双曲线 PPT课件

足 PA PB =0，M、N分别为PA、PB的中点，
求证： OMON =0（O为坐标原点）.
y
MP A
O
Nx
B
[例2]直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不 同的两点A、B. （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经 过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存 在，说明理由.
【例】双曲线xa22－by22＝1(a>1，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点 A(a,0)和点 B(0，b)，点 C(1,0)到直线 l 的距离与点 D(－1,0)到直线 l 的距离之和 S≥45c，求双曲线的离心 率 e 的取值范围．
【练习】设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B， 求 a 的值．
直线与双曲线的位置关系
相交----有两个交点或一个交点(直线与
(1)位置关系
渐近线平行).
相切----有且只有一个公共点,且直线
不平行于双曲线的渐近线.
相离----无公共点.
(2)判定方法:
将直线与双曲线的方程联立消去一个
未知数,得到一个一元二次方程.
△< 0
相离
△= 0
相切或相交(一个公共点)
△> 0
率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分
别相交于点B、C，且B是AC的中点，求双曲
线M的离心率和焦点坐标.
[点评]列方程求出b的值,是解决本题的关键.求离心率,关键在
于求 c ，有时可以求出a、c的值，有时可以列出a、b、c的等
a 量关系，然后转化为
c
a
的方程.
题型2.双曲线的几何性质
【例1】设F1、F2为双曲线x42 y2 1的两个焦点, 点P在双曲线上,且满足F1PF2 600,求F1PF2 的面积.
M F2
x
F1
注1：c2 = a2 + b2， a，b大小不定
注2：判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 如果x2的系数为正，则焦点在x轴上；
如果y2的系数为正，则焦点在y轴上
3.几个概念:
(1)焦准距:双曲线的焦点到相应准线的距离 称为焦准距,常用p表示, p b 2 (2)通径:过焦点且垂直于焦点c 所在轴的弦 称为双曲线的通径.长为: 2 b 2
实轴长2a,虚轴长2b
图形
方程 离心率 渐近线
准线
yy
y
..
F1 A1 o A2 F2 x
x2 y2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
F2
A2
.oA1 F1
x
y2 x2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
e c 1 a
x y0 ab
a2 x
c
y x0 ab
a2 y
c
双曲线
y
M
F1
o
F2
x
y
△PF1F2的面积为 12 3 ，求双曲线的方程.
y
. ..P
F1 o
F2
x
[点评]在没有坐标系的情况下，求曲线的方程，必须先建立 适当的坐标系.知曲线的类型求曲线方程，一般可用待定系数 法.本题要注意面积的计算,定义的应用,余弦定理的应用.
[练习3]过双曲线M:x2-
y2 b2
=1的左顶点A作斜
(3)等轴双曲线学.
a
科.网 z等 xxk.轴 双 曲 线 离 心 率 为 e =2
(4)共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 :与 双 曲 线 a x2 2b y2 2=1
有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 可 设 为 a x2 2b y2 2=(0).
二.题型分析 题型1.求双曲线的方程
待定系数法
[ 例 1 ]求 中 心 在 原 点 ,一 个 焦 点 是 ( 4 ,0 ),一 条 渐 近 线 是 直 线 3 x - 2 y= 0 的 双 曲 线 的 方 程 .
[例2]中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与
虚轴长之差为4，离心率为 的5 双曲线方程为
4
[练 习 1]求 中 心 在 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 且 满 足 下 列
( 3 )已 知 渐 近 线 为
x a
y b
0时 ,可 设 双 曲 线 为
x2 a2
y2 b2
;
即与双曲线
x2 a2
y2 b2
1有 共 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为
x2 a2
y2 b2
(
0 ).
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
(2010·天津)已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条 渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点与抛物线 y2＝16x 的焦点相同．则双曲线的方程为________．
条件的双曲线方程:
x2 y2
(1)经 过 两 点 (2
7 , 3),(7, 6
2 );
1 25 75
(2)双 曲 线 经 过 点 (3, 9 2 ),离 心 率 e
10 ; 3
y2 x2 1 81 9
( 3 )过 点 P（ 2 3， 3） , 且 与 双 曲 线 x 2 y 2 1有
16 9 y 2 x 2
[点评] （1）弦的中点问题，一般可用“点差法”求解，（即本
题的解法）.知弦的中点坐标，则可以求弦所在直线的斜率.（2）探 究性问题，一般以存在进行求解，求解过程出现矛盾，则不存在. 本题要验证直线与双曲线是否相交.
[练习1]已知等轴双曲线C:x2-y2=a2(a＞0)上一
定点P(x0，y0)及曲线C点上两个动点A、B，满
（2）设直线l与y轴的交点为P，且
u PuA ur5u PuB ur,求a的值. 12
x2 a2
y2 b2
1(焦 点 在 x轴 )
或
y2 a2
x2 b2
1 (焦 点 在 y轴 )
(a 0,b 0);
(2 )不 知 焦 点 位 置 时 , 分 情 况 讨 论 ( 分 设 )
或 设 为 x 2 y 2 1或 m x 2 n y 2 1 (m n 0 ) (统 设 ); mn
（定义法）
变 式 :一 动 圆 与 定 圆 :x2y21和 x2y28x120
都 外 切 ， 则 动 圆 圆 心 的 轨 迹 是 C
A .抛 物 线 B .圆 C .双 曲 线 的 一 支 D .椭 圆
[练习2]已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点
为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2=60°，
[点评]直线与双曲线的右支相交问题，一般要转化为方程有
两个正根的问题，然后利用判别式及韦达定理求解.以线段AB 为直径的圆经过右焦点F，常常转化为FA·FB=0来求解.
[练习2]设双曲线C：x a
2 2
-y2=1(a＞0)与直线
l:x+y=1交于两个不同的点.
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
【练习】已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，
且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
例21.设P是双曲线ax22
y2 9
1上一点，双曲线的
一条渐近线方程为3x-2y=0，F1、F2分别是双
一.知识要点
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对
值等于常数2a（2a<︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做 双曲线.这两定点叫焦点,两焦点的距离叫焦距.
M F 1M F 2 2 a （ 0 2 aF 1 F 2)
2.双曲线的 几何性质
图形
yy
..
F1 A1 o A2 F2 x
方程 焦点 范围
相交(两个公共点)
考点4.直线和双曲线的相交问题
[例1]已知双曲线方程2x2-y2=2.
弦的中点问题
（1）求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；
（2）过点B(1，1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于 Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如 果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
共 同 的 渐 近 线;
9 4 1
( 4 )过 点 P（ 3 公共焦点.
2，2） , 且 与 双 曲 线 x 2 y 2 1有4
x2 y2
16 4
1
12 8
归 纳 待 定 系 数 法 求 双 曲 线 标 准 方 程 时 ,设 方 程 的 方 法 :
(1)已 知 焦 点 位 置 时 ,设 为
x2 y2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
(c,0),焦距2c
x≥a或x≤-a
.y
F2
A2
.oA1 F1
x
y2 x2 a2 b2 1Βιβλιοθήκη (a>0,b>0)
(0,c),焦距2c
y≥a 或y ≤-a
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
轴
A1(-a,0),A 2(a,0）
A1(0,-a),A 2( 0,a )
曲线的左、右焦点.若PF1 3,则PF2 C
A.1或5 B.6 C． 7 D.9
(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点
为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，
那么此双曲线的离心率为( D )
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
5＋1 D. 2
题型3.双曲线的综合应用