第8章_静磁能1__磁场的能量和能量密度__20101227

(rr2
)
⋅
r dS
其可以看成载流线圈2在外磁场 BrS12(由线圈1提供的)中
所具有的静磁能。其实这也就是线圈1和线圈2的互感磁能
。 W12 = M12 I1I 2 = φ12 I 2
对于均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中的小
分载号流其中线W中提圈1m2r出，==，上I 2B简式rSr ⋅记中为(为的I载2 Sr流BBrr1)(线rr。2=)圈所m可r2以的看⋅，磁B成r 矩是，常mr矢的量方，I 向因与此可Im2r的从Sr关积
损耗的能量可以忽略；
(2) 各线圈电流由零逐渐增加到给定值Ii，将各线圈 Ii = 0 取为零能态；
(3) 在某瞬时，在第i个线圈中，感应电动势由下式确
定：
∑ ε i
=
−Li
dI i dt
−
N
M ij
j =1
dI j dt
j≠i
其中 Li 是第i个线圈的自感， M ij 是第i个线圈和第j个线
圈之间的互感，Ii和I j 分别是它们中的电流。仿照前面的
∴
Wm
=
1 2
LI
2
=
1 2
μr μ0n2VI 2
=
1 2
BHV
ωm
= Wm V
=
1 BH 2
=
1 2
r B
⋅
r H
磁能Wm = ∫∫∫V ωmdV
=
∫∫∫V
1 2
r B
⋅
r HdV
这是普遍表达式
上式与
We
=
∫∫∫V
ωedV
=
∫∫∫V
1 2
r D
⋅
ErdV形式上类似。
讨论
a. 由上式可以看出,线圈中的能量确实存在于磁场中。
性，由安培环路定理
。我H们r ⋅可dlr以=用方
法I 0i(先3) ，求即出根Hr据,
对
称
L
i
再由Br = μr μ0Hr求出Br
⇒ ωm
=
1 2
r B
⋅
r H
⇒
Wm
=
∫∫∫ V
1 2
r B
⋅
r HdV
⇒ Wm
=
1 2
LI
2
由此可以解出L。
为了计算Wm , 考虑长度为l的一段电缆，
把空间分成四个区域，如图所示。
2. 总静磁能 在这样的两个线圈中，当各自建立了电流I1和I2后 ，除了每个线圈里各自储存有自感磁能
W1
=
1 2
L1 I12 和W2
=
1 2
L2
I
2之外，
2
在它们之间还储存了另一部分磁能: W12 = M12I1I2
所以两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为：
W
= W1
+ W2
+ W12
=
1 2
L1I12
§1. 磁场的能量和能量密度
在第三章中，我们介绍了电容器充电后能储存一定的
电能，即当电容器两极板之间的电压为u时，电容器所储
存的静电能为
We
=
1 2
Cu 2
现在我们已经讨论了自感和互感，自然会提出一个 问题：在电感元件中是否也有能量储存？如果有的话，以 什么形式储存？
下面就来讨论这个问题。
一.一个线圈的静磁能 （也称作自感磁能）
2
⎢⎣⎡c
4
ln
c b
−
1 4
c2
− b2
3c 2
− b2
⎤⎪⎫ ⎥⎦⎪⎭⎬
五．载流线圈在外磁场中的静磁能
矩的的力情矩前况为面，L我r载=们流mr分线×析圈Br了的一。磁个矩载用流mr线表圈示在，m磁r =场IS中r 的，受则力其和所力受
下面我们从能量的角度来考虑上述问题。
∫∫ 上1.一一节个我载们流已线经圈得在到外：磁W场1中2 的= 静I 2磁能Br1
讨论，我们可以推得这N个线圈系统的静磁能为：
∑ ∑ Wm
=
1 2
N i =1
Li
I
2 i
+
1 2
N
M
i, j=1
ij
I
i
I
j
j≠i
∑ ε i
= −Li
dI i dt
−
N
M ij
j =1
dI j dt
j≠i
其中右边第1项表示总的自感磁能，第2项表示N个线
圈系统的互感磁能。 在上式中，若令 i, j = 2 ，就可以
系满足右手定则。
讨论
r
在电介质中，我们得到电偶极子P
量表达式为
rr We = −P ⋅ E
在LR电路中，开关K 一接通，电流i增加，这 时电源电动势克服自感电动势作功。这就是说，电源所 作的功，一部分在电阻上变成了焦耳热，而一部分克服自 感电动势作功。那么这一部分功跑到哪儿去了呢？另外， 当K断开时，电源已经不起作用，这时回路中的电流i下降 。在这一过程中，自感电动势作了正功，变成了电阻中的 焦耳热。这一部分能量又是从哪儿来的呢？
第八章 静磁能
这一章，我们主要研究电流分布和磁化介质中储存 的能量。
在第三章中，我们研究了在电荷分布和极化介质中储 存的静电能，其就储存在该带电系统所产生的静电场中。
在本章中，我们将证明，在电流分布和磁化介质中 储存的静磁能，就储存在该电流系统所产生的磁场中。
学习这一章可以与第三章进行类比，采取相似的方 法来讨论。
(( )) ( ) ∑I
=
I
−
Iπ π
r2 −b2 c2 −b2
= I c2 −r2 c2 −b2
( ) H3 = 2π
I c2 − b2
⎛ ⎜ ⎝
c2 r
−
r
⎞ ⎟ ⎠
( ) B3 = μ0H3 = 2π
μ0 I
c2 − b2
⎛ ⎜ ⎝
c2 r
−
r
⎞ ⎟ ⎠
( ) ωm3
=
8π 2
μ0I 2
c2 − b2
得到前面我们已经得到的两个线圈的总静磁能的表达式。
四. 磁场的能量和能量密度
在第三章中，我们知道电容器储存的能量是储存在
电场中，我们从平行板电容器入手导出了静电场的能量和 能量密度分别为：
We
=
∫∫∫V ωedV
=
∫∫∫V
1 2
r D
⋅
r EdV
其中
ωe
=
1 2
r D
⋅
r E
为能量密度
可以想象，线圈中的能量必然储存在磁场中。下面 我们以螺线管为例来讨论这个问题：
1. 无磁介质时
Q L0 = μ0n2V
Wm
=
1 2
L0 I
2
=
1 2
μ0n2VI 2
而B = μ0nI
∴Wm
=
1 2
μ
2 0
n
2
I
2
V
μ0
=
1
2μ0
B 2V
定义ω
为磁能密度，
m
即ω m
= Wm V
=
1
2μ0
B2
2. 有磁介质时
Q L = μr L0 = μr μ0n2V
而H = B = nI
μr μ0
dt
在电容器中， 功 A = ∫ εdq
dq = idt
0
电荷q的积分上下限为 0 → q, 电流的积分上下限为 0 → i
当 t = 0 → t = T 时，电源所作的功为：
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A
=
T
ε
idt
=
T
L
di
idt
+
T
Riidt
=
i
Lidi
+
T
i 2 Rdt
=
1
Li 2
Twenku.baidu.com
+
i 2 Rdt
T 0
M 12
dI1 dt
I 2 dt
T
+
0
M 21
dI 2 dt
I1dt
Qε1
=
−M 21
dI 2 dt
,
ε2
=
−M12
dI1 dt
I1
I2
∫ ∫ A = M12I2dI1 + M 21I1dI2
0
0
I1 ,I2
I1 ,I2
∫ ∫ = M12 (I1dI2 + I2dI1) = M12 d (I1I2 ) = M12I1I2
(1)区
μ0 0 ≤ r ≤ a
μr = 1 (对一般的导体都可取这值)
由环路定理可得
H1
=
1
2πr
∑
I
∑ 穿过半径为r的环路的总电流为
I
=
I
πa 2
πr 2
=
Ir 2 a2
=
1
2πr
⎜⎛ ⎝
I
πa
2
⎟⎞πr 2
⎠
=
Ir
2πa 2
B1 = μ0H1 =
Br和Hr同向
μ0 Ir 2π a2
ω m1
Li 2
注意积分上下限的变换：t = 0,i = i; t = T ,i = 0
小结
从以上分析可以看出，在一个自感系数为L的线圈 中，建立强度为i的电流，线圈中储存的能量为：
Wm
=
A
=
1 2
Li 2
=
1 2
iΦ m
其中用了Φm = Li
当放电时，这部分能量又全部释放出来，称其为 自感磁能。该公式与电容器的电能公式
于是 H4 = 0, B4 = 0,
ωm4 = 0,
Wm4 = 0,
所以，总磁能
Wm
= Wm1
+ Wm2
+ Wm3
+ Wm4
=
1 LI 2 2
⇒
L
=
2Wm I2
记单位长度电缆的自感为L0 ,
则
L0
=
L l
=
2Wm lI 2
( ) ( )( ) L0
=
μ0 2π
⎪⎧ 1
⎨ ⎪⎩
4
+
μr
ln
b a
+
1 c2 −b2
2
⎜⎜⎝⎛
c r
4 2
− 2c2
+ r 2 ⎟⎟⎠⎞
∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) Wm3
=
c 2π l
ωm3rdϕdrdz =
b 00
4π
μ0I 2l
c2 − b2
2
⎢⎣⎡c
4
ln
c b
−
1 4
c2
− b2
3c 2
− b2
⎤ ⎥⎦
(4)区
μ0 r ≥ c
穿过半径为r的环路的总电流为∑ I = I − I = 0
=
1 2
r B1
⋅
r H1
=
1 2
B1H1
=
μ0I 2r2 8π 2a 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Wm1
=
a 0
2π l
ω m1rdϕdrdz
00
=
l 0
μ0I 2 8π 2a4
a
dz
0
2π
r 3dr dϕ
0
=
μ0I 2l 16π
注意
a. 在上面的积分中，根据对称性选取了柱坐标系。
b. 如果电流只分布在导线表面上，则此时 ∑ I = 0,
We
=
1 Cu 2 2
=
1 Qu 2
在形式上极为相似。
二. 两个线圈的总静磁能（自感磁能+互感磁能）
1. 互感磁能
若有两个相邻的线圈1和线圈2，在其中分别有电流
I1和I2，在建立电流的过程中，抵抗互感电动势所作的功
为：
T
T
∫ ∫ A = A1 + A2 = − ε2I2dt − ε1I1dt
0
0
∫ ∫ =
(2) 区
μr a ≤ r ≤ b
H2
=
I
2π
r
注意此时穿过半径为r的
环路的总电流为∑ I = I
B2
=
μr μ0 I 2π r
ωm2
=
μrμ0I 2 8π 2r 2
∫ ∫ ∫ Wm2
b 2π l
= ωm2rdϕdrdz =
a 00
μr μ0I 2l 4π
ln b a
(3)区
μ0 b ≤ r ≤ c 设穿过半径为r的环路的总电流为∑ I
μr
a
解：
求自感有三种方法： (1)
由ε = −L dI 求， L =
dt
(2)
ε
( dI ) dt
动态
由Φ = LI求 L = Φ 可以先由Br求Φ I
静态
(3)
由 Wm
=
1 2
LI
2求
L
=
2Wm I2
由能量出发求
比较一下可以看出，(1)和(2)在这儿均不好用，关键在
∫ ∑ 于磁通量Φ不太好求
0
0
注意积分上下限的变换以及M12 = M 21
和自感一样，两个线圈中电源抵抗互感电动势所作 的这部分额外功，也以磁能的形式储存起来，一旦电流中 止，这部分磁能便通过互感电动势作功全部释放出来。
定义：互感磁能
W12 = M12I1I2 = Φ12I2
其中Φ12是载流线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通量。
唯一的可能就是：在建立电流过程中，电源克服自感 电动势作功，这部分能量储存在自感线圈内。当断开电路 时，正是这部分能量变成了回路中电阻的焦耳热。以上只 是定性的分析，下面来定量计算。
1. 先计算在建立电流i过程中电源所作的功
由 ε + ε L = iR 得
ε − L di = iR
dqt
ε = iR + L di
在物理上有时这样来看，将线圈1看成是外磁场，则
∫∫ 上式可进一步写成： W12 = I 2
r B1
(rr2
)
⋅
r dS
S2
其中 rr2是线圈2的面元 dSr对线圈1的位置矢量，S2 是线
圈流线2所圈张2在的外曲磁面场。这Br1中样所，具我有们的可磁将能该。系统的互能看成是载
后面还会将这一结果进一步推广。
b. 上式为计算自感L提供了第三种方法
即先求出Wm
,再利用L
=
2Wm I2
计算L。
c. 当线圈中电流建立之后，B是一定的，这时线圈储
存的能量
Wm
=
B 2V
2μ0
只与B的状态有关，
而与电流的建立过程无关。
d. 这个结论可以推广到一般情况。 e. 进一步推广：利用虚功原理，可以由静磁能求出 磁力。
例一．一同轴电缆，中心半径是a的圆柱形的导线， 外部是内半径为b，外半径为c的导体圆筒，在内外导体之 间充满磁导率为μr的磁介质，电流在内外导体的方向如图 所示。 设电流沿截面均匀 分布，求这电缆单 位长度的自感系数。
0
0 dt
0
0
0
2
0
其中
T
∫ εidt
0
表示 0 → T中，电源所作的功；
1 Li2表示电源在0 → T中提供的转变为磁场的能量。 2
T
∫ i2Rdt
0
表示0 → T中，电流在电阻上作的功；
由此可见，电源所供给的能量，一部分转化为焦耳--楞茨热，另一部分用于反抗自感电动势所作的功，这将 是另一种形式的能量改变的量度。
2. 计算断开电源时，回路中所放出的热量
当切开电源时，电流由稳定值i减小到0，线圈中产生
与电流方向相同的感应电动势。线圈中原已储存起来的能
量通过自感电动势作功全部释放出来。自感电动势在电流
减少的整个过程中所作的功是：
∫ ∫ ∫ A'
=
T 0
ε Lidt
=
T 0
−
L
di dt
idt
=
o
−
i
Lidi
=
1 2
+
1 2
L2
I
2 2
+
M12 I1I2
=
1 2
L1I12
+
1 2
L2
I
2 2
+
1 2
M12 I1I2
+
1 2
M 21I1I2
写成对称形式
注意：其中自感磁能恒大于零，而互感磁能可正
可负。
三．N个载流线圈系统的静磁能
推广到N个载流线圈组成的系统，为了简化讨论，
(1) 假定所给的线圈的电阻很小可以忽略，即焦耳热