自控原理第三章-3

c(t)
② ① O

r(t)
t
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二、线性定常系统稳定性的充分必要条件
1. 线性系统的解


线性系统的特性是由线性微分方程来描述的；
微分方程的解就是系统输出量的时间表达式；

它包含两个部分：齐次方程通解和一个特解 微分方程的特解，与外部输入有关（零状态 响应）。 通解只与系统本身的参数、结构和初始条件 有关，而与外部作用无关（零输入响应）。
稳定系统才有用。 提出保证系统稳定的措施，是
自动控制理论的基本任务之一 。 绝对稳定性：稳定或不稳定的条件。 相对稳定性：稳定系统的稳定程度。
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一、稳定的基本概念

基本概念：控制系统在实际运行过程中，总会受 到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能 源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。 这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这
高阶系统往往是由若干惯性子系统（一阶系统）
或振荡子系统（二阶系统）所组成；

在一定条件下，高阶系统可用低阶系统代替； 由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的，这 里只对高阶系统时间响应进行简要的定性说明。
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1. 高阶系统闭环传递函数的一般形式
n =q+2r ：q为实极点的个数， r为复数极点的对数。
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对上式求拉氏反变换得
c(t ) A0 Ai e Bk e k nk t cos nk 1 k2 t
si t i 1 k 1 q r
Ck e k nk t sin nk 1 k2 t
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单输入、单输出线性定常系统微分方程的一般形
式为
( n1) ( n2) m m 1 c( n) (t ) a c ( t ) a c ( t ) 1 2 n1c(t ) nc(t ) s b ab C ( s) b s b s a
1940 年 11 月 7 日，一阵风 引起了桥的晃动，而且晃 动越来越大，直到整座桥 断裂。
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2. 稳定的类型

大范围稳定：初始偏差可以很大，系统仍稳定；

小范围稳定，初始偏差必须在一定限度内系统才 稳定，超出了这个限定值则不稳定；
对于线性系统，如果小范围内是稳定的，则它一 定也是大范围稳定的。而对于非线性系统不存在 类似结论；
分析 单位阶跃函数
( s )

Aj 一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个（有界）参考 1 A0 Bk ( s knk ) Cknk 1 k 2
q r
R(s)
1 s
m i 1
传递函数 单位阶跃响应
c(t ) A0 Aj e
j 1 q p jt
些因素，设计出来的系统不稳定，那该系统是不
成功的，需重新设计，或调整某些参数或结构。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、 参数），与系统的输入信号无关。
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1. 稳定和不稳定的含义

稳定和不稳定：一个原处于某一平衡状态的系统， 受到某一扰动作用偏离了原平衡状态。当扰动消失 后，如系统还能回到原平衡状态附近，则称该系统 稳定。反之，系统不稳定。 这种稳定性也称零输入响应的稳定性（内稳定）； 稳定性是表征系统在扰动消失后自我恢复的能力， 它是系统的一种固有特性。


因而，线性定常系统零输入响应稳定的充 要条件是其特征方程的根均具有负实部。
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C ( s) ( s) s s j 1 s p j k 1 s 2 2knk s nk 2 输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
当输入单位阶跃函数时，则有
C ( s) ( s) R( s) K (s z j )
j 1 2 2 ( s s ) ( s 2 s i k nk nk ) i 1 k 1 q r m

1 s
q r Bk ( s k nk ) Ck nk 1 k2 A0 Ai 2 s s 2 2 k nk s nk i 1 s si k 1
x (t , x0 , t0 )
x0
(1)
S ( ) x0 xe
(a)
(b)
(c)
系统的稳定性: (a)稳定（小范围）；(b)渐近稳定； (c)大范围稳定和不稳定
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3. 零状态响应的稳定性（BIBO稳定）

零状态响应的稳定性

如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有 界，则称该系统的零状态响应是稳定的。
k
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) k [ K ( s sk )] s ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ss
k
sk knk jnk 1
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2 k
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3. 高阶系统有如下结论：

引言

稳定的基本概念

零输入响应的稳定性——内部稳定性


零状态响应的稳定性——外部稳定性
线性定常系统的稳定性
线性定常系统稳定的充要条件
线性定常系统的稳定性判据
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引言

对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定
的前提下进行。

稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。只有
阶或二阶系统进行处理。

一般高阶系统的瞬态响应是有振荡的，因此它的
近似低阶系统的主导极点往往是一对共轭的复数 极点,相应的暂态性能指标可由二阶系统近似估计。
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三阶系统 二阶系统
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3.5 线性系统的稳定性分析

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稳定的摆
稳定
不稳定的摆（倒立摆）
中性稳定 不稳定
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跨越华盛顿州塔科马峡谷 的首座大桥，开通于 1940 年 7 月 1 日。只要有风，这 座大桥就会晃动。

主导极点：距虚轴最近、实部的绝对值为其他极 点实部绝对值的 1/5 甚至更小、在其附近没有零 点存在的极点称为系统的主导极点。系统的瞬态
响应将主要由此极点左右。
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高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略
其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一

的系数就越小，该瞬态分量的影响就越小。

极端情况下，当 si 和 zj 重合时（称这对重合
的零极点为偶极子），该极点对系统的瞬态响
应几乎没有影响。
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对于系数很小的瞬态分量，以及远离虚轴的极点
对应的快速衰减的瞬态分量常可以忽略。于是高
阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。
5
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) Ai [ K ( s si )] s( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ss
i
( s z1 )( s z2 ) Dk 2 [ K s ( s s1 )( s s2 )
( s zm ) ( s sk )] ( s sn ) ss

高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数
衰减系数 si 和ζkk 决定。如果某极点远离虚
轴（对应的衰减系数大），其相应的瞬态分 量也比较小，且持续时间也较短。
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Hale Waihona Puke Baidu
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高阶系统各瞬态分量的系数 Ak 、 Dk 不仅与复 平面中极点的位臵有关，而且与零点位臵有关。 当某极点越靠近某零点而远离其他极点，同时 与复平面原点的距离也很远时，相应瞬态分量
k 1
r
1 Ai e Dk e k nk t cos(nk t 1 k2 k ),
si t i 1 k 1
q
r
(t 0)

可见，单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量
为 A0＝1，瞬态分量是一阶和二阶系统瞬态分量 的合成。
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C ( s) R( s) K ( s zi )
i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) j 1 k 1 q r m
,
nm
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2. 高阶系统的单位阶跃响应(零初始条件)
*3.4 高阶系统的时域分析

引言 高阶系统闭环传递函数的一般形式 高阶系统的单位阶跃响应 高阶系统暂态响应的有关重要结论
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引言

高阶系统：凡是用高于二阶的常微分方程描述输
出信号与输入信号之间关系的控制系统；

严格地说，大多数控制系统都是高阶系统，这些
( s )
n 1 ( m) 1) n (m 2) b0r t )) b1r ( ms (t ) b r (t ) R ((s a s 2 1

0
1
m 1
m
bm r (t ) b r (t ) a 1 n 1s man
系统的特征方程为
s n a1s n 1 an 1s an 0



渐近稳定：系统最终恢复到原始平衡状态；
线性定常系统如果稳定，则必是渐近稳定的。
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S ( ) S ( ) x0 xe
x (t , x0 , t0 )
S ( ) S ( ) x0 xe
x (t , x0 , t0 )
S ( )
(2)
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2. 零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）

研究系统零输入响应的稳定性，就是研究系
统输出量中齐次方程通解的运动形式； 这种运动形式完全取决于系统的特征方程式， 即齐次微分方程，这个特征方程反映了扰动 消除之后输出量的运动情况。

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零状态响应稳定又称为有界输入有界输出稳定（Boundedinput bounded-output stability，BIBO稳定，外部稳定）。

BIBO稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。 线性定常系统零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的 条件除特殊情况外是一致的。 所以，线性定常系统的稳定性可通过系统响应的稳定性 来表达。
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm , n n 1 R( s ) s a1s an1s an

nm
设此闭环零、极点分别为 zj 和 si，假设系统所有 零点、极点互不相同、极点都分布在s左半平面， 并且极点有实数极点和复数极点，零点均为实 数零点，则上式又可写为
此方程的根，称为特征根（由系统本身的参数和 结构所决定）。
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从常微分方程理论可知，微分方程解的收
敛性完全取决于其相应特征方程的根。

如果特征方程的所有根都是负实数或实部
为负的复数，则微分方程的解是收敛的； 如果特征方程存在正实数根或正实部的复 根，则微分方程的解中就会出现发散项。
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4. 线性定常系统的稳定性表现

LTI的稳定性与其时域响应的收敛性密切关联

控制系统的响应分为暂态分量和稳态分量，若随 时间推移，其暂态分量逐渐衰减，系统响应最终 收敛到稳态，则称该系统稳定(①)； 如果过渡过程发散，则该系统不稳定(②)。