数值分析原理封建湖答案
数值分析参考答案
数值分析参考答案数值分析参考答案数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它涉及到数值计算、数值逼近、数值解法等方面的内容。
在实际应用中，数值分析可以帮助我们解决各种各样的问题，如线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分等等。
本文将给出一些数值分析常见问题的参考答案。
1. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
常见的求解方法有直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法等，迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
2. 非线性方程的根的求解非线性方程的根的求解是数值分析中的另一个重要问题。
常见的求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，通过不断迭代逼近方程的根。
3. 插值插值是数值分析中的一个常见问题，它可以用于构造函数的近似值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
这些方法通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而近似原函数。
4. 数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要问题，它可以用于计算函数的定积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
这些方法通过将定积分转化为求和的形式，从而进行数值计算。
5. 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法是数值分析中的一个重要问题。
常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将微分方程转化为递推关系，从而逐步逼近解。
6. 线性规划问题的求解线性规划问题是数值分析中的一个重要问题，它可以用于求解最优化问题。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解。
7. 矩阵特征值和特征向量的计算矩阵特征值和特征向量的计算是数值分析中的一个重要问题。
常见的计算方法有幂法、反幂法、QR方法等。
这些方法通过迭代来逼近矩阵的特征值和特征向量。
总结起来，数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它涉及到线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分、常微分方程的数值解法、线性规划问题的求解以及矩阵特征值和特征向量的计算等方面的内容。
数值分析原理封建湖答案
数值分析原理封建湖答案【篇一：数值分析原理课件第一章】以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．1.1 引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法．这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”．之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截11111的计算是无穷过程，当用en?1作为e的1!2!1!2!n!近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差en?e．断误差．如e?1?当用计算机计算en时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到en的近似值e，也就是说最终用e近似e，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点．可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题．对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算．在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性．收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．**1对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法．如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n次多项式anxn?an?1xn?1a1x?a0值的如下快速算法s?an；t?an?k；s?sx?t(k?1,2,?,n)它通过n次乘法和n次加法就计算出了任意n次多项式的值．再如幂函数x可以通过如下快速算法计算出其值s?x；s?s?s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)．事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法．也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．641.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用x作为量x的近似，则称x?x?:e(x)为近似值x的绝对误差．由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界?，即有**e(x)?x?x??****(1.1)称正数?为近似值x的绝对误差限，简称误差．这样得到不等式xx?x?? 工程中常用x?x??表示近似值x的精度或真值x所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度．如量5000ms1230.5cm1.230.005m1230000(1.2)为此，我们需要引入相对误差*****x*?x:er(x*)为近似值x*的相对误差．当定义1.2 用x?0作为量x的近似，称x*x是x的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差x*?x*er(x)? (1.3)x**2显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化．如式(1.2)中的量s的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值x的相对误差限?r(x*)，它是相对误差绝对值的较小上界．结合式(1.1)和(1.3)，x相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即r(x)***(x*)x*(1.4)为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量x的近似值x有如下标准形式*mx??10?0.a1a2?an?ap*＝?a1?10m?1a210m2an10mnap10mp*(1.5)其中{ai}ip,?,9}且a1?0，m为近似值的量级．如果使不等式 ?1?{0,1x?x?*110mn 2(1.6)成立的最大整数为n，则称近似值x具有n位有效数字，它们分别是a1、a2、… 和an．特别地，如果有n?p，即最后一位数字也是有效数字，则称x*是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限．利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数．对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数．注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．**例1.1 设量x??，其近似值x1?3.141，x2?3.142，x3?*22．试回答这三个近7似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m?1，因为有111021013 2211*314x2?x?0.0004??0.0005??10??1022*x3?3.142857142857?11*?21?3x3?x?0.001??0.005??10??1022***所以x1和x3都有3位有效数字，但不是有效数． x2具有4位有效数字，是有效数．x1?x?0.00059??0.005?*二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差．对于函数y?f(x1,x2,?,xn)有近似值y?f(x1,x2,?,xn)，利用在点***(x1,x2,?,xn)处的泰勒公式(taylor formula)，可以得到****3e(y)?y?y??其中fi:?**f(x,x,,xi*1*2i?1nn*n)(xi*?xi)(1.7)f(x,x,,xi*1*2i?1*n)e(xi*)f，xi*是xi的近似值，e(xi*)是xi*的绝对误差(i?1,2,?,n)．式(1.7)表明函?xi数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式xi*er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi*) (1.8)yi?1对于一元函数y?f(x)，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式e(y*)?f?(x*)e(x*) (1.9)*n*1*2*nx*er(y)?f?(x)*er(x*)y**(1.10)式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数y?f(x1,x2,?,xn)?x1?x2xn的绝对误差(限)、相对误差*的近似传播公式，以及xi?0i?1时的相对误差限传播公式．n解由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e(y)?**f(x,x,,xi*1*2i?1n*n)e(x)＝?e(xi*)*ii?1n(1.11) (1.12)nxi*xi**er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi)＝?*er(xi*)yi?1i?1yn*1*2*n进而有e(y)?*e(x)e(x)(x)*i*i*ii?1i?1i?1nnn于是有和的绝对误差限近似传播公式 ?(y)?*当xi?0*(xi?1n*i)i?1时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式 nr(y)*(xi?1n*i)y*i?1*innnxi*xi***r(xi)maxr(xi)**1inyi1yxi*maxr(x)*maxr(xi*)1?i?n1?i?ni?1y4.3例1.3 使用足够长且最小刻度为1mm的尺子，量得某桌面长的近似值a?1304mm，宽的近似值b?704.8mm (数据的最后一位均为估计值)．试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 ?(a*)?0.5mm，?(b*)?0.5mm***面积s?ab，由式(1.7)得到近似值s?ab的绝对误差近似为**e(s*)?b*e(a*)?a*e(b*) 进而有绝对误差限*****(s)b(a)a(b)704.80.51304.30.51004.55 mm2相对误差限 ?r(s)?*(s*)s*1004.550.00110.11%1304.3?704.81.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例1.1 表达式111??，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的xx?1x(x?1)x，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：matlab软件采用ieee规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位．机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52－－111?和算法2： y2(x)?的误差时，精确解用双精xx?1x(x?1)度的计算结果代替．我们选取点集{?i}30i?1中的点作为x，比较两种方法误差的差异．从图1.1可以看出，当x不是很大时，两种算法的精度相当，但当x很大时算法2的精度明显高于算法1．这是因为，当x很大时，11和是相近数，用算法1进行计算时出xx?1现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大．这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出．鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x接近?1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为i1i1．从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10?7，因而二者的精度相当．305【篇二：数值分析原理课件第二章】xt>在科学计算中常需要求解非线性方程f(x)?0(2.1)即求函数f(x)的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列{xk}k?0，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．2.1 二分法一、实根的隔离定义2.1 设非线性方程(2.1)中的f(x)是连续函数．如果有x*使f(x*)?0，则称x*为方程(2.1)的根，或称为函数f(x)的零点；如果有f(x)?(x?x*)mg(x)，且g(x)在x*邻域内连续，g(x*)?0，m为正整数，则称x*为方程(2.1)的m重根．当m?1时，称x*为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数f(x)，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数f(x)连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[a,b]是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长h?(b?a)/n，xk?a?kh，(k?0,1,?,n)．由左向右逐个计算f(xk)，如果有f(xk)f(xk?1)?0，则区间[xk,xk?1]就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程f(x)?x3?3x2?4x?3?0的一个有根区间．解由f?(x)?3x2?6x?4?3(x?1)2?1?0知f(x)为(??,?)上的单调递增函数，进而f(x)在(??,?)内最多只有一个实根．经计算知f(0)?0，f(2)?0，所以f(x)?0在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长h?0.5，在点x?0.5，x?1，x?1.5计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根．11二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)?0，且方程(2.1)在区间(a,b)内有惟一实根x*．记a1?a，b1?b，中点x1?(a1?b1)/2将区间[a1,b1]分为两个小区间[a1,x1]和[x1,b1]，计算函数值f(x1)，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果f(x1)?0，则x1是所要求的根；(2) 如果f(a1)f(x1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[a1,x1]； (3) 如果f(x1)f(b1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[x1,b1]．新有根区间[a2,b2]的长度为原有根区间[a1,b1]长度的一半．对有根区间[a2,b2]施以同样的过程，即用中点x2?(a2?b2)/2将区间[a2,b2]再分为两半，选取新的有根区间，并记为 [a3,b3]，其长度为[a2,b2]的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2][ak,bk]??其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[ak,bk]的长度为1bk?ak?k?1(b?a)2*由x?[ak,bk]和xk?(ak?bk)/2，得11xk?x*?(bk?ak)?k(b?a)22*当k??时，显然，有xk?x．总结得到如下收敛定理：定理2.1 设f(x)在隔根区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则由二分法产生的序列*??{xk}k?0收敛于方程(2.1)在[a,b]上的根x，并且有误差估计1(b?a)(k?1,2,?) (2.2) 2k1设预先给定根x*的绝对误差限为?，要求xk?x*??，只要k(b?a)??成立，这样求2xk?x*?12得对分次数ln(b?a)?ln?． (2.3)ln2取k为大于(ln(b?a)?ln?)/ln2的最小整数．此时xk是方程(2.1)的满足精度要求的根近似k?值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断f(xk)?0几乎不可能满足，取而代之为判断条件f(xk)??0，其中?0为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法算法2.1(二分法)输入端点a,b、根的绝对误差限?、根近似值的函数值允许误差限?0；输出近似解c或失败信息；step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k； step 2 对n?1,?,k循环执行step 3～5； step 3 c?(a?b)/2，计算f(c)；step 4 若f(c)??0，则输出c，end； step 5 若f(c)f(b)?0，则a?c，否则b?c．例2.2 用二分法求f(x)?x3?4x2?10?0在[1,2]上的根x*的近似值，要求1xk?x*??10?3．2解由于在区间[1,2]上，f(1)??5，f(2)?14，f?(x)?3x2?8x?x(3x?8)?0，故f(x)?0在[1,2]上有惟一实根x*．确定循环次数为k?11，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数f(x)的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同．当函数f?(x)连续时，方程(2.1)的实重根可转换为f(x)0的实单根． f?(x)一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．132.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法．一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[a,b]上，将方程(2.1)等价变形为x??(x) (2.4)在[a,b]上选取x0作为初始近似值，用如下迭代公式xk?1??(xk) (k?0,1,2,?) (2.5)*??*建立序列{xk}k?0．如果有limxk?x，并且迭代函数?(x)在x的邻域内连续，对式(2.5)两边k??取极限，得x*??(x*)因而x*是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称?(x)为迭代函数，所得序列{xk}k?0为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程f(x)?x3?x?1?0的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1)xk?1 31(2) xk?1?xk(3) xk?1?3xk?xk?1(4) xk?1?2取初值x0?1.5，迭代计算，结果见表2.2．例2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数?(x)满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列{xk}k?0的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?14定理2.2 若函数?(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数，且满足条件①对任意x?[a,b]，有?(x)?[a,b]；②存在常数l：0?l?1，使得对任意x?[a,b]有?(x)?l成立．则(1) 方程x??(x)在[a,b]上有惟一实根x*(2) 对任意x0?[a,b]，迭代公式(2.5)收敛，且limxk?x*k??(3) 迭代公式(2.5)有误差估计式xk?x*?lxk?xk?1(2.6) 1?llk*xk?x?x1?x0 (2.7)1?lxk?1?x*(x*) (2.8) (4) limk??x?x*k证明 (1)构造函数g(x)?x??(x)，由条件①知g(a)?a??(a)?0，g(b)?b??(b)?0，因此g(x)?0在[a,b]上至少存在一个实根，又由条件②知当x?[a,b]时，g?(x)?1(x)?1?l?0，所以g(x)?0在[a,b]内存在惟一实根，即x??(x)在[a,b]内存在惟一实根，记为x*．(2) 由x0?[a,b]及条件①知，xk?[a,b](k?1,2,?)，并且有xk?1??(xk)，x*??(x*)，二者作差，并由微分中值定理得2(2.9) ,xk?1?x*??(xk)??(x*)(?k)(xk?x*) (k?1,?其中，?k介于xk与x*之间．结合条件②，得2(2.10) ,xk?1?x*?lxk?x* (k?1,?反复递推，有0?xk?1?x*?lxk?x*?l2xk?1?x*lk?1x0?x*， (k?1,2,?)因0?l?1，故limxk?x*．k??(3) 由式(2.10)得xk?x*?xk?xk?1?xk?1?x*?xk?xk?1?xk?1?x*xk1xklxkx*从而xk?x*?1xk?1?xk (2.11) 1?l又由于xk?1?xk??(xk)??(xk?1)(?k)(xk?xk?1)lxkxk1 (k1,2,) (2.12)其中?k介于xk和xk?1之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计 lxk?x*?xk?xk?11?l由式(2.12)反复递推，得15【篇三：数值分析原理第八章】得到特征值?，然后通过求得齐次线性方程组(a??i)x?0的非零向量x而得到矩阵a的相应于特征值?的特征向量．当矩阵阶数较高时，这种方法计算量很大，故常用数值方法近似求解特征值与特征向量．目前常用的数值方法有迭代法(幂法)和变换法(jacobi方法等)两类．8.1 乘幂法与反幂法一、乘幂法乘幂法是求矩阵按模最大的特征值(主特征值)和相应的特征向量的一种迭代法．设a?rn?n，初始向量v(0)?rn(v(0)?0)，令v(k)?av(k?1)(8.1)生成迭代向量序列v(k)．由递推公式(8.1)，知(k)v(k)?a(av(k?2))?a2v(k?2)akv(0)(0)(8.2)这表明v等于用矩阵a的k次幂左乘v，故称此方法为乘幂法．下面分析当k→∞时，向量序列v(k)的变化规律．设?1，?2，…，?n为矩阵a?rn?n的n个特征值，且满足(8.3)n12n相应于特征值?1，?2，…，?n的n个线性无关的特征向量x1,x2,?,xn构成向量空间?上的一组基．任取非零的初始向量v(0)rn，则v(0)可由这组特征向量线性表出v(0)c1x1c2x2cnxncjxjj?1n(8.4)其中c1,c2,?,cn为线性组合系数．将式(8.4)代入式(8.2)，得148v(k)akkcx?c(a?jj?jxj) j?1j?1nn(8.5)由akxj??kjxj和式(8.5)，得v(k)cj?kjxjj?1n(8.6)当?1?0时，由式(8.3)知，特征值?1??2n?0．下面针对?1?0进行讨论．由式(8.6)有v(k)knjk1?c1x1cj?xj?j21n?j??jxj?0，?(8.7)k此时有(k)kv(k)??1c1x1(k)上式表明，v与x1只近似相差一个常数因子，故可取v作为矩阵a的相应于主特征值?1的近似特征向量．当k充分大时，若vi(k)?0，则有 k?1vi(k?1)?1(c1x1)i1 (k)kvi?1(c1x1)i(8.8)这表明主特征值?1可由式(8.8)近似求得．如果矩阵a的特征值满足12l,1l1n则根据式(8.6)有v(k)lk1cjxj?j?1kjcjxj?jl11n(8.9)则当k充分大时，由于j1(jl1,,n)，故有 ?1149v(k)k1cxjj?1ljl(8.10)由于x1,x2,?,xl都是矩阵a的特征值?1对应的特征向量，故特征值?1对应的特征向量．由式(8.10)知，k较大时，v(k)cxjj?1j0也是矩阵a的就是与主特征值?1的对应的近似特征向量．类似于式(8.8)，可求得主特征值的近似．由于此时?1的特征向量子空间不是一维的，故由式(8.10)得到的近似特征向量只是该子空间的一个特征向量，对于不同的初始向量v能得到?1的特征向量空间中线性无关的近似特征向量．对于矩阵a的其它主特征值情形，如?12，?1?2等，同样可以用乘幂法求解，具体过程可参阅文献[6]．以上讨论说明了乘幂法的基本原理．通过上述对乘幂法过程的分析可知，乘幂法是一种迭代法，公式计算简单，便于上机实践，可以方便地用于近似求矩阵按模最大的一个(或几个)特征值及相应的特征向量．需要注意的是： (1) 从理论上讲，对于任意给定的初始向量v(0)(0)可，有可能使式(8.4)中的c1?0，但因舍(0)入误差的存在，随着迭代过程的进行，等效于从c1?0的v(2) 在用乘幂法(8.1)进行迭代计算时，迭代向量v(k)出发进行迭代．的分量的绝对值可能会出现非常大(当?1?1)或者非常小(当?1?1)的现象，甚至出现溢出．为此，实用中每进行m步就需要对迭代向量v(k)~(k)进行一次规范化，即用v?(k)v(k)(k)(k)(其中maxv表示向量v的按模最(k)maxv大的分量)代替v继续迭代．由于特征向量允许相差一个常数因子，故按前面乘幂法的理论依然得到正确的近似特征向量．在每次规范化后，用乘幂计算前后两个向量的分量的比值作为主特征值的近似，这种规范化并不影响主特征值的近似计算。
《数值分析》所有参考答案
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析课后习题部分参考答案解析
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求2的近似值x*，使其相对误差不超过0.1%。
解：...2 =1.4 …。
设X有n位有效数字，则|e(x)|乞0.5 10 10 。
*、，0.5 101』从而，| e r (x ) \<1故，若0.5 101』乞0.1%，则满足要求。
解之得，n丄4。
x =1.414。
(P10)7.正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2。
解：设边长为a，则a 100 cm。
设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：：、2 100 e。
按测量要求，|2 100 e|_1解得，|eF0.5 10^。
Chapter 2(P47)5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1、A= 2 1 0 。
<1-10,解：设A—〔。
分别求如下线性方程组:■n■0 '0 'A。
= 0 ，A P= 1 ，AY = 04 ©先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式)Ly = 1 和 U0 =y ，得，031 3Ly = 0 和 U = 丫，得，；丫1 32 31 31 3 所以，A ，=123 32 1 -1 — ——3 3丿广1 2 1 -3)/ 、 花『1'2 5 0 -5 X 22 1 0 14 1X 316 <_3_5115丿3<8>解：平方根法："(1)1 (1)1(2)2(1) -1 (0)2 .(1)1(-1)2(0)-3」「0 0^「1 1 —1'即，L =21 0 ，U = 0-1 2 。
2 h1°0 一3」经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,■1广0、Ly = 0 和 U° = y ，得，a =0 ；厂1」(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:先求系数矩阵 A 的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式)先求系数矩阵上=2」21 二 2d = 1；t 31改进平方根法:A 的形如A = L DL T的分解，其中L = (l j )4 4为单位下三角矩阵，D =diag{d 1,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。
习题10(答案)《数值分析》(第二版)第10章_习题参考答案
习题参考答案习题一1．(1) 0.05ε=，0.0185r ε=，有2位有效数字 (2) 0.0005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (3) 0.000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (4) 0.0000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 2．0.0005ε=，0.00016r ε≈；有4位有效数字 3．|d | 1.210.005 3.650.0050.0050.02930.03a ≤⨯+⨯+≈≤4．*1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字5．(1) ***124()x x x ε++31.0510−=⨯ (2) ***123()x x x ε=0.21479 (3) *2*4()x x ε50.8865410−=⨯6．略。
7．最小刻度x 满足0.002cm x ≤ 8．*3()10000 mm V επ=，*()0.02r V ε= 9．设正方形边长为a ，*2()0.510a ε−≤⨯10．*1()1%0.00333r R ε=⨯≈11．1||||14x =，2||||9.89949x ≈，||||9x ∞= 12．1|||||1.25||0.02|| 5.15||0| 6.42x =++−+=22221/22||||[(1.25)(0.02)( 5.15)(0)] 5.2996x =++−+=||||| 5.15| 5.15x ∞=−=13．||||10A ∞=，1||||9A =，2||||82.05125A ≈14．||||16A ∞=，1||||16A =，2||||12A =15．(1) ||()||1f x ∞=，1||()||8f x =，2||()||f x π=(2) ||()||23f x ∞=，1||()||17f x =，2||()||10.6427f x ≈ 16．略。
数值分析习题集及答案[1](精)
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数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析原理 习题答案
数值分析原理习题答案数值分析原理习题答案数值分析原理是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它涵盖了数值计算、数值逼近、数值积分、数值微分、数值代数方程的求解等内容。
在实际应用中，数值分析原理被广泛应用于工程、科学计算、金融等领域。
本文将就数值分析原理中的一些习题进行解答，以帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、数值计算1. 通过牛顿迭代法求方程f(x) = x^3 - 2x - 5的近似根。
已知初始值x0 = 2。
解：首先，计算f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 2。
然后，利用牛顿迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)进行迭代计算。
代入已知值，得到x1 = 2 - (2^3 - 2*2 - 5)/(3*2^2 - 2) = 2 - (1)/(10) = 1.9。
继续迭代计算，可得到x2 = 1.9 - (1.9^3 - 2*1.9 - 5)/(3*1.9^2 - 2) ≈ 1.855。
通过多次迭代计算，可以逐渐逼近方程的根。
二、数值逼近1. 利用拉格朗日插值多项式，通过已知点(0, 1)，(1, 2)，(2, 3)逼近函数f(x) =x^2。
解：首先，根据拉格朗日插值多项式的公式，可以得到插值多项式L(x) =f(0)L0(x) + f(1)L1(x) + f(2)L2(x)。
其中，L0(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = (x-1)(x-2)/2，L1(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = -(x)(x-2)，L2(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = (x)(x-1)/2。
代入已知点的函数值，可得到L(x) = 1*(x-1)(x-2)/2 - 2*(x)(x-2) + 3*(x)(x-1)/2 =x^2。
通过拉格朗日插值多项式，我们成功地将函数f(x) = x^2用已知点的插值多项式逼近。
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
数值分析习题参考答案1
部分习题参考答案习题一1. 分别有3位、5位与4位有效数字2. 分别有５位、3位、4位与３位有效数字3. 有３位有效数字; 绝对误差为 －０、0012;相对误差-０、0005570514. (1) (2）(3)６、提示:注意字长为８位得计算机上得机器数系得特点与计算机对数得接收与运算处理。
7、提示:通过证明进行说明,这里 8、,不稳定 9、最好10、采用j 从10000到２得顺序相加,或通过进行化简计算。
11、本题有递推公式得出得就就就是。
算法１、2、For k=n-1,n-2,…,1,0 做12、提示：仿照例１、9做之。
习题二 2、提示:3、取迭代函数讨论之。
4、由确定k,迭代次数59、5、迭代公式及区间为,数列得极限值。
6、x 3=０、567１43 ７、，用New ｔo ｎ迭代公式及定理６做，根1、03０ 8、两个根: ;9、取,当时，取区间,用定理6做，当时,由做转换讨论。
极限为 １1提示:由可得,或由用定理2、4 １2、()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k k k k k k k k k k kk k k k k k f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k kk k k f x x f x x xf f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭１3、提示:借助代入中约化。
数值分析书本答案
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π 所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字 绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
数值分析课后习题答案
数值分析课后习题答案数值分析课后习题答案数值分析是一门应用数学的学科，主要研究用数值方法解决数学问题的理论和方法。
在学习数值分析课程时，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对数值方法的理解和掌握。
下面将为大家提供一些数值分析课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法。
给定一组已知数据点，我们希望通过插值方法找到一个函数，使得该函数在已知数据点上的取值与给定数据点的值尽可能接近。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
下面是一个使用拉格朗日插值法求解的习题：已知函数f(x)=sin(x)，求在区间[0, π/2]上的插值多项式P(x)，使得P(0)=0，P(π/2)=1。
解答：根据拉格朗日插值法的原理，我们需要构造一个满足条件的插值多项式。
首先，我们需要确定插值节点。
根据题目要求，我们取两个插值节点：x0=0，x1=π/2。
然后，我们需要确定插值多项式的系数。
设插值多项式为P(x)=a0+a1x，代入已知条件可得到两个方程：P(0)=a0=0P(π/2)=a0+a1(π/2)=1解方程组可得，a0=0，a1=2/π。
因此，插值多项式为P(x)=2x/π。
2. 数值积分是数值分析中的另一个重要内容。
它主要研究如何用数值方法计算函数的定积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
下面是一个使用梯形法则求解的习题：计算定积分∫[0, 1] e^(-x^2) dx。
解答：根据梯形法则的原理，我们可以将定积分转化为离散的求和问题。
首先，我们将积分区间[0, 1]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=1/n。
然后，我们在每个小区间的两个端点上计算函数值，并将其加权求和。
根据梯形法则的公式，我们可以得到近似解为：∫[0, 1] e^(-x^2) dx ≈ h/2 * (f(0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(1))其中，f(x)表示函数e^(-x^2)在点x处的取值。
数值计算方法第一章 误差
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误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
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x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
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绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
数值分析复习题答案
数值分析复习题答案数值分析复习题答案数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科。
在实际问题中，我们经常需要通过数值计算方法来求解数学模型，这就需要我们掌握数值分析的基本概念和方法。
下面是一些数值分析复习题的答案，希望能对你的复习有所帮助。
一、差分法与数值微分1. 差分法是一种数值计算方法，通过计算函数在一点的导数来近似计算函数在该点的值。
常用的差分法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
2. 前向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h，其中h为步长。
3. 后向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h，其中h为步长。
4. 中心差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)，其中h为步长。
5. 数值微分是使用差分法来近似计算函数的导数。
通过选取合适的步长，可以使数值微分的误差最小化。
二、插值法与数值积分1. 插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2. 拉格朗日插值法通过构造一个多项式来逼近已知数据点，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
3. 牛顿插值法是利用差商的概念来构造一个多项式，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
4. 数值积分是一种通过数值计算来近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。
5. 梯形法则通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面积来近似计算积分。
6. 辛普森法则是在梯形法则的基础上进一步改进的方法，它使用抛物线来逼近函数的曲线，从而提高了积分的精度。
三、数值方程求解1. 数值方程求解是通过数值计算方法来求解非线性方程或线性方程组的方法。
2. 常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和高斯消元法。
3. 二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近方程的根的方法。
27-数值分析原
数值分析原理封建湖，车刚明，聂玉峰编著科学出版社出版索书号：51.81/9馆藏号：022623内容介绍:本书系统地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法及有关的理论和应用。
全书共分9章，包括误差分析，函数插值，函数逼近，数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程的数值解法，矩阵特征值与特征向量的计算，以及常微分方程初值问题的数值解法等。
本书基本概念清晰准确，理论分析科学严谨，语言叙述通俗易懂，结构编排由浅入深，注重启发性。
本书始终贯穿一个基本理念，即在数学理论上等价的方法在实际数值计算时往往是不等效的，因此，本书精选了大量的计算实例，用来说明各种数值方法的优劣与特点。
各章末还有一定数量的习题供读者练习之用。
读者对象：高等院校工科研究生和数学系各专业本科生，从事科学与工程计算的科研工作者。
本书目录:第一章绪论1·1数值分析的对象与任务1·2误差基础知识1·3舍入误差分析及数值稳定性习题1第二章函数插值2·1插值问题2·2插值多项式的构造方法2·3分段插值法习题2第三章函数逼近3·1赋范线性空间与函数逼近问题3·2内积空间与正交多项式3·3最佳平方逼近与广义Fourier级数3·4曲线拟合的最小二乘方法*3·5最佳一致逼近多项式习题3第四章数值积分与数值微分4·1数值积分概述4·2牛顿-柯特斯公式4.3龙贝格求积算法4.4高斯型求积公式*4·5奇异积分与振荡函数积分的计算*4·6二重积分的计算4·7数值微分习题4第五章解线性代数方程组的直接法5·1高斯消去法5·2矩阵三角分解法5·3矩阵的条件数和方程组的性态习题5第六章解线性代数方程组的迭代法6·1向量和矩阵序列的极限6·2迭代法的基本理论6·3几种常用的迭代法*6·4最速下降法与共轭梯度法习题6第七章非线性方程求根7·1二分法7·2迭代法的算法和理论7·3迭代的加速收敛方法7·4牛顿迭代法7·5弦割法和抛物线法*7·6非线性方程组的迭代解法简介习题7第八章矩阵特征值与特征向量计算8·1乘幂法与反幂法8·2雅可比方法8·3QR方法8·4求实对称三对角阵特征值的二分法习题8第九章常微分方程初值问题的数值解法9·1引言9·2欧拉方法9·3龙格-库塔方法9·4单步法的进一步讨论9·5线性多步方法*9·6线性多步法的进一步讨论9·7一阶方程组与刚性问题简介习题9参考文献附录关于线性常系数差分方程的几点知识参考答案。
数值分析原理习题答案
数值分析原理习题答案数值分析原理习题答案数值分析原理是计算数学的一个重要分支，它研究如何利用数值方法解决数学问题。
在学习数值分析原理的过程中，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些数值分析原理习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题：使用二分法求方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 2]内的根，并给出根的近似值，要求误差不超过0.001。
答案：首先，我们需要确定方程f(x)在区间[1, 2]内是否有根。
根据介值定理，如果f(1)和f(2)异号，则方程在区间[1, 2]内有根。
计算f(1) = -6和f(2) = 1，可知f(1)和f(2)异号，因此方程在区间[1, 2]内有根。
接下来，我们可以使用二分法求解方程的根。
首先，将区间[1, 2]等分为两个子区间[1, 1.5]和[1.5, 2]，计算f(1.5) = -1.375。
由于f(1)和f(1.5)异号，根据介值定理，方程在区间[1, 1.5]内有根。
接下来，我们将区间[1, 1.5]等分为两个子区间[1, 1.25]和[1.25, 1.5]，计算f(1.25) = 0.796875。
由于f(1)和f(1.25)异号，根据介值定理，方程在区间[1, 1.25]内有根。
重复以上步骤，我们可以得到方程的近似根为1.365234375，误差小于0.001。
2. 习题：使用拉格朗日插值多项式求解以下问题：已知函数f(x)在区间[-1, 1]上的节点值为f(-1) = -1，f(0) = 0，f(1) = 1，求f(0.5)的近似值。
答案：根据拉格朗日插值多项式的定义，我们可以得到以下公式：f(x) ≈ L(x) = f(-1) * L0(x) + f(0) * L1(x) + f(1) * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)分别为拉格朗日基函数，其定义如下：L0(x) = (x - 0) * (x - 1) / ((-1 - 0) * (-1 - 1)) = x^2 - xL1(x) = (x + 1) * (x - 1) / ((0 + 1) * (0 - 1)) = -x^2 + 1L2(x) = (x + 1) * (x - 0) / ((1 + 1) * (1 - 0)) = x^2 + x将已知节点值代入公式，我们可以得到：f(x) ≈ L(x) = -1 * (x^2 - x) + 0 * (-x^2 + 1) + 1 * (x^2 + x)= -x^2 + x + x^2 + x= 2x将x = 0.5代入公式，我们可以得到f(0.5)的近似值为1。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
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数值分析原理封建湖答案【篇一：数值分析原理课件第一章】以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．1.1 引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法．这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”．之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截11111的计算是无穷过程，当用en?1作为e的1!2!1!2!n!近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差en?e．断误差．如e?1?当用计算机计算en时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到en的近似值e，也就是说最终用e近似e，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点．可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题．对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算．在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性．收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．**1对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法．如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n次多项式anxn?an?1xn?1a1x?a0值的如下快速算法s?an；t?an?k；s?sx?t(k?1,2,?,n)它通过n次乘法和n次加法就计算出了任意n次多项式的值．再如幂函数x可以通过如下快速算法计算出其值s?x；s?s?s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)．事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法．也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．641.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用x作为量x的近似，则称x?x?:e(x)为近似值x的绝对误差．由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界?，即有**e(x)?x?x??****(1.1)称正数?为近似值x的绝对误差限，简称误差．这样得到不等式xx?x?? 工程中常用x?x??表示近似值x的精度或真值x所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度．如量5000ms1230.5cm1.230.005m1230000(1.2)为此，我们需要引入相对误差*****x*?x:er(x*)为近似值x*的相对误差．当定义1.2 用x?0作为量x的近似，称x*x是x的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差x*?x*er(x)? (1.3)x**2显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化．如式(1.2)中的量s的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值x的相对误差限?r(x*)，它是相对误差绝对值的较小上界．结合式(1.1)和(1.3)，x相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即r(x)***(x*)x*(1.4)为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量x的近似值x有如下标准形式*mx??10?0.a1a2?an?ap*＝?a1?10m?1a210m2an10mnap10mp*(1.5)其中{ai}ip,?,9}且a1?0，m为近似值的量级．如果使不等式 ?1?{0,1x?x?*110mn 2(1.6)成立的最大整数为n，则称近似值x具有n位有效数字，它们分别是a1、a2、… 和an．特别地，如果有n?p，即最后一位数字也是有效数字，则称x*是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限．利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数．对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数．注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．**例1.1 设量x??，其近似值x1?3.141，x2?3.142，x3?*22．试回答这三个近7似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m?1，因为有111021013 2211*314x2?x?0.0004??0.0005??10??1022*x3?3.142857142857?11*?21?3x3?x?0.001??0.005??10??1022***所以x1和x3都有3位有效数字，但不是有效数． x2具有4位有效数字，是有效数．x1?x?0.00059??0.005?*二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差．对于函数y?f(x1,x2,?,xn)有近似值y?f(x1,x2,?,xn)，利用在点***(x1,x2,?,xn)处的泰勒公式(taylor formula)，可以得到****3e(y)?y?y??其中fi:?**f(x,x,,xi*1*2i?1nn*n)(xi*?xi)(1.7)f(x,x,,xi*1*2i?1*n)e(xi*)f，xi*是xi的近似值，e(xi*)是xi*的绝对误差(i?1,2,?,n)．式(1.7)表明函?xi数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式xi*er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi*) (1.8)yi?1对于一元函数y?f(x)，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式e(y*)?f?(x*)e(x*) (1.9)*n*1*2*nx*er(y)?f?(x)*er(x*)y**(1.10)式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数y?f(x1,x2,?,xn)?x1?x2xn的绝对误差(限)、相对误差*的近似传播公式，以及xi?0i?1时的相对误差限传播公式．n解由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e(y)?**f(x,x,,xi*1*2i?1n*n)e(x)＝?e(xi*)*ii?1n(1.11) (1.12)nxi*xi**er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi)＝?*er(xi*)yi?1i?1yn*1*2*n进而有e(y)?*e(x)e(x)(x)*i*i*ii?1i?1i?1nnn于是有和的绝对误差限近似传播公式 ?(y)?*当xi?0*(xi?1n*i)i?1时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式 nr(y)*(xi?1n*i)y*i?1*innnxi*xi***r(xi)maxr(xi)**1inyi1yxi*maxr(x)*maxr(xi*)1?i?n1?i?ni?1y4.3例1.3 使用足够长且最小刻度为1mm的尺子，量得某桌面长的近似值a?1304mm，宽的近似值b?704.8mm (数据的最后一位均为估计值)．试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 ?(a*)?0.5mm，?(b*)?0.5mm***面积s?ab，由式(1.7)得到近似值s?ab的绝对误差近似为**e(s*)?b*e(a*)?a*e(b*) 进而有绝对误差限*****(s)b(a)a(b)704.80.51304.30.51004.55 mm2相对误差限 ?r(s)?*(s*)s*1004.550.00110.11%1304.3?704.81.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例1.1 表达式111??，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的xx?1x(x?1)x，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：matlab软件采用ieee规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位．机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52－－111?和算法2： y2(x)?的误差时，精确解用双精xx?1x(x?1)度的计算结果代替．我们选取点集{?i}30i?1中的点作为x，比较两种方法误差的差异．从图1.1可以看出，当x不是很大时，两种算法的精度相当，但当x很大时算法2的精度明显高于算法1．这是因为，当x很大时，11和是相近数，用算法1进行计算时出xx?1现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大．这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出．鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x接近?1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为i1i1．从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10?7，因而二者的精度相当．305【篇二：数值分析原理课件第二章】xt>在科学计算中常需要求解非线性方程f(x)?0(2.1)即求函数f(x)的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列{xk}k?0，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．2.1 二分法一、实根的隔离定义2.1 设非线性方程(2.1)中的f(x)是连续函数．如果有x*使f(x*)?0，则称x*为方程(2.1)的根，或称为函数f(x)的零点；如果有f(x)?(x?x*)mg(x)，且g(x)在x*邻域内连续，g(x*)?0，m为正整数，则称x*为方程(2.1)的m重根．当m?1时，称x*为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数f(x)，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数f(x)连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[a,b]是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长h?(b?a)/n，xk?a?kh，(k?0,1,?,n)．由左向右逐个计算f(xk)，如果有f(xk)f(xk?1)?0，则区间[xk,xk?1]就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程f(x)?x3?3x2?4x?3?0的一个有根区间．解由f?(x)?3x2?6x?4?3(x?1)2?1?0知f(x)为(??,?)上的单调递增函数，进而f(x)在(??,?)内最多只有一个实根．经计算知f(0)?0，f(2)?0，所以f(x)?0在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长h?0.5，在点x?0.5，x?1，x?1.5计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根．11二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)?0，且方程(2.1)在区间(a,b)内有惟一实根x*．记a1?a，b1?b，中点x1?(a1?b1)/2将区间[a1,b1]分为两个小区间[a1,x1]和[x1,b1]，计算函数值f(x1)，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果f(x1)?0，则x1是所要求的根；(2) 如果f(a1)f(x1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[a1,x1]； (3) 如果f(x1)f(b1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[x1,b1]．新有根区间[a2,b2]的长度为原有根区间[a1,b1]长度的一半．对有根区间[a2,b2]施以同样的过程，即用中点x2?(a2?b2)/2将区间[a2,b2]再分为两半，选取新的有根区间，并记为 [a3,b3]，其长度为[a2,b2]的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2][ak,bk]??其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[ak,bk]的长度为1bk?ak?k?1(b?a)2*由x?[ak,bk]和xk?(ak?bk)/2，得11xk?x*?(bk?ak)?k(b?a)22*当k??时，显然，有xk?x．总结得到如下收敛定理：定理2.1 设f(x)在隔根区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则由二分法产生的序列*??{xk}k?0收敛于方程(2.1)在[a,b]上的根x，并且有误差估计1(b?a)(k?1,2,?) (2.2) 2k1设预先给定根x*的绝对误差限为?，要求xk?x*??，只要k(b?a)??成立，这样求2xk?x*?12得对分次数ln(b?a)?ln?． (2.3)ln2取k为大于(ln(b?a)?ln?)/ln2的最小整数．此时xk是方程(2.1)的满足精度要求的根近似k?值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断f(xk)?0几乎不可能满足，取而代之为判断条件f(xk)??0，其中?0为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法算法2.1(二分法)输入端点a,b、根的绝对误差限?、根近似值的函数值允许误差限?0；输出近似解c或失败信息；step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k； step 2 对n?1,?,k循环执行step 3～5； step 3 c?(a?b)/2，计算f(c)；step 4 若f(c)??0，则输出c，end； step 5 若f(c)f(b)?0，则a?c，否则b?c．例2.2 用二分法求f(x)?x3?4x2?10?0在[1,2]上的根x*的近似值，要求1xk?x*??10?3．2解由于在区间[1,2]上，f(1)??5，f(2)?14，f?(x)?3x2?8x?x(3x?8)?0，故f(x)?0在[1,2]上有惟一实根x*．确定循环次数为k?11，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数f(x)的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同．当函数f?(x)连续时，方程(2.1)的实重根可转换为f(x)0的实单根． f?(x)一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．132.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法．一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[a,b]上，将方程(2.1)等价变形为x??(x) (2.4)在[a,b]上选取x0作为初始近似值，用如下迭代公式xk?1??(xk) (k?0,1,2,?) (2.5)*??*建立序列{xk}k?0．如果有limxk?x，并且迭代函数?(x)在x的邻域内连续，对式(2.5)两边k??取极限，得x*??(x*)因而x*是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称?(x)为迭代函数，所得序列{xk}k?0为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程f(x)?x3?x?1?0的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1)xk?1 31(2) xk?1?xk(3) xk?1?3xk?xk?1(4) xk?1?2取初值x0?1.5，迭代计算，结果见表2.2．例2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数?(x)满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列{xk}k?0的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?14定理2.2 若函数?(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数，且满足条件①对任意x?[a,b]，有?(x)?[a,b]；②存在常数l：0?l?1，使得对任意x?[a,b]有?(x)?l成立．则(1) 方程x??(x)在[a,b]上有惟一实根x*(2) 对任意x0?[a,b]，迭代公式(2.5)收敛，且limxk?x*k??(3) 迭代公式(2.5)有误差估计式xk?x*?lxk?xk?1(2.6) 1?llk*xk?x?x1?x0 (2.7)1?lxk?1?x*(x*) (2.8) (4) limk??x?x*k证明 (1)构造函数g(x)?x??(x)，由条件①知g(a)?a??(a)?0，g(b)?b??(b)?0，因此g(x)?0在[a,b]上至少存在一个实根，又由条件②知当x?[a,b]时，g?(x)?1(x)?1?l?0，所以g(x)?0在[a,b]内存在惟一实根，即x??(x)在[a,b]内存在惟一实根，记为x*．(2) 由x0?[a,b]及条件①知，xk?[a,b](k?1,2,?)，并且有xk?1??(xk)，x*??(x*)，二者作差，并由微分中值定理得2(2.9) ,xk?1?x*??(xk)??(x*)(?k)(xk?x*) (k?1,?其中，?k介于xk与x*之间．结合条件②，得2(2.10) ,xk?1?x*?lxk?x* (k?1,?反复递推，有0?xk?1?x*?lxk?x*?l2xk?1?x*lk?1x0?x*， (k?1,2,?)因0?l?1，故limxk?x*．k??(3) 由式(2.10)得xk?x*?xk?xk?1?xk?1?x*?xk?xk?1?xk?1?x*xk1xklxkx*从而xk?x*?1xk?1?xk (2.11) 1?l又由于xk?1?xk??(xk)??(xk?1)(?k)(xk?xk?1)lxkxk1 (k1,2,) (2.12)其中?k介于xk和xk?1之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计 lxk?x*?xk?xk?11?l由式(2.12)反复递推，得15【篇三：数值分析原理第八章】得到特征值?，然后通过求得齐次线性方程组(a??i)x?0的非零向量x而得到矩阵a的相应于特征值?的特征向量．当矩阵阶数较高时，这种方法计算量很大，故常用数值方法近似求解特征值与特征向量．目前常用的数值方法有迭代法(幂法)和变换法(jacobi方法等)两类．8.1 乘幂法与反幂法一、乘幂法乘幂法是求矩阵按模最大的特征值(主特征值)和相应的特征向量的一种迭代法．设a?rn?n，初始向量v(0)?rn(v(0)?0)，令v(k)?av(k?1)(8.1)生成迭代向量序列v(k)．由递推公式(8.1)，知(k)v(k)?a(av(k?2))?a2v(k?2)akv(0)(0)(8.2)这表明v等于用矩阵a的k次幂左乘v，故称此方法为乘幂法．下面分析当k→∞时，向量序列v(k)的变化规律．设?1，?2，…，?n为矩阵a?rn?n的n个特征值，且满足(8.3)n12n相应于特征值?1，?2，…，?n的n个线性无关的特征向量x1,x2,?,xn构成向量空间?上的一组基．任取非零的初始向量v(0)rn，则v(0)可由这组特征向量线性表出v(0)c1x1c2x2cnxncjxjj?1n(8.4)其中c1,c2,?,cn为线性组合系数．将式(8.4)代入式(8.2)，得148v(k)akkcx?c(a?jj?jxj) j?1j?1nn(8.5)由akxj??kjxj和式(8.5)，得v(k)cj?kjxjj?1n(8.6)当?1?0时，由式(8.3)知，特征值?1??2n?0．下面针对?1?0进行讨论．由式(8.6)有v(k)knjk1?c1x1cj?xj?j21n?j??jxj?0，?(8.7)k此时有(k)kv(k)??1c1x1(k)上式表明，v与x1只近似相差一个常数因子，故可取v作为矩阵a的相应于主特征值?1的近似特征向量．当k充分大时，若vi(k)?0，则有 k?1vi(k?1)?1(c1x1)i1 (k)kvi?1(c1x1)i(8.8)这表明主特征值?1可由式(8.8)近似求得．如果矩阵a的特征值满足12l,1l1n则根据式(8.6)有v(k)lk1cjxj?j?1kjcjxj?jl11n(8.9)则当k充分大时，由于j1(jl1,,n)，故有 ?1149v(k)k1cxjj?1ljl(8.10)由于x1,x2,?,xl都是矩阵a的特征值?1对应的特征向量，故特征值?1对应的特征向量．由式(8.10)知，k较大时，v(k)cxjj?1j0也是矩阵a的就是与主特征值?1的对应的近似特征向量．类似于式(8.8)，可求得主特征值的近似．由于此时?1的特征向量子空间不是一维的，故由式(8.10)得到的近似特征向量只是该子空间的一个特征向量，对于不同的初始向量v能得到?1的特征向量空间中线性无关的近似特征向量．对于矩阵a的其它主特征值情形，如?12，?1?2等，同样可以用乘幂法求解，具体过程可参阅文献[6]．以上讨论说明了乘幂法的基本原理．通过上述对乘幂法过程的分析可知，乘幂法是一种迭代法，公式计算简单，便于上机实践，可以方便地用于近似求矩阵按模最大的一个(或几个)特征值及相应的特征向量．需要注意的是： (1) 从理论上讲，对于任意给定的初始向量v(0)(0)可，有可能使式(8.4)中的c1?0，但因舍(0)入误差的存在，随着迭代过程的进行，等效于从c1?0的v(2) 在用乘幂法(8.1)进行迭代计算时，迭代向量v(k)出发进行迭代．的分量的绝对值可能会出现非常大(当?1?1)或者非常小(当?1?1)的现象，甚至出现溢出．为此，实用中每进行m步就需要对迭代向量v(k)~(k)进行一次规范化，即用v?(k)v(k)(k)(k)(其中maxv表示向量v的按模最(k)maxv大的分量)代替v继续迭代．由于特征向量允许相差一个常数因子，故按前面乘幂法的理论依然得到正确的近似特征向量．在每次规范化后，用乘幂计算前后两个向量的分量的比值作为主特征值的近似，这种规范化并不影响主特征值的近似计算。