分歧、拟周期与混沌现象

7.1 引言
7.1 引言
2、分歧或分岔
一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电 路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。 当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化， 例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分歧 (bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。 电路参数变化——解的性质发生质的变化——发生质的变化称为分歧。
3
)
k
3
m
3 3
d 1 dt
1 RC
(2 1
2
0 )
d 2 dt
1 RC
1
2
2
3
d 3 dt
1 RC
( 2
3)
(7 5)
令 t
RC
d 1 d
2 1
2
k 3
m
3 3
d 2 d
1
2 2
3
d 3 d
2
3
7.2 非线性电路的分歧
(7 6)
du1
d
2
du2
d
du3
7.2 非线性电路的分歧
电路如图所示，非线性电阻的u-i特性为i=u2，以uC为状态变量，则方程为
C
du dt
IS
2
du dt
1 C
(IS
2)
令 C 1, x v时, ，有Is
x x 2
7.2 非线性电路的分歧
可见该电路的平衡点随参数 的变化而变化。特别 当 ＝0时，x=0是该电路的一个非双曲平衡点。 平衡点随参数 变化，由式 x给2 出 0，可以用平
， 时0 的x=0的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生
了两个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随 的变化，稳 定的平衡点在x- 平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。
对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图1-10所示 。
7.2 非线性电路的分歧
3、叉形分歧
衡点随分歧参数变化的图7-2表示。这种平衡点或
方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。
由图7-2可见，当 <0时，电路没有平衡点，即电 路不存在工作点；当 ＝0时，有一个平衡点，而
当 >0时， 有二个平衡点，分别为
。容易
判断x1,2 是稳定的， x的2 。这表示参数 产在
=0x1的附近变化时是，不电稳路定
dx x x2
dt
（1-3）
7.2 非线性电路的分歧
2、过临界分歧
式（1-3）在 ＝0时，x=0的点是一个具有零
特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化，
由式 x x2给出0，如图1-7所示。
从图中可见， <0时，电路有两个平衡点x1 = 0和x2= 当。容易判定，x1=0的平衡点是 稳定的。x2= 的平衡点是不稳定的；当 ＝0 时，仅有一个稳定平衡点；当 >0时，与
7-8。当 ＝0时，仅有工作点Q0，当 >0
时，有工作点Q0和Ql，且Ql处的动态电阻
为正值；当 ＜0时，有工作点Q2和Q0，
且Q2处的动态电阻为负值。这说明了平衡 点稳定性质转变的本质。
7.2 非线性电路的分歧
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
<0时相同，有两个平衡点。但平衡点的稳定性 质发生了转换，x1=0变成了不稳定平衡点，
x2＝ 是稳定的平衡点。在 =0的邻域内 发
生变化时，会导致平衡点的个数和稳定性发生
变化，因此，点（x， ）=(0,0)就是分歧点，
这种分歧称为过临界分歧。
7.2 非线性电路的分歧
2、过临界分歧
与鞍结分歧相同，分歧过程也可以用电路静 态工作点的概念解释。当电容用开路代替后， 受控源和非线性电路的伏安关 系分别画于图
静态分歧：平衡点的个数和稳定性的变化。
动态分歧：相平面轨道定性性质的变化。
局部分歧：讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。
全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。
静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。
动态分歧：霍普夫（Hopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、 同宿或异宿分歧等等。 无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫(Hopf )分歧，只有平衡点是 非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电路 对应的线性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特征值。
7.1 引言
第七章 分歧、拟周期与混沌现象
7.1 引言 7.2 非线性电路的分歧 7.3 非线性电路中的拟周期现象 7.4 非线性电路方程中的混沌现象
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
7.2 非线性电路的分歧
1、分歧
由电路参数发生（微小）改变而引起电路的解或相图发生质的变化。能 引起分歧的参数称分歧参数，而此参数值称为分歧点。
Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图7-11
所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相放
大器的电压放大倍数k>29时，该电路中将产
生 度稳大定小的由正放弦大振器荡的，饱振和荡特频性率决定f0 。2
6 RC
，荡幅
7.2 非线性电路的分歧
4、Hopf分歧: 移相式RC振荡电路
设放大器的转移特性为
0
g(
包含任何随机因素），其解也是确定的——即在两组相近的初始条件 下，其解也是相近的。
近20年的发现：确定的非线性电路存在一种特殊稳态解——这种形式的 解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似 随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的 振荡行为。这种非线性电路的解就称为混沌。
则有：
dx dt
x
2
dy y
(1-2)
dt
7.2 非线性电路的分歧
当 ＝0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）的第二式特征
值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍结 点变化过程可以清楚地表示出来，如图7-5所示。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
现代电路理论
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第七章 分歧、拟周期与混沌现象
7.1 引言 7.2 非线性电路的分歧 7.3 非线性电路中的拟周期现象 7.4 非线性电路方程中的混沌现象
7.1 引言
1、非线性电路的稳态解
①平衡点 ②周期解 ③拟周期解 ④混沌解 传统的认识：一个确定的电路（指电路中所有元件参数都是确定的，不
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
7.2 非线性电路的分歧
2、过临界分歧
过临界分歧可以用图7-6所示一阶电路来说 明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且
i＝v2，以电容电压为状态变量的方程为
C dv v v2
dt
即
dv 1 (v v2 )
dt C
令 C 1, x，则v有
时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；当k>29时，
，但a（k）＞0,
即平衡1 点0,为2,不3 稳a(定k)双 j曲w(平k) 衡点。显然k＝29是一个分歧点，当k从k<29增加 经过k=29到k >29时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的移定性
质变化外，还从平衡点分歧出极限环，即产生周期振荡，这种分歧称为Hopf
分歧。
放大器放大倍数k是分歧参数，当k >29时出现周期振荡，振荡的周
期 T 2 RC。/式中6 的 为特征6方程式在k=29时的纯虚根的模值。
7.2 非线性电路的分歧
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1 0
1 2 1
k u1
1
u2
1 u3
系数矩阵的特征方程为：
3 52 6 k 1 0
d
当k=29时，1 5, 2,3 ，j有6一对实部为零的共扼复特征值。即k=29时，平
衡点为非双曲平衡点；当k<29时， 1 0, 2,3，且a(ak)(k)<jw0(k，) w(k)>0，此
为了能清楚地表明鞍结分歧相图
的变化，考虑图7-4所示二阶电
路。此电路是图1-1所示一阶电
路增加了一个RL电路，仍设非线
性电阻的伏安特性为i＝v2，以电
容电压和电感电流为状态变量列
出状态方程：
C
dvC dt
IS
vC
2；L
diL dt
RiL
取归一化值，设 C 1, L 1, R 1, IS , x vC , y iL
当 时0，仅有工作点Q0；当 >0时，有
3个工作点，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2处的 动态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
7.2 非线性电路的分歧
4、Hopf分歧: 移相式RC振荡电路
平衡点的个数和轨道都发生了定性的变化，即发生
了分歧，分歧点是（x， ）=（0，0）。这 种分歧
称为鞍结分歧。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧
从图7-3(b)可以看出，当电流 源电流IS<0时，电路工作点不存 在；当IS＝0时，有一个工作点； 当IS>0时，有两个工作点。且工 作点Q1处的动态电阻为正值，所 以，该工作点是稳定的；工作点 Q2处的动态电阻为负值，该工作 点是不稳定的。
7.2 非线性电路的分歧
3、叉形分歧
7.2 非线性电路的分歧
讨论叉形分歧的电路仍如图7-6所示， 但非线性电阻的伏安特性为i＝v3；以电容 电压为状态变量时，状态方程为
C dv v v3
dt
同时令 C 1, x，有v 如下方程
dx x x3
dt
3、叉形分歧
可以验证点（x， ）=（0,0)是具有零特征值
的非双曲平衡点。当 时0电路的平衡点随参数
变化，由式
给x出，x3如图07-9所示。当 ＜0
时，电路有一个平衡点，x＝0，且是稳定平衡点；
当 ＝0时，x＝0也是一个平衡点，仍是稳定的；
当 >0时，电路有3个平衡点，这3个平衡点分别
是和
x；0 0 x1,2
此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化