第七章 电机瞬变过程

☆同步电机
ib ic ic ia ia ib Tem = − pLms [iA (ia − − ) + iB (ib − − ) + iC (ic − − )]sin θ r 2 2 2 2 2 2 3 pLms [iA (ib − ic ) + iB (ic − ia ) + iC (ia − ib )]cos θ r − 2
LA = LB = LC = L1 La = Lb = Lc = L2 Mkj = M jk ( j, k = A, B, C, a, b, c; j ≠ k)
其中：
电压方程
改写成矩阵形式：
0
0 0 R1 0 0 0
0 0 0 R2 0 0
0 0 0 0 R2 0
R1 0 0 0 0
U = RI + pΨ ⎫ ⎬ Ψ = LI ⎭
⎡ u A ⎤ ⎡ R1 ⎢u ⎥ ⎢ ⎢ B ⎥ ⎢0 ⎢ uC ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ua ⎥ ⎢ 0 ⎢u ⎥ ⎢ 0 ⎢ b⎥ ⎢ ⎢uc ⎥ ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣
磁链方程 （对鼠笼电机有 ua = ub = uc = 0 ）
M Aa M Ab M Ac ⎤ ⎡iA ⎤ M Ba M Bb M Bc ⎥ ⎢iB ⎥ ⎥⎢ ⎥ MCa MCb MCc ⎥ ⎢iC ⎥ ⎥⎢ ⎥ La M ab M ac ⎥ ⎢ ia ⎥ Mba Lb Mbc ⎥ ⎢ ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ M ca M cb Lc ⎥ ⎢ ic ⎥ ⎦⎣ ⎦
之后，H.C.Stanley (1938),E.Clarke (1943), G. Kron (1951) , D.S.Brereton (1957)相继证明采用静止的α-β-0正交坐标系，与气隙磁 场同步旋转的dc-qc-0正交坐标系,以及任意速旋转的d-q-n正交坐标系。
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⑵转子相绕组的自感和互感 L f = Lσ f + L ff
N rf N rD N
2 s
L D = Lσ D + L DD LQ = Lσ Q + LQQ
⑶定转子绕组互感
M fD = M Df =
( Lσ s + L2 s )
定子绕组与励磁绕组互感 M af = M fa = Lsf cos θ r M bf = M fb = Lsf cos(θ r − 2π 3) 定子绕组与q轴阻尼绕组互感 M cf = M fc = Lsf cos(θ r + 2π 3) M aQ = M Qa = LsQ sin θ r M bQ = M Qb = LsQ sin(θ r − 2π 3) M cQ = M Qc = LsQ sin(θ r + 2π 3)
θr
z
iC
uC
uB
ωr
b相 B相
b
iB
a x y z
θr
ia
ua
ub
C相
c相
C
c
i c uc ib
三相异步电机及其正方向假定
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⎡ψ A ⎤ ⎡ LA M AB M AC ⎢ψ ⎥ ⎢M L M BC ⎢ B ⎥ ⎢ BA B ⎢ψ C ⎥ ⎢MCA MCB LC ⎢ ⎥=⎢ ⎢ψ a ⎥ ⎢M aA M aB M aC ⎢ψ b ⎥ ⎢MbA MbB MbC ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ψ c ⎥ ⎢M cA M cB M cC ⎣ ⎦ ⎣
0 ⎤ ⎡iA ⎤ ⎡ψ A ⎤ ⎢ψ ⎥ 0 ⎥ ⎢ iB ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ B⎥ ⎢ψ C ⎥ 0 ⎥ ⎢ iC ⎥ ⎥⎢ ⎥+ p⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ ia ⎥ ⎢ψ a ⎥ ⎢ψ b ⎥ 0 ⎥ ⎢ ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ R2 ⎥ ⎢ ic ⎥ ⎢ψ c ⎥ ⎣ ⎦ ⎦⎣ ⎦
异步电机电压方程及磁链方程
定子绕组与d轴阻尼绕组互感 M aD = M Da = LsD cos θ r M bD = M Db = LsD cos(θ r − 2π 3) M cD = M Dc = LsD cos(θ r + 2π 3)
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电磁转矩和转子运动方程
3 电磁转矩和转子运动方程 相坐标系统中的电磁转矩方程 ☆异步电机
M aD M bD M cD M fD LD 0
M aQ ⎤ ⎡ −ia ⎤ M bQ ⎥ ⎢ −ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ M cQ ⎥ ⎢ −ic ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ if ⎥ 0 ⎥ ⎢ iD ⎥ ⎥⎢ ⎥ LQ ⎥ ⎢ iQ ⎥ ⎦⎣ ⎦
其中：
电压方程
0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ −ia ⎤ ⎥ Ra 0 0 0 0 ⎥ ⎢ −ib ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ −ic ⎥ 0 Ra 0 0 0 ⎥⎢ ⎥+ 0 0 Rf 0 0⎥ ⎢ if ⎥ 0 0 0 RD 0⎥ ⎢ iD ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 RQ ⎥ ⎢ iQ ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎡ψ a ⎤ ⎢ψ ⎥ ⎢ b⎥ ⎢ψ c ⎥ p⎢ ⎥ ⎢ψ f ⎥ ⎢ψ D ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ψ Q ⎥ ⎣ ⎦
−1
−1
写成电角位移
J d 2θ r = ΔT 2 p dt
⎧Tem − Tm − TΩ − T0 ΔT = ⎨ ⎩Tm − Tem − TΩ − T0
电动机 发电机
θ r (t ) = θ r (0) + ∫ ωr (ξ )dξ
0
t
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7.2 交流电机在正交坐标系中的瞬态分析模型
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自感和互感参数
☆同步电机 电感系数计算的一般化公式 μ0τ lN x N y ⎡ λ2 ⎤ Lxy = ⎢λ0 cos(α x − α y ) + 2 cos(2θ r − α x − α y ) ⎥ 4p ⎣ ⎦ ⑴定子相绕组的自感和互感
La = Lσ s + L0s + L2s cos2θr Lb = Lσ s + L0s + L2s cos(2θr + 2π 3) Lc = Lσ s + L0s + L2s cos(2θr − 2π 3)
二： 坐标变换的数学基础
选择一个新的坐标系，使转子位置变化和结构的不对称因 素对电机参数的影响（时变）在该坐标系中消除。从线性 代数中可知，这种变换的实质是一组无关向量的正交化过 程。即将相坐标系中的n维独立向量X通过满秩变换矩阵K 变换为n维正交向量Y，即
Y = KX
k M kn 2
或 ⎢ 1 ⎥ ⎢ 11 12 ⎢ y2 ⎥ ⎢ k21 k22
⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦ = ⎢ M ⎢ ⎣ kn1
⎡y ⎤
⎡k
L k1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ L k2 n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ M M ⎥⎢ M ⎥ ⎥⎢ ⎥ L knn ⎦ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦
满秩变换矩阵K 不是唯一的
并且存在逆矩阵 K −1 ，使逆变换
X=K Y
−1
成立
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⎡ua ⎤ ⎡ Ra ⎢u ⎥ ⎢ 0 ⎢ b⎥ ⎢ ⎢ uc ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢u f ⎥ ⎢ 0 ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎣
M ab Lb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf Lf M Df 0
iD
c相
c
y
凸极同步电机及其正方向假定
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同步电机电压方程及磁链方程
磁链方程
⎡ψ a ⎤ ⎡ La ⎢ψ ⎥ ⎢ M ⎢ b ⎥ ⎢ ba ⎢ψ c ⎥ ⎢ M ca ⎢ ⎥=⎢ ⎢ψ f ⎥ ⎢ M fa ⎢ψ D ⎥ ⎢ M Da ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ψ Q ⎥ ⎢ M Qa ⎣ ⎦ ⎣
La = Lb = Lc Mkj = M jk ( j, k = a, b, c, f , D, Q; j ≠ k)
U = RI + pΨ Ψ = LI
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自感和互感参数
2 自感和互感参数
☆基本假设条件： ⑴不计饱和、剩磁、磁滞、涡流，磁路线性； ⑵不计定、转子齿槽效应，定、转子表面光滑； ⑶定转子任一相都只在气隙中产生理想的正弦分布 的P对磁动势和磁场
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第七章 电机瞬变过程
7.1 交流电机在相坐标系中的瞬态分析模型 7.2 交流电机在正交坐标系中的瞬态分析模型
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7.1交流电机在相坐标系中的瞬态分析模型
1 电压和磁链方程 ☆ 异步电机
转子 定子 d轴 ωr a相 B b X x c y Y A
iA
uA
X Z a A B Y Z C
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电磁转矩和转子运动方程
转子运动方程
J dΩ = ΔT dt
交流电机在相坐标系中 的瞬态分析模型
对P对磁极，写成电角速度
ωr = pΩ
dθ r = ωr dt
J d ωr = ΔT p dt
pI = −L (R + pL)I + L U p T ∂L Tem = I I θr =θr (t ) 2 ∂θ r J pωr = ± (Tem − Tm ) p
i i 3 3 Tem = − p[( L0 s + L2 s )(i f + iD )(ia − b − c ) + ( L0 s − L2 s )iQ (ib − ic )]sin θr 2 2 2 2 ib ic 3 3 − p[( L0 s − L2 s )iQ (ia − − ) − ( L0 s + L2 s )(i f + iD )(ib − ic )]cosθr 2 2 2 2 ib2 ic2 2 + pL2 s (ia − − − iaib − iaic + 2ibic )sin 2θr 2 2 3 pL2 s (ib2 − ic2 − 2iaib + 2iaic )cos 2θr + 2
状态方程表达式：
pΨ = −RL−1Ψ + U 或 pI = −L−1 (R + pL)I + L−1U
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交流电机在相坐标系中的瞬态分析模型
☆ 同步电机
转子 d轴 定子 ωr a相 b a
ia
ຫໍສະໝຸດ Baiduθr
z a
b
d
x y z c
if
ua
ic uc ib ub
q轴 x
ωr u
b相
q
f
θr
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自感和互感参数
☆异步电机 电感系数计算的一般化公式 Λg Nx N y μ0τ l Lxy = cos α xy , 其中 Λ g = g 4p ⑴定子相绕组的自感和互感 1 L1 = L1σ + Lms , M AB = M BC = M CA = − Lms 2 ⑵转子相绕组的自感和互感 1 L2 = L2σ + Lmr , M ab = M bc = M ca = − Lmr 2 ⑶定转子绕组互感 M Aa = M Bb = M Cc = Lsr cos θ r M Ab = M Bc = M Ca = Lsr cos(θ r + 2π 3) M Ac = M Ba = M Cb = Lsr cos(θ r − 2π 3)
三： 电机分析中常用的几个正交坐标系
⑴ d-q-n 任意速正交坐标系
θ 为d轴与a相相轴（参考
线）之间的夹角
Fdqn = K (θ )Fabc
⎡ fd ⎤ ⎡ cosθ cos(θ − 2π 3) cos(θ + 2π 3) ⎤⎡ fa ⎤ ⎢ f ⎥ = 2 ⎢−sinθ −sin(θ − 2π 3) −sin(θ + 2π 3)⎥⎢ f ⎥ 为d-q-n 坐标系 ⎢ q⎥ 3⎢ ⎥⎢ b ⎥ 的旋转角速度 ⎢ fn ⎥ ⎢ 12 ⎥⎢ fc ⎥ 12 12 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
一： 坐标变换理论
要建立简化分析模型，选定一个轴系正交的（消除轴间耦 合作用）旋转运动坐标系（消除时变因素）是必要的。 上述设想是20世纪初提出，但直到1929年才由R.H.Park 首先实施。基于凸极同步电机双反应理论，他发表了题为 “Two-Reaction Theory of Synchronous Machines — Generalized Method of Analysis — Part I”（AIEE, vol.48, July 1929,pp.716-727）的著名论文，将静止的 相坐标系中的所有原始变量（电压、电流、磁链）都变换 到与转子同步旋转的d-q-0正交坐标系，建立了著名的 Park变换。
M ab = M ba = − L0 s 2 + L2 s cos(2θr − 2π 3) M bc = M cb = − L0 s 2 + L2 s cos(2θr ) M ca = M ac = − L0 s 2 + L2 s cos(2θr + 2π 3)
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自感和互感参数