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陈文灯.高数讲义(打印版)
第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质） 7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 20-==>-x x ax （连续性的概念）三、补充习题（作业）1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim220=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2t e ty y tx x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。
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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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高等数学讲义 第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2． 函数的三种表示方法(1) 图像法(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3． 函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f4． 基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin22+=x y ， （2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
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【最新整理，下载后即可编辑】高等数学教材完整一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数一 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N。
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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第一章 微积分的基本思想——极限（复习）一、基础知识1. 数列的极限（当n →∞时数列的敛散性态）数列{}n x 收敛，则①极限唯一；②数列整体有界；③数列元素局部保号；④子列也收敛于同一极限。
若数列{},{},{}n n n x y z 从某一项开始满足n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则l i m n n x a →∞=（数列的夹逼准则）。
若数列{}n x 单调增加且有上界，或者{}n x 单调减少且有下界，则此数列一定收敛有极限。
（单调有界数列必收敛）。
2．函数的极限（当0 x x x →→∞或时函数的敛散性态）函数0() f x x x x →→∞当（或）收敛于A ，即0lim ()x x f x A →=，则①极限唯一；②函数局部有界；③函数局部保号；④收敛于0x 的任一数列{}n x 构成的函数列{()}n f x 也收敛于同一极限A 。
注意：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==，所以对于分段函数而言有时需要注意讨论左右极限是否存在且相等。
3. 无穷小无穷小的概念（若0lim ()0x x f x →=，则称0()f x x x →是时的无穷小）lim ()(),lim 0.x x x x f x A f x A αα→→=⇔=+=且有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小。
有界函数乘以无穷小是无穷小！ 若0, ()x x x αβ→→∞都是时的无穷小，则lim 0lim lim (0)lim 1lim (0)k C k C ββααββααββααββααββαα⎧⇔=⎪⎪⎪⇔=∞⎪⎪⎪⇔=≠⎨⎪⎪⇔=⎪⎪⎪⇔=≠⎪⎩是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小是的同阶无穷小与等价是的阶无穷小 4. 极限的求法（1）极限的四则运算（注意必须在极限都存在的前提下，且做除法运算时分母极限不为零） （2）无穷小的概念（已知0()f x x x →是时的无穷小，则0lim ()0x x f x →=）（3）无穷小的运算（有界函数乘以无穷小是无穷小，有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小）（4）两个重要极限0sin 1lim1, lim(1)e x x x x x x→→∞=+=可以推广到()()0()sin ()1lim 1, lim (1)e ()()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ→→∞=+=或者10lim(1)e x x x →+= （5）等价无穷小替换乘除法因子： 0x →时的等价无穷小：12sin , arcsin , tan , arctan ,111cos , (1) 1 , ln(1), e 12xn x x x x x x x x xx x x x x xn-+-~+-一定要注意等价无穷小的使用条件（在无穷小的情况下用且只能对乘除法因子使用！） 要学会相应的推广！即当()0x ϕ→时有sin ()(), ln(1())()x x x x ϕϕϕϕ+等。
高等数学教材辅导讲义
高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。
导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。
运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。
微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。
微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。
1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。
定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。
记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。
性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。
1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。
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接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。
常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
变量的表示如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b[a ， b]开区间a＜ x＜ b（a，b）半开区间a＜x≤b或 a≤x＜ b （ a， b] 或 [a ， b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a ，+∞) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(- ∞， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：- ∞＜ x＜ b；(- ∞， +∞) ：表示全体实数，也可记为：- ∞＜ x＜+∞注：其中 - ∞和 +∞，分别读作" 负无穷大 " 和 " 正无穷大 ", 它们不是数 , 仅仅是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞ 0. 满足不等式│x - α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α 称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数函数的定义如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 是 x 的函数。
变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x 叫做自变量， y 叫做因变量。
注：为了表明y 是 x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示. 这里的字母"f" 、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
(完整word版)高等数学讲义(一)
高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
高数辅导讲义117页例10
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【原创实用版】
目录
1.例 10 的题目概述
2.例 10 的解题思路
3.例 10 的详细解答过程
4.例 10 的解题总结
正文
一、例 10 的题目概述
例 10 的题目是：设函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求证：函数在区间 [0,3] 上的最大值为 9。
二、例 10 的解题思路
1.求函数的导数 f"(x) = 3x^2 - 12x + 9
2.令 f"(x) = 0，解得 x = 1 或 x = 3
3.判断函数在区间 [0,3] 的端点和驻点处的函数值
4.比较函数值，得出最大值
三、例 10 的详细解答过程
1.求函数的导数 f"(x) = 3x^2 - 12x + 9
2.令 f"(x) = 0，解得 x = 1 或 x = 3
3.将 x = 0, x = 1, x = 3 代入原函数，得 f(0) = 0, f(1) = 4, f(3) = 9
4.比较函数值，得出最大值为 9，即 f(3) = 9
四、例 10 的解题总结
通过求导数，比较函数值，我们成功求出了函数在区间 [0,3] 上的最大值。
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高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
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（完整版）同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.docx高等数学教案第二章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻 t0的速度考虑比值s s0 f (t) f (t0)t t0t t0这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 t t0 0 取比值 f (t)f (t0 )的极限如果这个极限存在设为 v 即t t0v lim f (t) f (t0)t t0t t0这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N作割线MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x ,y )( y 0f(x )) 处的切线只要000定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线 MN 的斜率为y y0 f ( x) f (x0)tanx0x x0x其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x0如果当x0 时上式的极限存在设为 k即k f (x)f (x0)limx x0x x0存在则此极限 k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0))且以 k为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f ( x) f ( x0)x x0x x0令 x x x0则 y f(x0x) f(x0)f( x) f(x0) x x0相当于 x0 于是lim f ( x) f (x0)x x0x x0成为lim y或 lim f (x0x) f (x0)x0x x0x定义设函数y f(x)在点仍在该邻域内)时相应地函数限存在则称函数 y f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点x0 x y 取得增量 y f( x0x) f(x0)如果 y 与 x 之比当 x0 时的极x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为y |x x0即f ( x ) lim y lim f (x0x) f (x0)x x0xx 0也可记为 y |x x 0dy 或 df (x)x 0dx x x 0dx x函数 f(x)在点 x 处可导有时也说成 f(x) 在点 x具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x 0 ) lim f (x 0 h) f ( x 0 )hh 0f ( x ) lim f (x) f (x 0)x x 0 x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限 limf (x 0x) f (x 0) 不存在就说函数 y f(x)在点 x 0 处不可导x 0x如果不可导的原因是由于lim f (x 0x) f (x 0)x 0x 也往往说函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数为无穷大如果函数 y f(x) 在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间 I 内可导这时对于任一 x I都对应着 f( x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数 y f(x)的导函数记作 yf ( x)dy 或 df (x)dx dx导函数的定义式y limf ( x x) f ( x)limf ( xh) f ( x)xx h 0hf (x )与 f (x)之间的关系函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f(x)就是导函数 f (x)在点 x x 0 处的函数值即f ( x 0 ) f (x) x x 0导函数 f (x)简称导数而 f(x )是 f(x)在 x 处的导数或导数左右导数所列极限存在则定义f( x)在 x 0 的左导数 f ( x 0 ) f (x 0 h) f ( x 0 )limhh 0f( x)在 x 0 的右导数f (x 0 ) f (x 0 h) f (x 0 )lim hh 0如果极限 limf (x 0 h) f ( x 0) 存在则称此极限值为函数在h0 h如果极限 limf (x 0h) f ( x 0)存在则称此极限值为函数在hh导数与左右导数的关系f (x 0) Af (x 0) f (x 0 ) Af (x)在 x 0 处的值x 0 的左导数x 0 的右导数高等数学教案第二章导数与微分2．求导数举例例 1．求函数 f(x) C （C 为常数）的导数解 f ( x) lim f (xh) f ( x) lim CC 0 h 0h h 0h即 (C ) 0例 2 求 f (x)1x 的导数f (x h) f (x)1 1h 解f ( x) lim lim x h xlim h 0 h h 0hh 0 h(x h) x例 3 求 f (x) x 的导数解f (x)f ( x h) f (x)lim x h xlim hhh 0hlimh11x 2 xh 0h( x hx) h 0 x h例 2．求函数 f(x) x n (n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a) lim f (x) f (a)lim x na n lim (x n 1ax n 2xax a x axa x a 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n 1 即 (x n )nx n 1lim11x 2h 0 (x h)xa n 1) na n 1(C) 0 (1 ) 1 ( x) 1(x )x x 22 x 更一般地有 (x )其中为常数例 3．求函数 f(x) sin x 的导数解 f (x)lim f ( x h) f ( x)lim sin( xh 0h h 01 hh lim2 cos(x2) sinhh2x 1h) sin xhlim cos(x h)sin h2 cos xh 02 h2即 (sin x) cos x用类似的方法可求得 (cos x ) sin x例 4．求函数 f(x) a x (a>0 a 1) 的导数解 f (x) limh) f (x) lim a x h a xh 0hh 0ha x lim a h1 令a h 1 t a x lim th 0 htlog a (1 t)a x 1 a x ln alog a e特别地有 (e x ) e x例 5．求函数 f(x) log a x (a>0 a 1) 的导数解 f ( x) limf (x h) f ( x) h 0h lim 1log a (xh ) h 0 hxlim log a ( x h) log a xh 0h1lim x log a (1 h )1lim log a (1 h )h xx hxx h 0x1log a e1x xln a解log a (x h) log a x 1log a (1 h ) f (x) lim hlimxh 0h0 h1lim log a (1 h ) h x 1log a e1x h 0 x xxlna即(log a x)1xln a1 特殊地x(log a x)1(ln x)1xln a x3．单侧导数极限 lim f (x h)f ( x)存在的充分必要条件是h 0hlim f ( x h) f (x)及 lim f (x h) f (x)h 0h h 0h 都存在且相等f( x)在 x 处的左导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f (x)0 h 0 hf( x)在 x 0 处的右导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f ( x)h 0h导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x 0 处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x 0 ) 和右导数 f (x 0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在就说 f(x) 有闭区间 [a, b]上可导例 6．求函数 f(x) x|在 x 0 处的导数(0) lim f (0 h)f (0) lim |h|1h 0hh 0 hf (0) lim f (0 h) f (0) lim |h|1h 0 h h 0 h因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x 0 处的导数 f (x 0)在几何上表示曲线y f(x) 在点 M( x 0, f(x 0 ))处的切线的斜率即f ( x 0) tan其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x 0 处的导数为无穷大这时曲线 y f(x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 x x 0为极限位置即曲线 y f( x)在点 M (x 0, f( x 0))处具有垂直于x 轴的切线 x x 0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x , y )处的切线方程为y y 0 f (x 0)(x x 0)过切点 M(x , y )且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x 0) 0法线的斜率为1 从而法线方程为f ( x 0)y y 01( x x 0 )f (x 0 )例 8 求等边双曲线 1 1y x 在点 (2 , 2) 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解y1所求切线及法线的斜率分别为x2k 1 ( 1 ) x 14k 21 1x 22k 14所求切线方程为 y 24( x 1 ) 即 4x y 42所求法线方程为 y 21(x 1) 即 2x 8y 15 04 2例 9 求曲线 y x x 的通过点 (0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为31f ( x 0 ) (x 2 )3x 2x 03 x 02 x 2于是所求切线的方程可设为3y x 0 x2x 0(x x 0)根据题目要求点 (0 4)在切线上因此4 x 0 x 03x 0(0 x 0 )2解之得 x 0 4 于是所求切线的方程为3y 4 4 4 (x 4) 即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x 0 处可导即 limy (x 0 ) 存在则fxxlimy limy x lim y lim x f (x ) 0 0x 0x 0 x x 0 xx 0这就是说函数 y f(x)在点 x 0 处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7．函数 f (x)3x 在区间 ( , )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大f (0 h) f (0) 3 h 0limhlimhh 0h 0x§2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u u(x)及 vv( x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数并且[u(x) v(x)] u (x) v (x)[u(x) v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) u ( x)v( x) u(x)v (x)v(x)v 2 (x)证明 (1) [ u( x) v(x)] lim [ u( xh) v( x h)] [u(x)v( x)]hhlimu(x h) u( x)v( x h) v(x)u (x) v (x)h 0h h法则 (1) 可简单地表示为(u v) u v(2) [ u(x) v( x)] limu( xh)v(x h) u(x)v(x)h 0hlim 1 [u(x h)v(xh) u(x)v( x h)u( x)v(x h) u(x)v(x)]h 0 hlim u(x h) u( x) v( x h) u(x) v( xh) v( x)h 0 h hlimu(xh) u(x) lim v(x h)u(x) limv(xh) v(x)hh h 0hhu (x)v(x) u(x)v ( x)其中 lim v(x h)v(x) 是由于 v (x)存在故 v( x)在点 x 连续h 0法则 (2) 可简单地表示为(uv) u v uvu(x h) u(x)(3) u( x)limv(xh) v(x) lim u(x h)v(x) u( x)v( x h) v(x) hh h 0 v( x h)v( x)hlim [u(x h)u(x)] v(x) u(x)[v(x h) v(x)] h 0v(x h)v(x)hu(x h) u(x) v(x) u( x)v( xh) v( x) lim hv( x h)v(x)hh 0u (x)v(x) u(x)v (x)v 2( x)法则 (3) 可简单地表示为( u) u v uvvv 2(u v) u v(uv) u v uv ( u)u v uvv v 2定理 1 中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设 u u(x)、 v v(x)、ww(x)均可导则有(u v w) uv w(uvw) [( uv)w] (uv) w (uv) w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)u vw uv w uvw(Cu) Cu例 1． y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 3 5x 23x7) (2x 3) 5x 2) 3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x3 6x 2 10x 3例 2 f (x) x 34cos x sin求 f (x)及 f ()22解32f ( x)(x ) (4 cos x) (sin 2)3x4sin xf () 3242 4例 3． y e x (sin x cos x) 求 y解 ye x ) (sin x cos x) e x (sin x cos x)e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x例 4． y tan x 求 y解 y(tan x)( sin x )cos xcos 2 x sin 2 xcos 2x(sin x) cos xsin x(cos x)cos 2 x1sec 2xcos 2x即(tan x) sec 2x例 5． y sec x 求 y 解y (secx) ( 1)(1) cos x 1 (cos x)cos xcos 2 x 即(sec x) sec x tan xsin x sec x tan xcos 2x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x) csc 2x(csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 I y 内单调、可导且 f (y) 0 那么它的反函数 y f 1( x)在对应区间 I x { x|x f(y) yI y } 内也可导并且[ f 1( x) ] f 1dy1 ( y)或 dxdxdy简要证明由于 x f(y)在 I y 内单调、可导 (从而连续 ) 所以 x f(y)的反函数 y f 1(x)存在且 f 1( x)在 I x 内也单调、连续任取 xI x 给 x 以增量x( x 0 xx I x ) 由 y f 1(x) 的单调性可知11于是y 1x xy因为 y f 1(x)连续故lim y0x 0从而[ f1(x)] lim y lim11x x f(y)x 0y0y上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6．设 x sin y y[2,]为直接函数则 y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在开2区间 (,)内单调、可导且22(sin y)cos y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x ( 11)内有(arcsin x)1111cos y1sin 2 y 1 x2(sin y)类似地有(arccosx)11x2例 7．设 x tan y y(,) 为直接函数则 y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在22区间 (,)内单调、可导且22(tan y) sec2 y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x () 内有(arctan x)1111 (tan y)sec2 y1tan2 y 1 x2类似地有(arccot x)11x2例 8 设 x a y(a 0a1)为直接函数) 内单调、可导且(a y) a y ln a0因此由反函数的求导法则在对应区间(log a x)111(a y) a y ln a xln a则 y log a x 是它的反函数函数x a y在区间I y(I x (0)内有杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、 e x3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3如果 u g( x)在点 x 可导函数 y f(u)在点 u g(x)可导则复合函数y f[g(x)] 在点 x 可导且其导数为dy dy dy dudx f (u) g ( x) 或dx du dx证明当 u g(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f[(x)] 也是常数此时导数为零结论自然成立当 u g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有y f [ g(x x)] f [g (x)] f [ g( x x)] f [ g( x)]g(x x)g(x)x x g (x x)g(x)xf (u u) f (u)g( x x) g( x)u xdy lim y lim f (u u) f (u)lim g (x x)g (x) = f( u) g (x )dx x0x u0u x 0x简要证明dy lim y lim y u lim y lim u f (u)g (x)dx x 0 x x 0 ux u 0 u x 0 x例9 y e x3求dydx解函数 y e x3可看作是由 y e u u x3复合而成的因此dy dy du u3x 22x3dx du dx e3x e例 10y sin2x dy 1 x2求dx解函数y sin2x是由 y sin uu2x复合而成的1x2 1 x2因此dy dydu cosu2(1x2 )(2x)22(1x2)2x2 dx du(12)222 cosdx x(1 x ) 1 x 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量dy例 11． lnsin x 求dx(ln sin x)1(sin x)1cosx cot x解sin xdx sin x例 12． y31 2x2求 dydxdy 12解[(1 2x 2 )3 ]1(1 2x 2) 3(12x 2)4xdx3 33 (1 2x 2) 2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u)u (v) v (x)则dy dy du dy du dvdx du dx du dv dxdy 例 13． y lncos(e ) 求 dx dy x 1x 解dx [ln cos(e )]cos(e x ) [cos(e )]1xxxxcos(e x ) [ sin(e )] (e ) e tan(e ) sin 1 dy例 14． y e x 求dx1)cos1(1)解dy(ex )e x(sinexsin 1sin 1sin 1dxx x x1 sin 1cos 1e xx 2 x 例 15 设 x 0 证明幂函数的导数公式(x )x1解因为 x(e ln x ) eln x 所以(x ) (e ln x) e ln x( ln x) eln xx 1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C) 0 (2)(x )x 1(3)(sin x) cos x (4)(cos x) sin x (5)(tan x) sec 2 x(6)(cot x) csc 2x(7)(sec x) sec x tan x(8)(csc x) csc x cot x (9)(a x ) a x ln a (10)( e x )e x(11) (log a x)1x ln a (12) (ln x)1(13) (arcsin x)1 1 x2(14) (arccos x) 11 x 2(15) (arctan x)1 1 x2(16) (arccot x)11 x 22．函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x) v v(x)都可导则 (1)(u v) u v (2)(C u) C u (3)(u v) u v u v (4) ( u )u vuvvv 23．反函数的求导法则设 x f(y)在区间 I y 内单调、可导且f (y) 0 则它的反函数 y f 1(x)在 I x f(I y )内也可导并且[ f1( x) ]1 或 dy 1f ( y)dxdxdy4．复合函数的求导法则设 y f(x)而 u g(x)且 f(u)及 g(x)都可导则复合函数 y f[g(x)] 的导数为dy dy du或 y (x) f (u) g (x)dxdu dx例 16 求双曲正弦 sh x 的导数 . 解因为sh x1x e x) 所以2 (e(sh x)1(e xe x) 1 (e x e x ) ch x22即 (sh x) ch x类似地有(ch x) sh x例 17 求双曲正切 th x 的导数解因为 th xsh x 所以ch x(th x) ch 2 x sh 2 x1ch 2xch 2x解因为 arsh x ln( x1x2 )所以(arsh x)1(1x)1x11x2x2 1 x2由 arch x ln( x x21) 可得 (arch x)1 x2 1由 arth x 1ln1x可得 (arth x)1 21x 1 x2类似地可得 (arch x)1(arth x)1 x211x2例 19． y sin nx sin n x (n 为常数 )求 y解 y (sin nx)sin n x + sin nx(sin n x)ncos nx sin n x+sin nx n sin n1x (sin x )ncos nx sin n x+n sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x §2. 3高阶导数一般地函数 y f(x)的导数 y f(x) 仍然是 x 的函数我们把 y f (x)的导数叫做函数 y f(x)的二阶导数记作y 、 f (x) 或d 2 y dx2即y (y ) f(x) [f(x)] d 2 y d( dy )dx2dx dx相应地把 y f(x)的导数 f (x)叫做函数 y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy (4)nd 3 y d 4 y d n y y ( )或dx 3dx 4dx n函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数 f(x)为 n 阶可导如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数 y y y (4)y (n)都称为高阶导数例 1． y ax b 求 y 解 y a y 0例 2． s sin t 求 s解 scost s 2sin t例 3．证明函数 y2x x 2 满足关系式 y 3y 1 0证明因为 y2 2x 1 x2 2x x22x x 22x x 2(1 x) 2 2 xx2x)22x x 22x (1 11y22 x x 2(2x x 2 ) (2 x x 2)3y 3(2x x 2) 2所以 y 3y1 0例 4．求函数 y e x的 n 阶导数解 y e x y e x y e x y ( 4) e x一般地可得y ( n) e x即(e x )(n) e x例 5．求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数解 y sin x y cos x sin( x 2)ycos(x) sin( x2) sin( x 2 )222 ycos(x2 ) sin( x 22) sin(x 3 )22 2y (4) cos(x 3) sin(x 4 )22一般地可得y (n) sin( x n) 即 (sin x)(n) sin(x n)22用类似方法可得 (cos x)(n) cos(x n)例 6．求对函数ln(1 x)的 n阶导数解y ln(1x)y(1x) 1y(1x)2y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x) 4一般地可得(n 1)!y(n)(1)(2)(n1)(1x) n( 1)n 1(1x)n即[ln(1x)] (n)(1) n 1 (n 1)!(1x)n例 6．求幂函数 y x ( 是任意常数 )的 n 阶导数公式解 y x1y(1)x2y(1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x4一般地可得y (n)(1)(2)(n1)x n即(x )(n)(1)(2)(n 1)x n当n 时得到n(n)(x )( 1)( 2) 3 2 1 n!而(x n)( n 1) 0如果函数u u(x)及v v(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x) v(x)也在点 x 处具有 n阶导数且(u v) (n) u(n) v(n)(uv)u v uv(uv)u v2u v uv(uv)u v 3u v3u v uv用数学归纳法可以证明n(uv)(n)C n k u(n k)v(k)k0这一公式称为莱布尼茨公式2 2x(20)例 8． y x e求 y解设 u e2 x v x2则(u)(k)2k e2x (k1, 2,, 20)v 2x v 2 (v)(k)0 (k 3, 4,, 20)代入莱布尼茨公式得y (20)(u v)(20)u(20)v C 201u(19) v C 202u(18)v220e2x x2 20 219e2x 2x20 19218e2 x 22!220e2x(x220x95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如 y f(x) 的函数称为显函数例如 y sin x y ln x +e x隐函数由方程 F(x y) 0所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y y 3 1 x如果在方程F(x y) 0 中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在那么就说方程F(x y) 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1．求由方程 e y xye 0 所确定的隐函数 y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y ) (xy) (e) (0) 即 e y y y xy从而yy yx e y(x e0)例 2．求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数 y f (x)在x 0 处的导数 y |x 0解把方程两边分别对 x 求导数得5y y 2y 1 21x 6 0由此得y1 21x 65 y 42因为当 x 0 时从原方程得 y 0 所以y |x 0 1 21x 6 |x 015y 4 2 2例 3求椭圆 x2y 21 在 (2, 33) 处的切线方程16 9 2 解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得x2y y 08 9从而y9 x16y当 x 2 时y3 3 代入上式得所求切线的斜率2k y |x 234所求的切线方程为y 3 33 ( x 2) 即 3x4 y 8 3 02 4解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得 x 2 y y 0 89将 x 2y3 3代入上式得211 y 043于是k y |x3 24所求的切线方程为y333( x 2) 即 3x 4 y 8 3 024例 4．求由方程x y 12sin y 0所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得1dy1cos y dy0dx2dx于是dy2dx 2 cos y上式两边再对x 求导得d 2 y 2sin ydy4sin ydxdx2(2cos y)2(2 cos y)3对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出 y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对 x 求导得1 y[ln f (x)]yy f( x) [ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数 y [u(x)] v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求 y x sin x (x>0) 的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得1y cos x ln x sin x1y x于是y y(cos x ln x sin x 1 ) xx sin x(cos x ln x sin x)x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求。
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高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
(2)设0, x 0, 0, x 0,求f ( x)g( x)x 2 ,x, x 0,, x 0,f [ f (x)], g[ g( x)], f [g (x)], g[ f ( x)] .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言 ,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质 1(极限的唯一性 ) 如果数列x n 收敛 ,那么它的极限唯一。
性质 2(收敛数列的有界性 )如果数列 x n 收敛 ,那么数列 x n 一定有界。
性质 3(收敛数列的保号性 ) 如果lim xna ,且 a 0(或 a 0 ),那么存在nn 0 N,使得当 n n 0 时,都有 x n 0 (或 x n 0 ).性质 4(数列极限的四则运算法则 )如果 limx n a,limynb, 那么nn(1)lim n (x n y n )a b ;(2) lim x n ? yna ?b ;n(3)当 y n 0( n N ) 且 b 0 时,lim xna .ny nb例 3 若limx na,则limxna .nn注: 例 3 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n, 显然 limxn1,n但数列 x n( 1)n 没有极限。
例 4 如果数列 x n 收敛 , 那么数列 x n 一定有界。
注: 例 4 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n , 显然数列 x n 有界 ,但数列 x n(1)n 没有极限。
例 5 设 a n , b n ,cn均为非负数列 , 且liman0,lim b n1,limcn.nnn下列陈述中哪些是对的 , 哪些是错的 ? 如果是对的 , 说明理由 ; 如果是错的 , 试给出一个反例。
(1) a n b n , n N ;(2) b n c n , n N ;(3) lim n a n c n 不 存在 ;(4)limb n cn不存在 .n解:(1)是错的 , 我们可以令 a n1 , b n n , 显然 lim an0,lim bn1 ,n n 1nn但 a 1 1,b 1 1, 从而 a 1 b 1 .2n1(2) 是 错 的 , 我 们 可 以 令 b n ,c nn , 显 然n 1 3 limb n 1,limc n, 但 b 1 1 , c 1 1 , 从而 b 1 c 1 .nn2 3(3)是错的 , 我们可以令 a n1 , c n 1 n , 显然lim an0,lim cn,n 3nn但lim n a n c n lim n1 1 1( n ? 3 n) 3.(4) 是对的 ,由于lim nb n 10,lim n c n,则 lim n b n c n, 即极限 limb n cn不存在。
n注 1: 极限的保序性是说 , “若 lim a na ,lim bnb, a b , 则存在 n 0Nnn使得当 n n0时有 a n b n.”,而不是对任意的 n N 有 a n b n.注 2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论 :若lim a n a0,lim b n , 则lim a n b n .n n n练习题 : 设数列 x n与 y n满足lim x n y n0,则下列断言正确的是( )n(A)若(B)若(C)若x nx nx n发散 , 则无界 , 则有界 , 则y n必发散.y n必无界.y n必为无穷小.(D)若1x n为无穷小 , 则y n必为无穷小 .方法二利用一些常用的结论(1) 设数列x n 有界 , 又lim y n0 , 则lim x n y nn n0, q 1(2) lim n q n1),limnn1 . 0( q q 1, q, q 1(3)10) . lim a n 1(an例 6 lim 1cosn0 .n n 2练习题 : (1) lim(n n2 1 1)sin n _______.n 2(2) lim(n n 1)sin n __________.n 2例 71lim (a n b n c n) n max a, b, c (a 0, b 0, c n解:1 1由于 max a,b, c (a n b n c n) n 3n max a,b, c0.0).1,故lim(a n b n c n ) nnmax a, b, c .练习题 : 已知 a 1 10,......, a m, 求极限 lim(a1n...... a m n ) n .n1 x2 nx, x 1例 81 . lim n 1 x2 nx0, xx, x 11x 2 n解:当 x1时lim 1 x 2 nx x;n1 x 2n当x 1时lim n 1 x 2nx 0;1 x 2n11当 x 1时 lim lim x 2nx .2n xx1 xnn11x 2n1 x 2nx, x 1 故 limx 0, x 1 .1x 2n nx, x 1练习题 :lim 1 x________.1 2 nnx方法三 利用 Heine 定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限Heine定理 :lim xx f ( x) A 的充分必要条件是 : 对于任意满足条件limxnx 0 且 x n x 0 (n N ) 的数列 x n, 相应的函数值数列 f ( x n ) 成立nlimf (x n)A.n1例 9 设数列 x n 满足 x n0(n N)且 limxn0 , 计算lim(sin x n) x n2.nnx n解: 我们考虑函数极限1sin x x 2lim x0 ( x)ln(sin x) ln(1sin x1)sin x 1 sin x x cos x 1xxxlim ex 2limex2lim e x 2lim e x 3lim e 3 x 2x 0x 0x 0x 0x 0sin x1lim e 6 xe 6x 01从而lim(sin x n) x n 2nx n练习题 : 设数列1 1lim(sin x) x 2e 6 .xx1x n 满足 x n0(n N )且 limxn0 ,计算lim[ln(1 x n )] x n .nnx n方法四 利用夹逼准则例 10 计算limn( 11 ......1) .n 2n 2 2 n 2nn解: 由于n 2n( 11......1 )n 2, 故2n2n 22n 2n2nnnlimn( 11......1) 1 .2 n 22n 2nnn练习题 : (1) 计算lim(11......1) . n 21 n 22 n 2nn (2)计算 lim( 12......n ) .2 n1 2n 2n 2nnnnn(3)计算 lim(1 11 ...... 1 ) n 1 .n2 3 n(4)计算lim(11......1) .1n2nnnn方法五 利用单调有界准则适用题型 : (1) 由递推关系 x n 1 f ( x n ) 定义的数列 x n 极限问题 , 一般先 用单调有界准则证明极限存在 , 然后等式两边取极限求出极限。
(2)有些题目直接给出了数列x n 的通项公式 , 要求我们证 明数列 x n 的极限存在 , 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存在。
例 11 (1996, 6分) 设 x 1 10, x n 1 6x n (nN ) , 试证数列 x n 极限存在 ,并求此极限。
证明 : 先证明数列 x n 是单调减少的。
由于 x n 1 x n6 x n x n(3 x n )(2 x n )n N ) , 所以数列 x n是单6 x n0(x n调减少的。
注意到 0 x n x 1 ( n N ) , 于是数列 x n 有界 , 故数列 x n 极限存在。
设 limx n a , 等式 x n 1 6 x n 两边取极限 得 a6 a , 即 a 3 或 na 2 , 又 0 ax 1 10 ,所以 a 3 , 亦即 limx n3.n练习题 : (1)证明数列 2, 22, 222 ,...... 的极限存在 , 并求此极限。
(2) 设 x 12, x n 12x n ( n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求此极限。
(3) 设 x 1 1, x n 14 3x n (n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求此极限。
(4) 设 0x 1 1, x n 1 x n (2 x n )(n N ) , 试证数列 x n 极限存在 ,并求此极限。