第五章_单自由度系统的振动..
单自由度振动系统
单自由度振动系统m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或 （角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。
根据牛顿定律：mx+cx+kx=F1.单自由度系统无阻尼自由振动mx+kx=0；x+kmx=0；令w m2=k/m，求微分方程的解，得x=c1e iw n t+c2e−iw n t=c1+c2cosw n t+i c1−c2sinw n t=b1cosw n t+b2sinw n t将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0x=Asin(w n t+φ); A=x2+x02w n2; φ=tg−1x0w nx01.1固有频率系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。
w n=km ；f n=12πkm1.2固有频率计算方法1）公式法。
根据公式w n=km计算2）静变形法。
根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。
3）能量法。
根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。
4）瑞利法。
考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为w n=km+ρl3，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据T s =12m s x 2，计算即可。
1.3扭转振动根据扭转运动的牛顿定律 M =I θ，M 为施加到转动物体上的力矩，I 转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。
圆盘转动惯量为I ，轴的转动刚度为kθ。
系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与θ方向相反的弹性恢复力矩-K θθ。
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
结构力学-单自由度体系的自由振动
mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0
,
y (t ) y0 cos t
sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA
2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l
1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y
v0
sin t
T
0
t
y cos t
-y
y
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
单自由度体系的自由振动
令
ω2 = k
m
y + ω 2 y = 0
运动方程的解 y + ω 2 y = 0 可由振动的初 2
始条件来确定
常系数的线性齐次微分方程，其通解为
y(t) = A1 cosωt + A2 sinωt
若当 t = 0 时 y = y0 初位移
y(0) = y0 = A1 cosω × 0 + A2 sin ω × 0
因此，自振周期（或频率）的计算十分重 要。
例 计算自振频率
14
EI=常数
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚 结点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架) 计算刚度系数方便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：12EI
l3
一端铰结的杆的侧移刚度为：3EI
l3
例 计算自振频率
1
k11
EI=常数
12 EI l3
y = y0 初速度
y(0) = y0 = −ωA1 sinω × 0 + ωA2 cosω × 0
A1 = y0
A2
=
y0
ω
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
位移的多项表达式
位移、速度的单项表达式
3
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
若令
y(t) = a sinϕ cosωt + a cosϕ sin ωt
结构自振周期、频率
6
自振周期的倒数称为工程频率 f = 1
（或频率），记作 f
T
频率 f 表示单位时间内的振动次数，其常用单位
单自由度系统受迫振动
解得
B
h
(n2 2 )2 4 22
tan
2 h n2 2
幅频特性与相频---称为静力偏移 β 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。 s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。
由二部分组成： ＊第一部分振动的频率是自由振动频率 d；由于阻尼的作 用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动
＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 －稳态受迫振动。
特解为: 代入方程
B 2 sin(t ) 2B cos(t ) n2B sin(t ) h sin t
arctan
1
1 s
2s3 2 (2s)
2
特系 性统 曲的 线幅
频 特 性 和 相 频
单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段
受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
回顾： mx cx kx F0 sin t 显含t，非齐次微分方程
m1
d2x dt 2
m2
d2 dt 2
(x
e sin t)
cx
kx
整理后得系统的微分方程为
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
引入 微分方程化为标准形式 解得
令
解得
其幅频特性和相频特性曲线
【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为 m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在 振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的 振动规律为 xe e sin t 。求测振仪中物块的运动 微分方程及其受迫振动规律。
第五讲-单自由度无阻尼强迫振动
( n ) (T Tn )
(2) 1 ( 0 ) (T Tn )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态强迫振动完成多个循环 强迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 /
稳态强迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环 强迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
第五讲 单自由度无阻尼强迫振动
简谐激励下的无阻尼强迫振动
弹簧－质量系统
设
F (t )
m k
F (t ) F0 sin t
F0
外力幅值
x 0
F (t )
m
m x
外力的激励频率
振动微分方程：
kx
（1）
mx cx kx F0 sin t
引入记号
F0 k n , X0 m k
（7）
x 0 x0 , x 0 x0
（8）
C1 x0 , C2
n
x0
X
（9）
因此，对应于该初始条件的解为
x t x0 cos nt
自由伴随振动 （简谐激励）
n
x0
sin nt
自由振动（初始条件）
1 X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
解： m kx F0 cost 的全解： x
X0 c1 x0 1 2 求一阶导数： x(t ) c1n sin nt c2n cos nt X 0 sin t 2
由 x(0) x0
由 x(0) x0
x0 c2n
c2 x0 / n
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Ae
nt
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd xR
当
2<<1时
2π N 1 2
ln
ln 2π N ln 2π N
此式对估算小阻尼系统的 ζ值是很方便的。例如， 经过10个周期测得P、R两点的幅值比 r=2，将N=10、 r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这 种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
2 r1 n n 2 0
2 r2 n n 2 0
微分方程的解为
x e
nt
(C1e
2 n 2 0 t
C2 e
2 n 2 0 t
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
2 x Ae nt sin( 0 n2 t ) 或
x Ae
nt
sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
d n
2 0
2
称有阻尼自由振动的圆频率
x Ae
nt
c c m
f (t )
k
m
xs
k
kx
cx
m
o x x
x
m x
o x
振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
dx （2）粘性阻尼力 Fc c cx ；方向与速度方向相反。 dt
cx m x 根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为：
单自由度体系的自由振动
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
m st T 2 2 k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 和周 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 期的 6 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
m ky m
.
y
k
m
y( t )
m
y
k
单自由度体系自由 振动的微分方程
m y
ky 0 m y
2
二、自由振动微分方程的解
改写为
ky 0 m y k y 0 y m
.......... .......... .......... ......(a)
k y 0 其中 y m
例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m EI m 1
V
l /2 1
l /2 A,E,I
E,I
E,A
l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
6 EI h2
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 192EI
1
1 m 1
48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
第五章 单自由度系统的振动
上式也可改写为
F (t ) c0 ck cos(kt k )
式中
c0 a 0 / 2 ck ak2 bk2 bk k arct an ak
Cx Kx c0 ck cos(kt k ) M x
k 1
k 1
若系统的质量、刚度和阻尼分别为M、K和C，则此时受迫振动的微分方程为
c0相当于一个静载荷，它不引起振动，而只改变系统的静平衡位置。若令
k k
则稳态响应可以写为
ck x k cos(k t k k ) k 1 K
x e ( x0 cosd t
at
也可改写为 式中
d x Aeat sin(d t )
0 ax0 x
0 ax0 x
sin d t )
2 A x0 (
d
)2
arctan
d x0
0 ax0 x
从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其 振动圆频率为d ，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振 动的固有频率 n 略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给 出了这种衰减振动的响应曲线。
x A sin(nt )
式中：A称为振幅； 称为初相位，单位为rad。 无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。
设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得
2 A x0 (v0 / 0 ) 2
x00 arctan 0 x
2、工程实例 机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内 部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或 产生振动时，构件要产生动变形和动应力。
单自由度系统的振动
k 其中 pn m
固有圆频率
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x
x 0 可解 x0，x
C1 x0
C2
0 x
2.6 简谐激励受迫振动理论的应用 2.7 周期激励作用下的受迫振动
2.8 任意激励作用下的受迫振动
2.9 响应谱
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Theory of Vibration with Applications
第2章单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
Theory of Vibration with Applications
第2章单自由度系统的振动
2.1.1 自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率 2.1.3 等效刚度系数 2.1.4 扭转振动
Theory of Vibration with Applications
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第2章单自由度系统的振动2.1.1 取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
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第2章单自由度系统的振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
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1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m(k1 k 2 )
理论力学 第5章 小振动
2. 单自由度系统的小振动
三、复摆系统的自由振动 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
d M mgl sin I 2 d t ( 5 )
d mgl I 2 dt
2
2
M l F
转动正向 O 向外
l
*C
d 2 0 2 dt
2. 单自由度系统的小振动
例2：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率 解：系统的动能和势能 1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos 1 2 2 2 ~ T ( mL 6mL2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4mgL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m (0) q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL 2 2
3.1 多自由度系统小振动问题（推导）
ˆ 0 ˆ A ˆ 2M K
本征值问题（求本征值 2 和本征矢量 A ）
f ( 2 ) det k m 2 0
即
k11 m11 2 k21 m21 2 ks1 ms1 2
k12 m12 2
T ——周期，每振动一次所经历的时间。 T
2
0
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
0 —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
2. 单自由度系统的小振动
单自由度振动系统的振动周期与刚度关系
单自由度振动系统的振动周期与刚度关系单自由度振动系统是振动学中的基本模型，广泛应用于工程、物理、力学等领域。
在研究单自由度振动系统时，了解振动周期与刚度之间的关系是至关重要的。
本文将从理论角度探讨单自由度振动系统的振动周期与刚度之间的关系。
1. 引言单自由度振动系统是指由一个自由度（例如质点的位置）决定的振动系统。
它可以用简谐振动方程描述，即x(t) = Acos(ωt + φ)，其中 x(t) 是物体在时间 t 时的位移，A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。
振动周期 T 定义为一个完整振动循环所需要的时间。
2. 振动周期的定义振动周期 T 是指振动系统中一个完整振动循环所需的时间。
在单自由度振动系统中，振动周期可以根据振动方程中的角频率计算得出：T = 2π/ω。
3. 振动系统的刚度振动系统的刚度描述了系统对外力的抵抗能力。
在单自由度振动系统中，刚度是指系统在受到单位位移施加的力的大小。
通常用 k 表示刚度，刚度的单位是 N/m。
4. 单自由度振动系统的运动方程在单自由度振动系统中，位移x 随时间的变化可以由运动方程描述。
运动方程可以通过牛顿第二定律推导得出：m(d²x/dt²) + kx = 0，其中 m 是质量，x 是位移。
5. 振动周期与刚度的关系根据运动方程，我们可以推导出振动周期与振动系统刚度之间的关系。
假设振动周期为 T，振幅为 A，则位移方程可以写成 x(t) =Acos(2πt/T)。
将位移方程代入运动方程，得到m(4π²/T²)Acos(2πt/T) + kAcos(2πt/T) = 0。
整理后得到T² = 4π²(m/k)，即振动周期的平方与振动系统的刚度和质量成反比。
6. 振动周期与刚度的实际应用单自由度振动系统的振动周期与刚度关系在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在建筑结构工程中，我们可以通过测量建筑物的振动周期来评估其刚度，从而判断建筑物的稳定性。
单自由度系统振动
（弹簧质量系统的固有频率和自激振动、自由振动、受迫震动）一、实验目的通过单自由度振动系统的弹簧刚度，掌握固有频率n??与振动质量m和系统弹簧刚度k 之间的一个极为重要的关系mk??n??。
演示自激振动现象及其与自由振动和强迫振动的区别。
因为平时人们往往常遇见或能理解的自由振动和强迫振动的现象比较多，如单摆的振动、汽车的振动、电机由于转子不平衡引起的振动等等。
但自激振动的现象又很难被人们所认识，如比较典型的自激振动有钟表、电铃等。
前者的摆轮和后者的摆锤的振动容易被理解是强迫振动。
因此，我们把演示自激振动作为理论力学一个实验从反面让学生搞清自激振动和强迫振动的概念。
二、实验原理（一）单自由度线性系统的自由振动由一个质量块及弹簧的系统，在受到初干扰（初位移或初速度）后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近所作的振动称为自由振动。
其运动微分方程为：0kxxm（无阻尼）其解为：sinntA 其中：2n2020??vxA，00narctanvx （二）单自由度线性系统的强迫振动在随时间周期性变化的外力作用下，系统作持续振动称为强迫振动，该外力称为干扰力。
其振动微分方程为thxxnxmsin22n（有阻尼）方程全解为：sinsin220BtnAext 强迫振动的振幅B可以表示为2020220041 nBB 式中：kHhB200?? 称为静力偏移，表示系统在干扰力的幅值H 的静力作用下的偏移。
（三）自激振动的基本特性：自激振动是一种比较特殊的现象。
它不同于强迫振动，因为其没有固定周期性交变的能量输入，而且自激振动的频率基本上取决于系统的固有特性。
它也不同于自由振动，因为它并不随时间增大而衰减，系统振动时，维持振动的能量不象自由振动时一次输入，而是象强迫振动那样持续地输入。
但这一能源并不象强迫振动时通过周期性的作用对系统输入能量，而是对系统产生一个持续的作用，这个非周期性作用只有通过系统本身的振动才能不断输入振动才能变为周期性的作用，也只用成为周期性作用后，能量才能不断输入振动?低常 佣 窒低车淖约ふ穸 Ｒ虼耍 肭科日穸 囊桓鲋匾 鹪谟谙低趁挥谐跏荚硕 筒换嵋 鹱约ふ穸 科日穸 虿蝗弧?三、实验项目：（一）.求单自由度系统的振动频率已知：高压输电模型的质量kgm138.0??，砝码规格分别为100克和200克。
单自由度系统无阻尼振动讲义
单自由度系统无阻尼振动
单自由度系统的自 由振动——简谐振
动
1 运动微分方程的建立
弹簧—质量系统放在竖直方向，质量运动方向有重力。
重力只影 响质量块 的平衡位 置，并不 影响其振 动规律。
以系统的静平衡位置o为坐标原点，以垂直向下为轴 正向，建立如图所示的坐标系。
在静平衡位置有：
当物体在任意位置x时：
当质量块m在某一瞬时的速度为 弹簧在x处的微段d x的相应速度为
设r为弹簧单位长度的质量，则弹簧的动能为：
单自由度系统无阻尼振动
弹簧质量 弹簧的等效质量
例7 在长为l，抗弯刚度为EJ的简支梁的中点放一重量为W的物 体，梁的单位长度的质量为r，当考虑梁的分布质量时，求系 统的固有频率。
解：首先假定梁的振型。假设梁在自由振 动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载 荷作用下的静挠度曲线一样。
B点的等效刚度：
N个弹簧串联：
两个弹簧并联，在B端施加力F后，两个弹簧均伸长xB: 两个弹簧受力不同，分别为：
并联弹簧的等效刚度是原来弹簧刚度的总和， 比原来各弹簧单自的由刚度系度统无都阻要尼振大动 。
混联弹簧
等效刚度：
单自由度系统无阻尼振动
设计系统时：若需要减小刚度，采用串联弹性元件； 若需要增大刚度，采用并联弹性元件。
平面运动的刚体 T12mvc2 12Jc2
常见物体的势能计算
拉伸弹簧
扭转弹簧
U x kxdx 1 kx2
U
x
0
Kd
2 1
K2
0
2
刚体的重力势能 U mgzc 单自由度系统无阻尼振动
K 为抗扭弹簧系数
例1 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤（直杆的重量和 锤的体积都可以不计），组成单摆，杆长为l，锤重为mg，试 求摆的运动微分方程。
单自由度系统振动的基础知识
本文讨论简谐激励作用下的受迫振动1、简谐激励下单自由度系统的振动微分方程单自由度系统模型F t=F0e iωt式中：F(t)为系统的激振力，F0为简谐力的幅值，ω为激振力的频率，当m、k、c分别为系统的质量、刚度、阻尼，根据力的平衡关系可得该系统在简谐激振力作用下的振动微分方程：mx+cx+kx=F0e iωt2、系统的响应表达式单自由度受迫振动微分方程式二阶常系数线性非齐次常微分方程，它的解由两部分组成x t=x1t+x2(t)式中x1t是齐次方程mx+cx+kx=0的通解，即为单自由度系统的衰减振动，其通解表达式为x1t=Ae−nt sin (ωn t+α)x2t是振动微分方程的特解，其特解为x2t=Xe iωt=|X|e i(ωt−φ)受迫振动有两部分组成，前一部分为衰减振动，后一部分是受迫振动，由于阻尼的存在，衰减振动经过一段时间后就会消失，在衰减振动完全消失之前，系统的振动称为暂态过程，亦称为暂态响应。
在此之后是稳定的等幅受迫振动，这是受迫振动的稳态过程，亦称为稳态响应。
它是一简谐振动，其频率与激励力的频率相同，与激励力相比落后一相位角φ，称为相位差，X为稳态响应的幅值。
3、频率响应函数将稳态解代入振动微分方程中可得：−ω2m+iωc+k Xe iωt=F0e iωt则系统的频率响应函数可表示为：ω=X F0=1−ω2m+iωc+k令ξ为阻尼比，ξ=mk,λ=ωω0,ω0为系统的固有频率，则Hω=X F0=1k[(1−λ2+i2ξλ)]4、幅频特性曲线及相频特性曲线根据频率响应函数，令X0=F0k,表示在激振力的作用下弹簧的静伸长量，称为静力偏移，频率响应函数可转变为X X 0=1 (1−λ2+i2ξλ)运用平方差公式，将频率响应函数转化成标准复数形式，即X X 0=1(1−λ2+i2ξλ)=1−λ2(1−λ2)2+(2ξλ)2−i2ξλ(1−λ2)2+(2ξλ)2将X X0表示为系统振幅与静力偏移的比值，称为放大系数或动力系数用希腊字母β表示。
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
单自由度系统的受迫振动
为品质因子。表征共振峰的陡峭程度
1，相位差为π/2，与阻尼无关
相频特性曲线 θλ
1， 响应与激励同相 1， 响应与激励反相 阻尼越小反响现象越明显
不同形式简谐激励的稳态响应
转子偏心质量引起的受迫振动
ω
系统振动方程
M x cx kx me2 sin t
幅频特性曲线
2
(1 2 )2 (2 )2
1-2-2 周期激励作用的受迫振动响应
对于周期激励
F(t) F(t nT)
(n 0,1, 2)
F
0 F(t)
F
t
0
t
由Fourier级数展开
F (t) Fne int n
Fn
1 T
T
2 F (t)eintdt
T 2
(n 0, 1, 2,)
F (t) an cos nt bn sin nt n
线加速度法
将时间区间[ a , b ]剖分成若干个分点：a = t0 < t1<······< tn= b
ti t0 ihi 时间步长 hi ti1 t i 等时间步长 h ti1 t i
i 0,1, 2,n
假设在第 i 时间间隔[ ti , ti+1 ]内，加速度呈线性变化，即
x
xi
x(0 ) 0, x(0 ) 0
mx cx kx 0
t
0,
x(0 ) 0, x(0 ) 1 m
由冲量定理
mdx (t)dt
0dx 1
0
(t)dt
0
m 0
x(0 ) 1 m
系统对单位脉冲的响应
h(t)
1
md
en t
sin dt
单自由度振动系统的运动方程及其解析解
单自由度振动系统的运动方程及其解析解单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，其运动方程可以用一个二阶常微分方程表示。
在这篇文章中，我们将讨论单自由度振动系统的运动方程及其解析解。
1. 引言振动是自然界中一种常见的现象，也是物体在受到扰动后产生的周期性运动。
单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型，它可以用来描述弹簧振子、摆锤等物理系统的振动。
2. 运动方程的建立对于单自由度振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导而来。
假设系统的质量为m，位移为x，系统受到的外力为F，弹性系数为k，则可以得到如下的运动方程：m*x'' + k*x = F3. 简谐振动的解析解当外力为零时，即F=0，单自由度振动系统的运动方程简化为：m*x'' + k*x = 0这是一个常系数线性齐次二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法求解。
假设解为x(t) = A*cos(ωt + φ)，代入方程中可以得到：-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) + k*A*cos(ωt + φ) = 0整理得到：(ω^2*m - k)*A*cos(ωt + φ) = 0由于A*cos(ωt + φ)不为零，所以可以得到特征方程：ω^2*m - k = 0解特征方程可以得到系统的固有频率：ω = sqrt(k/m)因此，单自由度振动系统的解析解为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中A和φ为待定常数，分别表示振幅和相位。
4. 非简谐振动的解析解当外力不为零时，即F≠0，单自由度振动系统的运动方程为：m*x'' + k*x = F这是一个非齐次线性二阶常微分方程，可以通过特解和通解的方法求解。
首先求解齐次方程，得到通解：x_h(t) = A*cos(ωt + φ)然后求解非齐次方程的特解，可以通过待定系数法或者复数法得到特解。
最后将通解和特解相加，得到系统的解析解：x(t) = x_h(t) + x_p(t)其中x_h(t)为齐次方程的通解，x_p(t)为非齐次方程的特解。
第五章_单自由度系统的振动
同方向、不同频率的简谐振动合成
1 m ， m、n互质， 即频率比为有理数。 假设： 频率比 2 n 2 2 则: m n ， 即 mT1=nT2=T为公共周期。 1 2
合振动 : x (t)= x1(t)+ x2(t) x (t+T)=x1(t+T)+x2(t+T)= x1(t+mT1)+x2(t+nT2)= x1(t)+ x2(t)= x(t) ， 合振动周期为 T=mT1=nT2 当频率比为无理数时，合振动没有公共的周期T。 结论：
arctan
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos 2
结论： 合振动 x 仍是简谐振动,
且保持同样的振动频率。
讨论: (1)若两分振动同相,即 2 1=2k (2)若两分振动反相,即
(k=0,1,2,…)
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， 当 A1=A2 时 , A=2A1
X3(t)= X1(t)+ X1(2)；
5 5
1 2 0.5， 为无理数 2 10
x1 x1
0 0 -5 -50 0 5 5
2 2
4 4
6 6
8 8
10 10
x2 x2
0 0 -5 -50 0 10 10
2 2
4 4
6 6
8 8
10 10
x3 x3
0 0 -10 -10
0 0
2 2
合振动振幅的频率为:
A (ω ω ) t 2 1 ω1 ω2t A 1 ω1t O x2 x x1 x x1 x2
2 1 v v2 v1 2
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自由振动问题虽然比强迫振动问题单纯 ,但自由振 动反映了系统内部结构的所有信息，是研究强迫 振动的基础．
按结构参数的特性分 线性：常系数线性微分方程 系统内弹簧恢复力、阻尼力和惯性力分别 与振动位移、速度、加速度成正比 非线性：非线性微分方程 线性 满足叠加定理
} f (t ) ® x (t )
已知载荷和结构参数求结构的响应、研究结构的动态特性。
参辨识或系统辨识——第一类逆问题（识别与修改）
已知载荷和结构响应求结构参数和数学模型。
研究方法：参数辨识和系统辨识的各种方法 机械系统动力学问题：模态参数辨识方法。
模态质量
模态参数
模态刚度
模态阻尼 模态振型
质量
结构物理参数
刚度 阻尼
内容--三大课题
2 sin t sin t 2 sin t
2
T
f
1 T 2
2f
周期/秒
频率/赫兹
y A sint
初相
补充2.3
振动的表示方法
② 旋转向量表示法
平面上旋转向量与沿时间轴展开 的谐波函数之间存在严格的对应关 系
按振动的位移特性分为： 纵坐标 直线 横坐标 圆弧线 （角振动）
补充2.3
2.3.1
振动的表示方法
一般表示方法
– 函数表示 表示振动的某些物理量（位移、速度、加速度） 随时间t变化的规律。
x x(t )
①图象表示 以时间为横横坐标，以振动物理量为纵坐标
①周期振动表示 x = x(t + nT) n=1,2….. T —— 周期 (秒/s)
补充2.3
振动的表示方法
Im b O Z A ωt a Re
③ 复数表示法 旋转位置可用复向量来表示
Z=a+jb
Z a 2 b2 A
Re Z a A cos t
arg Z t
Im Z b A sin t
Z A(cost j sin t ) Ae jt
2 2
f1(t ) ® x 1(t )
C 1f1(t ) + C 2 f2(t ) = C 1x 1(t ) + C 2x 2(t )
单度 按系统自由度数分： 多度 无限多
常微
偏微分 位移函数
自由度——全面地描述系统运动所需独立坐标的最小数目。
按运动规律 简谐 周期 瞬态 只在一定时期内存在 随机 非确定函数（概率统计法）
用复数的虚部表 示振动则等价于
x A sin t
可用事先预定的复数的虚部或实部来表示简谐振 动
补充2.3
jt X Xe
振动的表示方法
简谐振动位移、速度、加速度的复数表示:
其中
X X e —初始的复向量
j
位移: x(t ) Im[X ] Im[Xe jt ]
j t j t 速度 : x(t ) Im[ X ] Im[ jXe ] Im[Ve ] 加速度 : x(t ) Im[ X ] Im[ 2 Xe jt ] Im[ Ae jt ]
f =1/T—— 频率（赫兹/Hz）
补充2.3
2.3.2
振动的表示方法
简谐振动的表示方法
是正弦式或余弦函数 最基本的振动形式，最简单的周期振动 ，所以，是研究其它振动的基础。
① 正、余弦函数表示法
x =A cosωt 或 y =A sin ωt
ω : 角（圆）频率 A: 振幅 ω t: 相位 更一般：
载荷辨识——第二类逆问题（再现和控制）
已知结构参数和响应求载荷。
研究方法：通常先进行第一类逆问题的计算，得到结构参数，
才能进行载荷识别。
补充2 振动基础知识
• 什么是振动？ • 振动的分类
• 振动的表示方法
• 简谐振动的基本性质 • 动力学模型
补充2.1 什么是振动
一种特殊形式的运动（质点，围绕其平衡位置作往复运动） 机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动。 机械振动系统，就是指围绕其静平衡位置作来回往复运动的机械 系统，单摆就是一种简单的机械振动系统。 振动系统三要素： 惯性—保持动能的特性,能使系统当前运动持续下去.
补充2.3
X Xe
j
振动的表示方法
Im
j j ( ) 2
因此,当t = 0时, 复矢量的初值: V
V jX j X e X e
Ve
j ( ) 2
X Re
A 2 X 2 X e j 2 X e j ( ) A e j ( )
位移、速度、加速度的幅值的大小和相 A V X
2
求导
等价于
乘 jω
相 位
等价于
在复平面上将复数矢量逆时针 旋转 2 ，即相位增加 2 ， 幅值增大ω倍。
弹性—储存势能的特性,能使系统位置恢复到平衡状态. 阻尼—耗散能量的特性,能使系统能量消耗掉. 这三个基本要素通常分别由物理参数质量M、刚度K和阻尼C表征。
振动的特点：
能用力学基本原理解释的逻辑学科， 数学概念完全与物理现象相协调； 物理现象是可以体验和测量得到的
补充2.2
振动的分类
按产生的原因分 自由振动——系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度 )的激励而引起的振动,初始干扰或外激励取消后开始振动 . 强迫振动——持续的外作用力激励下的振动. 自激振动——系统内部激发及反馈相互作用下，而 产生稳定的周期振动（无周期外力作用）
x(t)=Asin(ω t+
φ) v(t)= Aω cos (ω t+φ)= Aω sin(ω t+φ+π/2) a(t)= -Aω 2sin (ω t+φ)= Aω 2sin (ω t+φ+π) 速度超前位移π/2相位，加速度超前位移π相位。 加速度大小与位移成正比，方向与位移相反， 始终指向平衡位置
补充1.1
研究对象-机械系统
输入（激励）:力、力矩、位移等 输出（响应）：位移、速度、加速度
参数模型：固有频率、惯量、质量、刚度、 阻尼比、极点、留数、模态振型等
系统特性：
非参数模型：脉冲响应函数(IRF)、
频率响应函数(FRF)
补充1.2
内容--三大课题
响应予估——正问题（监测与评价）
研究方法：模态分析法、机械阻抗分析法、有限元法等