拱桥的计算
第三章拱桥计算该看
2）拱轴系数的确定
（4）拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系
矢跨比大，拱轴系数相应取大； 空腹拱的拱轴系数比实腹拱的小 ； 对于无支架施工的拱桥，裸拱 m 1 ,为了改善裸拱受力状态，设计时宜选较小 的拱轴系数；
矢跨比不变，高填土拱桥选小 m ，低填土拱桥选较大 m
3）拱轴线的水平倾角
y1
2、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱截面应力不均匀 的现象。在板拱情况下常常不计荷载横向分布，认为主 拱圈全宽均匀承担荷载。肋拱桥则需考虑横向分布的影 响。
3 内力叠加法与应力叠加法：应力叠加法考虑加载历史，认为 材料是在弹性限度内，内力叠加法按一次成形、一次加 载计算，不考虑应力累加历史。
如果考虑材料的塑性变形、收缩徐变引起的内力重分布， 则内力叠加法也有其合理性。
(ch k 1) 2
f
m 1
m 1 1
2
m 1
1 2(m 1) 2
k
y1/ 4
(ch 1) 2
m 1 1
2
1
f
m 1
m 1
2(m 1) 2
2）拱轴系数的确定
（1）实腹式拱桥拱轴系数的确定
g d 1hd 2d
gj
1hd
2
d
cos j
线外形与施工简便等因素。
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴 线的原则：尽可能减小主拱圈的弯矩，同时考虑拱轴线外形 与施工简便等因素。
实际工程中由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收缩等因 素的作用，不存在理想拱轴线（或者说压力线与拱轴线不可能 是吻合的）。
根据混凝土拱桥恒载比重大的特点，在实用中一般采用恒载 压力线作为拱轴线，恒载作用愈大，这种选择就愈显得合理。
§9.3拱桥的计算
y1ds ∫s EI (9.21) ys = ds EI f (chξk − 1) (6) y1 = m −1
dx l1 = = dξ = l 1 + tg 2ϕ dξ ds cos ϕ cos ϕ 2
l = 1 + η 2 sh 2 kξ dξ 2
f ys = ⋅ m −1
∫0 (chkξ − 1)
2
−1
(
)
(7 )
（2）若已知m，则y1由（6）求得，换言之，当跨径和矢 高确定后， y1仅随m而变化，故有不同的m可得到不同的 拱轴线形状。其线形特征可用1/4点纵坐标的大小表示：
y1 =
4
f ⎛ k ⎞ ⎜ ch − 1⎟ m − 1⎝ 2 ⎠
k chk + 1 m +1 Q ch = = 2 2 2
y1 ∴
4
f
=
m +1 −1 1 2 = m −1 2(m + 1) + 2
(8)
可见，随m 增大，拱轴线抬高
（3）一般的拱桥中，
g j > gd
故 m>1(悬连线拱的拱轴系数，宜采用2.814~1.167， 随跨径的增大或矢跨比的减小而减小)； 当m=1时，表示恒载压力均布，压力线为二次抛物 线，
9.3 拱桥的计算
拱桥计算包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定验 算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算。
9.3.1 悬链线拱的拱轴方程及几何性质
（一）实腹式悬链线拱 采用恒载压力线（不计弹性压缩）作为拱轴线
M d = 0 Qd = 0
Hg
1、悬链线拱轴方程
Mx 对任意截面取矩： y1 = Hg
' 22
第4篇第3章 拱桥的计算
5
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.2. 考虑弹性压缩引起的内力 在恒载产生的压力作用下，拱沿轴线方向会产生弹性压 缩。由此将在超静定结构上产生内力。水平赘余力为：
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.3.恒载作用下拱圈各截面的总内力 符号规定
x
φj
Q N M
g x = g d + γ ⋅ y1
y1
m=
gj gd
g γ = (m − 1) d f
l1=l/2
y1
g j = gd + γ ⋅ f
1
第三章 拱桥的计算 3.2简单体系拱桥的计算
3.2.1. 悬链线拱的几何性质 z 实腹式悬链线拱的荷载分布 x z 拱轴系数 z 拱轴线方程
gx y1 x=ξl1 f gd
s
弹性中心
y1
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.1. 不考虑弹性压缩的恒载内力 实腹式悬链线拱的恒载内力
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.1. 不考虑弹性压缩的恒载内力 空腹式悬链线无铰拱的恒载内力： 直接根据静力平衡条 件写出：
g l2 H g = kg d f
( H g + ∆X 2 ) sin ϕ ± ∆X 2 sin ϕ
6
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.4. 计算实例
如图所示无铰拱， 计算跨径l=80m，主拱圈及拱上建筑恒载见图，主 拱圈截面面积A=5.0m2，截面惯性矩I=1.0m4，容重γ=25kN/m3 。试应用 “五点重合法”，
②
确定拱桥拱轴系数m 计算
拱桥设计计算
目录等截面悬链线圬工拱桥上部构造设计 (1)一设计资料 (1)1.1总体布置 (1)1.2拱上建筑 (1)1.3主拱圈 (1)1.4设计荷载 (1)1.5采用规范 (1)二拱轴系数确定 (2)2.1五点重合法 (2)2.2拟定上部构造尺寸 (2)2.3 自重恒载计算 (4)2.4验算拱轴系数 (7)三主拱圈恒载内力计算 (8)四主拱圈活载内力计算 (10)五主拱圈温度内力计算 (13)六主拱圈强度验算 (14)6.1主拱圈截面受压强度验算 (14)6.2 主拱圈截面直接受剪强度验算 (16)七主拱圈整体强度-稳定性验算 (17)八裸拱强度及稳定性验算 (18)8.1 裸拱截面强度验算 (18)8.2 裸拱整体强度-稳定性验算 (19)九附录 (20)附录1 恒载内力计算结果 (20)附录2 内力影响线结果 (21)附录3 裸拱内力计算结果 (23)等截面悬链线圬工拱桥上部构造设计一设计资料1.1总体布置上部构造采用石砌板拱，净跨径l0=35m，净矢高f0=7m，净矢跨比f0l0=15。
桥面净空：净 7+2x0.75m 人行道，桥梁全宽 9m，主拱圈宽度 B=8.5m。
1.2拱上建筑拱顶侧墙为浆砌片石，实腹段拱腔填料为砂砾夹石灰炉渣黄土，平均重力密度为γ1= 19kN/m3。
桥面系按此重力密度和主拱圈宽度折算的厚度为ℎq=0.28m。
腹拱圈护拱为浆砌片石，包括侧墙平均重力密度为γ2=25kN/m3.腹拱圈为10号砂浆砌30号粗料石，腹拱墩为7.5号砂浆砌30号块石，两者重力密度均为γ3=25kN/m3。
实腹段拱腔填料为砂砾夹石灰炉渣黄土，包括侧墙、护拱、平均重力密度为γ4=19kN/m3。
1.3主拱圈材料为M10砂浆砌MU50块石，重力密度γ5=24kN/m3。
主拱圈设计温度差为±16℃；岩石地基，不考虑基础的非均匀沉降。
主拱圈材料轴心抗压强度设计值f cd=3.85MPa,直接抗剪强度设计值f vd=0.073MPa,弹性模量E m=7300MPa。
第三节拱桥计算
（1）不考虑弹性压缩旳恒载内力--实腹式拱
以为实腹式拱轴线与压力线完全重叠，拱圈
中只有轴力而无弯矩，按纯压拱计算：
恒载水平推力： H g
m 1 4k 2
gdl2 f
kg
gdl2 f
(0.128 ~ 0.18)
gdl2 f
拱脚竖向反力为半拱恒载重力：
Vg
l1 0
g x dx
m2 2 ln(m
3、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱 截面应力不均匀旳现象。在板拱情况下经常 不计荷载横向分布，以为主拱圈全宽均匀承 担荷载。 4、计算措施：手算和程序计算。
第三节 拱桥计算
一、拱轴线旳选择与拟定 二、拟定拱轴系数 三、主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算 四、主拱圈截面内力计算 五、主拱圈正截面强度验算 六、主拱圈稳定性验算 七、主拱圈裸拱强度和稳定性验算 八、主拱圈应力调整
第三节 拱桥计算 一、拱轴线旳选择与拟定 二、拟定拱轴系数 三、主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算 四、主拱圈截面内力计算 五、主拱圈正截面强度验算 六、主拱圈稳定性验算 七、主拱圈裸拱强度和稳定性验算 八、主拱圈应力调整
2.3.3 主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算
1 悬链线无铰拱旳弹性中心
采用恒载压力线作为拱轴线，在恒载作用下不 考虑拱圈变形旳影响时，拱圈各截面均只有轴向压 力，此时拱圈处于纯压状态。但是拱圈材料有弹性， 它在恒载产生旳轴向压力作用下会产生弹性压缩， 使拱轴长度缩短，这种现象称为拱旳弹性压缩。因 为无铰拱是超静定构造，弹性压缩引起拱轴旳缩短， 会在拱中产生内力，在设计中为了计算以便将恒载 压力分为两个部分，即：不考虑弹性压缩引起旳内 力与弹性压缩引起旳内力。两者相加，得到恒载作 用下旳总内力。
拱桥内力计算
X 1 , X 2 , X 3 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等
分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用 式（1－2－60），得出 X 1 , X 2 , X 3 影响线的竖坐标（如下图）。
dx 0 0 EA cos 1 H H1 ' y 2 ds 22 1 (1 ) s EI 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 1＋－1 H＝H1＋H H1 H1 1 ＝H1 1 1＋ H1
l
dx EA cos
H1
l
式中：
1
1
, ,
为系数，可查相应的表格得到；
为了计算变位，在计算MP时，可利 用对称性，将单位荷载分解为正对 称和反对称两组荷载，并设荷载作 用在右半拱。
M 1M P 1P ds s EI M 2M P 2 P ds s EI M M 3 P 3 P ds s EI
M Hg cos ＋X 2 cos
1 ( H g X 2 ) cos 1
1 ( H g X 2 )( y s y1 ) M 弯 矩： 1 Q 1 ( H g X 2 ) sin X 2 sin 1 剪 力：
（1－2－57）
其中：
dx l 1 d cos 2 cos 1 1 cos 1 tg 2 1 2 sh 2 k ds
M 12 l 11 ds s EI EI
l
0
1 2 sh 2 k d
l 1 EI 1
2kf l (m 1)
拱桥计算步骤
目录一、确定拱轴系数 ................................................. 错误！未定义书签。
1 拟定上部结构尺寸 ....................................... 错误！未定义书签。
2 腹拱墩计算 ................................................... 错误！未定义书签。
3 恒载计算........................................................ 错误！未定义书签。
4 验算拱轴系数 ............................................... 错误！未定义书签。
二、拱圈弹性中心及弹性系数 ............................. 错误！未定义书签。
三、主拱圈截面内力计算 ..................................... 错误！未定义书签。
四、拱的强度验算用的公路─Ⅱ汽车荷载效应.错误！未定义书签。
1 拱顶截面........................................................ 错误！未定义书签。
2 拱脚截面........................................................ 错误！未定义书签。
3 拱顶、拱脚截面汽车荷载效应汇总如下表错误！未定义书签。
五、拱的强度验算用的人群荷载效应................. 错误！未定义书签。
六、温度作用效应 ................................................. 错误！未定义书签。
七、拱的整体“强度-稳定”验算用的荷载效应错误！未定义书签。
八、拱脚截面直接抗剪强度验算用的荷载效应.错误！未定义书签。
拱桥的计算
gd o
y1
第三章 拱桥的计算
3.1.2. 空腹式悬链线拱 五点重合法
三铰拱的情形
M A 0 H g
Mj f
M B 0 H g
Ml 4 yl 4
yl 4
Ml 4
f Mj
B
A l1=l/4
Δy l1=l/4
Hg y1/4
f
y1 4 f
1
2m 1 2
3.1.1. 实腹式悬链线拱 实腹式悬链线拱轴系数的确定
φj
φj
d
hj h d /cosφj
d /cosφj
r1 r2 r
hd
d
x=ξl1
f
φj
l1=l/2
第三章 拱桥的计算
3.1.1. 实腹式悬链线拱 拱轴系数与悬链线线 形的关系
m gj
gj
gd
y1 4 f
1
2m 1 2
x
yl 4
Ml 4
f Mj
2
m
1 2
f yl
4
2
1
第三章 拱桥的计算
3.1.2. 空腹式悬链线拱 五点重合法 三铰拱的实际压力线与按五点重合法 确定的悬链线的差异
Δy B
压力线与拱轴线偏离在拱中产生 附加内力
A l1=l/4
l1=l/4
A Mp=ΔyHg B
Hg y1/4
d 2M dx2
x
gd Hg
1 (m 1)
y1 f
x=ξl1 dx=l1dξl1
d 2 y1
d 2
l12 gd Hg
拱桥计算
m m
m m
g d = hd γ 1 + γd
(9.10)
g j = hd γ 1 + hγ 2 +
d γ cosϕ j
(9.11)
式中：hd——拱顶填料厚度，一般为 30～50cm； d——拱圈厚度； γ——拱圈材料重力密度； γ1——拱顶填料及路面的平均重力密度；
φj——拱脚处拱轴线的水平倾角。 由几何关系有：
任意点的恒载集度gx可以表示为：
（9.5）
g x = g d + பைடு நூலகம்y1
式中：gd——拱顶恒载集度； γ——拱上材料重力密度。 令：
(9.6)
m=
式中：gj——拱脚处恒载集度。
gj gd y1 ⎤ f ⎥ ⎦
(9.7)
由前面两式可得： g x = g d ⎢1 + (m − 1)
⎡ ⎣
联立求解式（9.5） 、式(9.6)和式（9.7） ，并引入参数：
图 9.37 悬链线拱轴计算图式
拱顶截面的弯矩 M d = 0 ，由于对称性，剪力 Qd = 0 ，于是拱顶截面仅有恒载推力 H g 。对 任意截面取矩可得：
y1 =
Μx Ηg
（9.4）
式中：Mx——任意截面以右的全部横载对该截面的弯矩值； Hg——拱的恒载水平推力。 对 x 求二阶导得：
d 2 y1 1 d 2Μ x g x . = = dx 2 Ηg Η g dx 2
线与恒载压力线在拱顶、跨径四分之一点和拱脚五个点相重合（称为“五点重合法”)。计算 表明，采用悬链线拱轴对空腹拱主拱的受力是有利的。因此，悬链线是目前大、中跨径拱桥 采用最普遍的拱轴线形。 下面介绍悬链线拱轴方程及几何性质。 如图 9.37 所示为悬链线拱轴计算图式。设拱轴线即为恒载压力线，故在恒载作用下，
拱桥工程量计算
拱桥工程量
净跨径L0 拱矢比（f0/L0)
f0
内半径r
5.00
0.25
1.25
3.13
2 拱上侧墙
①
1/2拱
②
1/3拱
净跨径L0
拱角x
参数l
侧墙体积
5.00
0.28
5.56
6.13
③
1/4拱
5.00
0.28
5.56
6.13
④
1/5拱
8.50
0.24
8.98
16.46
3 U型桥台
①
台身
涵长
桥台顶宽W 桥台底宽a1 拱角x
11.00
1.50
1.98
0.28
8.00
1.20
2.47
0.46
②
侧墙 桥台底宽a1 桥台顶宽W
拱角x
拱角y
1.98
1.50
0.28
0.21
侧墙底宽C1
襟边dd
基础侧边长A 基础厚度D
1.69
0.10
2.29
0.60
4 桥台护拱
护拱尖角至拱圈 顶部水平距离S’
外半径R
拱圈厚度d 0.35
外半径R 拱半内角φ0
3.48
0.93
拱角x 0.28
拱角y 0.21
拱轴长度S 6.12
拱角y 0.21 0.19 侧墙高H 4.35 基础宽度 1.89
桥台高h 1.90 4.88
桥台高h 1.90
基础体积 5.19372
台身体积V 40.00 74.08
侧墙边坡m' 4.00
1.50
3.70
拱桥计算理论
（4）建模时，根据联合作用的大小，选择主拱或拱圈和拱 上建筑的建模图式。
一、概 述 Introduction
1、联合作用：荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受力；
（5）主拱圈不计联合作用的计算偏于安全，但拱上结构不 安全，不合理。
（6）梁板式拱上建筑不考虑联合作用，拱式拱上建筑考虑 联合作用。
（7）整体型上承式拱桥必须考虑联合作用。
一、概 述 Introduction
2、活载横向分布：活载作用不论是否在桥面中心， 使主拱截面应力不均匀的现象。
（1）活载横向分布与许多因素有关，主要与桥梁的横向 构造形式有直接关系。
（2）在板拱、箱拱情况下常常不计荷载横向分布，认为 主拱圈全宽均匀承担荷载。
（ Calculation of Arch Bridges ）
一、拱轴线的选择与确定 二、主拱圈结构恒载与使用荷载内力计算 三、主拱附加内力计算 四、主拱在横向水平力及偏心荷载下计算 五、拱上建筑计算 六、连拱作用计算简介 七、拱桥动力及抗震计算要点 八、主拱内力调整 九、考虑几何非线性发主拱内力计算简介 十、主拱圈结构验算
程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线
性。材料的应力、应变关系满足广义虎克定律；位移是微小的；约束 是理想约束。
只要研究对象不能满足线性问题基本假定中任何一个时，就转化为各
种非线性问题。
一、概 述 Introduction
3、非线性影响考虑
（1）什么是非线性？ Odin说过“ 我们生活在一个非线性世界里”。 线性理论在许多情况下并不适用，开始了对非线性力学问题的研究。 固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方程和平衡方
拱桥设计计算内容及方法
拱桥设计计算内容及方法
2.拱桥整体受力计算：拱桥是一个整体结构，因此需要进行整体的受
力计算。
这包括确定整个拱桥受力的大小、方向和分布情况，以及确定拱
桥的整体稳定性。
常用的方法包括静力学平衡方法、弹性力学方法和有限
元方法等。
3.拱桥的固有频率计算：拱桥是一个动力结构，其固有频率对于设计
的安全性是非常重要的。
因此，需要计算拱桥的固有频率，以评估其在自
然频率下的抗风、抗震等性能。
4.应力和变形计算：拱桥在使用过程中会受到荷载的作用，因此需要
计算拱桥在荷载作用下的应力和变形情况，以评估拱桥的安全性能。
常用
的方法包括弹性力学法、有限元法等。
5.断面设计：根据拱桥的受力情况，进行断面设计，包括确定构件的
尺寸和材料。
断面设计需要满足强度和刚度的要求，同时还要考虑构件的
自重和施工的可行性等因素。
6.水力条件计算：对于水上拱桥来说，还需要计算水流对拱桥的冲击
力和涌浪力等水力条件，以评估拱桥的稳定性和安全性。
在进行拱桥设计计算时，常用的工具和软件包括AutoCAD、ANSYS、STAAD.Pro等。
这些工具可以帮助工程师进行受力分析、应力计算和断面
设计等。
同时，还需要参考相关的设计规范和规范，如公路桥梁设计规范、钢结构设计规范等，以确保拱桥的设计计算符合规范和标准的要求。
总之，拱桥设计计算是一项复杂而关键的工作，需要对拱桥结构进行
全面的受力、应力和变形分析，并根据工程实际要求和设计规范进行设计。
只有进行合理的设计计算，才能保证拱桥的安全性和可靠性。
拱桥的计算
3、抛物线（三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴线为抛物线） 在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。
对于恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢
筋混凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥）， 往往可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：
y1
4f 2 x 2 l
1）拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
赘余力X1（弯矩），X2 （轴力）为对称，而X3 （剪力）是反对称的，故 有副系数
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。 对拱脚取矩，由 M A 0 有：
Hg M f
（9-3-17）
j
对l/4截面取矩，由 MB 0 有：
Hg M
1/ 4
H g y1/ 4 M 1/ 4 0 y1/ 4
代上式到式（9-3-17），可得：
y1/ 4 f
M 1/ 4 M
拱桥的计算
9.3.1概述
联合作用与横向分布： 活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同承受活 载的作用，称为“拱上建筑与主拱的联合作用”或简称“联 合作用”。 在横桥方向，活载引起桥梁横断面上不均匀应力分布的出 现，称为“活载的横向分布”。 联合作用：偏于安全可不考虑。 横向分布：板、双曲、箱可不考虑，刚架拱、桁架拱要考 虑。 拱桥计算包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定验 算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算。
拱桥高度计算公式讲解
拱桥高度计算公式讲解拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，它不仅可以承载重量，还可以起到装饰作用。
在设计和建造拱桥时，计算拱桥的高度是非常重要的一步。
拱桥的高度不仅影响着拱桥的外观美观，还直接关系到拱桥的承重能力。
因此，掌握拱桥高度的计算公式是非常重要的。
在计算拱桥的高度时，需要考虑到多个因素，包括拱桥的跨度、拱的形状、荷载等。
下面将从这些因素出发，介绍拱桥高度的计算公式。
首先，拱桥的跨度是计算拱桥高度的重要因素之一。
拱桥的跨度指的是两个支墩之间的距离，通常用L来表示。
在计算拱桥高度时，可以使用以下的公式：H = L/10。
在这个公式中，H代表拱桥的高度，L代表拱桥的跨度。
这个公式是根据经验公式得出的，对于一般情况下的拱桥设计是比较合适的。
但需要注意的是，这个公式只是一个估算值，实际设计中还需要考虑其他因素。
其次，拱桥的形状也会影响拱桥的高度。
一般来说，拱桥的形状可以分为三种，圆拱、平拱和梯形拱。
不同形状的拱桥对应着不同的高度计算公式。
对于圆拱来说，其高度计算公式为：H = L/15。
在这个公式中，H代表拱桥的高度，L代表拱桥的跨度。
与之前的公式相比，圆拱的高度计算公式系数稍大一些，这是因为圆拱的结构更加稳定，可以承受更大的荷载。
对于平拱来说，其高度计算公式为：H = L/20。
在这个公式中，H代表拱桥的高度，L代表拱桥的跨度。
平拱的结构相对较为简单，因此其高度计算公式系数相对较小。
对于梯形拱来说，其高度计算公式为：H = (L+2h)/15。
在这个公式中，H代表拱桥的高度，L代表拱桥的跨度，h代表拱的高度。
梯形拱的结构比较特殊，需要额外考虑拱的高度对整体高度的影响。
除了跨度和形状外，荷载也是影响拱桥高度的重要因素之一。
在实际设计中，需要根据拱桥所承受的荷载情况来确定拱桥的高度。
一般来说，荷载越大，拱桥的高度就需要越大。
总结一下，拱桥高度的计算公式主要与拱桥的跨度、形状和荷载有关。
对于一般情况下的拱桥设计，可以使用经验公式来进行估算。
拱桥的计算
第三章 拱桥的设计
第二节 拱轴系数的选择和拱上建筑的布置
一、概述
拱轴线的选择与确定
恒载内力 活载内力
拱
温度、收缩徐变
桥 成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算 拱脚变位
的 计
内力调整
算
拱上建筑的计算
施工阶段的内力分析和定验算
1
2
时， y1
y1/ 4
；代
1 2
到悬链线方程
y1
f (chk m 1
1)
半元公式
chk m
y1/4 1 (ch k 1) f m 1 2
ch k Βιβλιοθήκη hk 1 m 122
2
y1/ 4
m 1 1
2
1
f
m 1
2(m 1) 2
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
2h
d cos j
计算出g j，连同（4-3-13） gd 1hd d 由
m gj gd
计算出m值。
d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值；如两者相 差较大， 则以计算出的m作为假设值，重新计算，直到两者相 等。
拱轴线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
当
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
y1
f m 1
(chk
1)
为悬链线方程。
双曲余弦函数
（4-3-11）
chk ek ek
2
•对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（4-3-11）
y1
f (chk
m 1
1)
得：
chk m
第三篇 第四章---拱桥的计算
当m=1时，y1/4 /f=0.25，是悬链线中最低的曲线，即二次抛物 线。 拱轴系数m与y1/4/f关系表
1.000 1.167 1.347 1.543 1.756 1.988 2.240 2.514 2.814 3.142 3.5 y1/4/f 0.250 0.245 0.240 0.235 0.230 0.225 0.220 0.215 0.210 0.205 0.2
l12 g d k2 (m 1) Hg f
恒载水平推力Hg ：利用上式有
l1 l / 2
gd l 2 m 1 gd l Hg kg 2 4k f f
2
其中：
m 1 kg 4k 2
k ch m ln(m m 1)
2
1
拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即
Vg g x dx g xl1d
0 0 l1 1
代
y1 g x g d y1 g d 1 (m 1) f
m2 1 2[ln(m m 2 1)]
' gd l kg gd l
到上式，并积分，有
Vg
其中
Vg
m2 1 2[ln(m m 2 1)]
S的计算
由变形相容方程有： S ' l 0 22 其中：
S
l
' 22
l
N
Hg cos
代入上式有：
Nds l dx ds cos cos 0 s s EA
dx l Hg 0 EA cos 0 EA cos
l l
16-2拱桥计算总结
y1 C1e k C2 e k
边界条件：
0
dy1 y1 0, 0 d
f 悬链线方程为： y1 (cosh k 1) m 1
1）拱轴方程的建立
（4）基本微分方程的求解
f y1 (chk 1) m 1 拱的跨径和矢高确定后，拱轴线坐标取决于
m ，各种不同m ，所对应的拱轴坐标可由
2）拱轴系数的确定
（1）实腹式拱桥拱轴系数的确定
确定拱轴系数的步骤： 假定m 从《拱桥（上）》第1000页附录III表(III)-20查 由（1-2-25）式计算新的m 若计算的m 和假定m 相差较远，则再次计算m 值 直到前后两次计算接近为止。 以上过程可以编制小程序计算。
cos j
对于无铰拱，偏离弯矩的大小不能用
y 表示，即 M p H g y
空腹式无铰拱的拱轴线与压力线的偏离
M p H g y
表示，而应以该偏离弯矩作为荷载计算无铰拱的偏离弯矩；
2）拱轴系数的确定
（3）拱轴线与压力线的偏离
由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为：
X 1
（2）空腹式拱桥拱轴系数的确定
五点弯矩为零的条件： #1、拱顶弯矩为零条件： #2、拱脚弯矩为零： H g #3、1/4点弯矩为零：
M d 0, Qd 0，只有M
1/ 4
#4、
M
f
j
M
1/ 4
y1 / 4
y1 / 4
j
主拱圈恒载的
M ,M
（4）建立拟合数学模型
将逼近准则与约束条件相结合：
min max f ( xi ) yi
(i 1,2,3,, n)
拱桥的计算
Rg
l1 0
g x dx
m2 2 ln(m
1 m2
1)
g d l0
k
'g
g d l0
(0.527
~
0.981) g d l0
拱圈各截面轴力： N H g / cos
kg , k 'g 可从《拱桥（上）》第580页表（III）-4查得。
（1）不考虑弹性压缩的结构自重内力—空腹式拱
空腹式悬链线无铰拱的拱轴线与压力线均有偏离，计算时 分为两部分相叠加：
在 y1/4 =0.25至 y1/4 =0.18的范围内，以0.005为级差，编制了
f0
f0
悬链线拱轴坐标的表格，拱轴系数m 和
y1/ 4
共分14档,两者
一一对应，由于
y1/ 4 f0
f0
取成了定数，拱轴系数m
就成了另数。
11.1.3 拱轴系数的确定
（1）实腹式拱桥拱轴系数的确定
gd 1hd 2d
五点弯矩为零的条件：
#1、拱顶弯矩为零：
M d 0, Qd 0 ，只有轴力 H g
#2、拱脚弯矩为零：
Hg
Ma f0
#3、1/4点弯矩为零：
Hg
M1/ 4 y1/ 4
#4、 得到：
Ma
M1/ 4
f0
y1/ 4
#5、 主拱圈恒载下的
M1/4 ,
Ma,
y1/ 4 f0
可由《拱桥（上）》第988页附录III表(III)-19查得
k ln(m m2 1)
拱轴线各点水平倾角只与 f0 /l0 和 m 有关，该值可 从《拱桥（上）》第577页表（III）-2查得。
11.1.5 基本结构与弹性中心 计算无铰拱内力时，为简化计算常利用弹性中心的特点；将 无铰拱基本结构取为悬臂曲梁和简支曲梁。
拱桥计算
（二）主拱稳定性验算
1、纵向稳定性验算（面内） 2、横向稳定性验算（面外）主拱圈宽跨比小于1/20时，必须验算主 拱圈的横向稳定性。 3、验算方法：将拱肋换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算， 以强度校核的形式控制稳定。横向稳定性与纵向稳定性相似计算。
（三）主拱动力性能验算
计算结构的自振频率和振型分析
三、拱桥内力计算
（一）手算法计算拱桥内力 1、等截面悬链线拱恒载内力计算 2、等截面悬链线拱活载内力计算 3、等截面悬链线拱其它内力计算 4、内力调整 5、考虑几何非线性的拱桥计算简介 （二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算
4、内力调整
• 悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常 出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况， 为了减小它们，可从设计、施工方面采取 措施调整拱圈内力。
实腹拱的内力调整 • 调整前： • 调整后：
m
m' g' j g 'd
gj gd
g j qx g d qx
• qx是虚构的，实际上并不存在，仅在计算过 程中加以考虑，所以称为假载。假载值 qx 可根据 m’ gd gj求得 q m'm g
x
1 m'
d
（1）假载法调整内力
（四）拱上建筑的计算
（四）拱上建筑的计算
（2）梁板式拱上建筑与主拱联合作用计算
主拱活载弯矩折减近似计算：拱上建筑简化为一根弹性支撑 连续梁，可推得：
Eg I g 1 j ,m 0.35 El I l 1 Cn m
1 / 4
1 0.68 1 2m /(1 n) 0.29
1 e0 2 1 [1 1.33( ) ] rw
拱桥简易受力计算公式
拱桥简易受力计算公式拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，它以其独特的造型和稳固的结构受到了人们的喜爱。
拱桥的建造需要考虑到各种受力情况，以确保其稳固性和安全性。
在设计拱桥时，工程师需要对拱桥的受力情况进行计算，以确定其结构是否能够承受各种外力的作用。
本文将介绍拱桥的简易受力计算公式，帮助读者了解拱桥受力计算的基本原理。
拱桥的受力分析是一项复杂的工程学问题，需要考虑到拱桥的几何形状、材料特性、外力作用等多个因素。
在实际工程中，通常会采用有限元分析等复杂的数值计算方法来进行拱桥的受力分析。
但是，在一些简单的情况下，我们可以通过一些简易的受力计算公式来对拱桥的受力情况进行初步的估算。
拱桥的受力分析可以分为静力分析和动力分析两种情况。
静力分析是指在拱桥受到静止外力作用时的受力情况，而动力分析是指在拱桥受到动态外力作用时的受力情况。
在本文中，我们将重点介绍拱桥的静力分析，简要介绍拱桥的动力分析。
静力分析是指在拱桥受到静止外力作用时，通过平衡方程和材料力学原理来计算拱桥的受力情况。
拱桥的受力分析需要考虑到拱脚的受力情况、拱肋的受力情况以及拱圈的受力情况。
在进行拱桥的受力分析时，我们需要首先确定拱桥的几何形状和材料特性，然后根据静力平衡方程和材料力学原理来计算拱桥的受力情况。
拱桥的受力分析需要考虑到多个因素，其中最重要的是拱脚的受力情况。
拱脚是拱桥的支撑点，它承受着拱桥的整体重力和外力作用。
在进行拱脚的受力分析时，我们需要考虑到拱脚的水平受力和垂直受力。
水平受力是指拱脚受到的水平方向的外力作用，而垂直受力是指拱脚受到的垂直方向的外力作用。
通过平衡方程和材料力学原理，我们可以计算出拱脚的受力情况，从而确定拱桥的稳定性。
除了拱脚的受力情况，我们还需要考虑到拱肋的受力情况。
拱肋是拱桥的主要受力构件，它承受着拱桥的整体重力和外力作用。
在进行拱肋的受力分析时，我们需要考虑到拱肋的弯曲和剪切受力情况。
通过材料力学原理和结构力学原理，我们可以计算出拱肋的受力情况，从而确定拱桥的稳定性。
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•拱顶恒载分布集度 g d
gd 1hd d （4-3-13）
•拱脚恒载分布集度 g j
gj
1hd
2h
d
cos j
（4-3-14）
h
f
d 2
d
2 cos j
（4-3-15）
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用逐次逼近法，具体做法如下：
抛物线，其方程变为：
y1 f 2
•由悬链线方程
y1
mf1,1(,chh2kd
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 1)拱可顶以填看料出厚，度当拱的跨度和失高确
定后，拱轴线各点的坐标取确d于j 拱 轴拱 拱系圈 脚数厚 处m度 拱。轴可线查的表水得平到倾。角
2、拱轴系数m值的确定
（1）实腹式拱m值的确定
x l1 则： dx l1d
d 2 y1
d 2
l12 Hg gd
1 (m 1)
y1 f
k 2 l12 gd (m 1) Hg f
（4-3-9）
则
d 2 y1
d 2
l12 gd Hg
k 2 y1
（4-3-10）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
y1
f m 1
1 Hg
d 2M dx2
gx Hg
（4-3-3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道 恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：
gx gd y1
g d 拱顶处恒载强度；
（4-3-4）
拱上材料的容重。
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
(chk
1)
为悬链线方程。
双曲余弦函数
（4-3-11）
chk ek ek
2
•对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（4-3-11）
y1
f (chk
m 1
1)
得：
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：
k ch1m ln(m m2 1)
（4-3-12）
反双曲余弦函数对数表示
•当m=1时 g x=gd，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次
为了使悬链线与其恒载压力线重和， 一般采用“ 五点重和法”确定悬链线的 m值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两 1/4l点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重 和。其相应的拱轴系数确定如下
拱顶处弯矩M d=0；剪力Q d=0。
•对拱脚取矩，由 MA 0 有：
Hg
Mj f
•对l/4截面取矩，由 MB 0 有：
实际上由于活载、主拱圈弹力线作为设计拱轴线。
1、圆弧线（三铰拱在径向均布荷载作用下的合理拱轴线为圆弧线）
圆弧线拱，线形最简单，施工最方便，易为群众掌握。但圆弧拱轴线 一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m 以下的小跨径拱桥。
（4-3-17）
H g y1/ 4 M1/ 4 0
拱轴线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
当
1
2
时， y1
y1/ 4
；代
1 2
到悬链线方程
y1
f (chk m 1
1)
半元公式
chk m
y1/4 1 (ch k 1) f m 1 2
ch k chk 1 m 1
2
2
2
y1/ 4
m 1 1
2
1
f
m 1
2(m 1) 2
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
抬高，随m减小而增大（拱轴线 降底）。
（2）空腹式拱拱轴系数的确定
空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载 由两部分组成，即主拱圈承受由实腹段 自重的分布力和空腹部分通过腹孔墩传 下的集中力（如左图）。由于集中力的 存在，拱的压力线为在集中力作用点处 有转折的曲线。但实际设计拱桥时，由 于悬链线的受力情况较好，故多用悬链 线作为拱轴线。
实腹式悬链线拱轴计算图示
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（4-3-1）
对任意截面取矩，有：
y1
Mx Hg
(4-3-2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； M 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。
对式（3-3-2）两边对x取两次导数，可得：
恒载集度
d 2 y1 dx2
第三章 拱桥的设计
第二节 简单体系的计算
一、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线的 原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是与拱上各 种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪 力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料的抗压性能。
我们把在巳知荷载作用下拱截面上只有轴向压力的拱轴线称为合 理拱轴线。
g j gd f mg d
（4-3-5）
其中：
m gj gd
称为拱轴系数。 （4-3-6）
(m 1)gd / f
这样gx可变换为：g x
gd
y1
gd
1
(m
1)
y1 f
（4-3-8）
将上式代入式（4-3-3）
d 2 y1 dx2
1 Hg
d 2M dx2
gx Hg
，并引参数:
可得： 令
2、悬链线
实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬链 线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线。
2、悬链线
空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其恒 载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最普遍的还 是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一 点和拱脚与压力线重合。
3、抛物线（三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴线为抛物线）
在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于恒载 集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混凝土拱桥，或 钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往可以采用抛物线拱。其 拱轴线方程为：
y1
4f l2
x2
1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 M d=0 剪力Q d=0 恒载推力为Hg
a) 先假设m值
b) 查表得拱脚处的 cos j ；
c)根据计算出的 cos j
，代入（4-3-14）g j
1hd
2h
d cos j
计算出g j，连同（4-3-13） gd 1hd d 由
m gj gd
计算出m值。
d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值；如两者相 差较大， 则以计算出的m作为假设值，重新计算，直到两者相 等。