高等数学期末复习习题无穷级数
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第十一章 无穷级数
1． 下列级数中发散的是（） A ...1......31211222++++n B ...1)1(......312111+-++-+n n C ...!2)1(......!32!2222194+-+++-+n n n D ...!
1......!31!211++++n 2． 级数n n x n n 21
!12∑∞=+的收敛区间是： A ),(+∞-∞ B ),0[+∞ C ]1,1[- D )1,1(-
3．若级数的一般项0lim =∞→n n u ，则级数
∑∞=1n n u （）
A 一定收敛
B 一定发散
C 一定条件收敛
D 可能收敛，也可能发散
4．若级数∑∞=1n n u
收敛，则下列结论正确的有（ ）
A 0lim 21=+++∞→）（n n u u u Λ
B ）（n n u u u +++∞
→Λ21lim 存在但不一定等于0 C ∞→n n u lim 存在，但不等于0 D ∞
→n n u lim 不一定存在
5．幂级数Λ++++7
537
53x x x x 的收敛区间是（ ） A ]1,1[- B )1,1[- C ]1,1(- D )1,1(-
6．交错级数11131)
1(-∞=-∑-n n n （）
A 绝对收敛
B 发散
C 条件收敛
D 无法确定
7．部分和函数}{n s 有界是正项级数∑∞=1n n u
收敛的
A 必要条件
B 充分条件
C 充分必要条件
D 既非充分也非必要条件
8．若∑∞
=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处
A 条件收敛
B 绝对收敛
C 发散
D 收敛性不能确定
10．函数x
+11 的麦克劳林级数是 。
11．幂级数n n n
x n n 21)1(4∑∞
=+的收敛半径是
12．。要把函数)0()(π≤≤=x e x f x 展开成余弦级数则应对)(x f 作 延拓，若展开成正弦级数，则应作 延拓。
13．以π2为周期的周期函数
)(x f 的傅立叶级数的系数=n a ，=n b 。
14．函数
x e x f 2)(=关于x 的幂级数展开式是： 。
15．若级数
∑∞=1
n n u 收敛 ，则 =∞→n n u lim 。 16．求幂级数∑∞=11n n x n
的收敛区间以及和函数。
17．求下列幂级数的收敛区间以及和函数。
（1）∑
∞=--112)
121n n x n （ （2） ∑∞
=++112)121n n x n （ 、（3）∑∞=-+11)12n n x n （
18．求幂级数120
)!12(1+∞
=∑+n n x n 的和函数)(x F 。
19．设⎩
⎨⎧<≤<≤-=ππx ax x bx x f 00)(（a,b 为常数）是周期为π2的函数，将）（x f 展开成Fourier 级数。
20．用间接展开法把
21)(2--=x x x f ，展开成)3(-x 的幂级数，并写出其收敛区间。
21．将
3
41)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数。
22.将函数
⎩⎨⎧≤≤<≤-=ππx x x f 0100)(展开成傅立叶级数
23.判断下列级数的敛散性：1） ∑∞
=1!2n n n n n 2 ）∑∞=-+1]ln )1[ln(n n n
24．证明：1）如果级数∑∞=1n n a
收敛，则∑∞=1n n a 也收敛。
证明：2）如果正项级数∑∞=1
n n u 收敛，则∑
∞=1n n n u 也收敛。 证明：3）如果正项级数∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1
2n n u 也收敛。