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第一部分函数极限连续

函数、极限、

连续

函数极限连续

函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质

函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质

函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点

性性唯一性

函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断

性有界性局部有界性点

收敛数列的函数极限的

保号性局部保号性

数列极限四函数极限与数

则运算法则列极限的关系

极限存在准函数极限四

则则运算法则

夹逼准则两个重要极

限

单调有界准无穷小的比

则较

高阶无穷小

低阶无穷小

同阶无穷小

等价无穷小

历年试题分类统计及考点分布

考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计

运算法则极限准则阶

年份

1987

1988 5 3 8 1989

1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998

1999

2000 5 5 2001

2002

2003 4 4 8 2004 4 4 2005

2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27

本部分常见的题型

1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)

e x

2

, f [ (x)]

1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义

,

域。

解: 由 f (x) e x 2

知 f [ ( x)] e

2

( x)

1

x ,又 (x) 0 ,则 ( x)

ln(1 x), x 0 .

例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)

1, x

1

则 f [ f ( x)]

1

0, x 1

, .

1, x

1,

练习题 : (1)设

f (x)

0, x

1, g ( x)

e x , 求

f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这

1, x 1,

两个函数的图形。

(2)

设

0, x 0, 0, x 0,

求

f ( x)

g( x)

x 2 ,

x, x 0,

, x 0,

f [ f (x)], g[ g( x)], f [

g (x)], g[ f ( x)] .

二、 求数列的极限

方法一 利用收敛数列的常用性质

一般而言 ,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质 1(极限的唯一性 ) 如果数列

x n 收敛 ,那么它的极限唯一。

性质 2(收敛数列的有界性 )如果数列 x n 收敛 ,那么数列 x n 一定有界。

性质 3(收敛数列的保号性 ) 如果

lim x

n

a ,且 a 0(或 a 0 ),那么存在

n

n 0 N

,使得当 n n 0 时,都有 x n 0 (或 x n 0 ).

性质 4(数列极限的四则运算法则 )

如果 lim

x n a,

lim

y

n

b, 那么

n

n

(1)

lim n (x n y n )

a b ;

(2) lim x n ? y

n

a ?

b ;

n

(3)当 y n 0( n N ) 且 b 0 时,

lim x

n

a .

n

y n

b

例 3 若

lim

x n

a

,则

lim

x

n

a .

n

n

注: 例 3 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n

, 显然 lim

x

n

1,

n

但数列 x n

( 1)n 没有极限。

例 4 如果数列 x n 收敛 , 那么数列 x n 一定有界。

注: 例 4 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n , 显然数列 x n 有界 ,

但数列 x n

(

1)n 没有极限。

例 5 设 a n , b n ,

c

n

均为非负数列 , 且

lim

a

n

0,

lim b n

1,lim

c

n

.

n

n

n

下列陈述中哪些是对的 , 哪些是错的 ? 如果是对的 , 说明理由 ; 如果

是错的 , 试给出一个反例。

(1) a n b n , n N ;

(2) b n c n , n N ;

(3) lim n a n c n 不 存在 ;

(4)

lim

b n c

n

不存在 .

n

解:

(1)是错的 , 我们可以令 a n

1 , b n n , 显然 lim a

n

0,

lim b

n

1 ,

n n 1

n

n

但 a 1 1,b 1 1

, 从而 a 1 b 1 .

2

n

1

(2) 是 错 的 , 我 们 可 以 令 b n ,c n

n , 显 然

n 1 3 lim

b n 1,lim

c n

, 但 b 1 1 , c 1 1 , 从而 b 1 c 1 .

n

n

2 3

(3)是错的 , 我们可以令 a n

1 , c n 1 n , 显然

lim a

n

0,

lim c

n

,

n 3

n

n

但

lim n a n c n lim n

1 1 1

( n ? 3 n) 3

.

(4) 是对的 ,

由于

lim n

b n 1

0,

lim n c n

,

则 lim n b n c n

, 即极

限 lim

b n c

n

不存在。

n

注 1: 极限的保序性是说 , “若 lim a n

a ,

lim b

n

b, a b , 则存在 n 0

N

n

n