毕业论文：浅谈中学数学中的反证法,审核通过

毕业论文学生姓名XXX学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014年5月摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.关键词：反证法，适用范围，假设Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先a b a b落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则=+.一方面，由于比要重，它应该a b c c a b c aa ab a b b a比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿”a c a c a a 迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.2 反证法的概述2.1 反证法的概念反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中A B A B⌝⇒⌝⇒B A⌝B A B表示命题的否定）为真，当为假，则为假.B⌝⇒⌝⇒B A2.2 运用反证法的步骤运用反证法证题一般分为三个步骤：1）假设原命题不成立；2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.2.3 反证法的种类应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.3 反证法的适用范围我们知道，若一个数学命题形如“若A 则B ”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.3.1 否定性命题否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.例1 设、是公比不相等的两个等比数列.，证明数列不是等比数}{n a }{n b n n n c a b =+}{n c 列.证明 假设是等比数列.则 ,即}{n c 221n n n c c c ++=,()()()22211n n n n n n a b a b a b ++++++=+整理得到 . 22222211112n n n n n n n n n n n n a a a b b a b b a a b b ++++++++++++=++()*因为 ，是等比数列，所以 , .由式可得}{n a }{n b 221n n n a a a ++=221n n n b b b ++=()*.22112n n n n n n a b b a a b +++++=设 , ，则11n n a a q +=12n n b b q +=.2221122n n n n n n a b q b a q a q b q +=因为 ，所以 .即 ，所以 与已知条件两个等n n a b 0≠2221122q q q q +=()2120q q -=12q q =比数列公比不相等矛盾.所以不是等比数列.}{n c 分析 在这题中要求证明不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有}{n c 条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设是等比数列，一个数列是等比数列是有条}{nc 件的，这使得证明变得有迹可循.3.2 限定性命题限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.证明 假设44位同学分成组，且 .因为任意两组人数不相等，所以 n ()n N *∈9n ≥n 个小组的同学总共至少有人数为.()+1123++=2n n n ++ 因为，所以总共人数人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 9n ≥()+12n n ≥910452⨯=至多分成8组.例3 设,则，，至少有一个不大于.(),,,0a b c ∈-∞1a b +1b c+1c a +2-证明 假设，，都大于.即1a b +1b c +1c a+2- , , .12a b +>-12b c +>-12c a+>-将三个式子相加，得++. （1）1a b +1b c +16c a +>-又因为 , ,.将三个式子相加，得12a a +≤-12b b +≤-12c c +≤-++. （2）1a b +1b c +1c a+6≤-结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以，，至少有一个1a b +1b c +1c a +不大于.2-3.3 无穷性命题无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.例4证明 质数的个数是无穷的.证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有个质数，则可以将全体质数列举如下k .1,2,3,......k p p p p 令，123........+1k q p p p p =其中，是自然数.且不能被中任何一数整除，所以是质数.这与假设只有q q 1,2,3,......k p p p p q 个质数矛盾，因此质数的个数是无穷的.k 1,2,3,......k p p p p 3.4 唯一性命题唯一性命题即结论有“有且仅有”，“只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.例5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.已知点，直线.求证过点和直线平行的直线有且只有一条.p l p l a 证明 假设过点还有一条直线与直线平行. 因为 点在直线外,所以 点和直p b l p l p 线确定一个平面.在平面内过点能作出一条直线与直线平行.（由平面几何知识得）l ααp l 所以直线存在.因为直线// //,所以直线//.这与直线，共过点矛盾，故假设a l a l b a b a b p 不成立,所以直线是唯一的.故，过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.a 3.5 整除性命题整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题.例6 设，都是整数，能被整除，证明 和都能被整除.a b 22a b +3a b 3证明 分三种情况：，都不能被整除.()1a b 3因为不能被整除，故不能被整除.同理 不能被整除.所以 不能被a 32a 32b 322a b +3整除，与已知相矛盾.能被整除，不能被整除.()2a 3b 3由此可知，能被整除，不能被整除,所以不能被整除，与已知相矛盾.2a 32b 322a b +3 不能被整除，能被整除,()3a 3b 3与同理，不能被整除，与已知相矛盾.()222a b +3由、、与已知矛盾可知，假设不成立.所以原命题成立.()1()2()33.6 某些存在性命题某些存在性命题即某些结论有“存在……使……、“存在满足条件的……”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.例7设，求证：对于，存在有满足条件的，使得(),0,1m n ∈,A R B R ∈∈,m n 13mn Am Bn --≥成立.证明 假设对于一切的，使恒成立.[],0,1m n ∈13mn Am Bn --<令 ，则 .0,1m n ==13B <令 ，则 .1,0m n ==13A <令 ,得 .1m n ==113A B --<而 , 则产生矛盾.所以假设不成立，原命题成立.111111333A B A B --≥-->--=3.7 不等性命题不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.例8 当，证明 .330,0,2p q p q >>+=2p q +≤证明 假设则，即2p q +>()38p q +>,333()8p q pq p q +++>因为，故.于是332p q +=()2pq p q +>.()()3322()2pq p q p q p q p pq q +>=+=+-+又因为，即,所以，即, 此式不成立.所以假0,0p q >>0p q +>22pq p pq q >-+()20p q -<设不成立，当时.330,0,2p q p q >>+=2p q +≤例9 已知，且，证明.,,,a b c d R ∈1ad bc -=22221a b c d ab cd +++++≠证明 假设.22221a b c d ab cd +++++=把代入前式可得1ad bc -=,22220a b c d ab bc ad cd +++++-+=即.()()()()22220a b b c c d a d ++++++-=因为，所以.因为，则,,,a b c d R ∈0a b b c c d a d +=+=+=-=a b c d ===0ad bc -=与矛盾.所以假设不成立，原命题成立.1ad bc -=3.8 起始性命题学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.例10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.已知直线，相交于点，证明 ，只有一个交点.x y P x y P 证明 假设直线，相交不止一个交点.则至少有两个交点，.则直线是由，x y P Q x P 两点确定的直线，直线是由，两点确定的直线.即由，两点确定了两条直线，Q y P Q P Q ，.与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾.所以 假设不成立，则两条相交直线有且x y 只有一个交点.例11 证明在一个三角形中，不能有两个钝角.已知是的三个内角，求证 中不能有两个钝角.,,A B C ∠∠∠ABC ∆,,A B C ∠∠∠证明 假设中有两个钝角.不妨设.则,,A B C ∠∠∠90,90B C ∠>︒∠>︒,.180A B C A ∠+∠+∠>∠+︒0A ∠>︒则.180A B C ∠+∠+∠>︒与已知公理“三角形的内角和为”矛盾.故假设不成立，即在一个三角形中，不能有两180︒个钝角.例12直线与平面相交于，过点在平面内引直线、、、PO αO O αOA OB OC ，证明 .POA POB POC ∠=∠=∠PO ⊥α （图1）证明 假设不垂直于平面.如图1所示，作并与平面相交于点，此时PO αPH ⊥ααH 、不重合，连接.由作于，于，根据三垂线定理知：H O OH P PE ⊥OA E PF ⊥OB F HE ,.⊥OA HF ⊥OB 因为, 是公共边，所以 .因此=.又=POA POB ∠=∠PO Rt POE Rt POF ∆≅∆OE OF OH ，所以 .所以 .因此，是的平分线.同理，OH Rt OFH Rt OEH ∆≅∆FOH EOH ∠=∠OH AOC ∠是的平分线.而和是两条不重合的直线，不可能同时作为和OH AOC ∠OB OC OH AOB ∠的平分线.产生矛盾.所以假设不正确.所以原命题成立，.AOC ∠PO ⊥α分析 在证明此类基本命题时，使用反证法证明比起直接证明有的好处是不必要再结合另外太多的定理，给论题的证明缩小了范围，同时也带来了方便和新的开拓思路.4运用反证法应该注意的问题4.1 必须正确否定结论运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立.即假设结论的反面成立.在这一步骤中，须注意反设的正确，如果错误的“否定结论”，即使推理再好也会前功尽弃.要做出正确的反设，必须注意以下几点：1）分清命题的条件与结论、结论与反设间的逻辑关系.2）结论的反面常常不止一种，则需要反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏.3）一些常用词的否定形式列表词语词语的否定词语词语的否定是不是必有1个1个也没有n至多个一定是一定不是至少有个1n-都是不都是至多有1个至少有2个n至少有个大于小于或等于至多有个n+1xx存在一个不成立小于大于或等于所有都成立x 且或所有不成立x存在一个成立4.2必须明确推理特点否定结论从而导出矛盾是反证法的任务.但何时出现矛盾，出现什么矛盾是不可预测的，也没有一个机械标准.但一般总是在相关领域里考虑（相关的公理、定义、定理等），这是反证法的推理特点.因此，在推理前不必要先规定好要得出什么矛盾，只要正确的否定结论，严格遵循推理规则进行每一步有理有据的推理，总会出现矛盾.而矛盾一经出现，证明即告结束.4.3 了解矛盾种类反证法推理过程中，出现的矛盾是多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，也可能与已知的定义或公理，定理或性质相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能是推出一对相互矛盾的结果.总结反证法在中学数学中占有重要的地位，是一种重要的证明方法.反证法在数学命题的证明中有着直接证明所起不到的作用，若恰当的使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.反证法在数学学习的很多方面有着特殊的、不可替代的作用.它用其独特的思维方式和证明方法对培养学生的逻辑性思维能力和创造性思维能力有着重要意义.数学的证明时千变万化的，然而不变的是证明的步骤和证明的方法，反证法这种证明方法不仅可以在证明论题时单独使用，也可以结合其他的证明方法一起使用，在证明论题时灵活多变.而在证明较为复杂的论题时，反证法可以多次使用，只要我们熟练的掌握了反证法，在证明时能够正确又灵活的运用反证法，就能够做到精巧、有力、方便直接、论证严谨、有理有据、巧解难题，提高我们解数学题的能力.然而，反证法却是数学学习中比较难教和难学的内容.如何有效的提高和改良反证法的教学，是摆在中学数学教师面前的一个重要课题.我们要进行有效的数学教学，让学生真正的理解它、掌握它，从而能够熟练而灵活的运用它.参考文献[1] 蓝涧，南秀全，初中数学奥林匹克竞赛全真试题[M]，武汉：湖北教育出版社，2012.[2] 曲一线. 五年高考三年模拟高考理数[M]，北京：首都师范大学出版社，2013.[3] 高珑珑. 反证法例说[J]，中学数学月刊，1997,4:19-21.[4] 龙朝阳. 反证法的理论基础与适用范围[J]. 安顺师专学报，1999,2:3-4.[5] 程里春，张庆毓. 反证法[M].广州：广东人民出版社，2001.[6] 赵刊. 常见反证法解题的几种类型[J]. 中学数学教与学，2002,12:16-19.[7] 曹金敏. 浅谈数学证明中的反证法[J].现代交际，2010，12:40-43.致谢在论文即将完成之际，我的心情十分激动，从论文的选题、资料的收集、内容的排版到格式的规范，我得到了来自身边的老师、朋友、同学以及前辈们的热情帮助.首先，我要感谢我的论文指导老师，张新建老师，她是我见过最耐心最温柔最令人折服的老师，一开始我对于论文很是不知所措，选题还是收集资料都很迷茫，是张老师给我指点迷津，帮助我选出适合我的论文题，又为我开拓研究思路，在初期填写论文任务书时，我的填写格式总是不符合要求，已经晚上十一点了，是张老师守在电脑那头悉心帮我指出问题，并为我改正，也因此加长了张老师的工作时间，也影响了她的休息，可是张老师并没有任何怨言，她的耐心和对工作的一丝不苟给了我很大的启发和感动.在修改论文的过程中，张老师精心点拨、热忱鼓励我，就算是再细小的问题，她也及时指出并告诉我怎样改正，张老师用她严谨求实的态度和踏踏实实的精神再一次教给了我什么是老师，什么才叫为人师表，我要向张老师学习，虽然只有短短的几个月，可张老师教会我的远远不止写论文那么简单，她给了我终生受益之道，对张老师的感激之情是我无法用任何语言来表达的.其次，我要感谢我的朋友们，是他们在我遇到难题和写作瓶颈的时候给我帮助和鼓励.我想我不会忘记我们一起写论文，一起讨论问题，一起相互监督、相互加油打气的日子，在我写作论文的日子里，感谢有你们的陪伴和帮助.在此，我还要感谢已经毕业的学长学姐们，虽然我并不认识他们，也和他们不是同校毕业的，但是他们还是通过互联网给了我许多建议和意见，告诉我写论文常出现的问题，同时也帮助我规范了论文的格式.最后，我还要感谢我的母校，淮阴师范学院，在这四年里，我离开了家，离开了父母亲，来到了淮师，母校就是我这四年里的母亲，它养育了我，教育了我，相处四年，母校的教室、母校的操场、母校的一草一木我都会记在心间，在母校里是我一生中最美的时光，别了，淮师.由于我的学术水平有限，此篇论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友们批评指正.。