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人教版八年级上册数学 全册全套试卷培优测试卷

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人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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人教版八年级上册数学 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD ，在△ACF 和△ABD 中，∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)，∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF ⊥BD ；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.2．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=82，BC=16．（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．【答案】（1）4；（2）8【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=12BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF，即可得出BE+CD=8．【详解】解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，又∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，∴∠B=∠PFB ，∴BP=PF ， ∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，∴△PFD ≌△QCD ，∴DF=CD=12CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=12BC=8， ∴CD=12CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．如图②，点P 在线段AB 上，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，∵PE ⊥BF∴BE=12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．3．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB=，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD和△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(2)结论：DE=BE-AD．∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB=，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD和△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．4．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证:△DEF是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.5．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度（2）若2ACB B ∠=∠，①求证：2AB CF =②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD= （用含 ,a b 的式子表示）【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b a b-【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∵CE 为三角形的角平分线，∴1282ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．故答案为：34；（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ，H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ；②在AHF △和DCF 中，H DCF HF CF AFH DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+∵ //AH BC∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-． 故答案为：2b a b -． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．7．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .（1）若10AC =，求HI 的长度；（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.【答案】（1）HI =5；(2)见解析.【解析】【分析】（1）作FP∥BC交AB于点P，证明APF∆是等边三角形得到AH=PH，再证明PFI BGI∆≅∆得到PI=BI，于是可得HI =12AB，即可求解；（2）延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，就可以得出BE=BQ，得出△BEQ是等边三角形，就可以得出BE=QE，得出△BCE≌△QDE就可以得出结论．【详解】解：如图1，作FP∥BC交AB于点P，∵ABC∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB⊥，∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI∆和BGI∆中，PIF BIGPFI BGIPF BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFI BGI∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB,∴HI=PI+PH =12AB=1102⨯=5；(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=60°．∵AE=BD ，DQ=AB ，∴AE+AB=BD+DQ ，∴BE=BQ ．∵∠B=60°，∴△BEQ 为等边三角形，∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ．∵DQ=AB ，∴BC=DQ ．∴在△BCE 和△QDE 中，BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△QDE （SAS ），∴EC=ED ．∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.8．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E点．（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．【详解】（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．故答案为：25，115；（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；（3）根据等腰直角三角形的性质计算．【详解】解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，B CBAP CPDAB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DPA＝∠DPE＝90°，在△DPA和△DPE中，ADP EDPDP DPDPA DPE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．在△APB和△EPC中，ABP ECPAPB EPCPA PE∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB＝PC；（3）∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB＝45°，∴BP＝AB＝1cm，∴PC＝BC﹣BP＝4cm，∴CD＝CP＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．【详解】解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得b2+4b+c2−6c+13=0，∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.12．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是 .(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n+【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]⋯=22003(1) (1)(1)(1)(1)xx x x x+++++个=（1+x）2005，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝pq．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝3162=．请解答下列问题：(1)计算：F （24）；(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝1n ． 【答案】(1)23；(2) 1n . 【解析】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可. 详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n . 点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．14．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，∴321是“和数”，2232-1=，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知103817m b c =++（0714b c ≤≤≤≤，，且,b c 均为整数）是一个“和数”，请求出所有m ．【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）880m =或853或826.【解析】【分析】（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；（2）设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ，个位数字为z ，根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=（y+z ）（y-z ），由x+y+z=（y+z ）（y-z ）+y+z=（y+z ）（y-z+1）及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．【详解】（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.（2）设：“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z（19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数），由题意知，()()22x y z y z y z =-=+-， ∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+，z∵y z +与y z -奇偶性相同，∴y z +与1y z -+必一奇一偶，∴()()1y z y z +-+必是偶数，∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）∵07b ≤≤，∴229b ≤+≤，∵14c ≤≤，∴3312c ≤≤，∴103719c ≤+≤，∴817103m b c =++，()()810011037b c =⨯++⨯++()()81002103710b c =⨯++⨯++-()()810021033b c =⨯++⨯+-，∵m 为和数，∴8233b c =++-，即39b c +=，∴61b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩或03b c =⎧⎨=⎩， ∴880m =或853或826.【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．15．由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)．(1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1.【解析】【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．【详解】(1)原式=(x+2)(x ＋4)；(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知：12x M +=，21x N x =+． （1）当x ＞0时，判断M N -与0的关系，并说明理由；（2）设2y N M=+． ①当3y =时，求x 的值； ②若x 是整数，求y 的正整数值．【答案】（1）见解析；（2）①1；②4或3或1【解析】【分析】（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可；（2）①把M 、N 代入整理得到y ，解分式方程即可；②把y 变形为：221y x =++，由于x 为整数，y 为整数，则1x +可以取±1，±2，然后一一检验即可．【详解】（1）当0x >时，M －N ≥0．理由如下： M －N =()()21122121x x x x x -+-=++ ． ∵x ＞0，∴(x -1)2≥0，2(x +1)>0，∴()()21021x x -≥+，∴M -N ≥0． （2）依题意，得：4224111x x y x x x +=+=+++． ①当3y =，即2431x x +=+时，解得：1x =．经检验，1x =是原分式方程的解，∴当y =3时，x 的值是1．②2422222111x x y x x x +++===++++ ． ∵x y ，是整数，∴21x +是整数，∴1x +可以取±1，±2． 当x +1=1，即0x =时，22401y =+=> ； 当x +1=﹣1时，即2x =-时，2201y =-=（舍去）； 当x +1=2时，即1x =时，22302y =+=> ； 当x +1=－2时，即3x =-时，22102y =+=>-（） ； 综上所述：当x 为整数时，y 的正整数值是4或3或1．【点睛】 本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x +1的取值是解答（2）②的关键．17．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】 （1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+-- =(1)6(1)91x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+ =2(2)(2)132x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．18．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？【答案】 返回时的平均速度是80千米/小时.【解析】分析：根据题意，设去时的平均速度是x 千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.详解：设去时的平均速度是x 千米/小时.由题：90120181.660x x =+ 解得：50x = 检验：50x =是原方程的解.并且，当50x =时，1.680x =，符合题意.答：返回时的平均速度是80千米/小时.点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.19．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-()434(1)1134.111x x x x x --+==+--- 又∵代数式431x x --的值为整数， 11x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-2x ∴=或 0.20．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）共有四种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x ）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具（48﹣y ）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x ）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具（48﹣y ）件，，解得20≤y ＜24．因为y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y 取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得110（133-x）+x=70，求出x的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，。

人教版八年级数学上册 期末试卷培优测试卷

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人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12．（1）求m 和n 的值．（2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ．（3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值．【答案】（1）42m n =-⎧⎨=⎩（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化．【解析】【分析】（1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证；（3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明△ABH ≌△CAN ，即可得到结论.【详解】解：（1）由题意()()218122m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩； （2）如图2中，由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），∴AD＝OA ＝4，OB ＝2，∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25，∵AC ＝OC ＝2，∴AC ＝OB ，∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ，∴△DAC ≌△AOB （SAS ），∴∠ADC ＝∠BAO ，∵∠ADC +∠ACD ＝90°，∴∠EAC +∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ，∴S △ADB ＝12•AB •AE ＝12•BD •AF ， ∵AB ＝BD ，∴DE ＝AF ．（3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，∵AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∵G 为射线AD 上的一点，∴AG ∥y 轴，∴∠GAB ＝∠ABC ，∴∠ACB ＝∠EBA ，∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ，即∠ABG ＝∠ACN ，∵∠GAN ＝∠GBO ，∴∠AGB ＝∠ANC ，在△ABG 与△ACN 中，ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ），∴BF ＝CN ，∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，∵OB＝2∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．【点睛】本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE CGA BOG AF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE BGEBF GBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.3．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．【详解】（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．又 BA=CA，AD=AE，∴△ABD≌△ACE （SAS）∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．故答案为垂直，相等；②都成立，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB与△EAC中，AD AEBAD CAEAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△DAB≌△EAC，∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAE中，AC AGDAG EACAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．4．已知4AB cm=，3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()t s．（1）如图①，AC AB⊥，BD AB⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t=时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB⊥，BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC 与PQ 垂直；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP 和△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）．∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩， 解得11t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BQP ，则AC=BQ ，AP=BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．5．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()6,0、()0,6，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM ON=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO=∠∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：如图1中，连接OP．∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P为AB的中点，∴OP=12AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中，ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD＝CD，即AD＝12BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于12BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝12BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ∆中，90BAC ︒∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和CE 之间的数量关系为_________________．（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ∆中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆与ACF ∆均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．【答案】（1）DE=CE+BD ；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF 为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而根据AAS 证明△ABD 与△CAE 全等，然后进一步求解即可；（2）根据BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD ，在△ADB 与△CEA 中，根据AAS 证明二者全等从而得出AE=BD ，AD=CE ，然后进一步证明即可；（3）结合之前的结论可得△ADB 与△CEA 全等，从而得出BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF 与△EAF 全等，在此基础上进一步证明求解即可.【详解】（1）∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠ABD ，在△ABD 与△CAE 中，∵∠ABD=∠CAE ，∠BDA=∠AEC ，AB=AC ，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，故答案为：DE=CE+BD；（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：∠=∠=∠=，∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE，即：DE=CE+BD，∆为等边三角形，理由如下：（3）DEF由（2）可知：△ADB≌△CEA，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF与△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF与△EAF中，∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

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人教版八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG是等边三角形，∴GF=EF=BE=12 BC，∵AD=AF+FG+GD，∴AD=AB+CD+12 BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP 和△CBP 中， 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA=PC ，∠BAP=∠DCP ，∵PA=PE ，∴PC=PE ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°， 在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()6,0、()0,6，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM ON=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO=∠∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析【分析】（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点，∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ∆中，90BAC ︒∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和CE 之间的数量关系为_________________．（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ∆中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆与ACF ∆均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．【答案】（1）DE=CE+BD ；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF 为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而根据AAS 证明△ABD 与△CAE 全等，然后进一步求解即可；（2）根据BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD ，在△ADB 与△CEA 中，根据AAS 证明二者全等从而得出AE=BD ，AD=CE ，然后进一步证明即可；（3）结合之前的结论可得△ADB 与△CEA 全等，从而得出BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF 与△EAF 全等，在此基础上进一步证明求解即可.（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ABD与△CAE中，∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，故答案为：DE=CE+BD；（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：∠=∠=∠=，∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE，即：DE=CE+BD，∆为等边三角形，理由如下：（3）DEF由（2）可知：△ADB≌△CEA，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF与△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF与△EAF中，∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．（1）如图①，若35B C ∠=∠=︒，80BAD ∠=︒，求CDE ∠的度数；（2）如图②，若75ABC ACB ∠=∠=︒，18CDE ∠=︒，求BAD ∠的度数；（3）当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】(1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y x ay x aβ⎧=+⎨=-+⎩①②，①-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α∴y x ay a xβ⎧=+⎨+=+⎩①②，②-①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y a xx y aβ︒︒⎧-++=⎨++=⎩①②，②-①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨论分析问题是关键．7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图，在ABC∆中，CE为三角形的角平分线，AD CE⊥于点F交BC于点D （1）若9628BAC B︒︒∠=∠=，，直接写出BAD∠=度（2）若2ACB B∠=∠，①求证：2AB CF=②若,CF a EF b==，直接写出BDCD=（用含,a b的式子表示）【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b a b- 【解析】【分析】 （1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∵CE 为三角形的角平分线，∴1282ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．故答案为：34；（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ，H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ；②在AHF △和DCF 中，H DCF HF CFAFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+∵ //AH BC ∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-． 故答案为：2b a b -． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．9．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒． 【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =-解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB∠=∠，∵AB BC AC==，∴ACB∆是等边三角形，∴C B∠=∠，在ACM∆和ABN∆中，∵AC ABC BAMC ANB=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM∆≌ABN∆（AAS），∴CM BN=，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN∆是等腰三角形，∴10CM y=-，302NB y=-，CM NB=，10302y y-=-解得：403y=，故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN∆，此时M、N 运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.10．如图，在ABC中，已知AB AC=，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值．【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =．（3） 245. 【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.【详解】解：（1）AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，AD 是 BC 边上的中线， 90ADB ∴∠=，37BAD ∠=，903753ABC ∴∠=-=，53ACB ∴∠=．（2）CE AB ⊥， 1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅， 6BC =，4=AD ，5AB =， 245CE ∴=． （3） 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x ，y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；（3）大 小【解析】【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；【详解】（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++（2）22()()4x y x y xy +=-+（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．12．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，∴x ﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy 的值是9．（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，∴6≤c ＜11，∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c 的值是8．13．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；【答案】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848【解析】【分析】（1）根据和平数的定义，即可得到结论；（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd，badc（a，b，c，d分别取0，1，2， (9)a≠0，b≠0），于是得到abcd badc+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．（3）设这个“和平数”为abcd，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；【详解】解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，故答案为：1001，9999；（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd，badc（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；abcd badc即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．（3）设这个“和平数”为abcd，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，∴2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，可知c+1=6k且a+b=c+d，∴c=5则b=7，②当a=4，d=8时，2（c+2）=12k，可知c+2=6k且a+b=c+d，∴c=4则b=8，综上所述，这个数为：2754和4848．【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．14．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++-＝(8)(3)x x ++ 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．【答案】（1）2(4)17x +- ；（2）(5)(8)x x +-；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案． 试题解析：解：（1）281x x +-=2228441x x ++--=2(4)17x +-（2）2340x x -- =222333()()40222x x -+-- =23169()24x --=313313()()2222x x -+-- =(5)(8)x x +- （3）证明：222416x y x y +--+=22214411x x y y -++-++=22(1)(2)11x y -+-+∵2(1)x -≥0，2(2)y -≥0，∴22(1)(2)110x y -+-+>．∴x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总是正数．点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2配方是解题关键．15．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21- 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值． 【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知：方程﹣=﹣的解是x =，方程﹣=﹣的解是x =，试猜想：（1）方程+=+的解； （2）方程﹣=﹣的解（a 、b 、c 、d 表示不同的数）．【答案】（1）x =4；（2）x =． 【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x =15﹣8，解得：x =，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]； 解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：， 解得：x =， 这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差． （1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8， 分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x ==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =．17．阅读下面材料并解答问题材料：将分式322231x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -+，可设()322231()x x x x x a b --++=-+++，则323223x x x x ax x a b --++=--+++∵对任意x 上述等式均成立，∴2a =且3a b +=，∴2a =，1b =∴()2322221(2)12312111x x x x x x x x x -+++--++==++-+-+-+这样，分式322231x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答：（1）将分式371x x +-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出422681x x x --+-+的最小值． 【答案】（1）3+101x -；（2）8 【解析】【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；（2）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ，按照题意，求出a 和b 的值，即可把分式422681x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【详解】解：（1）371x x +-=33101x x -+- =()31101x x -+- =3+101x -； （2）由分母为21x -+，可设4268x x --+()()221x x a b =-+++，则4268x x --+ ()()221x x a b =-+++422x ax x a b =--+++ 42(1)()x a x a b =---++．∵对于任意的x ，上述等式均成立，∴168a a b -=⎧⎨+=⎩解得71a b =⎧⎨=⎩ ∴422681x x x --+-+ ()()2221711x x x -+++=-+()()222217111x x x x -++=+-+-+ 22171x x =++-+． ∴当x=0时，22171x x ++-+取得最小值8，即 422681x x x --+-+的最小值是8． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．18．已知分式A=2344(1)11a a a a a -++-÷--. (1) 化简这个分式；(2) 当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和.【答案】（1）22a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11.【解析】分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除.详解： （1）A =2344111a a a a a -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭=()()()2113211a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：()()()()()()()()21522512212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ . ∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()1221A B a a -=-+＞0，即A ＞B (3) 24122a A a a +==+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6， 又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 ,即：符合条件的所有a 值的和为11.点睛：比较大小的方法：（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1a b>，则a ＜b ．19．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1133()144x xx x -++=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．20．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级【解析】【试题分析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程，有：2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：132********⨯+⨯=(级).【试题解析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有 2727,21818.s x y s xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ① 把方程组①中的两式相除,得327418s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有 ()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：13272541986⨯+⨯=(级).五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.① ②（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）10,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥ 【解析】【分析】(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案.【详解】(1)设OB=a ，则OC=4a ，∴BC=3a ，由题意得，134202a ⨯⨯=， 解得：a=103，。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

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人教版数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角.（1）如图2，在△ABC 中，∠B>∠C ，若经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C 的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。

【答案】B 2C ∠∠= 140°、120°或80°【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ，∠AA 1B 1=∠B ，由三角形外角性质可得∠AA 1B 1=2∠C ，根据等量代换可得∠B=2∠C ；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角时，∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C ，进而可得经过n 次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n ∠C ，因为最小角是20º，是△ABC 的好角，根据好角定义，设另两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果．【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1，∠A 1B 1B 2=∠C ，∵∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C ，∴∠B=2∠C故答案为：∠B=2∠C（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA 1B 1，∠C=∠A 2B 2C ，∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°， 根据三角形ABC 的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C ；∴当∠B=2∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角；当∠B=3∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B=n ∠C ；∵最小角为20°，∴设另两个角为20m°和20mn°，∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，∵m 、n 为整数，∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°，∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角.故答案为：140°、120°或80°【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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人教版数学八年级上册全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°∵BM ⊥AE∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.2．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=︒．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可；（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD=BD ，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE 和△ADF 中，∠1=∠B ，AD=BD,∠2=∠4，∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴ΔDEF 为等腰直角三角形.（2）由（1）可知DE=DF ，∠C=∠6=45°，又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴△ADE ≌△CDF ，∴S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，∴ S ∆ABC =2 S 四边形AEDF ,∴S 四边形AEDF =3.5 .（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ⊥BC,AD=BD ，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE ，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．()1当点E在线段AD上时，①若点E与点A重合时，请说明线段BF DC=；②如图2，若点E不与点A重合，请说明BF DC AE=+；()2当点E在线段DA的延长线上()DE DB>时，用等式表示线段,,AE BF CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD【解析】【分析】（1）①根据等边对等角，求到B C∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC∠=∠=︒，推出ABF ACD∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC 于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒，且E与A重合，ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，BF CD BF BG GF AE∴+=+===-．故BF AE CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（1）如图（a）所示点D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b）所示当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c）所示，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF'，连接AF、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．5．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A ＝40°，则∠ABX+∠ACX ＝ °．②如图（3），DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝40°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ，理由见解析；（2）①50；②∠DCE ＝85°．【解析】【分析】（1）首先连接AD 并延长至点F ，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.【详解】（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝12∠ADB，∠AEC＝12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中，AB=AC，∠BAM=∠CAM，AM=AM，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC.（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，∴MD=ME.在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF.∵CE∥BD，∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中，CM=MG，∠CMF=∠GMB，MF=MB，∴△FCM≌△BGM（SAS）.∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，CF=BG，∠FCB=∠GBC，CB=BC，∴△CFB≌△BGC（SAS）.∴BF=CG.∴MC=12CG=12BF=MB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．7．如图，在ABC△中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE交AC于点F，求证：AF EF=．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD到点G，使得AD DG=，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG=，连接BG．∵AD是BC边上的中线，∴DC DB=．在ADC和GDB△中，AD DGADC GDBDC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等），∴ADC≌GDB△（SAS）．∴CAD G∠=∠，BG AC=．又BE AC=，∴BE BG=．∴BED G∠=∠．∵BED AEF∠=∠∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠∴AF EF =．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.8．（1）已知△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y ，∠C ＝x ，过点B 的直线交边AC 于点D.在△DBC 中，①若∠C 是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x ，∠A ＝180°－x －y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．9．再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22AC BC+=2212+=5．故答案为5．（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD=5．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=5﹣1．∵BC=2，∴CDBC=512-，∴矩形BCDE是黄金矩形．∵MNDN=15+=51-，∴矩形MNDE是黄金矩形．（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．长GH51，宽HE=35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．10．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.（1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°，∴∠A 为顶角，∠B 为底角，∴∠B =1801002-=40°； 变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，∴当AB=BC 时，∠B =90° ，当AB=AC 时， ∠B =67.5° ，当BC=AC 时 ∠B =45° ；（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数，综上所述：90°≤x ＜180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，则x y -=______； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值.【答案】（1）22()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3【解析】【分析】（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.（2）由（1）的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可.（3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解.【详解】解：（1）由题可得，大正方形的面积2()a b =+，大正方形的面积2()4a b ab =-+，∴22()()4a b a b ab +=-+，（2）∵22()()4x y x y xy +=-+， ∴229()()4254164x y x y xy -=+-=-⨯=， ∴4x y -=或－4， （3）∵22(2019)(2020)7m m -+-=，又2(20192020)m m -+-22(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+--∴(2019)(2020)3m m --=-故答案为：(1)22()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3 【点睛】本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.12．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x ， y 的式子表示) ；（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+； （3）大 小【解析】【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；【详解】（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++（2）22()()4x y x y xy +=-+（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．13．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，∴x ﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy 的值是9．（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，∴6≤c ＜11，∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c 的值是8．14．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1， 故答案为：1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．15．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.【详解】（1）原式=()()222a ab bac bc ++++=()()2a b c a b +++=()()a b a b c +++（2）22(5)(1)n n +--=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--=()624n +=()122n +∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵20a b =-≥，∴a b +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】 解：（1）当x ＞0时，112x x x x +≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭ ∵()1122x x x x ⎛⎫--≥-⋅-= ⎪⎝⎭∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0， ∴16163311y x x x x =++≥⋅= 当16x x= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．17．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟， 900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +，∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h +倍． 18．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号）①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231a a +-. （2）将假分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 4321a a +-=______________+________________. （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式： 231a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，521a -；(3)a ＋1＋41a - . 【解析】试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可；（2）根据题意的化简方法进行化简即可；（3）根据题意的化简方法进行化简即可.试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③.（2）4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221a +-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111a a a a a a -++-=+---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.19．某商场计划销售A ，B 两种型号的商品，经调查，用1500元采购A 型商品的件数是用。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

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人教版数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ∆的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A 1=α．同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=212α， ……， ∴∠A 2018=20172α， 故答案为20172α．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．【答案】5＜a＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.【答案】45°【解析】【分析】根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.【详解】∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形， ∴它的外角的度数等于360÷8=45°.故答案为45°.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．6． 如果一个n 边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．【详解】解：由题意得：180（n-2）=360×3，解得：n=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点O 在AD 上，如果3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，1ACO S ∆=，那么COD S ∆=（ ）A ．13B ．12C ．32D ．23【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式结合3AOB S ∆=，2BOD S ∆=求出AO 与DO 的比，再根据1ACO S ∆=，即可求得COD S ∆的值．【详解】∵3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，且AD 边上的高相同，∴AO ：DO=3：2． ∵△ACO 和△COD 中，AD 边上的高相同，∴S △AOC ：S △COD = AO ：DO=3：2，∵1ACO S ∆=，∴COD S ∆=23. 故选D ．【点睛】本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的关键．8．有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为、、3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确；由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确； 由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确. 故选：C9．如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．55°【答案】C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【详解】解：如图，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，∵a∥b，∴∠2=∠4=45°．故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C【解析】【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝8．故这个多边形的边数为8．故选：C．【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．11．已知三角形的两边长分别为4和9,则下列数据中能作为第三边长的是( )A．13 B．6 C．5 D．4【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系定理,求得第三边的取值范围,再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：设这个三角形的第三边为x ．根据三角形的三边关系定理“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”,得：94x 94-<<+,解得5x 13<<．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理.一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边,两边之差<第三边．12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP ＝254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．【答案】5．【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE +=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，∴222257446CE CP PE ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254CO CP ==， ∴725448OE CE CO =+=+=， ∴22228610OP OE PE ++=，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴125DM OP ==； 故答案为：5．【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP是解题的关键．14．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，若点O到三边的距离相等，则∠BOC＝_____°．【答案】115或65或22.5【解析】【分析】先画出符合的图形，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可．【详解】解：①如图，∵点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三角的平分线的交点，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠OBC＝12∠ABC＝30°，1OCB2∠=∠ACB＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；②如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点，∴∠OBC＝12∠EBC＝60°，1OCB2∠=∠FCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；③如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBA和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBA＝12∠EBA＝12×（180°﹣60°）＝60°，1OCB2∠=∠ACB＝37.5°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；如图，此时∠BOC＝22.5°，故答案为：115或65或22.5．【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意分情况讨论.15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，CB=CD，AC=6，则四边形ABCD的面积是_________.【答案】18．【解析】【分析】根据已知线段关系，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，证明A、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积．【详解】∵CD=CB，且∠DCB=90°，∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，∴∠CBE=∠D，AC=EC，∠DCA=∠BCE．根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC=180°，∴∠CBE+∠ABC=180°，∴A、B、E三点共线，∴△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD面积=△ACE面积= 12⨯AC2=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了旋转的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转，使不规则图形转化为规则图形．16．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.【答案】2【解析】【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可.【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD，DF⊥AC∴AF=∴BE=AF=∴∴AC=2故答案为：2【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.17．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.18．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=_________．【答案】2.5【解析】解：以CD为边向外作出等边三角形DCE，连接AE，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°，在△ACE 与△BCD中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=DC，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE=6.5，∴AD2+DE2=AE2，∴AD3+62=6.52，∴AD=2.5．故答案为：2.5．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】 试题解析：∵BF ∥AC ，∴∠C=∠CBF ， ∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠CBF ，∴∠C=∠ABC ， ∴AB=AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD=CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△DBF 中，{C CBFCD BD EDC BDF∠=∠=∠=∠，∴△CDE ≌△DBF ，∴DE=DF ，CE=BF ，故①正确；∵AE=2BF ，∴AC=3BF ，故④正确．故选A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．20．如图，△ABC 是等边三角形，AQ =PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS .下列结论：①点P 在∠A 的角平分线上；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ．其中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上，故①正确；由①可知，PB =PC ，∠B =∠C ，PS =PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D ．点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．21．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．22．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED，EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故①正确；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确；综上①②③④都正确，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．23．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（）A．△ACF B．△ACEC．△ABD D．△CEF【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.【详解】在△ABC中，22+10，2231+2，2，11A、在△ACF中，2221+5105252，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意；B、在△ACE中，10，2，2，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意；C、在△ABD中，AB=AB，2=BC，2=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；D、在△CEF中，102，2，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.24．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是（）A．AC=BD B．AC=BC C．BE=CE D．AE=DE【答案】A【解析】由AB=DC，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS，即再增加AC=DB即可.故选A.点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】【解析】【分析】分若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°；若AE ＝EM ；若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°∵∠C ＝45°∴∠AME ＝∠C又∵∠AME ＞∠C∴这种情况不成立；②若AE ＝EM∵∠B ＝∠AEM ＝45°∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°∴∠BAE ＝∠MEC在△ABE 和△ECM 中，B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB，∵AC ＝BCAB ＝∴BE ＝；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC故答案为【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．26．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF 和△CDA 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF=AC ，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF ，故③正确．作GM ⊥AB 于M ．如图所示：∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH=GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE =S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．27．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．28．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 2＝4，则△A n B n A n +1的边长为_____．【答案】2n ．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2＝2B 1A 2，得出A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2…进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1＝A 2B 1，∵∠MON ＝30°，∵OA 2＝4，∴OA 1＝A 1B 1＝2，∴A 2B 1＝2，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴A 2B 2＝2B 1A 2，B 3A 3＝2B 2A 3，∴A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．29．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×3×3＝92．故填：92．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．30．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．故答案为：64a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．32．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，33．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．24【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，BC=2CE=8又∵AABC的周长为24，∴AB+BC+AC=24∴AB+AC=24-BC=24-8=16∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.34．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A ．1B ．1+3C ．2+3D ．3【答案】B【解析】【分析】 将△AMD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AM ’D ’，MD=M’D’，易得到△ADD ’和△AMM ’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD +ME=D’M+MM’+ME ，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E ⊥BC 时最短，此时易求得D’E=DG+GE 的值.【详解】将△AMD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AM ’D ’，MD=M’D’，易得到△ADD ’和△AMM ’均为等边三角形，∴AM=MM ’，∴MA+MD+ME=D ’M+MM ’+ME ，∴D ′M 、MM′、ME 共线时最短，由于点E 也为动点，∴当D’E ⊥BC 时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME 的最小值为4+33．故选B ．【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．35．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =， ∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．36．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A ．(1，0)，224+B ．(3，0)，224+C ．(2,0), 25D ．(2,0),252+【答案】D【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN 22222425AB AN +=+=∵AP =NP ,∴△ABP 的周长最小值为：AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.38．下列能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．21x -B ．()21x x +C ．21x +D ．2x x - 【答案】A【解析】根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，A 选项：()()2111x x x -=+-，可知能用平方差公式进行因式分解.故选：A.39．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是A ．245x -B ．2425x -C ．2254x -D ．2425x +【答案】C【解析】【分析】 平方差公式是（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2.【详解】解：()()()()()2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-， 故选择C.【点睛】本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.40．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x 、y （x y >）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）A ．22100x y +=B ．2x y -=C ．12x y +=D ．35xy =【答案】A【解析】【分析】 由正方形的面积公式可求x +y =12，x ﹣y =2，可求x =7，y =5，即可求解．【详解】由题意可得：（x +y ）2=144，（x ﹣y ）2=4，∴x +y =12，x ﹣y =2，故B 、C 选项不符合题意；∴x =7，y =5，∴xy =35，故D 选项不符合题意；∴x 2+y 2=84≠100，故选项A 符合题意． 故选A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．41．下列各式中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）A ．(21)(12)x x --+B ．(1)(1)ab ab -+C ．(2)(2)x y x y ---D ．(5)(5)a a -+--【答案】A。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

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人教版数学八年级上册全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．3．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()6,0、()0,6，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM ON=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO=∠∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点，∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．5．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE ⊥AC ，连结 DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

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人教版八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF=1 2（∠BAF+∠C）；③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=12（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是_____．【答案】①②③④【解析】【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确；④证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确.【详解】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，∴∠BEF=12(∠BAF+∠C)，故②正确；③∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=90︒-∠DFH，∠AEB=90︒-∠DFH，∴∠FGD=∠AEB∴∠FGD=∠ABE+∠C.故③正确；④∠ABD=90°-∠BAC，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，∵∠CBD=90°-∠C，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，∴∠F=1(∠BAC-∠C)；2故④正确，故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键2．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.3．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______．【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可．【详解】解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，解得a=4，b=9，①若a=4是腰长，则底边为9，三角形的三边分别为4、4、9，不能组成三角形，②若b=9是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为9、9、4，能组成三角形，周长=9+9+4=22．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．5．已知一个三角形的三边长为3、8、a ，则a 的取值范围是_____________．【答案】5＜a ＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a ＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a ＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a ＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．6．如图，△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．∵∠A=40°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=70°． ∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE=12∠ACB=35°． ∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠CDA=90°， ∠ACD=180°﹣∠A ﹣∠CDA=50°． ∴∠ECD=∠ACD ﹣∠ACE=15°． ∵DF ⊥CE ， ∴∠CFD=90°， ∴∠CDF=180°﹣∠CFD ﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，CD 是ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且2,BE CE AE CD 、相交于,F 四边形BDFE 的面积为6，则ABC 的面积是（ ）A ．14B ．14.4C ．13.6D ．13.2【答案】B【解析】【分析】 连结BF ，设S △BDF ＝x ，则S △BEF ＝6－x ，由CD 是中线可以得到S △ADF ＝S △BDF ，S △BDC ＝S △ADC ，由BE ＝2CE 可以得到S △CEF ＝12S △BEF ，S △ABE ＝23S △ABC ，进而可用两种方法表示△ABC 的面积，由此可得方程，进而得解．【详解】解：如图，连接BF，设S△BDF＝x，则S△BEF＝6－x，∵CD是中线，∴S△ADF＝S△BDF＝x，S△BDC＝ S△ADC＝12△ABC，∵BE＝2CE，∴S△CEF＝12S△BEF＝12(6－x)，S△ABE＝23S△ABC，∵S△BDC＝ S△ADC＝12△ABC，∴S△ABC＝2S△BDC＝2[x＋32(6－x)]＝18－x，∵S△ABE＝23S△ABC，∴S△ABC＝32S△ABE＝32[2x＋ (6－x)]＝1.5x＋9，∴18－x ＝1.5x＋9，解得：x＝3.6，∴S△ABC＝18－x，＝18－3.6＝14.4，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积比等于底的比，熟练掌握这个结论记以及方程思想是解题的关键．8．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠，...，6A BC ∠与6A CD ∠的平分线相交于点7A ，得7A ∠，则7A ∠=（ ）A ．32αB ．64αC ．128αD ．256α 【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=∠=，同理可得2212A α∠=，3312A α∠=，由此可归纳出12n n A α∠=，易知7A ∠. 【详解】 解：ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A1111,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 111ACD A BC A ∠=∠+∠ 11122ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠111222ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 11122A A α∴∠=∠= 同理可得21211112222A A αα∠=∠=⨯=，3231122A A α∠=∠=，…，由此可知12n nA α∠=， 所以7712128A αα∠==. 故选：C.【点睛】本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究，灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.9．如图，三角形ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN=110°，则∠DEA=（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】【分析】由等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由角平分线的定义得到∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，根据外角的性质得∠B=∠DMN－∠BDM，∠C=∠ENM－∠CEN，整理可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，再根据四边形的内角和可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，则∠DEN=70°，故∠DEA=40°．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，∴∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，∵∠B=∠DMN－∠BDM=∠DMN－∠EDM，∠C=∠ENM－∠CEN=∠ENM－∠DEN，∴∠DMN－∠EDM=∠ENM－∠DEN，即∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，∵四边形DMNE内角和为360°，∴∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，∴∠DEN=70°，则∠DEA=180°－2∠DEN=40°.故选A．的度数10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.11．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】C【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，∴这个多边形为八边形．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．12．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选C．本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C 的度数是______度．【答案】24【解析】【分析】在DC上取DE=DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD=ED，AD=AD．证明△ABD≌△AED即可求解．【详解】如图，在DC上取DE=DB，连接AE．在Rt△ABD和Rt△AED中，BD EDADB ADEAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB=AE，∠B=∠AED．又∵CD=AB+BD，CD=DE+EC∴EC=AB∴EC=AE，∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AED=2∠C又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°∴∠C=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．14．如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，若BE交AD 于点F ，则∠AFE 的大小为_____（度）．【答案】60【解析】【分析】根据△ABC 为等边三角形得到AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，再利用BD ＝CE 证得△ABD ≌△BCE ，得到∠BAD ＝∠CBE ，再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE＝60°.【详解】∵△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝,∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠ABF +∠CBE ＝∠ABC ＝60°，∴∠ABF +∠BAD ＝60°，∵∠AFE ＝∠ABF +∠BAD ，∴∠AFE ＝60°，故答案为：60．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，题中证明三角形全等后得到∠BAD ＝∠CBE ，再利用外角和内角的关系求∠AFE 是解题的关键.15．如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，AB=12cm ，AC=6cm ．动点E 从A 点出发以3cm/s 沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运动，始终保持ED=CB ．当点E 经过______s 时，△DEB 与△BCA 全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB和△EBD都是Rt△，∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，又∵点E每秒钟移动3cm，∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.16．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD ≌△ACD ，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B 为直角时，点O 、D 、B 重合，OB=0，不符合题意，当∠C 为直角时，点O 、C 、D 、E 重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A 为直角时，点A 、E 、O 重合，∵OB=AC ，∠CAB=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.综上所述：∠ABC 的度数为45°或135°.故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS 、AAS 、ASA 、SAS 、HL 等，注意：SAS 时，角必须是两边的夹角，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.17．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________【答案】23或43.【解析】【分析】过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【详解】如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，1212DF DFCDF CDFCD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，又∵BD=6，∴BE=12×6÷cos30°=3÷32=23，∴BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，故BF的长为23或43.故答案为：23或43.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．18．如图，90C∠=︒，10AC=，5BC=，AM AC⊥，点P和点Q从A点出发，分别在射线AC和射线AM上运动，且Q点运动的速度是P点运动的速度的2倍，当点P运动至__________时，ABC△与APQ全等．【答案】AC中点或点P与点C重合【解析】分析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．详解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P 运动到AP BC =的，∵90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt QPA 中，AP BC PQ AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，即5AP BC ==，即P 运动到AC 的中点．②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），即AP=AC=10cm ，∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7 【答案】C【解析】【分析】 分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ， 由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD ，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．20．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143其中正确的结论个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，∴△ADF ≌△CEF(SAS)；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF== (故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.21．如图，在Rt△ABC中，AB AC=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE+=其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】D【解析】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；②无法证明，故②错误；③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FAE=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．故选D．22．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCOC．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.23．如图所示，在Rt ABC∆中，E为斜边AB的中点，ED AB⊥，且:1:7CAD BAD∠∠=，则BAC∠=( )A．70B．45C．60D．48【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.24．已知111122,A B C A B C△△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A AB CB A A C==，则111222A B C A B C△≌△；②若12=A A∠∠，1122=A C A C，则111222A B C A B C△≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①，②都正确B．①，②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误【答案】A【解析】【分析】根据SSS即可推出△111A B C≅△222A B C，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C，△222A B C的周长相等，1122A B A B=，1122AC A C=，1122B C B C∴=，∴△111A B C≅△222()A B C SSS，∴①正确；②如图，延长11A B到1D，使1111B D B C=，，延长22A B到2D，使2222B D B C=，∴111111A D AB B C=+，222222A D AB B C=+，∵111122,A B C A B C△△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D=，在△111A B D和△222A B D中1122121122==A D A DA AA C A C=⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B D≅△222A B D（SAS）∴12=D D∠∠，∵1111B D B C=，2222B D B C=∴1111=D D C B∠∠，2222=D D C B∠∠，又∵1111111=A B C D D C B∠∠+∠，2222222=A B C D D C B∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠，在△111A B C 和△222A B C 中111222121122===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC 为腰，②BC 为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD =30°，然后分AD 在△ABC 内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC 为腰，∵AD ⊥BC 于点D ，AD =12BC ， ∴∠ACD =30°，如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C =30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB =180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．26．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】分若AE ＝AM 则∠AME＝∠AEM ＝45°；若AE ＝EM ；若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°∵∠C ＝45°∴∠AME ＝∠C又∵∠AME ＞∠C∴这种情况不成立；②若AE ＝EM∵∠B ＝∠AEM ＝45°∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°∴∠BAE ＝∠MEC在△ABE 和△ECM 中，B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB ＝6，∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，∴BE ＝23﹣6；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．27．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．28．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒∠343A A B =3702︒ ……. 以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】 本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..29．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为______．【答案】7或34 【解析】【分析】分三种情况讨论：①当M 在AB 下方且∠AMB=90°时，②当M 在AB 上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【详解】如图1，当∠AMB =90°时，∵O 是AB 的中点，AB =8，∴OM =OB =4，又∵∠AOC =∠BOM =60°，∴△BOM 是等边三角形，∴BM =BO =4，∴Rt △ABM 中，AM 22AB BM -3如图2，当∠AMB =90°时，∵O 是AB 的中点，AB =8，∴OM =OA =4，又∵∠AOC =60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM=22-=43，MO OB∴Rt△ABM中，AM=22+=47．AB BM综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为43或47或4．故答案为43或47或4．30．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）A ．7.5°B ．10°C ．15°D ．18°【答案】C【解析】 根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据AE=AD ，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，即得到∠DEC=α=15°，故选C.点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．32．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A．1.5 B．3 C．4.5 D．9【答案】C【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC时，△ACD的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．∵AD⊥BH，∴BD=DH．∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=12S△ADH14=S△ABH．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．33．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）A ．9个B ．7个C ．6个D ．5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则∆BCD 就是等腰三角形；②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则∆ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则∆ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则∆AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则∆BCI 就是等腰三角形．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．34．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED2MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG =∠ADC =90°，∴∠GDH =∠EDH =45°，故①正确；∵∠EDC =90°，ED =GD ，∴△EDC 是等腰直角三角形，∴∠DEG =45°．∵∠GDH =45°，∴∠EDH =45°，∴△EMD 是等腰直角三角形，∴ED =2MD ．∵∠AEF =∠DEG =∠A =45°，∴∠AFE =∠CFG =90°．∵∠EDC =90°，∴∠EFC =∠EDC =90°．∵EH 平分∠AEG ，∴∠AEH =∠GEH ．∵∠FEC =∠GEH ，∠DEC =∠AEH ，∴∠FEC =∠DEC ．∵EC =EC ，∴△EFC ≌△EDC ，∴EF =ED ，∴EF =2MD ．故③错误；∵CG =CD +DG =AD +ED =AE +ED +ED ，∴CG =2DE +AE ，故④正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．35．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）A ．52B ．125C ．4D ．53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，又∵CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ，∵3AC =，4BC =，5AB =, ∴125CE =， ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.36．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该 三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A ．15°B ．40C ．15°或20°D ．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC ，DB=DC 时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°， 所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为x cm，则x的取值范围是_______【答案】3＜x＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.2．如图，在∆ABC中，∠A=80︒，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为_________..【答案】516【解析】【分析】 利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ，再依此类推得，∠A 2=212∠A ，……，∠A 8= 812∠A ，即可求解. 【详解】解：根据三角形的外角得：∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A=180256⨯=516 故答案为516. 【点睛】 本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系..3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．4．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为_____．【答案】5:4:3【解析】试题解析：设此三角形三个内角的比为x ，2x ，3x ，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30， ∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，故答案为5：4：3．5．如图，△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．∵∠A=40°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=70°． ∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE=12∠ACB=35°． ∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠CDA=90°， ∠ACD=180°﹣∠A ﹣∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD ﹣∠ACE=15°． ∵DF ⊥CE ， ∴∠CFD=90°， ∴∠CDF=180°﹣∠CFD ﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，CAD FBDBDF ADCBF AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，在ABC∆中，Aα∠=．ABC∠与ACD∠的平分线交于点1A，得1A∠；1A BC∠与1A CD∠的平分线相交于点2A，得2A∠，...，6A BC∠与6A CD∠的平分线相交于点7A，得7A∠，则7A∠=（）A ．32αB ．64αC ．128αD ．256α 【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=∠=，同理可得2212A α∠=，3312A α∠=，由此可归纳出12n nA α∠=，易知7A ∠. 【详解】 解：ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A1111,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 111ACD A BC A ∠=∠+∠ 11122ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠111222ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 11122A A α∴∠=∠= 同理可得21211112222A A αα∠=∠=⨯=，3231122A A α∠=∠=，…，由此可知12n n A α∠=， 所以7712128A αα∠==. 故选：C.【点睛】本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究，灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.8．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】B【解析】【分析】 根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F 是BE 的中点，S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10，∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ，∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE∴S △BDE +S △CDE ＝10∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B ．【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.9．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中C 90∠=，F 90∠=，D 30∠=，A 45∠=，则12∠∠+等于( )A ．270B ．210C ．180D ．150【答案】B【解析】【分析】利用三角形的外角等于不相邻的两内角和，和三角形内角和为180︒，可解出答案.【详解】如图，AB 与DE 交于点G ，AB 与EF 交于点H ，∵∠1=∠A+∠DGA ，∠2=∠B+∠FHB，∠DGA=∠BGE，∠FHB=∠AHE，在三角形GEH 中，∠BGE+∠AHE =180︒-∠E=120︒,∴∠1+∠2= ∠A+∠B+∠BGE+∠AHE=90︒+120︒=210.【点睛】本题考查了三角形的外角性质,内角和定理,熟练掌握即可解题.10．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BEF=50 ，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．11．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】【分析】根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．【详解】∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2．故选：B【点睛】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．12．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.14．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO 的长是_____．【答案】5【解析】【分析】作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，由等边对等角得到∠CAB ＝∠CBA ＝50°，再推出∠DAB ＝∠DBA ，得到AD ＝BD ，然后可证△ACD ≌△BCD ，最后证△ACD ≌△AOD ，即可得AO ＝AC ＝5．【详解】解：如图，作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝5，∴∠CAB ＝∠CBA ＝50°，∵∠OAB ＝10°，∴∠CAD ＝∠OAD ＝1(CAB OAB)2∠-∠＝()150102︒︒-＝20°， ∵∠DAB ＝∠OAD+∠OAB ＝20°+10°＝30°，∴∠DAB ＝30°＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝120°，在△ACD 与△BCD 中 AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （SSS ）∴∠CDA ＝∠CDB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝()1360ADB 2︒-∠＝()13601202︒︒-＝120°， 在△ACD 与△AOD 中CDA ADO 120AD ADCAD OAD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD≌△AOD（ASA）∴AO＝AC=5，故答案为5．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.15．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE 上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=22，则DF=________.【答案】3.【解析】【分析】由题意可证的△ABF≌△ACE,可得△AEF为等腰直角三角形，取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四边形AGCE为平行四边形，可得FD的长.【详解】解：如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE为∠BAC与EAF的公共角∴∠BAF=∠CAE,∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE∴∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，∴∠ABF=∠ACE，在△ABF与△ACE中，有AB ACBAF CAEABF ACE=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE，∴AE=AF, △AEF为等腰直角三角形, 取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG,C是线段AF的垂直平分线上的点，易得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，AF=22∴AG=GE=CE=FG=2,又AG⊥BE,CE⊥BE,可得AG∥CE,∴四边形AGCE为平行四边形，∴GD=DE=1,∴DF=FG+GD=2+1=3.【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性强，需综合运用所学知识求解.16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D， QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t= 时，△APD和△QBE全等．【答案】2或4．【解析】试题分析：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP=AC=CP=8﹣3t，BQ=t，当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ，即8﹣3t=t，解得：t=2；②t≥83时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ，即3t﹣8=t，解得：t=4；综上所述：当t=2s或4s时，△ADP≌△QBE．考点：1．全等三角形的判定；2．动点型；3．分类讨论．17．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=_________．【答案】2.5【解析】解：以CD为边向外作出等边三角形DCE，连接AE，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°，在△ACE 与△BCD中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=DC，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE=6.5，∴AD2+DE2=AE2，∴AD3+62=6.52，∴AD=2.5．故答案为：2.5．18．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.【答案】6【解析】根据三角形全等的判定“AAS”可得△ADC≌△ABE，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.故答案为：6.点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是( )A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．综上：②③④正确．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q 是关键．20．下列两个三角形中,一定全等的是( )A ．两个等边三角形B ．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C ．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D ．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】解：A 、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；B 、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；C 、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；D 、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA 或AAS 证得它们全等，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．21．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在?ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，故此选项正确；延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A ＝∠FDMAF ＝DF ∠AFE ＝∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.22．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】结论（1）正确，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA），同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）错误．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2；结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，故选C．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．23．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）A．30°B．60°C．80 °D．50°【答案】B【解析】试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，∴DE为线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠DAE=∠DBE，∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，在Rt△ABC中，∵∠CAB+∠DBE=90°，∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，∴3∠DBE=90°，∴∠DBE=30°，∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．故选B．24．如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D是射线BC 上任意一点，连接EC．下列结论：①△AEC△ADB；②EC⊥BC ；③以A、C、D、E为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB的周长为10524++;⑤当BD=32B时,ED=5AB；其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3 个 D．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△AEC≌△ADB，故①正确；∵△AEC≌△ADB，∴∠ACE=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴J IAO ECB=90°，∴EC⊥BC，故②正确；∵四边形ADCE的面积=△ADC的面积+△ACE的面积=△ADC的面积+△ABD的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422-=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=()()22322+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10BC =5AB ．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A 点坐标可得2，∠AOP ＝45°，分别讨论OA 为腰和底边，求出点P 在x 轴正半轴和负半轴时，△APO 是等腰三角形的P 点坐标即可.【详解】（1）当点P 在x 轴正半轴上，①如图，以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴∠AOP ＝45°，OA ＝2，当∠AOP 为顶角时，2，当∠OAP 为顶角时，AO=AP ，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴2OA=4，∴P 的坐标是（4，0）或（2，0）.②以OA 为底边时，∵点A 的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP ，∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°，∴OP=2，∴P 点坐标为（2，0）.（2）当点P 在x 轴负半轴上，③以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴OA ＝22，∴OA ＝OP ＝22，∴P 的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．26．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．【详解】解：如图示：作CG⊥MN于G，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，即∠ACE=∠BCF，在△ACE与△BCF中AC BCACE BCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△BCF（SAS），又∵AD是三角形△ABC的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124CG BC==，在Rt△CMG中，2222543MG CM CG=-=-，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．27．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。

人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题

人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题

人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题一、单选题1．下列选项中的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．113．已知点()11,5P a -和2(2,1)Pb -关于x 轴对称，则2013()a b +的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．()20113- 4．如图，点E 在AC 上，则A B C D DEB ∠+∠+∠+∠+∠的度数是（ ）A ．90°B ．180°C ．270°D ．360° 5．已知ABC DCB V V ≌，若10BC =，6AB =，7AC =，则CD =（ ）A ．10B ．7C ．6D ．6或7 6．如图，已知ABC V 中，ABC ACB ∠∠=，以点B 为圆心，AB 长为半径的弧分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接BD ，ED ，若105CED ∠=︒，求ABC ∠的度数为（ ）度A ．80B ．70C ．60D ．507．ABC V 中，090A B C θαθθααθ∠=-∠=∠=+︒<<<︒，，，．若BAC ∠与BCA ∠的平分线相交于P 点，则APC ∠=（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．150°8．如图，在△ABC 中，∠ACD ＝20°，∠B ＝45°，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，则∠A 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．下图的方格纸中有若干个点，若A 、B 两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）.A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 410．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,0，点B 的坐标是(），点C 在坐标平面内，以A ，B ，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．ABC V 中，30A ∠=︒，高BE ，CF 所在的直线交于点O ，BOC ∠的度数是． 12．AD 为ABC V 的中线，AE 为ABC V 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为．13．如图，△AFD 和△CEB ，点A 、E 、F 、C 同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF ，②∠D ＝∠B ，③AD ＝CB ，④DF BE ∥，选出三个条件可以证明AFD CEB △≌△的是．（用序号表示，写出一种即可）．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12，则图中△BEF 的面积为．15．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF+CF 取得最小值时，则∠BCF 的度数为．三、解答题16．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且13BCD ACB ∠=∠，13CBE ABC ∠=∠．求证：BE CD =．17．如图，在66⨯的方格纸中，线段AB 的两个端分别落在格点上，请按要求画图：(1)在图1中画一个格点四边形APBQ ，且AB 与PQ 垂直．(2)在图2中画一个以AB 为中位线的格点DEF V ．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，点F 在射线CA 上，且BD=FD ．（1）当点F 在线段CA 上时．①求证：BE=CF ；②若AC=6，AF=2，求CD 的长； （2）若∠ADF=15°，求∠BAC 的度数．19．如图，在ABC V 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．若5AB =，6AC =，求AMN V 的周长．20．已知：如图，AC ∥DF ，AC =DF ，AB =DE ．求证：(1)△ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．21．如图，ABC V 中，11AB =，5AC =，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线DG 相交于点D ，过点D 分别作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，求BE 的长度．22．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CN 于点E ，P ．(1)依题意补全图形；(2)若∠ACN ＝α，求∠BDC 的大小（用含α的式子表示）；(3)用等式表示线段PB ，PC 与PE 之间的数量关系，并证明．23．如图，ABC V 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的外角平分线CF 于点F ，交ACB ∠内角平分线CE 于E ．(1)试说明EO OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下猜想ABCV满足什么条件能使四边形AECF是正方形，并证明你的结论．。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°．【答案】21°【解析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得．解：由题意得：∠E=∠ECD−∠EBC=12∠ACD−12∠ABC=12∠A=21°.故答案为21°.2．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠ 3的度数等于______________．【答案】12°【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是108°，则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°．点睛：本题考查的是多边形的内角，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．3．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为_________度.【答案】32【解析】【分析】过C 点作∠ACE=∠CBD ，根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠ECD=∠BDC ，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，再根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠BDC 的度数．【详解】过C 点作∠ACE=∠CBD ，∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，∴∠ECD=∠BDC ，∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∴∠ABD=∠ACE ，∴∠BAC=∠CEB=64°，∴∠BDC=12∠CEB=32°． 故答案为：32．【点睛】 此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和．4．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6， 所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n ﹣2）•180 （n≥3）且n 为整数）；多边形的外角和等于360度．5．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ．【答案】135【解析】解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．6．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAC ∠，若130∠=，220∠=，则B ∠=__________．【答案】50°【解析】【分析】由角平分线的定义和已知可求出∠BAC ，由AD 是BC 边上的高和已知条件可以求出∠C，然后运用三角形内角和定理，即可完成解答.【详解】 解：∵AE 平分BAC ∠，若130∠= ∴BAC ∠=2160∠=； 又∵AD 是BC 边上的高，220∠=∴C ∠=90°-270∠= 又∵BAC ∠+∠B+∠C=180°∴∠B=180°-60°-70°=50°故答案为50°.【点睛】本题考查了角平分线、高的定义以及三角形内角和的知识，考查知识点较多，灵活运用所学知识是解答本题的关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）A ．正三角形和正五边形B ．正方形和正六边形C ．正方形和正五边形D ．正五边形和正十边形【答案】D【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【详解】解：A、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°，由于60m+108n=360，得m=6-95 n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；B、正方形、正六边形内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；C、正方形、正五边形内角分别为90°、108°，当90n+108m=360，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；D、正五边形和正十边形内角分别为108、144，两个正五边形与一个正十边形能铺满地面，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．8．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=12AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（）A．2 B．83C．3 D．103【答案】B【解析】【分析】重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.【详解】解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点，∴O为△ABC的重心，∴13AOCSABCS=4,∴12DOC DOA S S ==AOC S =2,∵OF=12AF ， ∴13DOF S =AOD S =23, ∴S 阴=DOC S +DOF S =83. 故选：B.【点睛】本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.9．如果线段AB =3cm ，BC =1cm ，那么A 、C 两点的距离d 的长度为（ ）A ．4cmB ．2cmC ．4cm 或2cmD ．小于或等于4cm ，且大于或等于2cm【答案】D【解析】试题分析：①当A ，B ，C 三点在一条直线上时，分点B 在A 、C 之间和点C 在A 、B 之间两种情况讨论；②当A ，B ，C 三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.解：当点A 、B 、C 在同一条直线上时，①点B 在A 、C 之间时：AC =AB +BC =3+1=4；②点C 在A 、B 之间时：AC =AB -BC =3-1=2，当点A 、B 、C 不在同一条直线上时，A 、B 、C 三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB -BC ＜AC ＜AB +BC ，即2＜AC ＜4，综上所述，选D.故选D.点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，10．已知：如图，ABC ∆三条内角平分线交于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，则∠DCE=( )A ．12BAC ∠ B ．12CBA ∠ C ．12ACB ∠ D ．CDE ∠【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出DCE ∠与BAC ∠的关系．【详解】由题意知，ECD BDC 90∠∠=-︒由三角形内角和定理得，BAC 180ABC ACB ∠∠∠=︒-+DBC DCB 180BDC ∠∠∠+=︒-∵点D 是ΔABC 三条内角平分线的交点∴ABC 2DBC ∠∠= ACB 2DCB ∠∠=()BAC 180ABC ACB ∠∠∠=︒-+()1802DBC DCB ∠∠=︒-+()1802180BDC ∠=︒-︒-2BDC 180∠=-︒1BAC BDC 902∠∠=-︒ ∴1ECD BAC 2∠∠=故答案选A.【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质．11．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.12．如图，AB ∥CD ，DE ⊥BE ，BF 、DF 分别为∠ABE 、∠CDE 的角平分线，则∠BFD ＝（ ）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .41.【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，BA CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=22()=32=42AD AD +'，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=22()=932=41DC DD +'+∴BD=CD′=41，故答案为41.14．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==．点E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）【答案】②③④【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.【详解】①如图1，过点C 作CM AB ⊥，过点D 作DN AB ⊥32,45A BAC BD ∠=∠===︒3CM AM DN BN∴====4CE DF==由勾股定理得：22227,7ME CE CM NF DF DN=-==-=37,37AE AM ME BF BN NF∴=-=-=+=+，即AE BF≠此时，ACE∆和BDF∆不全等②AF BE=AF EF BE EF∴+=+，即AE BF=又452,3AC DA B B∠=∠=︒==则由SAS定理可得，ACE BDF∆≅∆③CEB DFACEB C ADFA D B∠=∠⎧⎪∠=∠+∠⎨⎪∠=∠+∠⎩C AD B∴∠+∠=∠+∠又A B∠=∠C D∴∠=∠32AC BD==则由ASA定理可得，ACE BDF∆≅∆④由（1）知，当5CE DF==时，22224,4ME CE CM NF DF DN-=-=此时，,,CE CA DF BDME AM NF BN>>⎧⎨>>⎩则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧又10AM BN ME AM BN NF AB++=++==则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示因此必有347AE BF==+=由SSS定理可得，ACE BDF∆≅∆故答案为：②③④.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.15．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8 【解析】【分析】易证∠MEC ＝∠CFN ，∠MCE ＝∠CNF ．只需MC ＝NC ，就可得到△MEC 与△CFN 全等，然后只需根据点M 和点N 不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，如图①，此时有AM ＝2t ，BN ＝3t ，AC ＝8，BC ＝15．当MC ＝NC 即8−2t ＝15−3t 时全等，解得t ＝7，不合题意舍去；②当4≤t ＜5时，点M 在BC 上，点N 也在BC 上，如图②，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．16．在ABC中给定下面几组条件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，错误；③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．17．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.【答案】30°【解析】试题解析：（1）连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC ，在△BCE 与△ACE 中，{AC BCAE BE CE CE＝＝＝∴△BCE ≌△ACE （SSS ）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBE=∠CBE ，在△BDE 与△BCE 中，{BD BCDBE CBE BE BE∠∠＝＝＝∴△BDE ≌△BCE （SAS ），∴∠BDE=∠BCE=30°．18．已知△ABC 中，AB=BC ≠AC ，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．【答案】7【解析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．解：以AB 为公共边有三个，以CB 为公共边有三个，以AC 为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为7四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．20．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；6AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′，∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2134462AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯=+四边形 故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，则2134362AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+=四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．21．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．22．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．23．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．2C．2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为22，腰长为12，所以周长为11221 2222 ++=+.故答案为B.24．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．26．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．27．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，DE=2cm ，则BC=_____cm ．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF ∥BC ，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．28．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.29．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.30．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点D ．已知△BDC 的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.故答案为8.点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．32．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．33．如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

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人教版数学八年级上册全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45DAC∴∠=，ACD BCE≌，45PBC DAC∴∠=∠=，∴在Rt BHC中,2242422CH BC=⨯=⨯=，54PC CQ CH===，，3PH QH∴==，6.PQ∴=()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.最小值为：42 2.OE=-2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ． 【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE ， 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE ， ∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ， ∴∠BCA=∠E=45°， ∵AF ⊥BC ， ∴∠CFA=90°， ∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°； （3）延长BF 到G ，使得FG=FB ， ∵AF ⊥BG ， ∴∠AFG=∠AFB=90°， 在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFB ≌△AFG （SAS ）， ∴AB=AG ，∠ABF=∠G ， ∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ， ∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ， ∴∠G=∠CDA ，在△CGA和△CDA中，GCA DCACGA CDAAG AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．3．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE. 【详解】(1)、在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∵PA=PE ，∴PC=PE ；(2)、由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP=∠BCP ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PE ， ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E ， ∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ， 即∠CPF=∠EDF=90°； (3)、AP ＝CE理由是：在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP ， 在△ABP 和△CBP 中， 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∠BAP=∠DCP ，∵PA=PE ，∴PC=PE ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E ∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴AP=CE考点：三角形全等的证明4．已知：4590ABC A ACB ∆∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且22AD =+，，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ． （1）依题意补全图形； （2）求证：ABQ AMB ∠=∠；（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =， 求线段AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】 【分析】（1）根据题意可以补全图形； （2）根据三角形外角的性质即可证明； （3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，22CD x=，结合已知22AD=+，构建方程即可求解.【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH是ABM的一个外角，∴ABH BAM AMB∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ∠=∠+∠又∵45HBQ BAM∠=∠=︒∴ABQ AMB∠=∠（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM∠=∠=︒，在QEB和BCM中，QEB BCMQBE BMCQB BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QEB BCM≅(AAS)∴EB CM=，QE BC=，在Rt QEA和Rt BCN中∵QE BC =，Q A BN = ∴Rt QEA RtBCN ≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++ ∵点N 是点M 关于点D 的对称点， ∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+= 设AC BC x ==，则2AB x =，22CD x =， 又∵22AD =+，2AD AC CD x x =+=+ ∴222x x +=+ 解得：2x = ∴ 22AB = 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．5．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等. （1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等. 【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证. 【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒. 在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌， ∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌， ∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒. ∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =， 再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠， 再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等； 故答案为：钝角三角形或直角三角形. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）． （1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB =52）C 2（0,7），C 4（0，-4），C 5（-1,0）、 C 6（1,0）；（3）不存在这样的点P ． 【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=25（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．8．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．9．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.【答案】（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD=602α︒+，BC=DC，∴∠DBC=∠BDC()1806021806022BCDαα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.10．如图1，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，（1）求证：△ABE ≌△ADC ；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB 的度数；（3）如图2，当△ABD 与△ACE 的位置发生变化，使C 、E 、D 三点在一条直线上，求证：AC ∥BE ．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．试题解析：（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x ， y 的式子表示) ；（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+； （3）大 小【解析】【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；【详解】（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++（2）22()()4x y x y xy +=-+（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．12．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.【详解】（1）原式=()()222a ab bac bc ++++=()()2a b c a b +++=()()a b a b c +++（2）22(5)(1)n n +--=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--=()624n +=()122n +∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.13．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么形如a+bi （a ，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3﹣4i ）=5﹣3i ．（1）填空：i 3= ，2i 4= ；（2）计算：①（2+i ）（2﹣i ）；②（2+i ）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y ）+3i=（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照i 2=﹣1这一知识点，将m 2+25（m 为实数）因式分解成两个复数的积．【答案】（1）i ；2（2）①5②3+4i （3）x=5，y=﹣3（4）m 2+25=（m+5i ）（m ﹣5i ）【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算；（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据21i =-计算即可；（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据21i =- 将25转化为2（-5）i ，再利用平方差公式进行因式分解即可。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝12BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于12BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝12BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF 2＝BE 2+CF 2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，OC OA∴=，∴∠=∠=OAC ACOα=-，∴∠=∠︒180EAC DCBα=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．5．如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．（1）求证：∠ACB＝∠ADB；（2）求证：AC+BC＜2BD；（3）如图2，若∠ECF＝60°，证明：AC＝BC+CD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明Rt△DAM≌Rt△DBN，得出∠DAM=∠DBN，则结论得证；（2）证明Rt△DMC≌Rt△DNC，可得CM=CN，得出AC+BC=2BN，又BN＜BD，则结论得证；（3）在AC上取一点P，使CP=CD，连接DP，可证明△ADP≌△BDC，得出AP=BC，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，DC DC DM DN=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △DMC ≌Rt △DNC （HL ），∴CM ＝CN ，∴AC +BC ＝AM +CM +BC ＝AM +CN +BC ＝AM +BN ，又∵AM ＝BN ，∴AC +BC ＝2BN ，∵BN ＜BD ，∴AC +BC ＜2BD ．（3）由（1）知∠CAD ＝∠CBD ，在AC 上取一点P ，使CP ＝CD ，连接DP ，∵∠ECF ＝60°，∠ACF ＝60°，∴△CDP 为等边三角形，∴DP ＝DC ，∠DPC ＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°，∴BF ＝2DF ，∵BF ＝2AF ，∴BF ＝AD ，∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，∴△BFC ≌△ADB ，∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，∴BF ⊥CF（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK．∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ，∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为：90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，∴CM=DM=EM ，∴DE=DM+EM=2CM ，∵△ACD ≌△BCE （已证），∴BE=AD ，∴AE=AD+DE=BE+2CM ，故答案为：AE=BE+2CM ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．9．已知△ABC ．（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG∠=∠,故有180ABC EOD∠+∠=,由△BEF的周长=BC可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF∆≅∆,所以有EOF DOF∠=∠,然后可得到ABC∠与EOF∠的数量关系.【详解】解：（1）如图，就是所要求作的图形；（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G，作OH⊥AB于H，∵BO平分∠ABC，OH⊥AB，OG垂直平分BC，∴OH=OG，CG=BG，∵OB=OB,∴OBH OBG∆≅∆,∴BH=BG，∵BE=CD，∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，在OEH∆和ODG∆中,90OH OGOHE OGDEH DG=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴OEH ODG∆≅∆,∴OE=OD．（3）ABC∠与EOF∠的数量关系是2180ABC EOF∠+∠=，理由如下；如图 ，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ∆≅∆且OE=OD ，∴EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG ∠=∠+∠=∠+∠=∠,∴180ABC EOD ∠+∠=,∵△BEF 的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC∴DF=EF,在△OEF 和△OGF 中,OE OD EF FD OF OF =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴OEF OGF ∆≅∆,∴EOF DOF ∠=∠,∴2EOD EOF ∠=∠,∴2180ABC EOF ∠+∠=.【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.10．如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE .（1）求∠DBC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；（3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD=602α︒+，BC=DC，∴∠DBC=∠BDC()1806021806022BCDαα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．（1）你能求出（a ﹣1）（a 99+a 98+a 97+…+a 2+a +1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．（a ﹣1）（a +1）＝ ；（a ﹣1）（a 2+a +1）＝ ；（a ﹣1）（a 3+a 2+a +1）＝ ；…由此我们可以得到：（a ﹣1）（a 99+a 98+…+a +1）＝ ．（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：2199+2198+2197+…+22+2+1．【答案】（1）21a -，31a -，41a -，1001a -（2）20021-【解析】【分析】根据简单的多项式运算推出同类复杂多项式运算结果的一般规律，然后根据找出的规律进行解决较难的运算问题．【详解】解：（1）21a - 31a - 41a - 1001a -（2）1991981972222221+++⋅⋅⋅++=()21- ⨯（1991981972222221+++⋅⋅⋅++）=20021-．【点睛】考查了学生的基础运算能力和对同一类运算问题计算结果的一般规律性洞察力．12．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：（1）写出4()a b +的展开式；（2）利用整式的乘法验证你的结论．【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析【解析】【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.【详解】（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+=()()322333a b a a b ab b ++++4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++432234464a a b a b ab b =++++方法二：()()()422a b a b a b +=+•+ =2222(2)(2)a ab b a ab b ++++=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++ = ++++432234a 4a b 6a b 4ab b . 【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.13．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++{n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值． 【答案】()4,x + 20. 【解析】 【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+--{2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20 【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．14．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立． 例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积； ②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值． 【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】 【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积． 故答案为：x=-1；（x+1） ②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b =x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b ∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3． ∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②，∴②-①，得m-n=3 ∴m n -的值为3． 【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．15．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2﹣4x +1）（x 2﹣4x +7）+9进行因式分解的过程． 解：设x 2﹣4x ＝y原式＝（y +1）（y +7）+9（第一步） ＝y 2+8y +16（第二步） ＝（y +4）2（第三步） ＝（x 2﹣4x +4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ； A ．提取公因式法 B ．平方差公式法 C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式（x 2+2x ）（x 2+2x +2）+1进行因式分解． 【答案】（1）C ；（2）（x ﹣2）4；（3）（x +1）4． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）故选C ；（2）（x 2﹣4x +1）（x 2﹣4x +7）+9，设x 2﹣4x =y ，则：原式=（y +1）（y +7）+9=y 2+8y +16=（y +4）2=（x 2﹣4x +4）2=（x ﹣2）4． 故答案为：（x ﹣2）4；（3）设x 2+2x =y ，原式=y （y +2）+1=y 2+2y +1=（y +1）2=（x 2+2x +1）2=（x +1）4． 【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

人教版八年级数学上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________．【答案】20202α【解析】【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知21211112222a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴11118022A ACD ACB ABC ∠=︒-∠-∠-∠ 1118018022ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠（）（） 1122a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠=∠=， …∴2020A ∠=20202α． 故答案为：20202α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义．2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ∆=，则AB 的长度为_______．【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵AE 平分∠BACBAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴∵D 为AC 中点，P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设，15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积3．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．【解析】【详解】解：设多边形的边数为n ，多加的角度为α，则（n-2）×180°=2005°-α，当n=13时，α=25°，此时（13-2）×180°=1980°，α=25°故答案为1980．4．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB ）=2×50°=100°，在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.5．中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.【解析】【分析】根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.【详解】∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形，∴它的外角的度数等于360÷8=45°.故答案为45°.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，CAD FBDBDF ADCBF AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．二、八年级数学三角形选择题（难）7．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830，则该多边形的边数是( )A．7B．8C．7或8D．无法确定【答案】C【解析】【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数．【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n．则（n-2）×180=830+x，即（n-2）×180=4×180+110+x，因此x=70，n=7或x=250，n=8．故该多边形的边数是7或8．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．8．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45°B．45° 或135°C．45°或125°D．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．9．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（）A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定【答案】C【解析】【分析】先根据AD、BE、CF为△ABC的角平分线可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出结论．【详解】∵AD、BE、CF为△ABC的角平分线∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，∴2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°，∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，∴∠AHE=∠CHG，故选C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．10．有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为、、3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确；由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确；由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确. 故选：C11．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理得到(n ﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n －2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.12．已知三角形的两边长分别为4和9,则下列数据中能作为第三边长的是( )A ．13B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系定理,求得第三边的取值范围,再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：设这个三角形的第三边为x ．根据三角形的三边关系定理“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”,得：94x 94-<<+,解得5x 13<<．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理.一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边,两边之差<第三边．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.①ABD ACE ∆≅∆②45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④180EAB DBC ∠+∠=︒【答案】①②③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即：∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AE=AD ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD ⊥CE ，故③正确；∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴∠BAE+∠DAC=180°，∵∠ADB=∠E=45°，∴DAC DBC ∠=∠，∴180EAB DBC ∠+∠=︒，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．14．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______【答案】3【解析】【分析】连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．【详解】如图：连接BE ，DE ⊥AB ，090BDE ∴∠=，在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，∴BC=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.15．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，则四边形ABCD 的面积为_____．【答案】12.5【解析】【分析】过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，判定△ACD ≌△AEB ，即可得到△ACE 是等腰直角三角形，四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据S △ACE =12×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC ，∴∠D=∠ABE ，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB ，又∵AD=AB ，∴△ACD ≌△AEB （ASA ），∴AC=AE ，即△ACE 是等腰直角三角形，∴四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，∵S △ACE =12×5×5=12.5， ∴四边形ABCD 的面积为12.5，故答案为12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题16．如图，ABC ∆中，090,,2ACB AC BC AB ∠===G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷培优测试卷

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人教版八年级上册数学 全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△AEF 是直角三角形，∠AEF=900，B 为AE 上一点，BG⊥AE 于点B ，GF∥BE，且AD ＝BD ＝BF ，∠BFG＝60０，则∠AFG 的度数是___________。

【答案】20°【解析】根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG ，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A ，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF ，因此可得∠AFG=20°. 故答案为：20°.2．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______．【答案】85°【解析】【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答．【详解】解：∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2，又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°，∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，∴∠1-∠2=15°；∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°， ∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°，∴∠1-∠2+∠P =100°，∴∠P =85°，故答案为：85°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．3．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．【答案】40°【解析】试题分析：延长DE 交BC 于F 点，根据两直线平行，内错角相等，可知∠ABC=BFD ∠=80°，由此可得100DFC ∠=︒，然后根据三角形的外角的性质，可得BCD ∠=EDC ∠-FD C ∠=40°.故答案为：40°.4．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB= ．【答案】85°.【解析】试题分析：令A→南的方向为线段AE ，B→北的方向为线段BD ，根据题意可知，AE ，DB是正南，正北的方向BD//AE=45°+15°=60°又=180°-60°-35°=85°.考点：1、方向角. 2、三角形内角和.5．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______m．【答案】120．【解析】【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴该正多边形的边数为n=360°÷15°=24，则一共走了24×5=120米，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接用360°除以一个外角度数．6．如图，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E=____度．【答案】12【解析】【分析】利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答．【详解】∵AB∥CD，∴∠BFC=∠ABE=66°.在△EFD中，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠BFC=∠E+∠D,∴∠E=∠BFC-∠D=12°．故答案是：12.【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质，比较简单．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ，BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ，以下结论：①∠BDE =12∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC +∠ACB= 90︒；④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可．【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，∴∠ACP=2∠DCP，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC，∠DCP=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE =12∠BAC∴①正确；②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥DB，故②正确，③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，即正确的有4个，故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理8．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解析】【分析】先根据三角形的外角，用∠AGE表示出∠A，∠B；用∠EMC表示出∠E，∠F；用∠CNA 表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解：如图：∵ ∠AGE 是△ABG 的外角∴∠AGE=∠A+∠B ；同理：∠EMC=∠E+∠F ；∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN 是△MNG 的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的关键.9．如图P 为ABC ∆内一点，070,BAC ∠=0120,BPC ∠=BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ,则BFC ∠=（ ）A ．085B ．090C ．095D ．0100【答案】C【解析】 ∵070,BAC ∠= 0120,BPC ∠=∴∠ABC+∠ACB=110°，∠PBC+∠PCB=60°，∴∠ABP+∠ACP=(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=110°-60°=50°，∵BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，∴∠FBP+∠FCP=12 (∠ABP+∠ACP)=00150252⨯=； ∴∠FBC+∠FCB=∠FBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB=25°+60°=85°，∴BFC ∠=180°-（∠FBC+∠FCB ）=180°-85°=95°.故选C.点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，根据图形正确找出角与角之间的数量关系是解题的关键.10．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A．30B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【解析】【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．11．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）A．高B．角平分线C．中线D．不能确定【答案】C【解析】试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．12．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.【答案】(3，－1)【解析】分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC=BE，AD=CE，∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(−2,0)，∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，∴则B点的坐标是(3,−1).故答案为(3,−1).点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.14．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.【答案】6【解析】【分析】由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．【详解】解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，∴FP=FQ=3，∵∠ABC=90°，∴四边形BPFQ是正方形，∴BP=BQ=3．在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°，∵AF、CF是角平分线，∴∠FAC+∠FCA=45°，∴∠AFC=180°-45°=135°．易证△AFC≌△DFC（SAS），∴∠AFC=∠DFC=135°，∴∠ADF=90°，同理可得∠EFC=90°，∴∠MFN=360°-90°-90°-135°=45°．∵∠PFM+∠MFN=90°，∠MFN+∠QFG=90°，∴∠PMF=∠QFG，∵∠FPM=∠FQG=90°，FP=FQ，∴△FPM≌△FQG（ASA），∴PM=QG，FM=FG．在△FMN和△FGN中45FM FGMFN GFNFN FN=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△FMN≌△FGN（SAS），∴MN=NG，∴MN=NG=NQ+QG=PM+QN，∴△BMN的周长为：BM+BN+MN= BM+BN+ PM+QN=BP+BQ=3+3=6．故答案为：6．【点睛】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有__．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③④⑤【解析】【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解.【详解】①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；④∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，∵D，O，C，E四点共圆，∴∠OCD=∠OED，∴∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故④正确；⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键．16．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴ ∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB 和△EBD 都是Rt △，∵点E 运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB ，∴当BE=BA=12cm 或BE=AC=6cm 时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE 分别等于0cm 、6cm 、18cm 、24cm ，又∵点E 每秒钟移动3cm ，∴当点E 移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.17．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°．E 为AB 中点，D 为AC 上一点，BF∥AC 交DE 的延长线于点F ．AC=6，BC=5．则四边形FBCD 周长的最小值是______．【答案】16【解析】四边形FBCD 周长=BC+AC+DF ；当DF BC ⊥ 时，四边形FBCD 周长最小为5+6+5=1618．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级上册数学 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度．【答案】45【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可.【详解】如图所示△ACB 为Rt△，AD ，BE ，分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，AD ，BE 相交于一点F ． ∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD，BE ，分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，∴∠FAB+∠FBA=12∠CAB+12∠ABC=45°． 故答案为45.【点睛】此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质，关键是根据题意画出相应的图形，利用三角形的相关性质求解.2．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n －2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.3．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×50°=100°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.4．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=__．【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°，∴(n−2)×180°=1440°，解得：n=10.故答案为：10.5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．6．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积_____cm2．cm．【答案】242【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC，从而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离，从而能求出△OBC的面积．【详解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴可得BC=12cm，根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm，∴S△OBC=1×12×4=24cm2．2考点：1．三角形的面积；2．三角形三边关系．二、八年级数学三角形选择题（难）7．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（）A．化归思想B．分类讨论C．方程思想D．数形结合思想【答案】A【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．故答案为A．【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.8．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．x>5B ．x<7C ．2<x<12D ．1<x<6【答案】D【解析】如图所示:AB=5，AC=7，设BC=2a ，AD=x ，延长AD 至E ，使AD=DE ，在△BDE 与△CDA 中，∵AD=DE ，BD=CD ，∠ADC=∠BDE ，∴△BDE ≌△CDA ，∴AE=2x ，BE=AC=7，在△ABE 中，BE-AB ＜AE ＜AB+BE ，即7-5＜2x ＜7+5，∴1＜x ＜6．故选D ．9．已知直线m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】 先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。

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人教版八年级上册数学 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ∆；第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ∆，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作.【答案】4【解析】【分析】连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作：11177A B C ABC S S ∆∆==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===＜2020……直至第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===＞2020，即可得出结论．【详解】解：连接111,,AC B A C B∵111,,A B AB B C BC C A CA ===根据等底同高可得：111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S SS S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======∴第一次操作：11177A B C ABC S S ∆∆==＜2020同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===＜2020第三次操作333222377343A B C A B C S S ∆∆===＜2020第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===＞2020故要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过4次操作，故答案为：4．【点睛】此题考查的是三角形的面积关系和探索规律，掌握两个三角形等底同高时，面积相等是解决此题的关键．2．如图，ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=，则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒，利用外角定理得到∠DEH=96︒，由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒，∠A+∠ABC+∠ACB=180︒，∴∠D=12∠A=30︒， ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，∴∠DEG=∠HEG=48︒，∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒，∴n=78.故答案为：78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键.3．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF=1 2（∠BAF+∠C）；③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=12（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是_____．【答案】①②③④【解析】【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确；④证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确.【详解】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，∴∠BEF=12(∠BAF+∠C)， 故②正确；③∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠EBC ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=90︒-∠DFH ，∠AEB=90︒-∠DFH ，∴∠FGD=∠AEB∴∠FGD=∠ABE+∠C. 故③正确；④∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ，∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12(∠BAC-∠C)； 故④正确，故答案为①②③④.【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键4．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×50°=100°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.5．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．【答案】2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC，可得11243ABES∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADFS S S S S S∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S△ADF－S△BEF=26．如图，小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A点时，一共走了__米．【答案】600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+12∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠1）=90°-12∠1，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-12∠1）=90°+12∠1，∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD=12（∠ABC+∠1），∵∠ECD=∠OBC+∠2，∴∠2=12∠1，即∠1=2∠2，∴∠BOC=90°+12∠1=90°+∠2，∴①④正确，②③错误，故选C.本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积与△BCE的面积相等；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CHA．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】根据三角形中线的性质可得:△ABE的面积和△BCE的面积相等,故①正确,因为∠BAC＝90°,所以∠AFG+∠ACF=90°,因为AD是高,所以∠DGC+∠DCG=90°,因为CF是角平分线,所以∠ACF=∠DCG,所以∠AFG=∠DGC,又因为∠DGC=∠AGF,所以∠AFG＝∠AGF,故②正确,因为∠FAG+∠ABC=90°,∠ACB+∠ABC=90°,所以∠FAG=∠ACB,又因为CF是角平分线,所以∠ACB＝2∠ACF,所以∠FAG＝2∠ACF,故③正确,④假设BH＝CH,∠ACB=30°,则∠HBC=∠HCB =15°,∠ABC=60°,所以∠ABE=60°－15°=45°,因为∠BAC＝90°,所以AB=AE,因为AE=EC,所以AB=12AC,这与在直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半相矛盾,所以假设不成立,故④不一定正确,故选A.9．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为()A．20°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解析】【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-505°=35°，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．10．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（）A．9 B．4 C．5 D．13【答案】A【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【详解】设这个三角形的第三边为x．根据三角形的三边关系定理，得：9-4＜x＜9+4，解得5＜x＜13．故选A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．11．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=∠CGE，故正确．故选C．点睛：本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．12．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，点I是△ABC的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，在△ABI和△ADI中，AB=ADBAI=DAIAI=AI⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI≌△ADI（SAS）∴DI=BI又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC 中， ∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ，∴180=3066β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.14．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B 的坐标是__________.【答案】(3，－1)【解析】分析：过C 和B 分别作CD ⊥OD 于D ，BE ⊥CD 于E ，利用已知条件可证明△ADC ≌△CEB ，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B 点的坐标．详解：过C 和B 分别作CD ⊥OD 于D ，BE ⊥CD 于E ，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC=BE，AD=CE，∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(−2,0)，∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，∴则B点的坐标是(3,−1).故答案为(3,−1).点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.15．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7【解析】【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.【详解】如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，∵在△ABC中，AD是BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中BD CDBDE CDADE DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=CA=4在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE∵AB=10,AC=4,∴6＜AE＜14∴3＜AD＜7故答案为3＜AD＜7【点睛】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．【详解】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．17．如图，在△ABC中，AB AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．【答案】9.6【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ 的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.18．把两个三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，斜边12AB =，14CD =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15︒得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为_________．【答案】10【解析】试题分析：如图所示，∠3=15°，∠1E =90°， ∴∠1=∠2=75°， 又∵∠B=45°，∴∠OF 1E =∠B+∠1=45°+75°=120° ∴∠1D FO=60° ∵∠C 11D E =30°，∴∠5=∠4=90°， 又∵AC=BC ，AB=12， ∴OA=OB=6 ∵∠ACB=90°，∴CO=12AB=6， 又∵C 1D =CD=14， ∴O 1D =C 1D -OC=14-6=8， 在Rt △A 1D O 中，222211A 6810D OA OD =+=+=点睛：本题主要考查的就是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定以及勾股定理的应用.解决这个问题的关键就是首先根据三角形外角的性质以及旋转图形的性质得出△AO 1D 为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得出AO 和O 1D 的长度，最后根据直角三角形的勾股定理得出答案.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解析】 分析：由四边形ABCD 与四边形EFGC 都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE 与三角形DCG 全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG ,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO ,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形，∴CB=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE ，即∠BCE=∠DCG. 在△BCE 和△DCG 中，CB ＝CD ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ，∴△BCE ≌△DCG ，∴BE=DG ，故结论①正确.②如图所示，设BE 交DC 于点M ，交DG 于点O.由①可知，△BCE ≌△DCG ，∴∠CBE=∠CDG ，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO ，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC ，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO ， ∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE ⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.20．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．详解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP ，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB ，PA=PF ，故②正确．在△APH 和△FPD 中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF ，∴△APH≌△FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，∴点P 到AB 、AC 的距离相等，点P 到AB 、BC 的距离相等，∴点P 到BC 、AC 的距离相等，∴点P 在∠ACB 的平分线上，∴CP 平分∠ACB，故④正确．故选D ．点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．21．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ， ∵在?ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.22．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件HL，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；故选：B．点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．23．如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是( )A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【答案】A【解析】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；而B答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确；C 答案符合AAS ，证明两三角形全等，故不正确；D 答案是符合AAS ，能证明两三角形全等，故不正确.故选A.24．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的EAC ∠、ABC ∠、ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 分ADC ∠；⑤3BDC BAC ∠=∠。

人教版八年级数学上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=，453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的．()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.2．如图，AB=12cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=9cm ，点P 在线段AB 上以3 cm/s 的速度，由A 向B 运动，同时点Q 在线段BD 上由B 向D 运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当运动时间t=1（s ），△ACP 与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）将 “AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB=∠DBA ”，其他条件不变．若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能使△ACP 与△BPQ 全等. （3）在图2的基础上延长AC ，BD 交于点E ，使C ，D 分别是AE ，BE 中点，若点Q 以（2）中的运动速度从点B 出发，点P 以原来速度从点A 同时出发，都逆时针沿△ABE 三边运动，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇．【答案】（1）△ACP ≌△BPQ ，理由见解析；线段PC 与线段PQ 垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可； （2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ），∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC 与线段PQ 垂直.（2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912t t xt=-⎧⎨=⎩， 解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在31tx=⎧⎨=⎩或632tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等.（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，∵AC=BD=9cm，C，D分别是AE，BD的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q=1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q=32时，依题意得3x=32x+2×9，解得x=12.故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.3．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）【答案】（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）7 5【解析】【分析】（1）通过证明BCE CAD≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE∠=︒；（2）由（1）得到60AFE∠=︒，CE AD=则在Rt AHF△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在BCE和CAD中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ， 在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°，∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.4．如图，在ABC ∆中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 23BD CD =，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;(2)动点 P 从点 O 出发，沿线段 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q 从 点 B 出发沿射线BC 以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q 两点同时出发，当点 P 到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ∆的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF BO=.是否存在t值，使以点,,B O P为顶点的三角形与以点,,F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24QD t=-，t的取值范围是12t<<；②当点Q在射线DC上时，42QD t=-，，t的取值范围是152t <≤；（3）存在，1t=或53.【解析】【分析】（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC 上时，DQ=4t-2时；（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；【详解】解：（1）∵AD是高，∴90ADC∠=∵BE是高，∴90AEB BEC∠=∠=∴90EAO ACD∠+∠=，90EBC ECB∠+∠=，∴EAO EBC∠=∠在AOE∆和BCE∆中，EAO EBCAE BEAEO BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE∆≌BCE∆∴5AO BC==；（2）∵23BD CD=，=5BC∴=2BD，=3CD，根据题意，OP t =，4BQ t =，①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，∴21(24)22S t t t t =-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-， ∴21(42)22S t t t t =-=-，t 的取值范围是152t <≤ （3）存在． ①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴5-4t ═t ，解得t=1，②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴4t-5=t ，解得t=53． 综上所述，t=1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴=，OC OA∴∠=∠=OAC ACOα∴∠=∠︒=-，EAC DCBα180=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（22；（3）CE＝2GH，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝12∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE，即CE=2GH【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，∵BD＝DE，∴∠DBC＝∠E＝12∠ACB，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝12∠ACB＝∠E，∴CD＝CE，∴△DCE是等腰三角形（2）∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°∴DH＝CH，∵DH2+CH2＝DC2＝2，∴DH＝CH＝1，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G 是BC 中点 ∴AG ⊥BC ，AG ＝GC ＝BG ，∵BD ＝DE ，DH ⊥BC∴BH ＝HE ＝2+1∵BH ＝BG +GH ＝CG +GH ＝CH +GH +GH ＝2+1∴1+2GH ＝2+1 ∴GH ＝22（3）CE ＝2GH理由如下：∵AB ＝CA ，点G 是BC 的中点，∴BG ＝GC ，∵BD ＝DE ，DH ⊥BC ，∴BH ＝HE ，∵GH ＝GC ﹣HC ＝GC ﹣（HE ﹣CE ）＝12BC ﹣12BE +CE ＝12CE ， ∴CE ＝2GH【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.8．如图，在等腰直角ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是ABC △ 内一点，连接 AD ，AE AD ⊥ 且 AE AD =，连接 BD 、CE 交于点 F .（1）如图 1，求BFC ∠的度数；（2）如图 2，连接ED 交 BC 于点 G ，连接 AG ，若 AG 平分BAD ∠，求证：2EAC EDF ∠=∠；（3）如图 3，在（2）的条件下，BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ，DH AM ⊥，连接 HN ，若ADN ∆的面积与DHN 的面积差为 6，6DF =，求四边形 AMFE 的面积.【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形.【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形.【详解】（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以CAE CGE ∠=∠，由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=， 在AB 上截取AK AD =，连接KG ，因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以45ABN α∠=︒-，因为2BAD α∠=，所以45ADN α∠=︒+，因为902DAN α∠=︒-，所以45AND ADN α∠=︒+=∠，所以AD AN =，因为AD AE =，所以AE AN =， 过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，因为45ACE ABD α∠=∠=︒-，2CAE α∠=，所以45AET ANR α∠=︒+=∠， 因为AE AN =，所以ANR AET ≌，所以AR AT =，所以FA 平分BFT ∠， 所以45AFN AFE ∠=∠=︒，因为45AMN ∠=︒，所以AFM AMF ∠=∠，所以AF AM =，所以FR MR =，因为DR RN =，所以DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ， 因为45AMN ∠=︒，90DHM ∠=︒，所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒，所以HP PM DP ==，设DP x =，所以2DM FN x ==，设DR y =，所以2DN y =，所以2MR x y =+，因为45MAR ∠=︒，所以2AR MR x y ==+，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，因为226DF x y =+=，所以3x y +=，所以2y =，1x =，因为AF AF =，ANF AEF ∠=∠，所以AEF ANF ≌，所以FN EF =，因为AR AT =，所以AEF ANF ADM S S S ∆∆∆==，因为142ADM S DM AR ∆=⋅⋅=， 所以20ADM ADN ANF AEF AMFE S S S S S ∆∆∆∆=+++=四边形.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.9．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12BC ，点D 为BC 的中点，AB =DE ，BE ∥AC ．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）连结AD、AE、CE，如图2．①求证：CE是∠ACB的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE 是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.10．如图，在ABC中，已知AB AC=，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．（1）若37BAD∠=，求ACB∠的度数；（2）若6BC=，4AD=，5AB=，且CE AB⊥时，求CE的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出BP EP+的最小值．【答案】（1）53ACB∠=．（2）245CE=．（3）245.【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC是等腰三角形，ACB ABC∠∠=,AD是BC边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.【详解】解：（1）AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，AD 是 BC 边上的中线， 90ADB ∴∠=，37BAD ∠=，903753ABC ∴∠=-=，53ACB ∴∠=．（2）CE AB ⊥，1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅， 6BC =，4=AD ，5AB =，245CE ∴=． （3） 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系．_______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2， ∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．13．阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷培优测试卷

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人教版八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．【答案】30°【解析】【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中，ABD CBDBD BDAED DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°∴∠CAD＝∠EAD，∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，在Rt△ADE与Rt△ADG中，AD ADDE DG=⎧⎨=⎩，∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，∴DG＝DF．在Rt△CDG与Rt△CDF中，CD CD DG DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），∴CD为∠ACF的平分线，∠ACB＝74°，∴∠DCA＝53°，∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．故答案为：30°【点睛】本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．3．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示，连接BD，∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为：119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键.4．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD 为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD ，然后求出顶角∠COD ，再用360°减去∠AOC 、∠BOD 、∠COD 即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD 是等腰三角形，然后求出顶角是关键.5．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAC ∠，若130∠=，220∠=，则B ∠=__________．【答案】50°【解析】【分析】由角平分线的定义和已知可求出∠BAC ，由AD 是BC 边上的高和已知条件可以求出∠C，然后运用三角形内角和定理，即可完成解答.【详解】解：∵AE 平分BAC ∠，若130∠=∴BAC ∠=2160∠=；又∵AD 是BC 边上的高，220∠=∴C ∠=90°-270∠= 又∵BAC ∠+∠B+∠C=180°∴∠B=180°-60°-70°=50°故答案为50°.【点睛】本题考查了角平分线、高的定义以及三角形内角和的知识，考查知识点较多，灵活运用所学知识是解答本题的关键.6．如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数.【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACM 的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM ，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，ABC 的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到111A B C ．再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到222A B C ．…… 按此规律，倍长2018次后得到的201820182018A B C 的面积为（ ）A ．20176B ．20186C ．20187D ．20188【答案】C【解析】 分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的7倍，依此类推写出即可．详解：连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，△A 1BC 、△A 1B 1C 、△AB 1C 、△AB 1C 1、△ABC 1、△A 1BC 1、△ABC 的面积都相等，所以，S △A 1B 1C 1=7S △ABC ，同理S △A 2B 2C 2=7S △A 1B 1C 1=72S △ABC ，依此类推，S △AnBnCn =7n S △ABC ．∵△ABC 的面积为1，∴S △AnBnCn =7n ，∴S △A 2018B 2018C 2018=72018．故选C ．点睛：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．8．如图，三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若BOC ∆的面积=2，则四边形AEOD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】【分析】连接AO ，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD 与△BOE 的面积．列出关于△AOE 与△AOD 的面积的方程即可求出四边形AEOD 的面积．【详解】连接OA ，∵OB=OD ，∴S △BOC =S △COD =2，∵OC=2OE ，∴S △BOE =12S △BOC =1， ∵OB=OD ，∴S △AOB =S △AOD ，∴S △BOE +S △AOE =S △AOD ，即：1+S △AOE =S △AOD ①，∵OC=2OE ，∴S △AOC =2S △AOE ，∴S △AOD +S △COD =2S △AOE ，即：S △AOD +2=2S △AOE ②， 联立①和②：解得：S △AOE =3，S △AOD =4，S 四边形AEOD =S △AOE +S △AOD =7，故选D ．【点睛】本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．9．如图P 为ABC ∆内一点，070,BAC ∠=0120,BPC ∠=BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ,则BFC ∠=（ ）A ．085B ．090C ．095D ．0100【答案】C【解析】 ∵070,BAC ∠= 0120,BPC ∠=∴∠ABC+∠ACB=110°，∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠ABP+∠ACP=(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=110°-60°=50°，∵BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，∴∠FBP+∠FCP=12 (∠ABP+∠ACP)=00150252⨯=； ∴∠FBC+∠FCB=∠FBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB=25°+60°=85°，∴BFC ∠=180°-（∠FBC+∠FCB ）=180°-85°=95°.故选C.点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，根据图形正确找出角与角之间的数量关系是解题的关键.10．有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为、、3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确；由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确； 由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确. 故选：C11．如下图，线段BE 是ABC ∆的高的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．【详解】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高线的画法，掌握三角形的高的画法是解题的关键．12．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°AB=AC ，分别过点B 、C 做经过点A 的直线的垂线BD 、CE ，若BD=14cm ，CE=3cm ，则DE=_____【答案】11cm 或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D ，E 在BC 的同侧时，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥DE ，∴∠BDA ＝90°，∴∠BAD ＋∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠CAE ，∵CE ⊥DE ，∴∠E ＝90°，在△BDA 和△AEC 中，ABD CAE D EAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDA ≌△AEC （AAS ），∴DA ＝CE ＝3，AE ＝DB ＝14，∴ED ＝DA ＋AE ＝17cm ．如图，当D ，E 在BC 的两侧时，同法可证：BD ＝CE ＋DE ，可得DE ＝11cm ，故答案为：11cm 或17cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．14．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.①ABD ACE ∆≅∆②45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④180EAB DBC ∠+∠=︒【答案】①②③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即：∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AE=AD ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，故③正确；∵90BAC DAE∠=∠=︒，∴∠BAE+∠DAC=180°，∵∠ADB=∠E=45°，∴DAC DBC∠=∠，∴180EAB DBC∠+∠=︒，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．15．如图，ABE△，BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，连接OB，下列结论正确的有_________．①AD EC=；②BM BN=；③MN AC；④EM MB=；⑤OB平分AOC∠【答案】①②③⑤.【解析】【分析】由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可.【详解】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，AB BEABD EBCBD BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴AD=EC ，故①正确；∴∠DAB=∠BEC ，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM 和△EBN 中，MAB NEB AB BEABE EBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ABM ≌△EBN （ASA ），∴BM=BN ，故②正确；∴△BMN 为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN ∥AC ，故③正确；若EM=MB ，则AM 平分∠EAB ，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；如图作,,BG AD BH EC ⊥⊥∵由上可知△ABD ≌△EBC ，∴两个三角形对应边的高相等即BG BH =，∴OB 是AOC ∠的角平分线，即有OB 平分AOC ∠，故⑤正确.综上可知：①②③⑤正确.故答案为：①②③⑤.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质与平行线的判定是解题的关键.16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．【详解】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．17．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形的边长为______．41【解析】解：过B作直线BF⊥l3于F，交直线l1于点E．∵l1∥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴BE=4，BF=5．∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°．∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF=5．在Rt△AEB中，AB22414154AE BE22点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解答本题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△ABE ≌△BCF ，难度适中．18．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+BC=2BF ．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC ，△ACD ，△EFG ，△EGH ．已知∠ACB ＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【解析】【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【详解】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．20．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．21．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．22．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键23．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．24．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；②根据作图的过程可以判定出AD的依据；③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.解：如图所示，①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的∠平分线；故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD 的依据是SSS ；故②错误；③∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°， ∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D 在AB 的中垂线上.故④正确；故选C.“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 的度数是解题的关键.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．26．如图，∠MON ＝30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2，B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推，若OA 1＝3，则a 2=_______，a 2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1=6，得出a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而得出答案．【详解】解： 如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．28．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【分析】连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS．【详解】解：连接AP①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.29．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．∠=_______度．30．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则AFE【答案】72．【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==，BA BC =，36BAC BCA ︒∴∠=∠=，同理36ABE ∠︒＝，363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD ≌△ACD ；②2DE=2DF=AD ；③△ADE ≌△ADF ；④4BE=4CF=AB ．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 由等边三角形的性质可得BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ，从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，在△ABD与△ACD中90AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD，故①正确；在△ADE与△ADF中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ADE≌△ADF，故③正确；∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=2CF=BD，∵AB=2BD，∴4BE=4CF=AB，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.32．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC 中，∠B=32°，将△ABC 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH -∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D -∠DEH -∠EHF=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠BEH)=180︒-∠B -∠DEH -（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠D EH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH -(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH -180︒+64°+2∠DEH=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键33．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．34．如图，ABC ∆中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）A ．7B ．6C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】 连接BD 、AD,过点D 作DF ⊥CB 于点F ，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD ，DE=DF ，依据HL 定理可判断出Rt △AED ≌Rt △BFD ，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE ，再运用AAS 定理可证得Rt △CED ≌Rt △CFD ，证出CE=CF ，设AE 的长度为x ，根据CE=CF 列方程求解即可．【详解】如图, 连接BD 、AD,过点D 作DF⊥CB 于点F.∵AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，DE⊥AC，DF⊥BC，∴BD=AD，DE=DF ．∴Rt△AED≌Rt△BFD．∴BF=AE．又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA ，∴Rt△CED≌Rt△CFD，∴CE=CF，设AE 的长度为x ，则CE=10-x ，CF=CB ＋BF= CB ＋AE= 4＋x,∴可列方程10-x=4＋x ，x=3，∴AE=3；故选C.【点睛】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．35．如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G .下列结论：①45APB ∠=︒；。

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人教版八年级上册数学 全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=，453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的．()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°, ∵ABC △为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQC BOA ≅(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6, ∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,∴∠BPD=90°,∵ABD △是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP ,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOB BPD ≅∴AO=BP ,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=3∴m+n=23∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23∴整式2253m n +-3-（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12 EG,∴EN=12 EG,∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM),∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.3．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，在△ABE和△AFE中，AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=︒．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可；（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD=BD ，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴ΔDEF为等腰直角三角形.（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴△ADE≌△CDF，∴S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BD E+S∆CDF，∴ S∆ABC=2 S四边形AEDF,∴S四边形AEDF=3.5 .（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC,AD=BD ，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．在等边ABC中，点D是边BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E.连接CE并延长，交射线AD于点F.（1）如图，连接AE，①AE 与AC 的数量关系是__________；②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，由ABC 是等边三角形，得AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解； （2）作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，易证∆FCG 是等边三角形，得GF=FC ，再证∆ACG ≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF ，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，∴AB 和AE 关于射线AD 的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE ；②∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，∴AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α， ∵ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC ， ∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦， ∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α. （2）AF-EF=CF ，理由如下：作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.7．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.8．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°，∴BF ＝2DF ，∵BF ＝2AF ，∴BF ＝AD ，∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，∴△BFC ≌△ADB ，∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，∴BF ⊥CF（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK．∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ，∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求证：△AOC≌△BEC；（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，∴∠CAM=12∠BAC=30°，故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.10．（阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________（拓展延伸）（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由;（知识应用）（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）7276+ 【解析】【分析】（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=，结合120BDC ︒∠=知180ABD ACD ︒∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论； （2） 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.【详解】解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，ABC 是等边三角形,60AB AC BAC ︒∴=∠=120BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠60BAC ︒∠=60BAD DAC ︒∴∠+∠=60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠=ADE ∴是等边三角形DA DE DC CE DC DB ∴==+=+（2）2DA DB DC =+延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，90BAC ︒∠=，90BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠,AB AC CE BD ==()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠90DAE BAC ︒∴∠=∠=222DA AE DE ∴+=222()DA DB DC ∴=+2DA DB DC =+（3）连接PQ ，14,30MN QMN ︒=∠=172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-==由（22PQ QN QM =+773727622PQ ++∴===【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=- ()()324 111,x x x x x -+++=- ()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++【答案】（1）1nx -；（2）311-5；（3）2020213--【解析】 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果. 【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x xx x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+=201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+=2020(2)13---=2020213--【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.12．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等． 对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12． 解法一：设x 2+5x ＝y ，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1) ＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)． 解法二：设x 2+5x+2＝y ，则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3) ＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)． 解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3) ＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)． 按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式： (1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10； (2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2； (3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2． 【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1) (2)(266x x ++)2 (3) (x+y-xy-1)2【解析】 【分析】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；（2）()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可； （3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解. 【详解】 （1）令m=2x x +, 原式=()()4m 310m -++ =m 2-m-2=(m-2)(m+1) = (2x x +-2)(2x x ++1) =(x+2)(x-1) (2x x ++1)(2)()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++， 原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2 =(n+x)2=(266x x ++)2(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+- =(a-b)2-2(a-b)+1 =(a-b-1)2 =(x+y-xy-1)2 【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.13．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）．如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并且规定F （n ）＝p q ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F （18）＝3162=．请解答下列问题：(1)计算：F （24）；(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝1n． 【答案】(1) 23；(2) 1n. 【解析】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， 其中4与6的差的绝对值最小， ∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n.点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．14．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，∴321是“和数”，2232-1=，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知103817m b c =++（0714b c ≤≤≤≤，，且,b c 均为整数）是一个“和数”，请求出所有m ．【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）880m =或853或826. 【解析】 【分析】（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；（2）设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ，个位数字为z ，根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=（y+z ）（y-z ），由x+y+z=（y+z ）（y-z ）+y+z=（y+z ）（y-z+1）及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得． 【详解】（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.（2）设：“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z （19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数）， 由题意知，()()22x y z y z y z =-=+-，∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+， z∵y z +与y z -奇偶性相同， ∴y z +与1y z -+必一奇一偶，∴()()1y z y z +-+必是偶数，∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （3）∵07b ≤≤， ∴229b ≤+≤， ∵14c ≤≤， ∴3312c ≤≤， ∴103719c ≤+≤， ∴817103m b c =++，()()810011037b c =⨯++⨯++ ()()81002103710b c =⨯++⨯++- ()()810021033b c =⨯++⨯+-，∵m 为和数， ∴8233b c =++-， 即39b c +=，∴61b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩或03b c =⎧⎨=⎩，∴880m =或853或826. 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．15．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用字母表示） （应用）请应用这个公式完成下列各题①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为 ②计算：(2)(2)a b c a b c +--+ （拓展）①()()()()24832(21)21212121+1+++++结果的个位数字为②计算：222222221009998974321-+-++-+-【答案】[探究]（1）a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；[应用]①3；②4a2﹣b2+2bc﹣c2；[拓展]①6；②5050．【解析】【分析】[探究]（1）由面积公式可得答案；（2）公式由（1）直接可得；[应用]①用平方差公式分解4m2﹣n2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．【详解】（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2=12，2m+n=4，4m2﹣n2=（2m+n）（2m﹣n），∴（2m﹣n）=12÷4=3．故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）=[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]=4a2﹣（b﹣c）2=4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1=（216﹣1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264．∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．故答案为：6．②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求111111 a b c+++++的值．【答案】（1）甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xzyz+倍；（2）1【解析】分析：（1）先求出乙丙合作完成时间，再用甲单独完成的时间除以乙丙合作完成时间即可求解；（2）根据“甲单独作完成的天数为乙丙合作完成天数的a倍”，可得x=11ay z+，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得11a+=yzxy yz xz++；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的b倍”，可得11b+=xzxy yz xz++；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的c倍”，可得11c+=xyxy yz xz++，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果．详解：（1）x÷[1÷（1y+1z）]=x÷[1÷y z yz+]=x÷yz y z +=xy xz yz+．答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xzyz+倍；（2）由题意得x =11ayz +①，y =11bx z+②，z =11cx y +③．由①得a =x y +x z ，∴a +1=x y +x z +1，∴11a +=11x x y z++=yz xy yz xz ++；同理，由②得11b +=xz xy yz xz ++； 由③得11c +=xy xy yz xz++； ∴111111a b c +++++=yz xy yz xz +++xz xy yz xz +++xy xy yz xz ++=xy yz xz xy yz xz++++=1． 点睛：本题主要考查分式方程在工程问题中的应用及代数式求值．工程问题的基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间．注意两人合作的工作效率等于两人单独作的工作效率之和．本题难点在于将列出的方程变形，用含有x 、y 、z 的代数式分别表示11a +、11b +、11c +的值．17．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？ 【答案】 返回时的平均速度是80千米/小时. 【解析】分析：根据题意，设去时的平均速度是x 千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可. 详解：设去时的平均速度是x 千米/小时.由题：90120181.660x x =+ 解得：50x =检验：50x =是原方程的解.并且，当50x =时，1.680x =，符合题意. 答：返回时的平均速度是80千米/小时.点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.18．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由.【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元【解析】【分析】（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．【详解】解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天，根据题意，得611161 x x2x⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得x＝30经检验，x＝30是原方程的根，则2x＝2×30＝60答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11y13060⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得y＝20需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．19．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【答案】（1）0x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以()2x-得()5321x+-=-解得0x=经检验，0x=是原分式方程的解.（2）设？为m，方程两边同时乘以()2x-得()321m x+-=-由于2x=是原分式方程的增根，所以把2x=代入上面的等式得()3221m+-=-1m=-所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.【详解】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得: 1551511.5x x++=．。

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