2014届高三周周练四

可知若使 g(x)＝m 有实根，则只需 m≥2e. 方法三 解方程由 g(x)＝m，得 x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故íïìm2>0， îïΔ＝m2－4e2≥0，
等价于íïìm>0，
故 m≥2e.
îïm≥2e或m≤－2e，
(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)＝f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图像有两个不同的交点．
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二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)
11．若函数 y = loga (kx2 + 4kx + 3) 的定义域是 R, 则 k 的取值范围是
12．设定义在[－2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减，若 f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围是________．
2013—2014 学年上期高三年级周练数学试题（四）
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．)
2013-11-03
1．已知 a = log 2 0.3,b = 20.1, c = 0.21.3 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
A． a < b < c
B． c < a < b
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．2 个
4．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且 f(2)＝0，则不等式3f(－x5)－x 2f(x)≤0 的解集为
A．(－∞，－2]∪(0,2] B．[－2,0]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,0)∪(0,2]
5．函数 f ( x)＝excosx 的图像在点(0，f(0) )处的切线的倾斜角为
①由(1)知，x＝1 是函数 f(x)的极值点．
又∵函数 f(x)与 g(x)＝x＋ax有相同极值点，
∴x＝1 是函数 g(x)的极值点．
∴g′(1)＝1－a＝0，解得 a＝1.
经检验，当 a＝1 时，函数 g(x)取到极小值，符合题意．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分
1
1
②∵f(e)＝－e2－2，f(1)＝－1，f(3)＝－9＋2ln3，
f x
' ( x) >0
>
0
得
0<x<1；由
ì í î
f x
' ( x) >0
<
0
得
x>1.
∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．
∴函数 f(x)的最大值为 f(1)＝－1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分
a
a
(2)∵g(x)＝x＋x，∴g′(x)＝1－x2.
x2
(x2，x1)
x1
(x1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) [来源:Z§xx§]
f(x2)
f(x1)
所以 f(x)的单调增区间是(－∞，1a)，(－a，＋∞)；单调减区间是(1a，－a)．。。。。。。。。。。10 分
综上，a>0 时，f(x)在(－∞，－a)，(1a，＋∞)单调递减；在(－a，1a)单调递增．
C． a < c < b
D． b < c < a
2．已知全集 U＝R，设集合 A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合 B＝{y|y＝sin(x－1)}，则(∁UA)∩B 为 (
)
A．(12，＋∞)
B．(0，12]
C．[－1，12]
D． f
3．已知 A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f 是从 A 到 B 的映射，则满足 f(0)>f(1)的映射有
f
(x1) - g(x2 ) k -1
≤1 恒成立
⇔k－1≥[f(x1)－g(x2)]max⇔k≥[f(x1)－g(x2)]max＋1.
∵f(x1)－g(x2)≤f(1)－g(1)＝－1－2＝－3，
∴k≥－3＋1＝－2，又∵k>1，∴k>1.
当 k－1<0，即 k<1 时，
对于∀x1，x2∈ëêé1e，eûúù，不等式
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
f(x1)
f(x2)
[来源:]
故 f(x)的单调减区间是(－∞，－a)，(1a，＋∞)；单调增区间是(－a，1a)．。。。。。。。。。。。。。8 分
③当 a<0 时，f(x)与 f′(x)的情况如下：
x
(－∞，x2)
e2 作出 g(x)＝x＋ x (x>0)的图像．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e2.
故当 m－1＋e2>2e，即 m>－e2＋2e＋1 时，
g(x)与 f(x)有两个交点，
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即 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
(1)若
sin(
A
+
p 6
)
=
2
cos
A,
求
A
的值；
(2)若
cos
A
=
1 3
，
b
=
3c
，求
sin
C
的值。
16．等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1 + 3a2 = 1, a32 = 9a2a6 ，
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）设 bn
=
log3
a1
+
log3
a2
+L+
log3
an
②若对于∀x1，x2∈ëêé1e，3ûúù，不等式
f (x1) - g(x2 ) k -1
≤1 恒成立，求实数 k 的取值范围．
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一、选择题：
高三第一次月考数学试题（理科）答案
CCAD BCCDB C
二、填空题：
13.
êëé0,
3 4
÷ö ø
14.
êëé-
1,
1 2
÷ö ø
15. k=3 16.(-1,2]
a＝0 时，f(x)在(0 ，＋∞)单调递增；在(－∞，0)单调递减．
a<0 时，f(x)在(－∞，1a)，(－a，＋∞)单调递增；在(1a，－a)单调递减．。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
22 解
(1)f′(x)＝－2x＋2x＝－2
(
x
-1)( x
x
+ 1)
(x>0)，
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由
ì í î
A．0
B．0 或－12
C．－14或－12
D．0 或－14
9．已知函数 f(x)＝ln(x＋11)－x，则 y＝f(x)的图象大致为（
）
10.设
f
(x)
=
ìï í ïî
x2，x ≥1， g
x，x < 1，
(
ห้องสมุดไป่ตู้x)
是二次函数，若
f
( g ( x))
的值域是 [0，+ ∞)
，则
g(x)
的值域是（
）
A． (-∞，-1] U[1，+∞) B． (-∞，-1] U[0，+∞) C．[0，+∞) D．[1，+∞)
综上，所求的实数 k 的取值范围为èçæ－∞，－334＋2ln3ûúù∪(1，＋∞)．。。。。。。。。。。。。。。12 分
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1)
.
①当
a＝0
时，f′(x)＝
2x (x2 +1)2
.
所以 f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分
当
a≠0，f′(x)＝
-2a
(x
+ a)(x (x2 +1)2
1 a
)
.
1 ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 x1＝－a，x2＝a，f(x)与 f′(x)的情况如下：
()
A．0
π B. 4
C．1
π D. 2
6．已知函数 f ( x)＝9x－m · 3x＋m＋1 对 x Î (0，＋¥) 的图像恒在 x 轴上方，则 m 的取值范围是
A．2－2 2<m<2＋2 2 B．m<2
C．m<2＋2 2
D．m≥2＋2 2
7．函数 f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1 有两个极值点 x1、x2，且 x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则 f(－1)的取值范围是( )
(1)当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在原点处的切线方程； (2)求 f(x)的单调区间．
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19．(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x)＝－x2＋2lnx .
(1)求函数 f ( x) 的最大值；
(2)若函数 f ( x)
与 g(x)=x+ a 有相同极值点， x
①求实数 a 的值；
,求数列{ 1 bn
}的前n项和。
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17．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若 g(x)＝m 有实根，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．
2ax＋a2－1 18．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ x2＋1 ，其中 a∈R.
三、解答题： 16、解 （第一问 4 分，第二问 8 分 ）(1)方法 一
e2 ∵g(x)＝x＋ x ≥2
e2＝2e，
等号成立的条件是 x＝e.
故 g(x)的值域是[2e，＋∞)． [来源:学科网 ZXXK]
因而只需 m≥2e，则 g(x)＝m 就有实根．
e2 方法二 作出 g(x)＝x＋ x 的图像如图．
A．[－32，3]
B．[32，6]
C．[3,12]
D．[－32，12]
8．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R，都有 f(x＋2)＝f(x)．当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2.
若直线 y＝x＋a 与函数 y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（ ）
13．如图，函数 y＝x2 与 y＝kx(k>0)的图像所围成的阴影部分的面积为92，则 k＝________.
14．函数 f(x)＝3x－x3 在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.在 DABC ，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，
∵g(1e)＝e＋1e，g(1)＝2，g(3)＝3＋13＝130，
而 2<e＋1e<130，∴g(1)<g(1e)<g(3)．
∴∀x2∈ëêé1e，eûúù，g(x2)min＝g(1)＝2，g(x2)max＝g(3)＝130.
当 k－1>0，即 k>1 时，
对于∀x1，x2∈ëêé1e，eûúù，不等式
21.解析
(1)当
a＝1
2x 时，f(x)＝x2＋1，f′(x)＝
-2
(
x -1)(x + (x2 +1)2
1)
。。。。。。。。。。。。2 分
由 f′(0)＝2，得曲线 y＝f(x)在原点 处的切线方程是 2x－y＝0. 。。。。。。。。。。。。。。。。4 分
(2)f′(x)＝
-2
(
x
+ a)(ax (x2 +1)2
f
(x1) - g(x2 ) k -1
≤1 恒成立
⇔k－1≤[f(x1)－g(x2)]min⇔k≤[f(x1)－g(x2)]min＋1.
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10 37 ∵f(x1)－g(x2)≥f(3)－g(3)＝－9＋2ln3－ 3 ＝－ 3 ＋2ln3， ∴k≤－334＋2ln3. 又∵k<1，∴k≤－334＋2ln3.
1
1
∵－9＋2ln3<－e2－2<－1，即 f(3)<f(e)<f(1)，
∴∀x1∈èçæ1e，3ø÷ö， f(x1)min＝f(3)＝－9＋2ln3，f(x1)max＝f(1)＝－1.
1
1
由①知 g(x)＝x＋x，∴g′(x)＝1－x2.
故 g(x)在ëêé1e，1ø÷ö时，g′(x)<0；当 x∈(1,3]时，g′(x)>0. 故 g(x)在ëêé1e，1ø÷ö上为减函数，在(1,3]上为增函数．