）＝1，1≤g（x）≤g（x+）≤1，判断是否有解即可得出．（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．由g（x）为f （x）的一个“1型函数”，可得∀x0≥﹣1，f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，+ax0≤2x≤2（x+1）≤+a（x0+1）．+ax0≤+a（x0+1）．化为：a≥﹣﹣2x0﹣1＝﹣，a≥0．解出即可得出．（3）假设存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”．﹣4x0≤x+≤x+t+≤﹣4（x0+t）．x0≥0，x＞0．由﹣4x0≤﹣4（x0+t）．可得t≥4﹣2x0，t≥4．由x+≤x+t+，解得0＜x＜t．进而判断出结论．【解答】（1）证明：①x0∈[0，]时，f（x0）＝﹣1，f（x0+）＝1，﹣1≤g（x）≤g（x+）≤1，0≤x时，g（x）＝1，g（x+）＝0，上述不等式的解集为∅．x时，g（x）＝g（x+）＝0，上述不等式恒成立，其解集为{x|x}．②x0时，f（x0）＝1，f（x0+）＝1，1≤g（x）≤g（x+）≤1，0≤x＜时，g（x）＝1，g（x+）＝0，上述不等式的解集为∅．x＝时，g（x）＝1＝g（x+），上述不等式的解集为{}．x时，g（x）＝g（x+）＝0，上述不等式的解集为∅．因此g（x）为f（x）的一个“型函数”．（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．∵g（x）为f（x）的一个“1型函数”，∴∀x0≥﹣1，f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，+ax0≤2x≤2（x+1）≤+a（x0+1）．∴+ax0≤+a（x0+1）．化为：a≥﹣﹣2x0﹣1＝﹣，∴a≥0．f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），f′（x）＝3x2+a≥0，函数f（x）在[﹣1，+∞）单调递增．则（+ax0）≤x≤[+a（x0+1）]﹣1．∴[+a（x0+1）]﹣1≥（+ax0）．化为：a≥﹣3x2﹣3x+1＝﹣3+．x∈[﹣1，+∞）．∴a≥．综上可得：a≥．（3）假设存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”．则﹣4x0≤x+≤x+t+≤﹣4（x0+t）．x0≥0，x＞0．由﹣4x0≤﹣4（x0+t）．可得t≥4﹣2x0，∴t≥4．由x+≤x+t+，解得0＜x＜t．x0≥0，x＞0．由﹣4x0≤x+，对于任意给定的x0，此不等式在0＜x＜t范围内恒有解．由x+t+≤﹣4（x0+t）．x0≥0，x＞0．对于任意给定的x0，此不等式在0＜x＜t范围内恒有解．综上可得：t≥4．【点评】本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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2019-2020学年上海市控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知常数Q α∈，如图为幂函数y x α=的图象，则α的值可以是( )A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】C【解析】根据幂函数的定义域，对称性和单调性，逐项验证，即可求解. 【详解】由图象可得函数的定义域为{|0}x x ≠，选项,,A B D 不满足； 选项C ，当23α=-，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征. 故选:C. 【点睛】本题考查幂函数图象识别，考查幂函数的性质，属于基础题. 2．设集合()(){}120A x x x =+-≥，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】化简集合,A B ，确定二者是否有包含关系，即可求解. 【详解】()(){}120{|1A x x x x x =+-≥=≤-或2}x ≥，20{|11x B x x x x ⎧⎫-=≥=<-⎨⎬+⎩⎭或2}x ≥，B A ，“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件. 故选:B.【点睛】本题考查由集合间的关系，判断必要不充分条件，属于基础题. 3．设集合(){},,,1,1,1yz x S x y z xy z x y z ===>>>且x y z ≠≠，则S 中( )A ．元素个数为0B ．元素个数为3C ．元素个数为6D ．含有无穷个元素【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数单调性，可得不存在满足条件,,x y z ，即可得出结果. 【详解】x y z ≠≠，不妨设1,y y z x y z x y y <<<<<，所以不存在,,x y z ，使得y zx y =成立，所以集合S 元素为0个. 故选:A. 【点睛】本题以集合元素为背景，考查幂函数、指数函数的单调性，考查推理能力，属于基础题. 4．若函数()f x 的图象上存在关于直线y x =对称的不同两点，则称()f x 具有性质P .已知,a b 为常数，函数()2g x a x x =+，()21bxh x x =+，对于命题：①存在a R +∈，使得()g x 具有性质P ；②存在b R +∈，使得()h x 具有性质P ，下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】通过函数()2g x ax x=+的图象与y x =位置关系，可得出()g x 是否具有性质P ，对于函数()h x ，设()y h x =通过求解方程()h y x =，判断方程是否存在y x ≠的解，即可得出结论. 【详解】()2g x ax x=+，a R +∈，定义域为{|0}x x ≠，当0,()2ax g x x x x>=+>恒成立， ()g x 第一象限图象恒在直线y x =上方，因此0,()x g x >不存在不同的两点关于图像y x =对称， 因为()g x 是奇函数，由图象的对称性，0,()x g x <不存在不同的两点关于图像y x =对称，所以()g x 不具有性质P ；()21bxh x x =+是奇函数，只需判断0x >时，是否具有性质P 即可， 设()21b y h x x x ==+，令22222221(),,011(1)b xby x h y x x x b x y x +===>+++Q ， 222222222(1)1,(1)(1)b x x b b x x +=+=++，当01b <<时，方程无解， 当1b ≥，21,1x b x b =-=-（舍去负值）， 此时1()111b b h x b x b -==-=-+，以方程的解为坐标的点在y x =上，即方程()h y x =不存在y x ≠的解，所以不满足题意中存在不同的两点. 所以()h x 不具有性质P . 故选:B. 【点睛】本题以新定义为背景，考查函数的性质，解决问题可通过几何方法转化为函数的图象特征，或代数方法转化为方程零点问题，属于较难题.二、填空题5．已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B ⋃= ． 【答案】{}1,2,3【解析】试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合，求出.【考点】1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.6．设函数()1f x x x =+，()1g x x x +，则函数()()⋅f x g x 的定义域为__________. 【答案】[)0,+∞【解析】根据函数的限制条件，分别求出(),()f x g x 的定义域，交集即为所求 【详解】(),()f x g x 定义域均满足10x x +≥⎧⎨≥⎩，解0x ≥，所以()()⋅f x g x 的定义域为[)0,+∞. 故答案为:[)0,+∞. 【点睛】本题考查函数定义域，注意不要求()()⋅f x g x 化简后的定义域，属于基础题. 7．已知函数()f x 满足f x x =，则()4f =__________.【答案】16【解析】4x =，求出x ，根据对应法则，即可求解. 【详解】4,16,(4)16x x f ==∴=. 故答案为:16. 【点睛】本题考查复合函数求函数值，注意换元法的应用，或求出()f x 的解析式，属于基础题. 8．将函数()3f x x =的图象向右平移2个单位后，得到函数()g x 的图象，则()2g =__________.【答案】0【解析】根据图像平移关系，求出()g x ，即可求解. 【详解】将函数()3f x x =的图象向右平移2个单位后，得到函数()g x 的图象，3()(2)(2),(2)0g x f x x g =-=-∴=；故答案为:0. 【点睛】本题考查函数左右平移关系，掌握函数解析式平移前后“左加右减”原则，或者利用平移前后点的关系直接求解，属于基础题.9．已知常数a R ∈，设集合[),A a =+∞，{}1,0,1B =-，若B A ⊆，则a 的最大值为__________. 【答案】1-【解析】根据集合间的关系，利用数轴，即可求解. 【详解】[),A a =+∞，{}1,0,1B =-，,1B A a ⊆≤-.故答案为:1-. 【点睛】本题考查集合的关系求参数，属于基础题. 10．设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1fx -，若()13f a -=，则a =__________.【答案】3 【解析】由()13f a -=，可得(3)a f =，即可求解.【详解】函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，()13f a -=，则2(3)log 83a f ===. 故答案为:3. 【点睛】本题考查互为反函数图像的关系，属于基础题.11．已知常数a R +∈，函数()212x x f x a-=+为奇函数，则a =__________.【答案】1【解析】根据奇函数的必要条件，(1)(1)f f =-，求出a ，再验证()f x 是否为奇函数. 【详解】a R +∈，函数为奇函数且定义域为R ，112(1)(1),122f f a a -∴-=-=-++，解得1a =，此时()212112,()()212112x x xx x xf x f x f x -----=-===-+++， 1a =，满足题意.故答案为:1. 【点睛】本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用，减少计算量，但要验证，属于基础题.12．已知常数a R ∈，函数()24a x x x f =-+在[]1,4上有两个不同的零点，则a 的取值范围为__________. 【答案】[)3,4【解析】根据函数零点存在性定理，结合二次函数图像，即可求解. 【详解】函数()24a x x x f =-+对称轴方程为2[1,4]x =∈()f x 在[]1,4上有两个不同的零点，须1640(1)30(4)120a f a f a ∆=->⎧⎪=-+≥⎨⎪=-+≥⎩，解得34a ≤<. 故答案为:[)3,4. 【点睛】本题考查二次函数零点分布，考查零点存在性定理的应用，以及二次函数的图像性质，属于基础题.13．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.【答案】【解析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()2af x ∴<≤=同理x a <-时，()0f x ≤<，()f x ≤≤即()f x，2=，解得a =. 故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题. 14．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.【答案】【解析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.15．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________. 【答案】(]0,1【解析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解. 【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦， 当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞， 此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+ 当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同， 故a 的取值范围为(]0,1. 故答案为:(]0,1. 【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.16．已知常数a R ∈，设函数()()3321x a f x x =+-+定义域为0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.若()f x 的最小值为0，则a =__________.【解析】由已知可得()0f x ≥恒成立，且等号能取到，分离参数得到20,3a x ⎛ ⎝≥⎭∈恒成立，通过换元，求函数2y x ⎛ ⎝=⎭∈的最大值，即可求解. 【详解】()33210,0,3x a x x ⎛⎫+-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭（）恒成立，且等号能取到，22(3(20,3(21)10x x a x x a +≥+--+≥，2a ∴≥，令2)t t >= 2222213222,222t t x a t t t -⋅-+=≥=+++， 令2222162(2)4(2)6(2(2))4g t t t t t t t t --==+--+=+-++-≤=，当且仅当2t =+24a ∴≥，因为（）取到等号，所以24a =.故答案为. 【点睛】本题考查最值与不等式的关系，转化为不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，注意换元法以及基本不等式的应用，属于较难题.三、解答题17．已知常数a R ∈，函数()21f x x a =-+. (1)若3a =-，解不等式()0f x ≤；(2)若关于x 的不等式()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]1,2-(2)1a ≥.【解析】（1）3a =-代入去绝对值，即可求解；（2）关于x 的不等式()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()1f x ≥，即可求解. 【详解】（1）3a =-时，()2130,213f x x x =--≤-≤，3213,12x x -≤-≤-≤≤，所以不等式的解为[1,2]-； （2）()21f x x a a =-+≥，关于x 的不等式()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立， 所以min ()1f x a =≥， 所以a 的取值范围是1a ≥. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，以及不等式恒成立问题，利用绝对值性质求最值，属于基础题.18．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x ≥时，()221f x x x =-+. (1)求函数()()()0g x f x x x =-≥的零点；(2)若()f x 为偶函数.当0x <时，解不等式()43f x x <--. 【答案】(1)1x =；(2)(),1-∞-.【解析】（1）求()g x 的零点，即解方程2(0)1x x x =≥+，转化为求解一元二次方程；（2）利用偶函数的对称性，求出0x <时，函数解析式，解不等式，即可求解. 【详解】（1）令()()201x g x f x x x =-+-==， 220x x +-=，解得1x =或2x =-（舍去）， 所以函数()g x 的零点为1； （2）当20,0,()21x x f x x x <->-=---+， ()f x 为偶函数，2()21f x x x =-+-， ()43f x x <--等价于022301x x x <⎧⎪⎨++<⎪-⎩， 即2210x x x <⎧⎨+->⎩，解得1x <-， 不等式的解为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查函数的零点，考查函数的奇偶性求解析式，以及解分式不等式，属于中档题. 19．研究发现，在40分钟的一节课中，注力指标p 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩. (1)在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；(2)根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？ 【答案】(1)82；(2)不能. 【解析】（1）014t <≤，216464p t t =-++，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；（2）求出80p >时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论. 【详解】（1）014t <≤，2211646(12)8244p t t t =-++=--+， 当12t =时，p 取最大值为82，在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），注意力指标的最大值为82；（2）由80p >得，()201411282804t t <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或()3144083log 580t t <≤⎧⎨-->⎩ 整理得()2014128t t <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或()31440log 53t t <≤⎧⎨-<⎩，解得1214t -<≤或1432t <<，80p >的解为1232t -<<，而32(122025--=+，所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容. 【点睛】本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题. 20．已知常数a R +∈，函数()21f x x ax =-+.(1)若3a =，解方程()33g lo 413g lo f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭； (2)设函数()()12g x f x =⎡⎤⎣⎦.若()g x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；(3)设集合(){}3,1A x f x x a x a ==+-≥-的元素个数为n ，求n 关于a 的函数()n a 在R +表达式.【答案】（1）5x =；（2）4313,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）见解析 【解析】（1）方程化为同底的对数式，转化为真数相等，求解一元二次方程，验证真数大于0，即可求解；（2）根据二次函数的单调性，求出()f x 在2[0,]3单调递减，且恒大于零，即可求出结论；（3）()3,1f x x a x a =+-≥-，分离参数化为241x x a x -+=+，换元令1()t x t a =+≥，转化为63a t t =+-，讨论y a =与63,()y t t a t=+-≥交点情况，即可求解. 【详解】（1）当3a =时，方程()33g lo 413g lo f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭化为， ()3324l log o 33g (1)x x x -+=-，等价于2436,50x x x +>-=， 解得5x =或1x =（舍去）， 所以所求的方程解为5；（2）()g x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，须2232213()0339a f a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩，解得41336a ≤≤，a 的取值范围为413[,]36； （3）当1x a ≥-时，()213f x x ax x a =-+=+-，1x a ≥-，241x x a x -+=+，换元令1()t x t a =+≥， 23663t t a t t t-+==+-，①当(0,3)a ∈时，()0n a =；②当0633a a a a a ⎧<≤⎪⎪+-≥⎨⎪⎪=⎩，即3a =时，()1n a =；③当0633a a a a a ⎧<≤⎪⎪+-≥⎨⎪⎪>⎩，即3,2]a ∈时，()2n a =；④当0663263aa aaa⎧<≤⎪⎪+-<⎨⎪⎪>-⎩，即(2,6]a∈时，()1n a=；⑤当6a>时，66(3)30a aa a+--=-<，()1n a=；综上，00263()1263222632an a a aa⎧<<-⎪⎪==->⎨⎪-<≤⎪⎩或.【点睛】本题考查复合函数的单调性，不要忽略定义域，考查函数的零点，注意分离参数的应用，数形结合是解题的关键，属于较难题.21．已知函数()f x，()g x的定义域分别为12,D D，若存在常数C R+∈，满足：①对任意01x D∈，恒有01x C D+∈，且()()00f x f x C≤+.②对任意01x D∈，关于x的不等式组()()f xg x≤≤()()g x C f x C+≤+恒有解，则称()g x为()f x的一个“C型函数”.(1)设函数()1103113xf xx⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩和()110212xg xx⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求证：()g x为()f x的一个“12型函数”；(2)设常数a R∈，函数()()31f x x ax a=+≥-，()()21g x x x=≥-.若()g x为()f x的一个“1型函数”，求a的取值范围；(3)设函数()()240f x x x x=-≥.问：是否存在常数t R+∈，使得函数()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)[)7,+∞.【解析】（1）由()1103113x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，()00112f x f x ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭恒成立，①成立，根据()g x 解析式，0x =为不等式组()()0011()()22f xg x g x f x ≤≤+≤+的一个解，得②成立，即可证明结论；（2）()g x 为()f x 的一个“1型函数”，满足①对任意0001,()(1)x f x f x ≥-≤+，求出a 的范围，②对任意01x ≥-，关于x 的不等式组00()()(1)(1)f x g x g x f x ≤≤+≤+恒有解，转化为求函数的最值，可求出a 的范围，即可求解；（3）由()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”，与（2）同理，将同时满足①②条件的参数t 求出，即可求解. 【详解】（1）①00000115[0,],()1,[,],()1()2211623x f x x f x f x ∈=-∈>++=， 当000015(,),(),()()1361122x x f x f x ∈+∞∈++∞+==，任意0[0,)x ∈+∞，且()0012f x f x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，②()1102102x g x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，1(0)()12f f ==，因为()()00110()()22f xg g f x ≤≤≤+，0x =为不等式()()0011()()22f xg x g x f x ≤≤+≤+的一个解，所以()g x 为()f x 的一个“12型函数”；（2）①对任意0001,()(1)x f x f x ≥-≤+，22000113313()024x x a x a +++=+++≥，20min 1111[3()]0,2444x a a a ∴+++=+≥≥-；②对任意01x ≥-，关于x 的不等式组00()()(1)(1)f x g x g x f x ≤≤+≤+恒有解，()()()()30030022122111x x ax x x x x a x ⎧≥+⎪⎪+≥⎨⎪+≤+++⎪⎩，即300320002231x x ax x x ax x a ⎧≥+⎨≤+++-⎩， 因为关于x 的不等式组恒有解，所以323000000331x ax x x a x ax ++++-≥+，22000173313()024x x a x a ∴++-=++-≥恒成立，74a ∴≥；综上，74a ∴≥；（3）①对任意对任意0000,()()x f x f x t ≥≤+，222000004()4(),420x x x t x t t t x t -≤+-+-+≥，00min ,420,(42)40,4t R t x t x t t +∈∴-+≥-+=-≥∴≥Q ；②对任意00x ≥，关于x 的不等式组00()()()()f x g x g x t f x t ≤≤+≤+恒有解，()()22002222220024*******t x x x x t t x t x x tx t x t x t x t x t x t x t x t ⎧+≥-⎪⎪⎪++≥+⇒+-≥⇒≥⎨+⎪⎪++≤+-+⎪+⎩， 考虑22min 002()()4(),t x t x t x t x t x t++≤+-+≥+，令(2)x t m m t +=≥，则2222min 00022()23()4()(2)42t t m t t x t x t x t m t+=+=≤+-+=+--，由于204,(2)4t y x t ≥=+--在00x ≥时，单调递增，220min 3[(2)4](2)4,7t x t t t ≤+--=--∴≥或0t ≤（舍去），由()(2)3g t g t t ==，记方程()3f x t =的根为1x ，若010x x ≤≤，则00()3()(2)()f x t g t g t f x t ≤==≤+， 即x t =为不等式组的一个解， 若01x x >，取2x t >且0()()g x f x =，220022()()()()t t g x t x t x t g x t f x t f x t x t x+=++<++=+=+≤++，综上，7t ≥. 【点睛】本题考查函数新定义问题，要充分理解题意，考查不等式恒成立和能成立问题，熟练利用二次函数求最值是解题的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解决问题的能力，属于难题.。