经济数学模型与案例分析

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数学建模案例(下)

经济数学模型一：血管分支模型模型一： 5.模型求解 5.模型求解
，
由
∂E 2 −5 α −1 ∂r = −4kq r + αbr = 0 ∂E α −1 2 −5 = −kq r1 + αbr1 = 0 ∂r1
得
r =4 r1
1 α +4
第十二章
数学建模案例(下数学建模案例下)
x =0
n
+
此时问题可以转化为什么数学问题？
x = n +1
∑ (a − b)nf ( x)
a , b, c
f (x )
G (n)
∞
?
n
第十二章
数学建模案例(下数学建模案例下)
经济数学模型二：报童策略模型模型二： 3.模型建立 3.模型建立
需求量都相当大， x 的取值和购进量 n 都相当大，将 x
（1）假设报童每天购进量为（2）假设每天的需求量为
n
份报纸
x 份报纸的概率为
f ( x )( x = 0,1,2, L)
（3）报童每天购进
n 份报纸时平均收入为 G (n)
第十二章数学建模案例(下数学建模案例下)
经济数学模型二：报童策略模型模型二： 3.模型建立 3.模型建立
G (n) = ∑ [(a − b) x − (b − c)(n − x)] f ( x)
r cos θ = 2 r 1
−4
=2
α −4 α +4
第十二章
数学建模案例(下数学建模案例下)
经济数学模型一：血管分支模型模型一： 6.模型应用 6.模型应用
取
，

经济数学模型

数学模型在经济学中的应用案例
消费物价指数（CPI）模型：用于衡量通货膨胀程度
供需模型：用于分析市场供需关系制定价格策略
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
经济增长模型：用于预测国家或地区经济增长趋势
劳动市场模型：用于研究劳动力市场的供求关系和工资水平
建立经济数学模型的注意事项
数据来源：确保数据准确性和可靠性避免使用虚假或过时的数据。模型假设：明确模型假设并认识到它们的局限性和潜在问题。
经济数学模型在未来的Байду номын сангаас用前景
人工智能与大数据分析：利用经济数学模型对海量数据进行处理和分析预测市场趋势和经济发展。金融风险管理：通过经济数学模型金融机构可以更准确地评估和规避风险提高投资组合的稳健性。供应链优化：利用经济数学模型对供应链进行优化降低成本提高效率实现资源的最优配置。政策制定与评估：经济数学模型可以为政府和决策者提供决策支持评估政策的实施效果和影响。
经济数学模型的局限性
经济数学模型的假设限制
假设条件：经济数学模型基于一系列假设条件这些假设可能不成立或过于简化现实情况。
数据可靠性：模型使用的数据可能不可靠或不完整导致模型结果不准确。
模型适用范围：经济数学模型只在特定条件下适用超出适用范围模型可能失效。
参数调整：模型参数的调整对结果有很大影响但参数的确定往往存在主观性和不确定性。
参数估计：采用合适的方法和数据来估计模型参数确保参数的准确性和稳定性。模型验证：对模型进行交叉验证和外部验证以确保模型的预测能力和可靠性。
经济数学模型的发展趋势和未来展望
经济数学模型的发展趋势
模型复杂度增加：随着数据量和计算能力的提升经济数学模型将更加复杂和精细能够更好地模拟现实经济系统的运行。

经济数学模型

1998年全国大学生数学建模竞赛题目
A题投资的收益和风险
市场上有 n 种资产（如股票、债券、…）Si （ i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资，公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。
y
2
1
x
0
2
4
6
8
-1
-2
这样一来,每一条与水平直线Y=-1相遇的折线唯一地确定
一条这种从（0，0）到（m+n ， n-m -2）的新折线。
设向上的线段条数为U,向下的线段条数为D,则对于新折线有
U+D=m+n
1*U+(-1)D=-(m-n)-2
两式相加即得
2U=2n-2 可见向上的线段条数为
U=n-1 向下的线段条数为
1.5
2
198
S3 23
5.5
4.5 52
S4 25
2.6
6.5 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资
金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
Si
Ri(%) Qi(%) Pi(%) Ui（元）
(2) 若记存款为1,并用向上的线段来表示, 取款为-1 ,并用向下的线段来表示,
则这一天内2m个储户随意地来存取款的可能排列分别对应一条从（0，b）到（2m，b）的折线，而无款可取的情况当且仅当存取款余额出现负值时发生，此时其对应的折线将穿过X而与水平直线Y=-1相遇。从而

金融数据分析方法和应用案例

金融数据分析方法和应用案例随着金融行业的发展和数据技术的进步，金融数据分析在金融科技领域中得到了广泛应用。

金融数据分析是利用统计学、计算机科学和数学等方法对金融市场中的数据进行研究和分析的过程。

金融数据的种类非常多，包括证券交易信息、基金数据、股票市场价格等。

为了更好地分析这些数据，我们需要运用一些金融数据分析方法。

1. 时间序列分析时间序列分析是指对一连串时间序列数据进行分析的过程，同样也适用于金融数据的研究。

时间序列分析可以使我们更加全面地了解金融市场变化的趋势和周期，预测金融市场未来的发展走势。

以股票价格为例，我们可以利用ARIMA模型对其进行时间序列分析。

ARIMA模型是一种基于AR（自回归）、MA（移动平均）和差分（I）的时间序列分析方法。

通过ARIMA对股票价格进行分析，我们可以分析其趋势、季节性和残差等信息，为投资决策提供参考和指导。

2. 回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的方法。

在金融领域中，回归分析最常见的应用场景是通过分析可变因素（如利率、通货膨胀率、GDP等）对股票市场价格的影响，以便投资者更好地制定投资策略。

例如，我们可以使用多元线性回归分析，来预测股票价格和宏观经济指标之间的关系。

同时，还可以利用回归分析来预测特定公司的股票价格，包括比较公司的估值、利润、市场份额等因素。

这些分析结果不仅可以帮助投资者做出更好的投资决策，还可以帮助公司制定更准确的业务决策。

3. 集群分析集群分析是一种将数据分成不同组别进行分析的方法。

在金融领域中，我们经常会面临众多股票、基金、证券等数据，集群分析则可以帮助我们对这些数据进行分类和整合。

例如，我们可以利用K-means算法对股票价格进行集群分析。

K-means算法是一种聚类算法，可以通过将相似的股票进行分组，提高不同股票价格之间的相似度，并识别不同的股票类型。

这种分析方法可以帮助我们更好地选择投资标的和开展股票监管等任务。

综上，金融数据分析是金融科技领域中不可或缺的重要工具之一。

经济数学思政案例研究报告

经济数学思政案例研究报告经济数学思政案例研究报告引言经济数学是一门融合了社会科学和数学的学科，旨在通过数学模型和工具来探索经济现象、分析经济关系、预测市场走势，并为经济决策提供科学依据。

而思想政治教育则是培养学生正确世界观、人生观、价值观的重要途径之一。

本报告旨在通过案例研究分析经济数学如何与思政教育相结合，提高学生思想政治素养和经济数学知识的应用能力。

案例一：经济增长与人民幸福感背景：某国政府确定了经济增速目标，并通过一系列政策措施促进经济发展。

问题：经济增长与人民幸福感是否存在必然联系？政府应该如何权衡经济发展和人民福祉？经济数学分析：通过构建GDP增长与人民幸福感的数学模型，我们可以探讨经济增长和人民幸福感之间的关系。

在模型中，我们考虑到经济增长对就业、收入、社会保障等方面的影响，以及人民对环境、健康、教育等因素的需求。

通过对模型进行数学推导和计算，我们可以得出一些结论，如经济增长对人民幸福感的积极影响是存在的，但也存在着临界点和负面效应。

政府在制定经济发展政策时，需要权衡经济增长与人民福祉，避免“盲目追求GDP”的问题。

思政教育指导：该案例能够引导学生思考经济发展与人民福祉之间的关系，以及国家发展目标与人民需求之间的平衡。

通过分析模型结果和不同政策选择的影响，学生可以认识到经济发展并非目的，而是为了实现社会与人民的共同繁荣。

思政教育的目标之一是培养学生正确的价值观和责任感，让他们在未来的经济决策中更加关注人民幸福感，推动可持续发展。

案例二：货币政策与通货膨胀背景：某国经历了一段时间的高速经济增长，但也伴随着持续的通货膨胀。

问题：货币政策应该如何调整以控制通货膨胀？对经济发展有无影响？经济数学分析：货币政策调整可以通过中央银行的利率和货币供给进行。

通过构建货币政策与通货膨胀之间的数学模型，我们可以分析不同政策选择的效果。

利用数学工具和统计数据，我们可以量化货币政策的影响程度，预测不同政策方案对通货膨胀的抑制程度，并进一步分析其对经济发展的影响。

纳什讨价还价博弈模型与实例

纳什讨价还价博弈模型与实例在经济学中，博弈论是研究决策制定和策略选择的重要理论工具。

纳什讨价还价博弈模型是博弈论中的一种典型模型，用于分析参与者在讨价还价过程中的策略选择和效用最大化问题。

本文将介绍纳什讨价还价博弈模型的基本概念和数学表达，并结合实际案例进行解析。

一、纳什讨价还价博弈模型的基本概念纳什讨价还价博弈模型是由约翰·纳什提出的，用于分析多方参与者在讨价还价过程中的策略选择和达成协议的问题。

在博弈模型中，每个参与者都会追求自己的最大化利益，通过制定合适的策略来达到目标。

在讨价还价过程中，参与者可以选择不同的策略，例如提出高价、低价或中等价位，以实现自己的利益最大化。

而其他参与者也会根据自身利益制定策略，双方需要在博弈中找到最优解，即双方都无法通过改变策略来获得更好的结果。

二、纳什讨价还价博弈模型的数学表达纳什讨价还价博弈模型可以用数学符号来表示。

假设有两个参与者，分别记作P1和P2，他们的讨价还价策略分别为x和y。

参与者的效用函数分别为U1(x,y)和U2(x,y)。

在纳什讨价还价博弈模型中，每个参与者的目标是最大化自己的效用函数。

P1的效用函数可以用如下形式表示：U1(x,y) = p1(x) - c(x,y)其中，p1(x)表示P1根据策略x所能获得的收益，c(x,y)表示为了达成协议而付出的代价。

同样地，P2的效用函数可以表示为：U2(x,y) = p2(y) - c(x,y)参与者P2的收益p2(y)和代价c(x,y)的定义与参与者P1类似。

参与者P1和P2的决策是相互影响的，通过博弈求得双方最优解，即纳什均衡。

三、纳什讨价还价博弈模型的实例为了更好地理解纳什讨价还价博弈模型，我们可以通过一个实际案例来进行分析。

假设有两个公司A和B在进行价格谈判，他们希望通过讨价还价策略来确定最终的交易价格。

公司A可以选择提出高价、低价或中等价位，记作x1、x2和x3。

公司B也可以做出相应的选择，记作y1、y2和y3。

数学建模案例分析【精选文档】

案例分析1：自行车外胎的使用寿命问题：目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。

它小巧、灵活、方便、易学,而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。

但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。

扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损,致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。

为了减少不必要的麻烦,如何估计自行车外胎的寿命,及时更换?分析：分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题,因此需要我们自己做出合理判断.若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。

这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。

产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。

我们将这两个标准作为主要标准来分析,首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。

寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。

本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较），降低了可比性。

如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。

产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上,外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用（寿命越长，在一定意义上更换费用越低）也达到了最大限度的节省。

弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。

自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。

数学建模融入经济数学教学中的案例研究

经济论坛
数学建模融入经济数学教学中的案例研究
陕西国防工业职业技术学院成均孝
摘要：对于经济数学而言．其是财经类专业最关键的基础课程之
一
到零位置．对于某一时
。
对于经济数学的课程教学过程中，如何基于数学模型进行教学，
关键词：数学建模经济数学教学案例
引言
众所周知．厂家为
了最大程度的争夺消费
一
、
者．价格是企业之间的
随着国家教育部门对大学经管类学科的重视程度不断增加，投入其中的科研力量越来越多。得到的效果越来越明显。发现传统经济数学教学过程中的存在的大量问题，并且通过长时间的研究把数学建模的思想引进到传统的经济数学的教学过程中，不仅成功的解决传统经济数学教学中存在的问题．并且通过数学建模的基本思想将数学与经济
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
两门学科统筹的结合在一起，不仅仅摆脱了传统经济数学教学过程中的乏味、枯燥等现象，而且在一定程度上使课程富有乐趣，又不失主体，本文主要对数学建模融人经济数学教学中的案例进行研究和分析。
二、数学建模思想融入经济数学教学中的基本案例

纳什讨价还价博弈模型与实例

纳什讨价还价博弈模型与实例纳什讨价还价博弈模型是博弈论中常用的一种模型，它被广泛应用于经济学、管理学等领域，用于分析博弈双方在讨价还价过程中的策略选择和最终达成的协议。

本文将从基本概念、模型规定和一个实际案例等方面逐步回答相关问题，全面解读纳什讨价还价博弈模型。

一、基本概念纳什讨价还价博弈模型是由美国数学家约翰·福布斯·纳什提出的，它是博弈论中的一个重要分支。

在讨价还价博弈中，至少有两个参与方，他们在进行讨价还价的过程中，会根据对方的策略进行选择，以期达成对自身最有利的协议。

讨价还价博弈模型适用于许多实际情境，比如企业与供应商之间的谈判、员工与雇主之间的薪资谈判等。

二、模型规定在纳什讨价还价博弈模型中，假设有两个参与方A和B，他们在讨价还价的过程中，需要先各自提出一个预期值，然后根据对方的预期值和自身的预期值进行策略选择。

具体而言，假设A和B的预期值分别为a和b，那么a和b可以是一个数值或者一个区间。

在博弈的每一轮中，A和B需要分别作出策略选择，即提出一个讨价方案。

这个方案可以是两个预期值的平均值、某个参考值周围的某个比例、前一轮讨价结果上下浮动的某个比例等。

双方的策略选择会对协议的最终结果产生重要的影响。

三、一个实际案例为了更好地理解纳什讨价还价博弈模型的应用，我们可以以一家电子产品公司与一个供应商之间的谈判过程为例。

假设该电子产品公司希望从供应商处购买更低廉的零件，并打算与供应商进行协商。

首先，双方需要确定自己的预期值。

假设该公司认为合理的价格范围为每单位零件100-150美元，供应商认为合理的价格范围为每单位零件120-160美元。

然后，在博弈的每一轮中，双方需要采取策略来提出讨价方案。

假设电子产品公司首先提出100美元，供应商提出120美元。

在下一轮中，公司可能选择提出110美元，供应商可能选择提出130美元。

双方的策略选择会受到对方提出的讨价方案以及自身预期值的影响。

数学模型的应用案例

数学模型的应用案例数学模型是数学在实际问题中的应用，可以通过建立各种方程和函数来描述、分析和解决现实生活中的各种问提。

这种模型可以用于解决自然科学、社会科学以及工程领域的问题。

下面是数学模型的一些应用案例：一、温度变化模型在气象领域，数学模型经常被用于对温度变化进行预测和分析。

例如，气象学家使用数学模型来建立气温和时间之间的关系，以便预测未来几天的气温。

这些模型考虑了大气压力、太阳辐射、地球自转等因素，通过数学方程表示温度的变化规律。

这样的模型能够提供准确的天气预报，帮助人们做出合理的安排。

二、股票市场预测模型在金融领域，数学模型被广泛应用于股票市场的预测和分析。

投资者可以使用数学模型来建立股票价格和各种因素之间的关系，如市场供求关系、公司业绩、宏观经济环境等等。

通过数学计算，可以预测股票价格的变化趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。

三、交通流量模型在城市规划领域，数学模型被用于分析和规划交通流量。

交通工程师可以使用数学模型来描述车流量、信号灯设置、道路拥堵等因素之间的关系。

通过观察和测量，可以将这些关系转化为数学方程，并根据模型的预测结果来优化交通流量，减少拥堵，提高交通效率。

四、传染病模型在公共卫生领域，数学模型被广泛用于传染病的控制和防控策略的制定。

数学家根据感染速率、康复率、致死率等参数，建立了各种传染病模型，如SIR 模型、SEIR 模型等。

通过这些模型，可以预测疫情的发展趋势，并评估各种干预措施的效果，从而制定出更有效的防控策略。

五、物理模型在物理学中，数学模型被广泛用于对物理现象的研究和解释。

例如，在力学中，可以使用牛顿定律来描述物体的运动，把质点的位移、速度和加速度等物理量表示为时间的函数。

这些数学模型可以帮助科学家理解物理世界的规律，预测天体运动、电磁场分布等现象。

总之，数学模型的应用范围非常广泛，几乎涉及到各个领域。

通过建立数学模型，可以对实际问题进行更深入的分析和研究，并提供相应的解决方案。

数学建模在商业分析中有哪些应用案例

数学建模在商业分析中有哪些应用案例数学建模在商业分析中的应用案例在当今竞争激烈的商业世界中，数据驱动的决策已成为企业取得成功的关键。

数学建模作为一种强大的工具，能够帮助企业从海量的数据中提取有价值的信息，预测市场趋势，优化运营流程，从而制定更加明智的商业策略。

以下将为您介绍一些数学建模在商业分析中的应用案例。

一、库存管理对于任何企业来说，库存管理都是至关重要的。

过多的库存会占用大量资金，增加仓储成本；而库存不足则可能导致缺货，影响客户满意度和销售业绩。

数学建模可以帮助企业确定最佳的库存水平。

例如，一家电子零售商通过建立数学模型来预测不同产品的需求。

该模型考虑了历史销售数据、季节性因素、市场趋势、促销活动等多个变量。

通过模型的分析，企业能够准确地预测每种产品在未来一段时间内的需求量，从而合理安排采购和库存，既避免了库存积压，又降低了缺货的风险。

此外，数学建模还可以用于确定再订货点。

当库存水平降至再订货点时，企业及时下达采购订单，以确保库存的持续供应。

通过精确计算再订货点，企业能够减少订货次数，降低订货成本，同时提高库存的周转率。

二、市场细分与客户关系管理数学建模在市场细分和客户关系管理方面也发挥着重要作用。

企业可以利用聚类分析等数学方法，将客户根据其购买行为、消费偏好、地理位置等因素进行细分。

例如，一家银行通过建立数学模型，将客户分为不同的群体，如高价值客户、潜在流失客户、新客户等。

针对不同的客户群体，银行可以制定个性化的营销策略和服务方案。

对于高价值客户，提供专属的理财顾问和优惠政策；对于潜在流失客户，及时采取挽留措施，如提供个性化的服务和优惠；对于新客户，设计有吸引力的开户奖励和入门产品。

通过数学建模进行客户细分和精准营销，企业能够提高客户满意度和忠诚度，增加客户的生命周期价值，从而提升市场竞争力。

三、定价策略合理的定价策略对于企业的盈利能力有着直接的影响。

数学建模可以帮助企业确定最优的产品价格。

数学分析在经济学中的应用与案例分析

数学分析在经济学中的应用与案例分析数学分析是现代经济学不可或缺的一部分。

随着社会经济的发展，人们对经济学的研究越来越深入。

经济学需要分析大量的经济数据和复杂的经济现象，而数学分析可以提供非常有效的工具和方法来解决这些问题。

1.算术平均数与大数据算术平均数是统计学中最常见的统计量之一，其原理是将一组数据相加，再除以数据的数量，用来表示数据集的中心位置，但是在大数据领域，简单的算术平均数并不能完全反映数据的真实特征。

为了减少意外事件的发生，一家保险公司需要对车辆事故数据进行分析，他们发现使用均值平均数对于统计数据十分不适用，因为极端事件的存在可能会严重影响平均数的结果，他们需要另一种方法来反映数据的特征。

于是保险公司引入了中位数。

中位数是一组数据中居于中间位置的值，它将一组数据分为两部分，其中一部分的数据小于中位数，另一部分的数据大于中位数。

中位数的优点是他不受极限值和异常情况的影响，他更适用于描述大量数据的分布情况。

2.供需关系模型供需关系是经济学中的一个基本概念，描述的是市场上商品的供应量和需求量之间的关系。

在经济分析中, 对供需关系进行研究, 有利于对市场进行准确的判断和预测。

供求关系可以用一个简单的线性方程模型来表示。

比如，在最终消费产品的市场上，设价格为p，数量为q。

经验表明，对于单一产品的价格和需求之间存在负相关关系（即价格升高，需求量降低；反之，价格降低，需求量增加）。

因此，常将需求关系式表示为反比例函数关系式，即q=a-bp式中，q表示需求量；p表示价格；a为需求量相应价格为0时的截距；b为需求量对价格的反应系数。

此外，经济学中的另一个重要的指标是弹性，供需弹性是指变化量对变化率的比率。

它反映的是一个经济变量对另一个经济变量的敏感程度。

在供需模型中，弹性是一个重要的参数，它可以用来反映市场对价格变化的敏感度，以此来调节生产和销售的战略。

3.金融模型金融模型是指应用数学和统计学方法分析和描述金融领域中的现象和过程的数学模型，在投资和风险管理等方面有着广泛的应用。

数学建模融入经济数学教学中的案例及分析

数学建模融入经济数学教学中的案例及分析钱和平;徐清舟【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2012(028)003【摘要】经济数学是财经类专业的重要基础课程,在经济数学教学中讲授数学的基本概念和定理的同时,怎样引入数学模型进行教学,培养和激发学生学习数学的兴趣,是我们从事经济数学教学的教师都应该探讨的问题.本文结合经济数学教学的实践,介绍了经济数学教学中的几个经典经济模型案例,将数学与经济学有机地联系起来,让数学变得既生动又符合实际,取得了很好的教学效果.%Economic Mathematics is one important foundation course for major in finance.Besides the general teaching of the basic mathematic concepts as well as theorems,how to introduce the classic economic models into Economic Mathematics training to stimulate students’ int erests requires every math teacher’s engagement.Based on teaching practice,this article illustrates a few cases of classical economic models in economic mathematics teaching as well as combines mathematics and economics,so to make mathematics more interesting and practical for better teaching results.【总页数】5页(P92-96)【作者】钱和平;徐清舟【作者单位】许昌学院国际教育学院,河南许昌461000;许昌学院国际教育学院,河南许昌461000【正文语种】中文【中图分类】G420【相关文献】1.将数学建模的思想融入到经济数学中的几个典型案例 [J], 李辉2.将数学建模案例融入在高等数学教学中的探索与实践 [J], 赵爽;田国华;杨晓磊;周洪玲;郭红薇3.高职《高等数学》教学中融入数学建模思想的几个案例 [J], 封梅;韩翠改;王振吉;冯英杰;刘微4.将数学建模融入高职经济数学中的教学案例 [J], 贺靖5.把数学建模融入高等数学教学中的两个案例 [J], 崔海英;侯文宇;李林杉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

数学与经济数学在经济学中的应用案例

数学与经济数学在经济学中的应用案例数学与经济学的结合在现代经济领域中发挥着重要的作用。

本文将通过一些实际的应用案例，探讨数学和经济学的交叉点，以及它们在经济学中的应用。

一、投资组合理论与资产定价模型投资组合理论和资产定价模型是现代金融学中的重要内容。

通过数学建模和经济学原理的应用，可以帮助投资者在优化风险收益平衡的同时，实现资金的最大化增值。

例如，马科维茨在20世纪50年代提出了著名的“马科维茨均值-方差模型”，该模型通过数学计算和统计分析，帮助投资者在不同的资产中选择最佳的投资组合。

通过计算预期收益率和风险的方差，投资者可以找到一个最优的投资组合，从而最大化投资回报。

二、需求与供给曲线需求与供给曲线是微观经济学中的基本概念，描述了市场上产品或服务的价格和数量之间的关系。

数学作为经济分析的工具，可以帮助我们准确测量和描述这种关系。

以汽车市场为例，假设一个汽车厂商决定提高汽车价格。

通过统计数据和数学模型，经济学家可以绘制出市场需求曲线，并通过数学计算预测市场的供给情况。

进一步的分析可以帮助汽车厂商确定一个合理的产品价格，以达到市场需求与供给之间的平衡。

三、成本与效益分析成本与效益分析是经济学中常用的工具，用于评估资源的利用效率和决策的合理性。

数学方法在成本与效益分析中扮演着重要的角色，可以帮助我们量化和比较各项成本与效益，并做出理性的决策。

例如，在能源产业中，经济学家可以利用数学模型和统计分析，评估使用不同能源的成本与效益。

通过计算所需的投资成本、能源生产的效益和环境效益等因素，可以帮助政府和企业做出更合理的能源政策和投资决策。

四、风险管理与衍生品定价风险管理和衍生品定价是金融学领域的重要内容，也是数学与经济学结合的典型应用之一。

通过数学建模和金融市场的实证研究，我们可以研究风险管理和衍生品的定价。

例如，在期权市场中，数学方法可以帮助我们计算期权的价值和风险暴露，并为投资者提供有关期权交易策略的建议。

数学建模案例分析--线性代数建模案例20例

线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题1案例二. 配方问题4案例三. 投入产出问题6案例四. 平板的稳态温度分布问题7案例五. CT图像的代数重建问题11案例六. 平衡结构的梁受力计算13案例七. 化学方程式配平问题16案例八. 互付工资问题17案例九. 平衡价格问题19案例十. 电路设计问题20案例十一. 平面图形的几何变换22案例十二. 太空探测器轨道数据问题24案例十三. 应用矩阵编制Hill密码25案例十四. 显示器色彩制式转换问题27案例十五. 人员流动问题29案例十六. 金融公司支付基金的流动31案例十七. 选举问题33案例十八. 简单的种群增长问题34案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解36 案例二十. 最值问题38附录数学实验报告模板错误!未定义书签。

案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可. 当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩ 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩(*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩, 即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\bMatlab 执行后得 x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令T 1T 2 T 3 T 4 10080908060506050>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x’Matlab执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 15-16.Matlab实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.案例五. CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明.3⨯3图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上的叠加值x1 + x4 + x7= 1.5x2 + x5 + x8= 0.5x3 + x6 + x9= 1.5i色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0,x3 + x5 + x7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5, x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组. 【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5,x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1; 1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0; 0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1]; >> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol =4.2305e-015. ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000 可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解. (2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sinθ1)N3 + (L1cosθ1)N4 = (12L1cosθ1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有AC杆1杆2CN1N2N3N5N6G1G2A B杆1杆2π/6π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2.此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4; >> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0; 0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2); 0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0]; >> x = A\b; x ’ Matlab 执行后得 ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 157- 158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组. (2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.【模型准备】某厂废水中含K, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:K + 2KOH + Cl 2 = KO+ 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KO +KOH +Cl 2 ===CO 2+N 2+KCl +H 2O.(注: 题目摘自XX 省XX 外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设x 1KO ＋x 2KOH ＋x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋x 5N 2 ＋x 6KCl ＋x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x xx x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得 ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KO + 4KOH + 3Cl 2 ===2CO 2+ N 2+ 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s , 未知数的个数就是化学方程式中的项数n .当r(A ) = n -1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A ) ≤n -2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程. Matlab 实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO 4 + H 2SO 4—— K 2SO 4 + MnSO 4 + Fe 2(SO 4)3 + H 2O + S ↓ (2) Al 2(SO 4)3 + Na 2CO 3 + H 2O —— Al(OH)3↓+ CO 2↑+ Na 2SO 4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间, (3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得2610451044310x y z xx y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’ Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤k ≤ 80.也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1,x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩. 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]; >> x = null(A,’r ’); format short, x ’ Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:产出分配购买者煤炭石油电力钢铁制造运输0 0 0.2 0.1 0.2 0.2 煤炭0 0 0.1 0.1 0.2 0.1 石油0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 电力0.4 0.1 0.2 0 0.1 0.4 钢铁0 0.1 0.3 0.6 0 0.2 制造0.1 0.7 0.1 0 0.4 0 运输等的平衡价格.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用22vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22vi⎛⎫⎪⎝⎭= A11vi⎛⎫⎪⎝⎭,则称矩阵A为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为v 2这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2, 但把R 1= 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为(x , y ) → (x +a , y +b )旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)放缩变换(沿x 轴方向放大s 倍, 沿y 轴方向放大t 倍)为(x , y ) → (sx , ty )【模型求解】R 2中的每个点(x , y )可以对应于R 3中的(x , y , 1). 它在xOy 平面上方1单E 12位的平面上. 我们称(x , y , 1)是(x , y )的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x , y ) → (x +a , y +b )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x +a , y +b , 1).于是可以用矩阵乘积1001001a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1x a y b +⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.旋转变换(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1). 于是可以用矩阵乘积cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=cos sin sin cos 1x y x y θθθθ-⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.放缩变换(x , y ) → (sx , ty )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (sx , ty , 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现.【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译,: 人民邮电, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令 >>clear all , clc,>>t=[1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x=sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26Matlab绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;; 最后进行横(2) 编写Matlab程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, …, x k,它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器【模型准备】令X k = [x1, …, x k]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T. 一旦接收到数据向量x k+1,必须计算出新矩阵G k+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k的负担不会因为k的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T=[x 1, …, x k ]T 1T k⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T1k +X =[X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T +x k +1T 1k +x =G k +x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n ⨯k 的矩阵, G k = X k X k T 是n ⨯n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k Tk x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.案例十三. 应用矩阵编制Hill 密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍.图29 XX 通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法.。

数学知识在经济生活中的应用案例探讨

数学知识在经济生活中的应用案例探讨在我们的日常生活中，数学知识无处不在，尤其是在经济领域，其应用更是广泛而深入。

从个人的理财规划到企业的运营决策，从市场的供需分析到宏观经济的调控，数学都发挥着至关重要的作用。

本文将通过一些具体的案例，探讨数学知识在经济生活中的应用。

一、个人理财中的数学应用1、储蓄与利息计算当我们把钱存入银行时，会获得一定的利息。

利息的计算涉及到简单的数学公式。

比如，按照单利计算，利息＝本金 ×年利率 ×存款年限；按照复利计算，本利和＝本金 ×（1 ＋年利率）＾存款年限。

通过这些公式，我们可以比较不同存款方式和期限所获得的收益，从而做出更明智的储蓄决策。

假设你有 10000 元本金，年利率为 3%，存 3 年。

如果是单利，利息为 10000×3%×3 ＝ 900 元；如果是复利，本利和为 10000×（1 ＋ 3%）＾3 ≈ 1092727 元，利息约为 92727 元。

2、投资组合与风险评估在投资领域，数学知识同样不可或缺。

通过概率论和统计学的方法，我们可以评估不同投资产品的风险和收益。

例如，计算股票的预期收益率、方差和标准差，以衡量其风险程度。

同时，利用线性规划等数学方法，可以构建最优的投资组合，在一定风险水平下实现收益最大化。

假设有两种股票 A 和 B，A 股票的预期收益率为 10%，标准差为20%；B 股票的预期收益率为 15%，标准差为 30%。

通过计算它们的相关系数，可以确定在不同权重下的投资组合的风险和收益，从而找到最优组合。

3、贷款与还款计划当我们购房、购车或进行其他大额消费时，往往需要贷款。

贷款的还款方式通常有等额本金和等额本息两种。

等额本金每月还款额逐渐减少，计算公式为：每月还款额＝（贷款本金÷还款月数）＋（本金已归还本金累计额）×月利率；等额本息每月还款额固定，通过公式计算得出。

第七节经济数学模型

F(x, y, z)=x2 y2 z2 +（x2 y2 z）+（x y z-1）
对x, y, z分别求导并与条件联立
Fx (x, y, z) 2x 2 x 0 Fy (x, y, z) 2 y 2 y 0 Fz (x, y, z) 2z 0
x2 y2 z=0 x y z-1=0
13
Exercises
1. P227---P228 1；3；6；8；9. 2. 复习第七章解答综合练习七的部分难题
14
11
例3 某企业家经营两个工厂，生产同一种产品。其成本函数分别为
C1 3Q12 2Q1 6 C2 2Q22 2Q2 4 其中 Q1 和 Q2分别为两个工厂的产量（单位：吨），而该产品
的需求函数为
Q 37 1 p 36
其中 Q Q1 Q2 是产品的总销售量，p 为产品的价格（单位：万元 / 吨）
下的极值，
先构造函数 F ( x, y, z,t) f ( x, y, z,t)
1 ( x, y, z, t) 2 ( x, y, z, t) 其中1,2均为常数，可由偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
3
例1 将正数 12 分成三个正数x, y, z之和使得 u x3 y2z为最大.
解令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
Fx 3x2 y2z 0
则
Fy 2 x3 yz 0 Fz x3 y2 0
x y z 12
解得唯一驻点(6,4,2)，
故最大值为 umax 63 42 2 6912.
4
例2 求周长为2a而面积最大的矩形的面积。
x x
, ,

经济模型的构建与分析

经济模型的构建与分析一、引言经济模型是经济学研究的基础工具之一，通过对经济活动的各种因素进行抽象和简化，以数学或者统计学的方法来描述和分析经济现象。

本文将探讨经济模型的构建与分析过程，并通过具体案例来说明其应用。

二、经济模型的构建1. 问题的确定在构建经济模型之前，首先需要明确研究的问题是什么。

例如，我们可以研究某个国家的通货膨胀问题，或者某个行业的市场竞争情况等。

问题的确定将为后续的模型构建提供指导。

2. 假设的建立在构建经济模型时，需要对研究对象进行一定的假设。

这些假设可以是关于经济主体的行为假设，也可以是关于市场环境的假设。

例如，我们可以假设消费者在面对价格上涨时会减少购买量，或者假设市场是完全竞争的等。

3. 变量的选择在构建经济模型时，需要选择适当的变量来描述经济现象。

这些变量可以是宏观经济指标，如国内生产总值（GDP）和失业率，也可以是微观经济变量，如价格和需求量等。

通过选择适当的变量，可以更好地描述和分析经济现象。

4. 关系的建立在经济模型中，各个变量之间的关系是非常重要的。

通过建立适当的关系，可以揭示出经济现象背后的内在机制。

例如，我们可以建立价格和需求量之间的关系，以探讨价格对需求的影响。

三、经济模型的分析1. 参数的估计在经济模型中，往往会存在一些参数，如弹性系数等。

这些参数的取值对模型的分析结果有着重要的影响。

因此，需要通过实证研究或者理论推导来估计这些参数的取值。

例如，可以通过回归分析来估计价格弹性系数。

2. 模型的求解在经济模型中，往往会涉及到一些方程或者不等式。

通过求解这些方程或者不等式，可以得到模型的解析解或者数值解。

这些解可以用来分析经济现象，并进行政策制定等。

例如，可以通过求解供需方程来得到市场均衡的价格和数量。

3. 模型的验证构建经济模型之后，需要对模型进行验证。

验证的方法可以是通过实证数据的对比，或者通过与其他相关模型的比较。

通过验证，可以检验模型的有效性和适用性，并对模型进行修正和改进。

经济模型

九个基本经济数学模型：1、边际分析模型边际成本：设成本函数为：C=C(q) (q是产量)则边际成本：表示产量为q时生产1个单位产品所花费的成本。

边际收益：设需求函数为P=P(q) (q是产量，P是价格)则收益函数为：R=R(q)=q﹒p(q)边际收益为：表示销售量为q时销售1个单位产品所增加的收入。

边际利润：设利润函数L=L(q)=R (q)-C(q) 则边际利润ML=L’ (q)= 边际利润ML=L’ (q)表示销售量为q时销售点1个单位产品的所增加的利润。

2、弹性分析模型需求价格弹性：设需求函数q=q(p)，q是需求量，P是价格。

则需求价格弹性：当价格上升百分之一时，需求量减少百分之一；当价格下降百分之一时，需求量上升百分之一需求收入弹性：需求量是收入的（单增）函数，q=q(R),q是需求量，R是收入，则需求收入弹性当收入增加百分之一时，需求量增加百分之；当收入减少百分之一时，需求量减少百分之3、最大利润模型设总利润L=L(q)=R(q)-C(q)L(q)取得最大利润的必要条件： L(q)取得最大利润的充分条件：4、最优批量模型（其中：T总成本，Q为每批产量，S为产品的调整准备成本，A为全年产量）得5、线性回归方程模型设变量x与y存在线性关系，y=ax+b，对n项实验得n对数据（x1、y1）, （x2、y2）,………(xn、yn)。

可求出则y=ax+b6、线性规划数学模型1 2 1式称为目标函数，2式称为约束条件x1、x2………, xn称为决策变量，满足2式的一组变量值称为线性规划问题的可行解，使1式达到最大（小）值的可行解称为最大解。

7、投入产出数学模型投入产出表(略)产出分配平衡方程：（i=1,2,…...,n）投入构成平衡方程：（j=1,2,…...,n）是直接消耗系数设则投入产出数学模型完全消耗系数: 有：8、风险型决策数学模型1期望值准则如果用A表示各行动方案的集合，N表示各自然状态的集合， P是各状态出现的概率向量， M是益损值的矩阵，即这时，则决策实质就是求向量E（A）的最大元或最小元对应的行动方案。