分歧、拟周期与混沌现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
谐振的危害和防护
谐振的危害和防护谐波谐振的危害串联、并联电路谐振频率与系统电阻无关,当系统谐波源频率天时就会发生串联或并联谐振。
若、很小,可以激发二次或三次谐波的高次谐波谐振过电压若、很大,则能激发分频谐波的谐振过电压,这两种谐振过电压都表现为三相对地电压的同时升高,而线电压正常。
试验研究表明,基波谐振和高次谐波谐振过电压一般不超过倍额定电压,对于分频谐波谐振,由于受到电压互感器铁芯严重饱和的限制,过电压一般不超过倍额定电压,但励磁电流急剧增加,瞬时可高达额定励磁电流的几十倍以上,引起高压保险丝的频繁熔断。
①串联或并联谐振会产生高于电源数倍的电压,施加在回路中的电容器、互感器、断路器等设备上,引起高压电气设备绝缘损坏。
在熔断器未及时熔断的情况下会引起电压互感器喷油、绕组烧毁甚至爆炸。
②谐振引起的过电压,还可以导致氧化锌避雷器的损坏。
无间隙氧化锌避雷器的过电压耐受能力有限,如果选用氧化锌避雷器的直流电压偏低,在过电压的作用下连续动作,最终会发生热崩溃而损坏。
③在电压互感器熔断器不能及时熔断的情况下,引起电压互感器二次电压升高,对二次继电保护设备和计量仪表的绝缘造成损坏或引起继电保护设备的误动。
④基波谐振时,出现虚幻接地现象,易引起值班人员的误判断,表现为两相电压升高,一相电压降低,线电压正常,其现象与单相接地相同。
⑤谐振时电压互感器铁芯的饱和会使变比误差增大,影响计量、测量精度。
⑥谐波谐振引起电网的谐波损耗增大。
谐波谐振的预防和应对措施①少谐波源的产生在选用铁芯设备时尽量选用励磁特性好、伏安特性高、铁芯不易饱和的电磁式电压互感器、变压器、电抗器。
在选用电磁电压互感器时应注意同时提高三相电压互感器的励磁特性和伏安特性曲线的线性度,尽量选用同型号、同批次生产的单相电压互感器,也可以采用电容式电压互感器代替电磁式电压互感器。
断路器三相不同时合闸,由于合闸瞬间三相电压的不同,会引起的三相负载的不对称,使电源的中性点产生位移,中性点对地电压与电源电压叠加会使三相对地电压同时升高或两相、单相对地电压升高,使回路中的电磁式电压互感器或电抗器线圈很快饱和,激磁电流的波形发生畸变,产生高次谐波。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
一类Duffing-Van der Pol方程的混沌
一类Duffing-Van der Pol方程的混沌张曙光;蔡雅丽;刘瑞华【摘要】研究了带线性恢复力和外力激励的Duffing -Van der Pol方程,该系统由未扰动系统经拟周期扰动而得.应用动力系统的分支理论, Melnikov方法,二阶平均方法和混沌理论,得到该系统的平均系统产生混沌的准则,数值模拟验证理论结果正确.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2010(032)003【总页数】6页(P22-27)【关键词】Duffing-Van der Pol系统;Melnikov 方法;平均方法;混沌【作者】张曙光;蔡雅丽;刘瑞华【作者单位】焦作师范高等专科学校,数学系,河南,焦作,454000;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081;焦作师范高等专科学校,数学系,河南,焦作,454000【正文语种】中文【中图分类】O415.5Key words:Duffing-Van der Po l equation;M elnikovm ethods;second-order averagingm ethods;bifurcations; chaosDuffing-Van der Po l方程在非线性振动过程的模拟中有很广泛的应用,经常被用来模拟色散媒介(折射率依赖于光学强度)中的光学的双稳定性[1];也用于模拟流量导致的结构的振动问题[2];这有益于直接理解非线性振动中的动态行为.很多学者对Duffing-Van der Pol方程进行了深入研究.例如,文献[3,4]中研究了不带外力的Duffing-Van der Pol方程的随机形式,作者得到了分支行为,概率分布函数和随机行为.而分支结构、混沌行为和混沌控制在文献[5～8]中进行了研究.Kap itaniak和Steeb[9]研究了单势能井的Duffing-Van der Pol方程,得到了在不同参数区间中的周期和混沌运动,和两种不同的通向混沌道路:周期倍分支到混沌和crisis到混沌.1994年Yagasaki[10]研究了单势能井的带拟周期外力的Van der Po l-Duffing方程,证明了当两个共振发生时,在一定的参数区域内的未扰动的周期轨附近存在横截相交的同宿运动,因此混沌存在.Kao和W ang[1]研究了双势能井的Duffing-Van der Po l方程,得到mode-locking,m u ltip le hysteresis,周期倍分叉到混沌,阵发混沌和crisis现象.然而,对于带有参数激励项的Duffing-Van der Po l系统的研究甚少.本文考虑如下的Duffing-Van der Po l系统:其中p1,b1,α1,β1,γ1,ω1,ω2,f,ψ是实参数.在物理上,p1被看作是耗散或阻尼因子,α1,β1,γ1是非线性强度系数,f和ω1分别是外力的振幅和频率,b1cosω2t为参数激励项,ψ为外力的相差.如果f=b1=p1=0,系统(1)是未扰动系统也就是说,对系统(2)施以扰动项p1(x2-1)˙x,b1cosω2t,fcos(ω1t+ψ)后,系统(2)即为系统(1).在拟周期扰动下即ω1和ω2不是有理数关系时,找不到Poincar e截面,因而不能对系统(1)直接应用M elnikov方法.因此,利用二阶平均方法,将系统(1)转化为周期扰动下的Ham iltonian系统;再应用M elnikov方法得到平均系统(Ham iltonian系统)的混沌存在条件.1.1 平均系统为了应用二阶平均方法,系统(1)可写为其中εf1=f,ε2p=p1,εα=α1,εβ=β1,εb=b1,εγ=γ1.假设ω2=nω1+ευ,υ与ω1不是有理关系.令τ=ευt,对系统(3),应用Van der Po l的变换并应用二阶平均方法,再作时间变换,对于n=1,2,3,分别得到系统(3)的平均系统如下: 对于m1≠m2,如果0<f1<m2,则f(r)=0有五个不同的零点;如果f1=m2,则f(r)=0有四个不同的零点;如果m2<f1<m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1=m1,则f(r)=0有两个不同的零点;如果f1>m1,则f(r)=0只有一个零点.对于m1=m2,如果0<f1<m1,则f(r)=0有五个不同的零点;如果f1=m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1>m1,则f(r)=0只有一个零点.(ii)9β2+40γΩ=0时,h(r1)=h(r2)=0,h(r3)>0,h(r4)<0;令m1=h(r3).如果0<f1<m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1=m1,则f(r)=0有两个不同的零点;如果f1>m1,则f(r)=0只有一个零点.(iii)当9β2+40γΩ<0时,h(r1)>0,h(r2)<0,h(r3)<0,h(r4)>0;令如果m2<f1<m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1=m1或f1=m2,则f(r)=0有两个不同的零点;如果f1>m1或0<f1<m2,则f(r)=0只有一个零点.(III)当Ω<0,81β2+200γΩ≤0时,h(r)没有极值点而且只有一个零点.因此,对任意的f1, f(r)=0只有一个零点.系统(7)的奇点(r＊,0)的稳定性由特征值λ2=-h′(r＊)h(r＊)/r＊决定.如果h′(r＊)/r ＊>0,则奇点(r＊,0)是中心点;如果h′(r＊)/r＊<0,则奇点(r＊,0)是鞍点.当h′(r＊)=0时,奇点有两个零特征值.图1(a)是系统(7)的奇点的分支图,此图表明了当其它参数固定,而f1变化时,奇点是如何产生和消失的,此时Ω=-8.05,β=-9,α=0.53.此图表明当f1>f1B=8.029 77时,系统只有一个奇点.当f1减少并且通过f1B时,两个新的奇点产生,并且发生鞍结点分支.当f1=f1A=3.45692时,另一个鞍结点分支发生,并且当f1A<f1<f1B时,系统(7)有三个奇点;当0<f1<f1A时,系统(7)有五个奇点.在奇点处的能量函数H(u,v)表示为图1(b)表示奇点处的能量函数如何随着f1变化而变化.当Ω=-8.05,β=-9,α=0.53及0<f1< f1A时,系统(7)有五个奇点Ej(uj,0),j=1,2,3,4,5,u5>u4>u3>u2>u1其中E1,E4是鞍点,而E2,E3,E5是中心.当0<f1<f1A和f1≠f1C=1.493时,Ham iltonian能量函数(13)在两个鞍点E1和E4处的值不同,因此,每个鞍点有一条连接到它自己的同宿轨道.当f1=f1C=1.493时,Ham iltonian能量函数在两个鞍点E1和E4处的取值相同,所以这两个鞍点E1和E4由两条异宿轨道连接.图2(a)-(c)分别给出了系统(7)在f1=1,f1=f1C=1.493,f1=3.2处的不同的相图.在图2(b)中,鞍点E4由一条连接到它自身的同宿轨道以及和鞍点E1连接的两条异宿轨道,鞍点E1有一条连接到它自身的同宿轨道以及和鞍点E4连接的两条异宿轨道;在图2 (c)中,鞍点E4有一条同宿轨道和另一条同宿轨道连接到它自己,鞍点E1有一条同宿轨道和另一条同宿轨道连接到它自身.1.2 平均系统的混沌由前面的分析我们知道,系统(5)是非自治系统,可用M elnikov方法来得到混沌的存在条件. M elnikov函数为:成立,我们得到当ω2=ω1+ευ时,拟周期扰动下由同宿和异宿分支产生混沌的存在性条件:定理1假设条件(14)满足,则如果轨道(u0(t),v0(t))是异宿轨道,那么发生异宿分支;或者如果轨道(u0(t),v0(t))是同宿轨道,那么发生同宿分支;从而,在系统(5)或者(3)中可能发生混沌运动.本节进行数值模拟以验证上节中的理论结果.令则条件(14)可以写为Mi>1,i=1,2,3当Ω=-8.05,β=-0.91,α=1.5,f1=1.493,υ0=,ω1= 0.8,γ=1.53.ψ=0时,给出了同宿轨道和异宿轨道Γ1的分支曲面.取参数α1=0.067 08,β1=-0.402 927 2,ω1=0.8,f=0.066 766 96,ψ=0,υ=,γ1= 0.068 421 6,则有M1大于1,从定理1可知,系统(3)可能出现混沌.当ω2=ω1+ευ时,系统(3)的混沌轨道和Poincare映射分别见图4(a)和4(b),其对应的Lyapunov指数为0.036 69.因此,验证了定理1.【相关文献】[1] KAO Y H,WANGC S.Analog study of bifurcation structures in a Van der Poloscillatorw ith a nonlinear restoring force[J].PhysRev E, 1993,48:2 514-2 520.[2] PARL UTERBORNW.Period-doubling cascadesand Peril’s staircasesof theD riven Van der Poloscillator[J].PhysRev A,1987, 36:1 482-1 434.[3] L IANG YN S.B ifurcation in the noiseDuffing-Van der Po lequation[M].Sp ringer,New York:Stochastic Dynam ics,1999:49-70.[4] NAWACH IVAGA N S,SOW ERSR B,VEDULA L.Non-standard reduction of noise Duffing-Van der Po lequation[J].Dyn Syst,2001,16 (3):223-245.[5] KAKAMEN IFM M,BOWVNG S,TCHAWOUA C,etal.Strange attractorsan chaos control in aDuffing-Van deroscillatorw ith two external periodic forces[J].JSound Viber,2004,227:783-799.[6] LAKSHMANANM,MURAL IM.Chaos in nonlinearoscillations[J].W orld Scientific,1996.[7] LEUNGA Y T,ZHANGQ p lex norm al form for strongly non-linear vibration system sexemp lified byDuffing-Van der Po lequation[J] .J Sound V iber,1998,213(5):907-914.[8] RAJASIKAR S,PARTHASARATHY S,LAKSHMANANM.Prediction of horseshoe chaos in BVP and DVPoscillators[J].Chaos,Solitons and Fractals,1992,2:271-280.[9] KAPITAN IAK T,STEEBW H.Transition to chaos in a generalized Van derPol’sequation.Sound and V ibration[J].1990,143(1):167-170.[10] YAGASAK IK.Homoclinic tangles,phase locking,and chaos in a two frequency perturbation of Duffing’s equation[J].JNon linear Sci, 1999,9:131-148.。
神经元放电活动的分岔分析概要
神经元放电活动的分岔分析摘要神经元是神经系统的基本结构和功能单元,在神经信息处理过程中起着关键的作用。
虽然神经系统各不相同，但大多数神经元都具有许多相似的特征：比如各种离子通道、丰富的非线性现象以及作为信息载体的膜电位等。
神经信息主要依靠神经元丰富的放电节律模式进行编码，因而研究神经细胞通过内在参数变化或外部激励条件改变时展现的放电节律模式以及各种模式之间的相互转迁就有着及其重要意义。
本文应用非线性动力学的分岔理论、相平面分析、快慢动力学分析和数值模拟等方法，针对神经元ML模型、HR模型以及Chay模型，系统地研究了神经元的放电行为及放电模式间相互转迁的动力学机制。
这些方法也可以应用于其它类型神经元，或用于发现新的放电模式，并对今后的神经电生理实验有一定的理论指导作用。
关键词：神经元峰放电簇放电分岔相平面分析快慢动力学分析Bifurcation Analysis on Neuronal Firing ActivitiesAbstractAs the fundamental structural and functional unit of the nervous system,neuron plays an extremely vital role in the neural information processing．Although nervous systems are quite different, many fundamental features of neurons are common to most of neurons, such as ion channels, rich nonlinear phenomenon and the membrane potential as the carrier of information. Various firing patterns are related to different stimuli, which mean that firing patterns carry corresponding neural information, so it is meaningful to study different firing activities owing to internal parameters or external stimulations, as well as the transitions between different firing patterns.In this dissertation, based on the bifurcation theory of nonlinear dynamics, the phase plane analysis, the fast-slow dynamics analysis and the numerical simulation, we deeply study on different firing activities and dynamics mechanism of transitions between different firing patterns. These methods and results in this dissertation can be applied to different types of neurons, and also may give an instructive guidance to the observation and analysis of neuronal firing activities, and hence will promote the development of both nonlinear dynamics and neuroscience. Key Words:neuron, spiking, bursting, bifurcation, phase plane analysis, fast-slow dynamics analysis第一章引言1.1研究背景二十世纪后半叶，非线性科学作为研究非线性现象共性的基础学科，获得了前所未有的发展，其与量子论、相对论一起被誉为二十世纪自然科学中的“三大革命”。
混沌的本质
混沌的本质王玉平内蒙古电大，呼和浩特010051摘要：以罗仑兹（Lorenz）系统及Logistic映射为例，阐述了混沌的本质以及混沌系统中的秩序。
关键词：混沌；状态空间；奇怪吸引子；拉伸与折叠；秩序。
在物理学的发展过程中，物理学家梦寐以求的是能够用最简洁的数学语言来描述最广泛的物理现象，它既能够描述物理世界的现在，也能够准确地预测事物发展的未来。
二十世纪以前，科学家们以坚定的信心来创建完美的物理学大厦，近一个世纪以来，随着研究领域的日趋广泛，新的物理现象不断涌现，新的物理规律不断建立，物理学家才意识到“完美的大厦”只是一个遥远的梦想，首先海森伯测不准关系表明，准确地测量粒子的位置和速度受到某一基本的限制，而混沌现象的发现，表明预测系统的未来受到了根本的限制。
当然这并不意味着物理学的发展走到了尽头，只是使我们认识到了愿望与现实之间的差距，并找到了一条认识复杂世界的正确道路，因为现实世界多数是非线性的，以前解决此类问题时，多是将其简化为线性系统来做近似处理，否则只能束之高搁了，今天随着混沌理论的建立和计算机技术的应用，使的科学家有了处理此类问题的能力。
一、混沌系统自然界只有一个，但其表现行为纷繁复杂，根据其复杂程度的不同可以分为确定论系统和随机系统。
确定论系统指的是：根据系统的运动方程及初始条件就可以确定系统行为的演化。
确定论系统的运动方程往往有闭型解，其解是用初始状态来表示任意时刻状态的公式，因而只要知道初始状态和最终时间就可以预测未来，与状态的中间过程无关。
即使初始条件有微小的偏差，其结果的偏差也不大，即系统的行为是完全确定的，牛顿力学是确定论的典型代表。
例如：根据行星的运动方程以及日、地、月的初始状态，就可以预测几百年甚至几千年后的日食和月食。
对于随机系统来说，影响系统行为的因素非常多，诸多因素构成的因果关系非常复杂，使得系统的行为方式具有高度的随机性，以统计力学和量子力学为代表的概率论是处理此类复杂系统的主要工具。
混沌现象的通俗解释
混沌现象的通俗解释非线性，俗称“蝴蝶效应”。
什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。
为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。
为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。
而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。
”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。
1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
混沌现象讲稿
《混沌现象》讲稿（按讲授4学时准备）引言混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。
是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。
再者，作以下的界定也是必要的。
即我们所讲的混沌现象是比较广义的，即不仅讨论混沌状态下的运动变化过程，也讨论由有序向混沌演化的特点。
对于以上论断及种种概念后面都要慢慢解释的。
但为了方便学习，要先明确几点。
随机性是概率论的语言，大体就是偶然性、混乱、无规则的意思。
对线性和非线性得多说几句。
线性和非线性的区分粗略地说就是看函数关系或方程的形式。
如x y =就是线性的，2x y =就是非线性的。
以下作个比喻来体会二者的区别。
设x 为人数，y 为完成的作业量数日。
对x y =，设11=x 有11=y ，设22=x 有22=y ；若又设321=+=x x x ，则有321=+=y y y ，即整体等于部分之和。
而对2x y =则不然。
设11=x 有11=y ，设22=x 有42=y ；若又设321=+=x x x ，则9=y ，此时521=+≠y y y 。
即整体大于部分之和。
可以这样理解：人与人之间相互作用，相互影响的存在是必然的，三个以上的人之间就会出现所谓的非线性交叉耦合作用。
此外，对混沌的理解也和该词的原有语意“一片混乱”不同，从物理角度讲，混沌的内涵要丰富得多。
长期以来，人们对牛顿力学对运动的描述具有确定性这一点深信不疑。
因为用牛顿定律解题，结果总是确定的。
所以，人们认为只要初始条件确定，系统未来的运动状态也就完全确定了下来，初始条件的细微变化对运动不会产生本质的影响，而只能使运动状态产生微小的变化。
也就是说，用牛顿力学描述的运动都是规则的，系统的行为都是确定的。
但事情远非如此简单。
早在100年前，法国著名数学家、物理学家庞加莱在研究三体(两颗行星、一颗卫星)问题时发现牛顿力学的确定论的确存在问题。
卫星轨道是不确定的！毫无疑问，这是对牛顿力学确定论思想最初的质疑。
《金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性研究》
《金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性研究》一、引言随着金融市场的复杂性和动态性不断增强，金融系统中的离散映射及其周期解和混沌现象逐渐成为研究的热点。
本篇论文旨在探讨金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性，以期为金融市场的预测和风险管理提供理论支持。
二、文献综述近年来，离散映射在金融系统中的应用得到了广泛关注。
研究表明，金融系统的离散映射能反映金融资产价格的时间演化特征。
通过对这些离散映射的深入研究，可以发现金融市场的周期性和混沌性特征。
三、金融系统离散映射模型本部分将详细介绍金融系统离散映射的模型。
首先，根据金融市场数据的特性，建立相应的离散映射模型。
然后，分析模型的稳定性和周期性特征，为后续的周期解和混沌研究奠定基础。
四、周期解的存在性研究本部分将探讨金融系统离散映射的周期解的存在性。
首先，根据模型特性和理论推导，寻找周期解的条件。
其次，运用数值分析方法，验证这些条件的有效性，从而得出周期解的存在性结论。
最后，对周期解的实际意义进行解释和讨论。
五、混沌的存在性研究本部分将研究金融系统离散映射的混沌现象。
首先，分析模型中可能出现的混沌因素和条件。
然后，通过计算机模拟和实验数据验证这些因素和条件是否导致混沌现象的出现。
最后，对混沌现象在金融市场中的影响进行讨论，并探讨如何利用混沌理论对金融市场进行预测和风险管理。
六、实证分析本部分将通过实证分析验证上述理论研究的结论。
首先，选取具有代表性的金融市场数据，建立相应的离散映射模型。
然后，运用前述的研究方法，对模型进行周期解和混沌的研究。
最后，对比理论研究和实证分析的结果，评估理论研究的实际应用价值。
七、结论与展望本篇论文通过对金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性进行研究，发现离散映射模型能反映金融市场的周期性和混沌性特征。
同时，通过实证分析验证了理论研究的结论。
这为金融市场的预测和风险管理提供了新的思路和方法。
然而，仍需进一步深入研究金融系统的复杂性和动态性特征，以便更好地理解和应对金融市场中的风险和挑战。
滚动轴承支承的柔性转子系统的非线性动力学分析
Ｑ ： ｆ（ ）
Ｌ ０
，
６ ＜０ ｏ
≥ 『ｌ ，一 ６ ０＿ ， … Ｎ（ ： ２ ）
根据式 （ ） ２ ，同时考 虑 轴承 的 阻尼 ，可得 轴 承 的非线性力在 ，Ｙ方 向的分力
ｙ
＝ 一 ｃｂ ｘ 一
Ｎ
图 １ 轴承 一 子模 型 图 转
Ｆｉ Ａ ｄ ｌｄ ａ ｒ ｍ ｆｔ ｅ ｇ１ ｍｏ ｅ ｉｇ ａ ｏ ｈ
ｐ ｏ ｅ ｏ ｏ ｔｉ ｙｔ ｍ ’ ｘｓ ｏｂ ｔ Ｐ ｉ ｃ ｒ ｐ ｎ ｉ ｏ ｉ ｐ ｅ ｈ ｌａａ ｃ ｆｔｅ ｒｌｉ ｇｂ ａ ｎ ｓｗａ ｌｙ ｄ ｔ ｂ ａｎ ｓ ｓｅ Ｓａ ｉ ｒ ｉ， ｏｎ ａ ６ｍａ ｓａ ｄ ｔｍｅｄ ｍａｎ ｍａ ｓｗｈ ｎ ｔ ｅ ｃｅ ｒｎ ｅｏ ｏｌｎ ｅ ｒ ｇ ｓ ｈ ｉ
ｉ ｉｆｒｎ ｅ ｉｎ ． ｈ ｎ ｌｔｃ ｒｓ ｌ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｒ ｒ ｌｎｙ ｏ ｏ ｌ ｅ ｒｐ ｅ ｏ ｎ ｎ ｔｅ ｓ ｓｅ ｗｈ ｎ ｔｅ ｃｅ ｒ ｎ ｄ ｆ ｅ ｔｒ ｇｏ ｓ Ｔ ｅ ａ ａｙｉ ｅ ｕｔ ｓ ｏ ｔａ ｈｅｅ ａｅ ｐ ｅ ｔ ｆｎ ｎｉ ａ ｈ ｎ ｍｅ ａ ｏ ｈ ｙ ｔｍ ｅ ｈ ｌａ－ ｅ ｓ ｎ ａ ｃ ｓ ｓ ｌ． ｈ ｎ ｔｂ ｅ ｒｇｏ ｓｗｉ ｅ ｗｉ ｅ ｓｔ ｅ ｉｃ ｅ ｓｎｇｏ ｅ ｃｅ ｒｎ ｅ ｏ ｈ ａｌｂ ａ ｎ ｓ ｎ ｅ ｉ ｍａ１ Ｔ ｅ ｉ ｓａ ｌ ｅ ｉｎ ｌ ｂ ｄ ｒａ ｈ ｎ ｒ ａ ｉ ｆｔ ｌ ａａ ｃ ｆｔｅ ｂ ｌ ｅ ｒ ｇ ． ｌ ｈ ｉ Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ａｌｂ ａｉｇ； ｏ ｌｎ ａ ｙ ａ ｃ ｈ ｒ ｃｅ ｓｉ ｓａ ｉｉ ｂ ｆ ｒａｉｎ；ｌ ａａ ｃ ｙ ｒ ｓ ｂ ｌ ｅ ｒｎ ｎ ｎ ｉｅ ｒｄ ｎ ｍｉｓｃ ａ ａ ｔｒ ｔ ｉ ｃ；ｔｂ ｌ ｙ； ｉｕ ｃ ｔｏ ｃｅ ｎ ｅ ｔ ｒ
流体动压轴承-转子动力系统的分岔和混沌
Ｂｉｕ ｃ ｔｏ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｃｈａ ｓ ｏ ｄｒ ｄ ｎａ ｉ ａ ｉ ｇ Ｒｏ ｏ ｏ ｆ Ｈｙ ｏ ｙ ｍ ｃ Ｂｅ ｒ ｎ － ｔ ｒ
Ｄｙ ａ ｉａ ｙ ｔｍ ｎ ｍ ｃ ｌＳ ｓｅ
Ｌ ａ ｊｎ Ｚ ａ ｇＹ ｎ ｆｎ Ｊ ｎ ｎ Ｆ ｎ ｉ ｗ ｕＹ ｎｕ ｈ ｎ ｏ ｇａ ｇ ｉ ｇＭｉ ａ ｇ ａ ｇＹｎ ｕ ｇ
２．Ｓ ｈ ｏ ｆＥｌｃｒｃ ａ ｄ Ｉ ｏ ｍａ ｉｎ， ｒｈ ｓｅ ｎ Ｐ ｌｔ ｃ ｎ ｃ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉｙ， ’ ｎ Ｓ ａ ｎ ０ ２， ｉ ａ； ｃ ｏ ｌｏ ｅ ｔｉ ｎ ｎｆｒ ｔｏ Ｎｏｔ ｗｅ ｔｒ ｏ ｙｅ ｈ ｉ ａ ｉ ｅ ｓｔ Ｘｉ ａ ｈ ａ ｘｉ １ ０７ Ｃｈ ｎ ７
Ｑｉｏ Ｗ ｅｉｏｎ Ｌ Ｙａ ｇ Ｓｈｑ ａ ｇ ａ ｄ ｇ ｉ Ｑｉ ｎ ｉｉ ｎ
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆ ａ ｈｎ ｒ ａ ｄＰ ｅ ｉ ｏ ｓ ｕ ｅ ｔ ｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｘ ’ ｎＵ ｉｅｓ ｙｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ， ｉ ａ ｈ ａ ｘ ７ ０ ４ ， ｈ ａ １ Ｓ ｈｏ ｏ ｃ ｉｅ ｎ ｒｃ ｉ Ｉ ｔ ｍ ｎ Ｅ ｇｎ ｅｉ ， ｉ ａ ｎｖ ｒ ｔ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｘ ’ ｎＳ ａ ｎ ｉ ０ ８ Ｃ ｉ ； Ｍ ｙ ｓｎｎｒ ｎ ｉ １ ｎ
维普资讯
２０ ０ ７年 １ 月
润滑与密封
Ｌ ＵＢＲＩ ＣＡＴＩ ＯＮ ＥＮＧＩ ＮＥＥｏ ｌ３ ．１
第３ ２卷 第 ｌ期
流 体 动 压 轴 承 一 子 动 力 系统 的分 岔 和 混沌 转
３ Ｓ ｈｏ ｏ ｅｅｏ ｍ ｎｃｔ ｎＥ ｇｎｅ ｎ ， ｉＦ ｒｅＥ ｇ ｅｒ ｇＵ ｉ ｒ ｔ， ｉａ ｈ ａｘ ７０ ７ ，ｈｎ ） ． ｃｏｌ ｆ ｌ ｍ ｕ ｉ ｉ ｎｉｅｒ ｇＡｒ ｏｃ ｎ ｉ ｅｉ ｎｖ ｓｙ Ｘ ’ｎＳ ａｎ ｉ ０ ７ Ｃ ｉａ Ｔ ｃ ａｏ ｉ ｎ ｎ ｅｉ １
混沌的定义基本特征
2.1.2混沌的基本特征混沌理论是近代非线性动力学中重要的组成部分，虽然混沌的定义多繁复杂，但混沌还是有自己的一些与其他非线性系统所没有的基本特征，具体表现为如下[37,38,39]：(1)对初始条件的敏感性经典学说认为：确定性的系统只要初始条件给定，方程的解也就随之确定了。
一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。
在动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件，这就是系统对初值的敏感，还有混沌的敏感表现在一些控制参数的变化。
1972年洛伦兹在华盛顿科学进步协会上的报告上指出：“在巴西的一只蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的一场龙卷风”。
这就是著名的“蝴蝶效应”。
这句话的意思是说任意一个微小的扰动可能会引起世界另一边天气的变化，这种微小的扰动如同蝴蝶扇一下翅膀，都有可能发生巨大的改变。
这一现象的指出就是对混沌初值敏感性的最好的诠释。
(2)整体稳定局部不稳定稳定性是有关扰动现象的。
如果一个动力系统中发生轻微的变化，这个系统还会保持它的运动状态，保持它的能力和属性。
混沌的整体稳定性指一个微小的扰动也不会改变系统原有的性能。
一个系统并不能只是绝对的稳定，还要有局部的稳定，这样这个系统才能进化。
局部不稳定性表现在混沌对初值的敏感依赖性，一个微小的初值变化就会引起系统局部的不稳定。
(3)奇怪吸引子及其分形奇怪吸引子将混沌运动的特征初始条件的敏感性和确定性的随机直观地反映出来。
在耗散系统当中，当连续流在收缩体积时，一边沿这些地方压缩，另一边又沿其他地方延伸。
不过连续流是固定在一个有界的区域内，这种伸缩和折叠过程会使运动轨道在奇怪吸引子上产生混沌运动。
可见，奇怪吸引子是轨道不稳定和耗散系统相体积收缩两种因素的内在性质同时发生的现象[40]。
它的几何特性由分形来刻画，具有大尺度与小尺度之间的相似性，具有无穷无尽自相似的精细图案，具有分数维数。
非线性动力学理论与振动控制
非线性动力学理论与振动控制非线性动力学理论与振动控制是研究非线性系统振动特性和控制方法的重要领域。
非线性系统是指系统的行为不符合线性叠加原理，其振动特性与系统参数、初始条件和外部扰动等因素密切相关。
非线性动力学理论和振动控制方法的研究对于理解和控制复杂系统的振动现象具有重要意义。
非线性动力学理论的研究主要包括非线性系统的振动特性、混沌现象、分岔和周期倍增等。
非线性系统的振动特性与系统的非线性特征密切相关，例如系统的非线性耦合、非线性反馈和非线性摩擦等。
非线性系统的振动特性可以通过数学模型和数值仿真等方法进行研究，以揭示系统的非线性动力学行为。
非线性系统中常常出现的混沌现象是指系统的运动状态表现出无规律、无周期的特性。
混沌现象的研究对于理解非线性系统的复杂行为具有重要意义，也对于控制混沌现象具有重要应用价值。
分岔和周期倍增是非线性系统中常见的振动现象，分别指系统参数改变时系统运动状态发生突变和周期倍增的现象。
分岔和周期倍增的研究对于理解非线性系统的稳定性和振动特性具有重要意义。
振动控制是指通过改变系统的参数或设计控制策略来抑制系统的振动。
非线性系统的振动控制方法包括被动控制和主动控制两种。
被动控制是指通过改变系统的结构或参数来改变系统的振动特性，例如采用减振器、阻尼器或刚度调节器等装置来改变系统的振动特性。
主动控制是指通过设计反馈控制器来改变系统的振动特性，例如采用PID控制器、模糊控制器或自适应控制器等方法来实现振动控制。
非线性动力学理论和振动控制方法在工程领域有广泛的应用。
例如在结构工程中，非线性动力学理论可以用于研究结构的振动特性和疲劳寿命，以及设计抑制结构振动的控制方法。
在机械工程中，非线性动力学理论可以用于研究机械系统的振动特性和故障诊断，以及设计抑制机械振动的控制方法。
在电力系统中，非线性动力学理论可以用于研究电力系统的稳定性和动态特性，以及设计抑制电力系统振荡的控制方法。
总之，非线性动力学理论与振动控制是研究非线性系统振动特性和控制方法的重要领域。
航空发动机双转子系统碰摩故障振动特性研究
航空发动机双转子系统碰摩故障振动特性研究欧阳运芳;明阳【摘要】航空发动机转子系统的振动对飞机的飞行安全具有重要影响.文中针对某型航空发动机无中介轴承的双转子系统的结构特征,采用集中质量法建立了双转子-轴承-机匣耦合的动力学模型,分别对内外转子碰摩故障进行了仿真,通过轴心轨迹图、时域波形图、频谱图、庞加莱图分析了双转子系统耦合振动响应特性,提取了内外转子碰摩故障特征.研究成果可以为航空发动机振动状态监测和故障诊断系统提供理论支持.【期刊名称】《机械工程师》【年(卷),期】2016(000)011【总页数】7页(P65-71)【关键词】航空发动机;双转子系统;碰摩故障;集中质量法;耦合振动响应分析【作者】欧阳运芳;明阳【作者单位】上海中航商用航空发动机制造有限责任公司,上海201306;上海中航商用航空发动机制造有限责任公司,上海201306【正文语种】中文【中图分类】V231.3飞机的飞行事故中发动机故障占相当大的比例，其中以发动机振动故障的危害尤为严重。
航空发动机振动过大可导致转子与静子之间的碰摩，直接影响发动机正常运行、可靠性及寿命，甚至危及飞机的飞行安全。
碰摩力模型是碰摩振动故障机理研究的关键。
目前通常采用库仑摩擦力和Hertz接触碰摩力来建立碰摩力模型。
An、Yuan等［1-6］采用库仑摩擦力开展了碰摩转子系统响应研究，发现了转子的周期、拟周期以及混沌运动现象，推导了同步全周碰摩解的稳定性判据，给出了稳定性判据简洁的近似表达式。
李飞敏、杨树华等［7-11］建立了基于Hertz接触理论的碰摩故障非线性动力学模型，研究了系统响应随转速、转静间隙、碰摩刚度等因素的变化规律，以及系统从周期运动向混沌运动的演化过程。
Abuzaid、Chu［12-16］建立了单、多盘转子碰摩试验装置，模拟了单点碰摩、局部碰摩以及整周碰摩故障，观察到了碰摩过程中的1/2×，3/2×等分数阶谐波以及1×，2×，3×谐波成分，发现碰摩间隙和摩擦因数对系统的稳定区域的影响规律。
怎样写好博士论文的第1章“绪论”
怎样写好博士论文的第1章“绪论”1 一般要求要写好“绪论”这一章,第一要务是做好文献搜索、收集和研究。
有了文献工作扎实的基础,就有了对课题的清楚了解,就有了追赶课题最高水平的明确目标, 就可以掌握开展研究的各种工具和手段。
从本质上说,第1章是作者文献工作的成果。
也就是说,第1章也是研究,不研究完不成第1章的写作。
文献工作的任务,一是为了清楚地了解研究课题的背景和意义,二是为了调查研究课题的历史和现状, 了解本课题的当前水平, 三是了为决定博士论文研究中需要展开的内容和执行的研究。
与此相应,博士论文的第1章,一要写好研究背景和意义,二要写好课题的历史和现状,三要说明博士论文的主要研究内容。
2 历史和现状的调查不论作什么样的研究题目,动手研究的第一个任务,就是调查清楚这个项目的历史和现状。
2.1 调查要有提纲,以下是这个提纲的可能的内容。
(1) 近几年已经做了哪些工作? 现在正在做着什么?(2) 哪些问题已经解决了? 怎样解决的? 还有什么问题?(3) 这些没有解决的问题的症结在哪里? 关键是什么?(4) 已经得出了哪些结论? 这些结论可靠吗?(5) 已有的研究工作有什么经验和教训?(6) 别人用了什么样的研究手段、设备、方法和技术路线? 做了什么样的实验? 需要哪些仪器、设备、装臵、样品?(7) 在已知问题中,哪些属于现象性的、或者是方法不合理和设备不准确所至?哪些是事物的本质所决定的?(8) 已有的实验揭示了什么新的事实和现象? 解释合理不合理?2.2 调查的范围、对象和方式文献工作的原则是穷尽不漏。
文献工作的最大益处是从文献开始交同行朋友。
“千里难寻是朋友，朋友多了路好走”。
与自己课题一样的同行是谁呢? 这就属于文献工作的范围。
系统地了解和熟悉以下内容是十分有益的：(1) 最近一年里有多少文献与这个课题有关? 最近二年、最近五年、最近若干年呢? 本课题最初一年的文献收集了吗? 最早的文献是哪篇? 里程碑式的文献有哪些? 标志性文献有哪些? 基础性文献有哪些?(2) 这个课题现在有哪些研究者, 叫什么名字? 这些研究者的相关文献收集全了吗? 这中间, 谁是一般研究者? 谁是学术带头人(课题负责人,博士生指导教师)?(3) 这些研究者属于哪些机构? 这些机构的相关工作和文献收集全了吗? 哪些是一般机构? 哪些是重点和著名机构? 高等院校有哪些? 研究院所有哪些? 企事业研究机构有哪些?(4) 这些机构分布在哪些国家? 这些国家相关机构的工作收集全了吗?文献工作不仅仅是找一些期刊上的学术论文,尽管我们经常是这么做的。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
电路与系统北京理工大学研究生培养方案
080902电路与系统——北京理工大学硕士研究生培养方案（2009版）2009-12-19 18:39:43 北京理工大学考研共济网点击浏览：256次·[考研一站式]北京理工大学硕士招生相关文章索引·[考研一站式]北京理工大学硕士专业课试题、[订购]考研参考书、专业目录电路与系统专080902彰武（一级学科：电子科学与技术）研网络督察电路与系统学科研究电路与系统的理论、分析、测试、设计和物理实现，它是信息与通信工程和电子科学与技术两个学科之间的桥梁，它又是信号与信息处理、通信、控制、计算机乃至电力、电子等诸方面研究和发展的理论与技术基础。
由于电路与系统学科的有力支持，才可能最有效地利用现代的电子科学技术和最新的器件实现复杂的、高性能的各种信息和通信网络与系统。
济近二十年来因为信息与系统产业的高速发展以及微电子器件集成规模的迅速增大，使电子电路与系统走向数字化、集成化、多维化。
电路与系统的经典理论向现代化理论过度，而且与信息和通讯工程、计算机学科与技术、生物电子学等学科交叠，相互渗透，形成一系列的边缘、交叉学科，如新的微处理器设计、各种数字信号处理系统、人工神经网络等。
本学科主要研究方向有：专1.信息处理与传输：信号采集与处理，网络数据融合，现代通信传输理论与技术研究。
济2.应用电子电路与系统：智能与虚拟仪器技术，综合传感器检测技术，多媒体技术、嵌入式技术，电路系统集成技术的应用性研究。
研3.功率电子学：功率控制与驱动技术，电力伺服传动技术，现代电源理论与应用技术研究。
336260 37济一、培养目标112室热爱祖国，有社会主义觉悟和较高道德修养；掌握坚实的数字、模拟、线性和非线性电路与系统的基础理论与技术，信号处理理论与技术，电路与系统的计算机辅助设计，现代信息与通信网络的理论与技术；在本研究方向有系统和深入的专门知识与实验技术；较为熟练地掌握一门外国语，能阅读本专业的外文资料；具有从事科学研究工作和独立担负专门技术工作的能力；能胜任在科研单位、生产部门或高等院校从事有关方面的研究、科技开发、教学和管理工作。
分歧拟周期与混沌现象
第6页/共25页
电路如图所示，非线性电阻的u-i特性为i=u2，以uC为状态变量，则方程为
7.2 非线性电路的分歧
第七章 分歧、拟周期与混沌现象
7.1 引言7.2 非线性电路的分歧7.3 非线性电路中的拟周期现象7.4 非线性电路方程中的混沌现象
第1页/共25页
7.1 引言
传统的认识：一个确定的电路（指电路中所有元件参数都是确定的，不包含任何随机因素），其解也是确定的——即在两组相近的初始条件下，其解也是相近的。
7.2 非线性电路的分歧
1、分歧
由电路参数发生（微小）改变而引起电路的解或相图发生质的变化。能引起分歧的参数称分歧参数，而此参数值称为分歧点。
静态分歧：平衡点的个数和稳定性的变化。动态分歧：相平面轨道定性性质的变化。局部分歧：讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。 静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。 动态分歧：霍普夫（Hopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、 同宿或异宿分歧等等。
为了能清楚地表明鞍结分歧相图的变化，考虑图7-4所示二阶电路。此电路是图1-1所示一阶电路增加了一个RL电路，仍设非线性电阻的伏安特性为i＝v2，以电容电压和电感电流为状态变量列出状态方程：
取归一化值，设 则有：
第10页/共25页
7.2 非线性电路的分歧
当 ＝0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）的第二式特征值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍结点变化过程可以清楚地表示出来，如图7-5所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
近20年的发现：确定的非线性电路存在一种特殊稳态解——这种形式的 解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似 随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的 振荡行为。这种非线性电路的解就称为混沌。
的非双曲平衡点。当 时0电路的平衡点随参数
变化，由式
给x出，x3如图07-9所示。当 ＜0
时，电路有一个平衡点，x＝0，且是稳定平衡点；
当 ＝0时，x＝0也是一个平衡点，仍是稳定的；
当 >0时，电路有3个平衡点，这3个平衡点分别
是和
x；0 0 x1,2
此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化
分歧。
放大器放大倍数k是分歧参数，当k >29时出现周期振荡，振荡的周
期 T 2 RC。/式中6 的 为特征6方程式在k=29时的纯虚根的模值。
7.2 非线性电路的分歧
THANK YOU
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
7.2 非线性电路的分歧
3、叉形分歧
7.2 非线性电路的分歧
讨论叉形分歧的电路仍如图7-6所示， 但非线性电阻的伏安特性为i＝v3；以电容 电压为状态变量时，状态方程为
C dv v v3
dt
同时令 C 1, x，有v 如下方程
dx x x3
dt
3、叉形分歧
可以验证点（x， ）=（0,0)是具有零特征值
衡点随分歧参数变化的图7-2表示。这种平衡点或
方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。
由图7-2可见，当 <0时，电路没有平衡点，即电 路不存在工作点；当 ＝0时，有一个平衡点，而
当 >0时， 有二个平衡点，分别为
。容易
判断x1,2 是稳定的， x的2 。这表示参数 产在
=0x1的附近变化时是，不电稳路定
7.1 引言
7.1 引言
2、分歧或分岔
一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电 路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。 当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化， 例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分歧 (bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。 电路参数变化——解的性质发生质的变化——发生质的变化称为分歧。
7.2 非线性电路的分歧
电路如图所示，非线性电阻的u-i特性为i=u2，以uC为状态变量，则方程为
C
du dt
IS
2
du dt
1 C
(IS
2)
令 C 1, x v时, ，有Is
x x 2
7.2 非线性电路的分歧
可见该电路的平衡点随参数 的变化而变化。特别 当 ＝0时，x=0是该电路的一个非双曲平衡点。 平衡点随参数 变化，由式 x给2 出 0，可以用平
1 0
1 2 1
k u1
1
u2
1 u3
系数矩阵的特征方程为：
3 52 6 k 1 0
d
当k=29时，1 5, 2,3 ，j有6一对实部为零的共扼复特征值。即k=29时，平
衡点为非双曲平衡点；当k<29时， 1 0, 2,3，且a(ak)(k)<jw0(k，) w(k)>0，此
现代电路理论
姓名：学号：
第七章 分歧、拟周期与混沌现象
7.1 引言 7.2 非线性电路的分歧 7.3 非线性电路中的拟周期现象 7.4 非线性电路方程中的混沌现象
7.1 引言
1、非线性电路的稳态解
①平衡点 ②周期解 ③拟周期解 ④混沌解 传统的认识：一个确定的电路（指电路中所有元件参数都是确定的，不
当 时0，仅有工作点Q0；当 >0时，有
3个工作点，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2处的 动态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
7.2 非线性电路的分歧
4、Hopf分歧: 移相式RC振荡电路
静态分歧：平衡点的个数和稳定性的变化。
动态分歧：相平面轨道定性性质的变化。
局部分歧：讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。
全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。
静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。
动态分歧：霍普夫（Hopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、 同宿或异宿分歧等等。 无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫(Hopf )分歧，只有平衡点是 非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电路 对应的线性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特征值。
Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图7-11
所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相放
大器的电压放大倍数k>29时，该电路中将产
生 度稳大定小的由正放弦大振器荡的，饱振和荡特频性率决定f0 。2
6 RC
，荡幅
7.2 非线性电路的分歧
4、Hopf分歧: 移相式RC振荡电路
设放大器的转移特性为
0
g(
3
)
k
3
m
3 3
d 1 dt
1 RC
(2 1
2
0 )
d 2 dt
1 RC
1
2
2
3
d 3 dt
1 RC
( 2
3)
(7 5)
令 t
RC
d 1 d
2 1
2
k 3
m
3 3
d 2 d
1
2 2
3
d 3 d
2
3
7.2 非线性电路的分歧
(7 6)
du1
d
2
du2
d
du3
平衡点的个数和轨道都发生了定性的变化，即发生
了分歧，分歧点是（x， ）=（0，0）。这 种分歧
称为鞍结分歧。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧
从图7-3(b)可以看出，当电流 源电流IS<0时，电路工作点不存 在；当IS＝0时，有一个工作点； 当IS>0时，有两个工作点。且工 作点Q1处的动态电阻为正值，所 以，该工作点是稳定的；工作点 Q2处的动态电阻为负值，该工作 点是不稳定的。
7-8。当 ＝0时，仅有工作点Q0，当 >0
时，有工作点Q0和Ql，且Ql处的动态电阻
为正值；当 ＜0时，有工作点Q2和Q0，
且Q2处的动态电阻为负值。这说明了平衡 点稳定性质转变的本质。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；当k>1 点0,为2,不3 稳a(定k)双 j曲w(平k) 衡点。显然k＝29是一个分歧点，当k从k<29增加 经过k=29到k >29时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的移定性
质变化外，还从平衡点分歧出极限环，即产生周期振荡，这种分歧称为Hopf
<0时相同，有两个平衡点。但平衡点的稳定性 质发生了转换，x1=0变成了不稳定平衡点，
x2＝ 是稳定的平衡点。在 =0的邻域内 发
生变化时，会导致平衡点的个数和稳定性发生
变化，因此，点（x， ）=(0,0)就是分歧点，
这种分歧称为过临界分歧。
7.2 非线性电路的分歧
2、过临界分歧
与鞍结分歧相同，分歧过程也可以用电路静 态工作点的概念解释。当电容用开路代替后， 受控源和非线性电路的伏安关 系分别画于图
则有：
dx dt
x
2
dy y
(1-2)
dt
7.2 非线性电路的分歧
当 ＝0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）的第二式特征
值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍结 点变化过程可以清楚地表示出来，如图7-5所示。
7.2 非线性电路的分歧
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
， 时0 的x=0的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生
了两个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随 的变化，稳 定的平衡点在x- 平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。
对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图1-10所示 。
7.2 非线性电路的分歧
3、叉形分歧
7.1 引言
第七章 分歧、拟周期与混沌现象
7.1 引言 7.2 非线性电路的分歧 7.3 非线性电路中的拟周期现象 7.4 非线性电路方程中的混沌现象
7.2 非线性电路的分歧 主要内容
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
7.2 非线性电路的分歧
1、分歧
由电路参数发生（微小）改变而引起电路的解或相图发生质的变化。能 引起分歧的参数称分歧参数，而此参数值称为分歧点。
为了能清楚地表明鞍结分歧相图
的变化，考虑图7-4所示二阶电
路。此电路是图1-1所示一阶电
路增加了一个RL电路，仍设非线
性电阻的伏安特性为i＝v2，以电
容电压和电感电流为状态变量列
出状态方程：
C
dvC dt
IS
vC
2；L
diL dt
RiL
取归一化值，设 C 1, L 1, R 1, IS , x vC , y iL
1、鞍结分歧 2、过临界分歧 3、叉形分歧 4、霍普夫分歧
7.2 非线性电路的分歧
2、过临界分歧
过临界分歧可以用图7-6所示一阶电路来说 明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且