郑州轻工业学院2014-2015(1-2)高数试卷A及答案
2014-2015 学年第二学期高等数学试题 (A)含答案
2014-2015学年第二学期高等数学试题 (A)一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1.以向量{}{}8,4,3,2,2,1a b ==-为邻边所构成平行四边形的面积等于 。
2. 设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,f 具有二阶连续偏导数，则22z y ∂∂= 。
3.二重积分()322sin DI xy x y dxdy =+=⎰⎰ ，其中D 是由曲线22,4,1y x y x y ===围成的区域。
4. 球面22250x y z ++=与锥面222x y z +=的交线在点()3,4,5M 处的切线方程为5.已知∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分，则()222xy xx z ds ∑--+=⎰⎰ 。
二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） 6． 设()1ln 1nn u ⎛=- ⎝，则级数 。
(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛； (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散；(C)1nn u∞=∑收敛，而21nn u∞=∑发散； (D)1nn u∞=∑发散，而21nn u∞=∑收敛。
7．函数(,)f x y 在点()00,x y 上处偏导数存在是(,)f x y 在该点处 。
(A) 连续的充分条件； (B) 连续的必要条件； (C) 可微的必要条件； (D) 可微的充分条件。
8．将函数()1arctan1xf x x+=-展开为x 的幂级数为 。
(A)()()[]2101,1,1421n nn x f x x n π+∞==+-∈-+∑； (B) ()()()2101,1,1421n nn x f x x n π+∞==+-∈-+∑； (C)()()2101,[1,1)421n nn x f x x n π+∞==+-∈-+∑；(D) ()()211,[1,1)21n nn x f x x n +∞==-∈-+∑ 9.设22L xdx ydyI x y +=+⎰，L 是xoy 平面上任一不包含原点的光滑封闭曲线，则I = 。
2014年河南高考理科数学试题及答案 word最终版
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
郑州市2014-2015学年上期期末高二文科数学试卷(含答案)
郑州市2014-2015学年上期期末考试高二文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线22x y = 的焦点坐标是（ ）A. 1(,0)2B. 1(0,)2C. (1,0)D. (0,1) 2. 设,a b R ∈ ，则“a b > ”是“2()0a b b -> ”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.不等式2201420150x x +->的解集为（ ）A. {20151}x x -<<B. {12015}x x x ><-或C. {12015}x x -<<D. {-12015}x x x 或<>4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A. 1- B. 1 C.2 D. 2-5.如图所示，为了测量某障碍物两侧,A B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定,A B 间距离的是（ ）A.,,a b αB.,,a αβC. ,,a b γD.,,b αβ6.如图所示，是古希腊人用小石子在沙滩上摆成的星星图案，它构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）A. 21n a n n =-+B. (1)2n n n a -=C. (1)2n n n a +=D. (2)2n n n a +=7.设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+ 的最小值为（ ）A. 6B. 7C.8D.23γβαCBA8.已知0,0a b >> ，且2是2a 与b 的等差中项 ，则1ab的最小值为（ ） A.14 B. 12C. 2D.4 9.已知点2,1（）和-1,3（）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A. 49a -<<B. 94a -<<C. 4a <- 或 9a >D. 9a <- 或 4a >10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A.16B. 4C.D.8 11.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于（ ）A.0B. 2-C. 4-D.212.已知方程sin xk x=在(0,)+∞上有两个不同的解,()αβαβ<，则下面结论正确的是（ ） A. sin cos ααβ=- B. sin cos ααβ= C. cos sin αββ= D. sin sin ββα= 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题2:0,0p x x ∃<>的否定是_______________ 14.若2,,,,9a b c 成等差数列，则_______c a -=15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sinA 30,2b ===， 则边长______c =16.现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为212()v v v ≠，乙上山和下山的速度都是122v v +（甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两人上下山所用的时间12,t t 的大小关系为________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设等差数列{}n a 满足3105,9a a ==- （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最大值18.（本小题满分12分）命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立。
河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析
河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的定义可得，x2=2py（p＞0）的焦点坐标（0，）可直接求解解答：解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题．2．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当a＞b，b=0时，不等式（a﹣b）b2＞0不成立．若（a﹣b）b2＞0，则b≠0，且a﹣b＞0，∴a＞b成立．即a＞b是（a﹣b）b2＞0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）不等式x2+2014x﹣2015＞0的解集为（）A．{x|﹣2015＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜﹣2015}C．{x|﹣1＜x＜2015} D．{x|x＜﹣1或x＞2015}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式化为（x+2015）（x﹣1）＞0，求出解集即可．解答：解：不等式x2+2014x﹣2015＞0可化为（x+2015）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣2015或x＞1；∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣2015}．故选：B．点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意结合等差数列的性质和求和公式可得a2的值，进而可得公差d．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，∴S3=a1+a2+a3=3a2=6，∴a2=2，∴公差d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2故选：D点评：本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．解答：解：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．故选：A．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=考点：数列递推式．专题：规律型．分析：由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．解答：解析：从图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时，有10个；∴a n=1+2+3+4+…+n=．答案：C点评：这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．解答：解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为（）A．B．C．2 D．4考点：基本不等式；等差数列．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等差中项及基本不等式的性质即可求出答案．解答：解：∵2是2a与b的等差中项，∴2a+b=4，又∵a＞0，b＞0，∴=，当且仅当2a=b=2，即a=1，b=2时取等号，∴．故选B．点评：充分理解基本不等式及其变形是解题的关键．9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C．a＜﹣4或a＞9 D．a＜﹣9或a＞4考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x﹣2y+a 所得的值异号，由此列不等式求得a的范围．解答：解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，即（a+4）（a﹣9）＜0．解得﹣4＜a＜9．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．10．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，知a4•a14=（2）2=8，故a7•a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选B．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．11．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．解答：解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．所以f′（x）=2x﹣4故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故选：C．点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．12．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα=﹣αcosβB．sinα=αcosβC．cosα=βsinβD．sinβ=βsinα考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，方程=k可化为|sinx|=kx，作函数y=|sinx|与y=kx的图象，从而可求得y′|x=β=﹣cosβ，即k=﹣cosβ，从而可得=﹣cosβ，化简即可．解答：解：在（0，+∞）上，方程=k可化为|sinx|=kx，作函数y=|sinx|与y=kx的图象如下，在x=β时，==k，又∵在x=β处直线与y=|sinx|相切，∴y′|x=β=﹣cosβ，故k=﹣cosβ，则=﹣cosβ，即sinα=﹣αcosβ；故选A．点评：本题考查了导数的几何意义的应用及方程的根与函数图象的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是∀x＜0，有x2≤0．考点：命题的否定．分析：对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，即：对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∃x∈A，¬P（X）”，由此不难得到对命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定．解答：解：∵对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”∴对命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是“∀x＜0，有x2≤0”故答案为：∀x＜0，有x2≤0点评：对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∃x∈A，¬P（X）”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题14．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinC，B=30°，b=2，则边c=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：在△ABC中，由正弦定理求得a=c，结合余弦定理，即可求出c的值解答：解：∵在△ABC中，sinA=sinC∴a= c又∵B=30°，由余弦定理，可得：cosB=cos30°===解得c=2故答案为：2．点评：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键，属于中档题．16．（5分）现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为v1，下山的速度为v2（v1≠v2），乙上山和下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两人上下山所用的时间t1、t2的大小关系为t1＞t2．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，甲用的时间t1=+=S；乙用的时间t2=2×=；从而作差比较大小即可．解答：解：由题意知，甲用的时间t1=+=S•；乙用的时间t2=2×=；∴t1﹣t2=S﹣=S（﹣）=S＞0；故t1＞t2；故答案为：t1＞t2．点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n的最大值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式，列出方程，解得首项和公差，即可得到通项公式；（Ⅱ）运用前n项和的公式，配方，结合二次函数的最值，即可得到．解答：解：（Ⅰ）由a n=a1+（n﹣1）d，及a3=5，a10=﹣9得，，解得，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n．（Ⅱ）由（1）知．因为．所以n=5时，S n取得最大值25．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，考查解方程组和二次函数的最值的求法，属于基础题．18．（12分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax 的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；简易逻辑．分析：先分别求出p，q为真时实数a的取值范围，再由p或q为真，p且q为假，可知p 和q一真一假，从而解得．解答：解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．又∵抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，∴a＜1．a≠0．又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．（1）若p真q假，则∴1≤a＜2；或a=0．（2）若p假q真，则∴a≤﹣2．综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．或a=0．点评：本题考查了复合命题的真假性的应用，属于基础题．19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB（1）求角C的大小；（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求出C的度数即可；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosC的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．解答：解：（1）由正弦定理==，及b=2csinB，得：sinB=2sinCsinB，∵sinB≠0，∴sinC=，∵C为锐角，∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab，∵c2=（a﹣b）2+6，∴ab=6，则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．（12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．某市的一条道路在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12m，乙车刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离 S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2．问：甲、乙两车有无超速现象？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意列出不等式组，分别求解两种车型的事发前的车速，判断它们是不是超速行驶，即可得到结论．解答：解：由题意知，对于甲车，有0.1x+0.01x2=12．即x2+10x﹣1200=0，…（2分）解得x=30或x=﹣40（x=﹣40不符合实际意义，舍去）．…（4分）这表明甲车的车速为30km/h．甲车车速不会超过限速40km/h．…（6分）对于乙车，有0.05x+0.005x2＞10，即x2+10x﹣2000＞0，…（8分）解得x＞40或x＜﹣50（x＜﹣50不符合实际意义，舍去）．…（10分）这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速．…（12分）点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，考查不等式模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题．解题的关键是利用函数关系式构建不等式．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间（2）若存在使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，令f′（x）=0，解得x=ln2，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求的最小值．令，通过求导得到函数g（x）的最小值，从而求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，即e x﹣2=0，解得x=ln2，x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，ln2），单调递增区间为（ln2，+∞）．（Ⅱ）由题意知使f（x）＜mx成立，即使成立；所以的最小值．令，，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，则g（x）min=g（1）=e﹣2，所以m∈（e﹣2，+∞）．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设点F（c，0）（c＞0），由已知条件得，圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由圆心O到直线l的距离为，得，由已知条件推导出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．解答：（Ⅰ）解：设点F（c，0）（c＞0），则F到直线l的距离为，即，…（2分）因为F在圆C内，所以，故c=1；…（4分）因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b2=3，椭圆方程为．…（6分）（Ⅱ）证明：因为圆心O到直线l的距离为，所以直线l与圆C相切，M是切点，故△AOM为直角三角形，所以，又，得，…（7分），又，得，…（9分）所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，…（11分）所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．。
郑州市2014-2015学年上期期末高一数学试题卷(含答案)
郑州市2014-2015学年上期期末考试高一数学试题卷考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A 二｛2014,2015｝，非空集合B 满足A^B ｛2014 ,2015｝，则满足条件的集 合B 的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 432. 下列函数中与函数 y x 相等的是A. y x 63r~9B . y x6xC. y3xD . y (、、x)3.已知集合 A 二｛1,2,3｝，B= {x, y} ，则从A 到B 的映射共有A. 6个B. 5个C. 8个D. 9个4.卜列命题止确的是A. 有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体C. 有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台5•已知一个圆的方程满足：圆心在点 (3,4)，且经过原点，则它的方程为A. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线B. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C. 垂直于同一个平面的两条直线平行D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行2 x7. ------------------------------ 函数f (x) lg的定义域为V x 1A. (1,2]B. (,2] C. [1,2] D. (1,2)8.已知直线I 在x 轴上的截距为3，在y 轴上的截距为2，则I 的方程为A. (x3) (y 4) 52 2B. (x+3)(y+4) 25 2 2D. (x+3) (y 4)25A. 3x 2y 6 0B. 2x 3y 6 09•已知点A( 2,0)，动点B 的纵坐标小于等于零，且点 B 满足方程x 2 y 2 1，则直线AB 的斜率的取值范围是-.3B. [,0] C.[3, • 3] D. [ .3,0]33310.已知点 A(1,2)和点B( 2, 4)，点P 在坐标轴上，且满足APB 为直角，则这样的点P 有A.4个B. 3个C. 2个D.6个11.函数yx 的图像的对称中心的坐标为2 xA.(2, 1)B. ( 2, 1)C. (2,1)D. ( 2,1)12.已知log 2 3 a,log a 5 b ，则lg 24可用a,b 表示为3 a 3 1 3a A.—B.C.-b1 aba b、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)114.已知x x 5，则x 1 12+x 215.圆 x 2 y 24与圆(x2)2 (y 2)2 20 的公共弦所在的直线方程为16.在三棱锥PABC 中， BC 3, CA 4, AB 5 ，若三个侧面与底面面角均为60； ，则三棱锥的体积为13.已知空间直角坐标系中有两点ABC 所成三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 3已知f (x)— k 是奇函数，求实数 k 的值 2x 1C. 2x 3y 6 0D. 3x 2y 6 0a 3 D.1 bA(1,2,3),B(5, 1,4)，则它们之间的距离为 _____________（1）（2）求直线DB 与平面ADN 所成角的大小18. （本小题满分12分） 已知集合 A {xx 2 2px p 2 2p 2 0,x R}，且 A^| R ,求实数 p范围19. （本小题满分12分）20. （本小题满分12 分）已知正方体 ABCD ABCD 中，M,N 分别是AB ,BC 的中点的取值如图直三棱柱ABC ABC 平面ADE //平面MNCB中，D,E,M,N 分别为AB,AC,AB,AC 的中点,求证:A'B'AE/ID CABC NABM21. (本小题满分12分)12求抛物线C：y X2上的点到直线l:y —X 1的最小距离222. (本小题满分12分)(1)已知点M 与两个定点0(0,0), P(2,0)的距离的比为,31 ，求点M的轨迹方程;l的方程(2)已知过点Q( 1,0)的直线l截(1)中M的轨迹的弦长为2，求直线、选择题CBCBD 二、填空题13: 26 三、解答题2014—2015学年上期期末学业水平测试高中一年级数学参考答案CDCBA14: 4117.解：依题意得f x AB15: x y的定义域为,0 0,16: 2 .3分..2分..4分..63 2x 3 2x 1 2x2k 3 2x2x 1分..1018.解: f x x22px 2p 2,2p 2没有正实根分・3 (I)若A无实数根，则f x的判别式小于零4p2P2 2p分 .6 (n)若A，即f x 有实数根但是非正.则由⑴知P且对称轴不能在y轴右侧，即p 0综上所述：p R均满足条件19.证明：直三棱柱ABC A'B'C'中，D,M分别为AB.A'B'的中点DB//A'M 且DB A'M四边形DBMA'为平行四边形A'D//MB ........................ 分・3又A'D 面MNCB,MB 面MNCB ...................................... 分• .5A'D // 面MNCB ........................... 分・6同理：A'E//面MNCB ........................... 分• .9又A'E^A'D A' ........................... 分..10平面A'DE//平面MNCB ........................... 分1220.(I)解：在正方形A'B'C'D'中，三角形D'A'M全等于三角形A'B'N (SAS)NA'B' D'MA' A'D'M D'MA' 90；D'M A'N ......................... 分.3又在正方体中AA' 面A'B'C'D',D'M 面A'B'C'D' D'M AA'又AA'pj A' N A'D'M 面AA'N .................... 分.6(n)证明：连接AB', A'B交于点K,连接DK .由AD//B'N知代D,N, B'共面,AD 面AD ABB'A'AD BK又AB' BKAD^AB' ABK 面ADB'NBK DK且BDK即为直线DB与平面ADN所成的角........................ 分.9设正方体棱长为a则BD ,2a , BK —a210sin BDK BKBD分12BDK 30：22.解：(I)设点 M 的坐标为 x, y ，依题意得：頂 ............................. 分..2x 2 2 y212 2xy 6x 6 022x 3 y 23 29即点M 的轨迹方程为：x 3 y 3......................... •分 ..4(n) M 的轨迹为圆心在 3,0，半径为J 3的圆.由图易知I 的斜率存在.又I 过点Q 1,0 ,故可设I 的方程为：y kx 1....................... 分..5即直线DB 与平面ADN 所成的角为30 .分1221.解：设M t,t 2为抛物线上任意一点,直线I 的一般式为：x 2y 22 C 1152 t -4815~815 8 53,5 8分..101时，等号成立.即所求的最小距离为43、.5分..12则点M 到直线I 的距离为: 5 27 77即：kx y k 0圆心到I 的距离为3k 0 k由垂径定理及勾股定理知3k 0 k'分8于是I 的方程为y16k 2 1 k 2k 2分.10分..12777。
河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)
河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）80﹣lg100的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．2．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A．B．C．D．23．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C．4D．25．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．e ln26．（5分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离7．（5分）在同一坐标系中，当0＜a＜1时，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．l og0. 32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.39．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）10．（5分）函数y=的值域是（）A．C．（0，4）D．，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共5小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（12分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．21．（13分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．22．（13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数φ（x），其中φ（x）=，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润（1）试将利用y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？23．（14分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）80﹣lg100的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的性质以及对数的运算性质进行计算即可．解答：解；80﹣lg100=1﹣2=﹣1，故选：C．点评：本题考查了对数的运算性质，是一道基础题．2．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A．B．C．D．2考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式d==，故选：A．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值解答：解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．点评：本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，可得结论．解答：解：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，因为主（正）视图是边长为2的正三角形，所以几何体的左（侧）视图的面积S==故选：B．点评：本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征．5．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．eln2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，求出函数值即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故选：C．点评：本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．6．（5分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2≤R1），则当|O1O2|＞R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|=R2+R1时，两圆外切，当R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1时，两相交，当|O1O2|=R2﹣R1时，两圆内切，当|O1O2|＜R2﹣R1时，两圆内含．7．（5分）在同一坐标系中，当0＜a＜1时，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的图象即可得到答案解答：解：当0＜a＜1时，y=a﹣x是过（0，1）点的增函数，y=log a x是过（1，0）点的减函数，综上答案为C．故选：C点评：本题考查了指数函数和对数函数的图象，属于基础题8．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．l og0.32＜20.3＜0.32D．l og0.32＜0.32＜20.3考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：设t=x2﹣3x+2，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，设t=x2﹣3x+2，则y═log2t为增函数，则根据复合函数单调性之间的关系知要求函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（﹣∞，1），故选：A．点评：本题主要考查函数单调性的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．10．（5分）函数y=的值域是（）A．C．（0，4）D．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，当x∈，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是③④（请将所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：当k=0时，A={﹣1}，即可判断①；由函数的定义域的定义，以及指数函数的单调性即可解得f（x）的定义域，即可判断②；通过函数y=的图象的平移和单调性即可判断③；运用函数与方程的转换，作出函数的图象，通过观察即可判断方程根的个数，即可判断④．解答：解：对于①，当k=0时，A={﹣1}，也符合题意，则①错；对于②，函数y=f（3x）的定义域为，即有﹣1≤x≤1，则，则y=f（x）的定义域应该是，则②错；对于③，y=的图象可由函数y=的图象向右平移1个单位得到，由于y=在（﹣∞，0）递增，则y=在（﹣∞，1）递增，则③对；对于④，在同一坐标系中作出y=2|x|，y=log2（x+2）+1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2．则④对．故答案：③④．点评：本题考查函数的定义域的求法和单调性的判断，以及函数与方程的转化思想，考查集合的化简，属于基础题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（12分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．考点：集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，再求∁R B={x|x≤2或x≥9}，从而求（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）C⊆B，作数轴辅助，应有，从而解得．解答：解：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，又∵B={x|2＜x＜9}，∴∁R B={x|x≤2或x≥9}，∴（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）∵C⊆B，如图，应有解得2≤a≤8，故实数a的取值的集合为．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据f（x）表达式，得g（x）=，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．（II）设0＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．解答：解：（Ⅰ）∵∴g（x）=f（x）﹣a=，…（2分）∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即，解之得a=1．…（5分）（Ⅱ）设0＜x1＜x2，则=．（9分）∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，从而，（11分）即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）点评：本题给出含有分式的基本初等函数，讨论函数的单调性与奇偶性质．着重考查了函数的奇偶性的定义和用定义法证明单调性等知识，属于基础题．21．（13分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接SO，可证SO⊥AC，又SO∩BD=O，可证明AC⊥平面SBD，又SD⊂平面SBD，即可证明AC⊥SD．（Ⅱ）连接OP，可证OP⊥SD，又△SBD中，BD==SB，且F为SD中点，可证BF⊥SD，由OP，BF⊂平面BDF，可证OP∥BF，又OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，BF⊄平面PAC，即可证明BF∥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接SO，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD且O为AC中点，又∵SA=SC∴SO⊥AC又∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，（5分）又∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD．（7分）（Ⅱ）连接OP，∵SD⊥平面ACP，OP⊂平面ACP，∴OP⊥SD，（9分）又△SBD中，BD==SB，且F为SD中点，∴BF⊥SD，因为OP，BF⊂平面BDF，所以OP∥BF，（11分）又∵OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，BF⊄平面PAC，∴BF∥平面PAC．（13分）点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的性质，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题．22．（13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数φ（x），其中φ（x）=，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润（1）试将利用y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题设总成本为20000+100x，从而由分段函数写出y=；（Ⅱ）当＜x≤400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y＜60000﹣100×400=20000，从而求最值．解答：解：（Ⅰ）依题设，总成本为20000+100x，则y=；（Ⅱ）当＜x≤400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，则y＜60000﹣100×400=20000，所以，当x=300时，有最大利润25000元．点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．23．（14分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；（2）根据直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C的方程；（3）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．解答：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），∴S△AOB=|OA|•|OB|=|2t|•||=4为定值．解：（2）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2．∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（3）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2．故|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．点评：本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
二本2014-2015(1)高数试卷A及答案(1)
郑州轻工业学院2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ ）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ ） （A ）e ； （B ）e1； （C ）2-e ； （D ）2e ． 4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（ ） （A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）3=a ，b 取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ ） (A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x +； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为__________． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则______,_______a b ==．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为_________，铅直渐近线为_________． 4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y =______________．5．3cos x dx =⎰________________． 三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 5．求不定积分：cos x e x dx ⎰． 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．四、解答题（本题7分）设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ． 五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+． 2．设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+，)(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试求)('x f ．2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A 参考答案试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ A ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ C）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 1021(lim ）+→的值是（ D ）（A ）e ； （B ）e 1； （C ）2-e ； （D ）2e ．4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（B ）（A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）,3=a b 可取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ C ）(A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x + ； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为___2_____．2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =32-，b = 92．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为1y =，铅直渐近线为2x =．4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y = 20152．5．3cos x dx =⎰ 31sin sin 3x x C -+．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 解：原式0cos lim 2x x e xx →-= ……3分0sin 1lim 22x x e x→+== …..6分2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．解：函数的定义域为(,)D =-∞+∞2'()612186(3)(1)f x x x x x =--=-+ ……2分令'()0f x =，得驻点1,3x x =-=． ……3分单增区间为(,1],[3,)-∞-+∞，单减区间为[1,3]-，极大值(1)17f -=，极小值(3)47f =-．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．解：方程两边关于自变量x 求导，()y y x =，则有''cos 0y e y y xy x +++=，所以cos 'y y xy e x +=-+． …….3分当0x =时，代入方程得1y =，所以2'(0)y e=-， ……..5分 故02|x dy dx e==-． ……6分 4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 解：2sin 24sin cos dydy t dt t dx dx tdt-===-，……3分 在4t π=处，0,2dy x y dx===-，…….5分 所以切线方程为)2y x =--． ……6分 四、解答题（本题7分）5．求不定积分：e cos x x dx ⎰． 解：cos cos cos cos x x x x e x dx x d e e x e d x ==-⎰⎰⎰……2分 cos sin cos sin x x x x e x e x dx e x x d e =+=+⎰⎰cos sin sin (cos sin )cos x x x x x e x e x e d x e x x e xd x =+-=+-⎰⎰…….5分 移项得 1e cos (cos sin )2x x x dx e x x C =++⎰．……6分 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．解法1：451(1)(1)5x x dx xd x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……2分 5511(1)(1)55x x x dx =---⎰ ……4分 5611(1)(1)530x x x C =---+ ……6分解法2：4454(1)(11)(1)(1)(1)x x dx x x dx x dx x dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰…..4分6511(1)(1)65x x C =-+-+ ……6分 解法3：令1x t -=，则1,x t dx dt =+=，……2分原式454=(1)t t dt t dt t dt +=+⎰⎰⎰ …..4分65651111(1)(1)6565t t C x x C =++=-+-+ ……6分 解法4：4432(1)(4641)x x dx x x x x x dx -=-+-+⎰⎰ …..4分54326543214341(464)65232x x x x x dx x x x x x C =-+-+=-+-++⎰……6分设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ．解：0x >时,()arctan f x x =，所以21'()1f x x =+；……2分0x <时()f x ='()f x = ……4分0x =时，(0)0f =，且00()(0)arctan '(0)lim lim 1x x f x f x f x x---→→-===，00()(0)'(0)lim lim x x f x f f x x +++→→-===+∞．所以()f x 在0x =处不可导． ……6分故21,01()0x x f x x ⎧<⎪+⎪=⎨>． ……7分五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+．证法1：令()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，1x ≥，则(1)0f =．……2分 11'()ln 2ln 1x f x x x x x +=+-=+-，且'(1)0f =．211''()0,1f x x x x =->>． ……5分所以1x >时，'()'(1)0f x f >=；1x >时，()(1)0f x f >=，整理即得2(1)ln 1x x x ->+． ……7分证法2：2(1)()ln ,11x f x x x x -=-≥+，且(1)0f =．……2分222211(1)14(1)'()2(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x +---=-=-=+++． ……5分 当1x >时，'()0f x >，所以()(1)0f x f >=，即2(1)ln 1x x x ->+．……7分 2、设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．证明：（1）存在性令()()ln ,1F x f x x x e =-≤≤，显然()F x 在[1,]e 上连续，且(1)(1)0,()()10F f F e f e =>=-<，即(1)()0F F e <，故()F x 在[1,]e 上满足零点定理，所以至少存在一点(1,)e ξ∈，使得()0F ξ=，即()ln f ξξ=． ……5分（2）唯一性 因为1'()1'()'()0xf x F x f x x x-=-=<，所以()F x 在[1,]e 上单减，故()F x 在(1,)e 内至多有一个零点． 综上所述，()F x 在(1,)e 内仅有一个零点，即在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=． ……7分六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？解：设矩形一边长x ，则另一边长p x -．将其绕p x -边旋转，则旋转体的体积为223()(),0V x p x px x x p ππ=-=-<<， ……3分2'(23)V px x π=-，令'0V =，得驻点23x p =． 2''(26),''()203p V p x V p ππ=-=-<． ……7分 所以，当23x p =时，V 取极大值． 2133x p p x p =⇒-=． 由问题的实际意义知，当长和宽分别取2,33p p 时，体积最大． ……8分七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+， )(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试证明()f x 在R 上处处可导，且)()('x f x f =．解：因为)(1)(x xg x f +=， 所以00()1()1(),lim lim ()1x x f x f x xg x g x x→→--===．……1分 0()()'()lim h f x h f x f x h→+-= ……3分 00()()()()1lim ()lim ()h h f x f h f x f h f x f x h h→→--===．……5分 所以，()f x 在R 上处处可导，且'()()f x f x =．。
2014年河南高考数学试题及答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一测试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 测试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 和C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A 62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年河南高考数学试题(卷)与答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72 B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A B .C .6 D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年河南高考数学试题及答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A 3B .3C 3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A 62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
高数I(一)A及答案
1 ⎧ ⎪ 1+ x , x ≥ 0 ⎪ 2．设 f ( x ) = ⎨ ⎪ cos x , x < 0 ⎪ ⎩ 2 + sin x
求
∫π
−
4
f ( x )dx ．
2
序号
封
3．设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 班级
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 所确定，求 、 ． 2 d x d x = − y t t arctan ⎩
…… 5 分 …… 6 分
sin x (cos x ln x + )dx x
= ln( 2 +
序号
sin x ) − π + ∫
2
2t dt 01+ t
2
…… 4 分 …… 6 分
= ln 2 + 4 − 2 ln 3 3、已知 f ( x) 的一个原函数是 解：
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 3、设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 所确定，求 、 . dx d x 2 ⎩ y = t − arctan t
． ．
2．设 f ( x) =
e x −1 e +1
1 x
，则 x = 0 是 f ( x) 的（ B. 跳跃间断点； D. 连续点．
） ．
1．函数 y = 学号
2 − x + ln( x − 1) 的定义域为
A. 可去间断点； C. 第二类间断点； 3． lim(e + x) x =（
x x →0 1
2015 年秋季学期 《高等数学 (一)》课程期末考试试卷（A 卷）
注意：1、本试卷共 3 页； 3、姓名、学号必须写在指定地方； 2、考试时间 110 分钟； 4、阅卷负责人签名： 1．设 f ( x) = x + ln(1 + x) ，当 x → 0 时，有（
2014-2015高等数学I（二）A卷
2014-2015高等数学I（二）A卷郑州航空工业管理学院2014—2015学年第 2 学期课程考试试卷（■A/□B ）课程名称：高等数学I （二）考试形式：闭卷考核对象（专业或班级）：全院说明：所有答案请答在规定的答题纸或答题卡上，答在本试卷册上的无效。
一、单项选择题（本题总计30分，每小题3分） 1.若z =,则z zxy x y+=?? [ A ] (A) 12(B) 1 (C) 0 (D) 2 2.极限0x y →→= [ B ](A)0 (B)6 (C)3(D)93.级数11(1)3n nn x n -∞=+∑收敛区域为 [C ] (A)[2,4] (B) (4,2)- (C)[4,2)- (D) (4,2]- 4.下列哪个选项不是微分方程'''56x y y y e -+=的解 [C ] (A)212 x x y e e =+ (B)312x x y e e =+(C)23x x y e e =+ (D)12x y e = 5.关于函数(,)f x y 在(,)x y 处的论述正确的是[ D ](A) (,)f x y 连续则一定可微 (B) (,)f x y 偏导数存在则一定连续 (C) (,)f x y 偏导数存在则一定可微 (D) (,)f x y 可微则一定连续6.下列说法错误的是[ B ](A) ''''220xy y x ++=是三阶微分方程 (B)4'220xy y x ++=是四阶微分方程 (C)(5)'220xy y x ++=是五阶微分方程 (D) 24'222()0x y y x ++=是一阶微分方程7. 设lim 0n n nu →∞=，则1n n u ∞=∑[ C ] （A ）收敛 (B)发散 (C)敛散性不确定 (D)绝对收敛8.设平面区域22:(2)(1)1D x y -+-≤ ,若2312(),()DDI x y d I x y d σσ=+=+则有[ A ](A) 12I I < (B) 12I I > (C) 12I I = (D)不能比较9设∑是取外侧的单位球面222+=1x y z +，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++=??[D ](A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 10已知(3,1,2)a →=-和(1,2,1)b →=-，则a b →→等于[ B ] (A) 2- (B) 1- (C) 1 (D) 2二、填空题（本题总计15分，每空3分） 1.22{(,)|10}x y x y +->2.设(,)z z x y =由方程5yxx z +=所确定,则11ln y x x z yx z zx xz--?+=-? 3.512x x y c e c e -=+ 4.0 5. [0,2]三、计算下列各题（本题总计49分，每小题7分）1. 求一阶线性微分方程3')1(12+=+-x y x y 的通解 .解：先求'201y y x -=+的通解21dy dx y x =+ ..........2分 21ln ||lnc (1)y x =+21(1),()y c x c c =+=±(4)分令2()(1)y c x x =+是原方程的解，代入得'21()1,()2c x x c x x x c =+=++ 故原方程的通解为21()(1)2y x x c x =+++ ..........7分2.计算D，其中22{(,)|0,2}D x y y x x y x =≤≤+≤.解：D=cos 240d r dr πθθ?? .......... 3分=3401cos 3d πθθ? (5)分=36(7)分3.设(,)z f u v =具有连续的二阶偏导数,其中 2,y u x y v x = =, 求2zx y.解：''1222z y xyf f x x=-? ..........3分 2'2''''''2''''11112222122222111122()()z y xf xy x f f f f x f f x y x x x x x=++---+?? ..........7分 4.计算224dxdydz I x y Ω=--，其中Ω由224z x y =--与0z =围成的闭区域.解：22242004r rI d dr dz rπθ-=-?..........2分 =22d rdr πθ?.......... 4分=21623rdr ππ=?..........7分5.计算(c o s )y yAOBI e dx y xe dy =--?，其中AOB 为由点A (1,1)-沿曲线2y x =到(0,0)O 再沿直线0y =到点(2,0)B 的路径.解：令()(cos )y p x y xe =--，()y q y e =yp q e x y ??==??即0p q x y-=??积分与路径无关 ..........2分故积分路径可改为由A(1,1)-沿直线到C(1,0)-再沿x 轴到(2,0)B(cos )(cos )y y y y ACCBI e dx y xe dy e dx y xe dy =--+--?? ..........4分=111(cos )1yy e dy dx -++?..........6分=3sin1e -- ..........7分6.计算曲面积分282(1)4I xydydz y dzdx yzdxdy ∑=+--??，其中∑为221y x z =++(13)y ≤≤，方向为曲面外侧. 解：令P(,,)8x y z xy =，2Q(,,)2(1)x y z y =-， R(,,)4x y z yz =-显然0P Q R x y y++= ..........2分取1∑为平面223,2y x z =+≤，方向为右侧故由高斯公式1282(1)40xydydz y dzdx yzdxdy ∑+∑+--=?? ..........4分282(1)4I xydydz y dzdx yzdxdy ∑=+--??=1282(1)4xydydz y dzdx yzdxdy ∑-+--??=2220sin )d r rdr πθθ--? ..........6分=2202cos d πθθ-?=2π- ..........7分7. 将13x-展成含(2)x -的幂级数，并确定其收敛域.解：1131(2)x x =--- ..........2分 0(2)n n x ∞==-∑..........5分收敛域为(1,3)x ∈ ..........7分四、（本题总计6分）求幂级数11n n nx ∞-=∑的和解：级数的收敛域为(1,1)- ................. 2分设(1,1)x ∈-级数收敛于()s x ，1'11()()n n n n s x nxx ∞∞-====∑∑ ................4分'1(1)1x=-- 21(1)x =- ..........6分。
郑州轻工业学院2013-2014学年第二学期高等数学试题(A)
第1页/共 3 页考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）（适用于机电、电气、计算机、物理学院相关专业）一、单项选择题（每题3分，共15分） 1.=+⎰dt t dx d x221（ B ）.(A)41x + (B) 412x x + (C) 212x x + (D) 21x +2. 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '存在是),(y x f 在该点连续的（ D ）． (A) 充分条件非必要条件 (B) 必要条件非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件3. 设简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，其中L 的方向取正向，则S =（ D ）.(A)⎰-L ydy xdx 21(B) xdx ydy L -⎰21(C) ⎰-Lxdy ydx 21(D)⎰-Lydx xdy 214. 判定级数∑∞=12sin n n n α（ B ）. (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 无法判断 5. 用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(时，体积微元dv 的转化关系是( B ). (A)dxdydz dv = (B)dz rdrd dv θ= (C)θϕϕd drd r dv sin 2= (D) dz zdrd dv θ=二、填空题(每题3分，共15分)1．=--→11lim)1,1(),(xy xy y x 21． 2. 设函数)2sin()1()arctan(),(y e y xy y y x f x+-+=，则=')0,1(x f e ．3．微分方程044=+'-''y y y 的通解为xe x C C y 221)(+=. 4. 设D 是122=+y x 所围的闭区域，)(u f 连续，则=++⎰⎰dxdy y x xf D)](1[22π． 5. 由1,0,2===y x x y 所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为54π． 三、计算题(本题共48分)（6分）1．xyz arctan =，求)0,1(dz .解：22y x y x z +-=∂∂，22y x x y z +=∂∂ 故0)0,1(=∂∂x z，1)0,1(=∂∂y z 于是dy dx dz +=0)0,1( （7分）2．改变积分次序并计算二重积分⎰⎰10sin x xdy yydx .解：⎰⎰⎰⎰=10102sin sin y y x xdx yy dydy y ydx⎰-=1sin )1(ydy y⎰---=110cos cos )1(ydy y y线订 装郑州轻工业学院 2013 — 2014 学年 第 二 学期 高等数学A 2 试卷(A 卷)专业年级及班级 姓名 学号第2页/共 3 页 1sin 1-=（7分）3．求微分方程21x xydx dy +=的通解．解：分离变量得dx x x y dy 21+= 两边积分有C x y ln 1ln ln 2++=（0≠C ）注意到0=y 也是该方程的解故通解为21x C y +=（C 为任意常数） （7分）4．利用高斯公式计算⎰⎰++∑xdxdy ydzdx xdydz ， 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围立体的整个边界曲面的外侧.解：⎰⎰++∑xdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰++=Ωdv )011(ππ632=⋅=（7分）5．判定级数∑∞=123n n n 的敛散性.解：13133)1(lim lim 2121<=⋅+=+∞→+∞→n n u u n n n nn n 或1313)(lim lim 2<==∞→∞→nn n n n n u 由比值审敛法或根值审敛法知级数∑∞=123n n n收敛（7分）6．求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面与法线方程．解：4)4,1,2(=∂∂x z，2)4,1,2(=∂∂y z 故法向量为}1,2,4{-切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即0624=--+z y x法线方程为142142--=-=-z y x （7分）7．设2)()(22+-=⎰dx x f x x x f , 求 )(x f .解：设⎰=20)(A dx x f ，则2)(2+-=Ax x x f积分得4238)(20+-==⎰A dx x f A 解得920=A 故2920)(2+-=x x x f 或两边求导有dx x f x x f ⎰-='20)(2)( 再求导得2)(=''x f积分得12)(C x x f +='，再积分有212)(C x C x x f ++= 代入上式得2]2238[212212+++-=++C C x x C x C x线订装第3页/共 3 页 比较两边的系数得22=C ，9201-=C 故2920)(2+-=x x x f 四、解答题（共16分，每题8分） （1）求幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域及和函数.解：∑∞=1n nnx 的收敛半径为1=R收敛域为)1,1[-记∑∞==1)(n nn x x S ，则x x x S n n -=='∑∞=-11)(11积分得)1ln()0()(x S x S --=-，即)1ln()(x x S --=（11<≤-x ）（2）计算⎰-+-Lx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (,其中L 为顺时针方向的上半圆周222)(a y a x =+-（0≥y ）.解：补上AO ：0=y ，02:→a x ，其中)0,2(a A ，)0,0(O则⎰-+-Lx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (⎰+-+-=AOL x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (dy m y e dx my y e x AOx )cos ()sin (-+--⎰0--=⎰⎰Dmdxdy22a m π-=五、证明题（本题满分6分）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续、可导，且⎰-=x dt t f t x x F 0)()2()(证明：（1）若0)(<'x f ，则)(x F 在),(+∞-∞内单调增加;（2）若)(x f 是偶函数，则)(x F 也是偶函数.证明：（1）⎰-=x dt t f t x x F 0)()2()(⎰⎰-=xx dt t tf dt t f x 0)(2)(故)()()(0x xf dt t f x F x -='⎰)()()()()(x f x x f x x f x f x F '-='--=''因0)(<'x f ，所以当0<x 时，0)(<''x F当0>x 时，0)(>''x F故0)0(='F 是)(x F '的极小值进而有0)(>'x F ，即)(x F 在),(+∞-∞内单调增加（2）⎰---=-x dt t f t x x F 0)()2()(（令u t -=）⎰----=x u d u f u x 0)()()2(（)()(u f u f =-）)()()2(0x F du u f u x x=-=⎰即)(x F 也是偶函数线订装。
2014-2015高数A(I)试卷A(1)
石家庄铁道大学2014-2015学年第一学期二0一四 级本科班期末考试试卷（A ）课程名称： 高等数学（A ）I 考试日期： 1月 日 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）一、单选题和填空题，（每小题3分，共30分）请将下列各题答案填到下面的表格内，否则不得分！．下列四对函数中，是相同函数的是 (A) 2ln(1sin )()x f x e+=与2()1sin g x x =+(B) 2()x f x x=与()g x x =(C) 2()ln(1)f x x =+与()2ln(1)g x x =+(D) ()f x =()g x x = 2．下列哪个极限不存在．．．(A) 1sin sin1lim 1x x x →-- (B) 10lim x x e →(C) 201lim sin x x x → (D) 11lim(1)xx x→+——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————班级： 学号： 姓名：3．设由1y y xe =+确定了y 是x 的隐函数，则下列结果正确的是(A)y dy e dx = (B) y y dy e xe dx=+ (C) 2ydy e dx y=- (D) 222y y d y e xe dx =+ 4．设()f x 在[1,1]-上可导，且2()(0)1lim(sin )2x f x f x →-=，则(0)f 是()f x 的 (A) 最大值 (B) 最小值 (C) 极大值 (D) 极小值 5．下列四个积分结果正确的是(A) 545sin 0x xdx -=⎰ (B) 141sin 01x x e xdx e -=+⎰(C)10-=⎰(D)201400π=⎰6．函数11()(1)xx f x e --=-的两个间断点x =0，1的类型(A) 都是第一类 (B) x =0是第一类，x =1是第二类 (C) 都是第二类 (D) x =0是第二类，x =1是第一类7．若函数21()1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在x =1处可导，则(,)a b =8．设()f x 在0x x =处可导，且0001lim(2)()4h h f x h f x →=--，则0()f x '=9．星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎪⎨=⎪⎩（a >0，t 为参数）的全长= 10．若lim ()x af x →=∞，则称x a =是函数()y f x =的图像的垂直渐近线；若lim ()x f x b →∞=，则称y b =是函数()y f x =的图像的水平渐近线；若lim[()]0,0x f x kx b k →∞--=≠，即()lim,lim[()]x x f x k f x kx b x→∞→∞=-=，则称y kx b =+是函数()y f x =的图像的斜渐近线.函数2(3)()4(1)x f x x -=-有几条渐近线二、解答下列各题（每小题7分，共42分）1．求极限 030(tan )lim sin xx x x x dx x e x→-⎰2．求由参数方程23230sin 10tx t t y e t ⎧---=⎨-++=⎩所确定的函数()y f x =的微分dy .3．已知3ln y x x =，求(4)y——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效———————4．求定积分0⎰5．设()f x 的一个原函数为2()xe F x x=，求2(1)xf x dx +⎰6．已知0(),(0)00xe xf x x λλλ-⎧≥=>⎨<⎩，求()xf x dx +∞-∞⎰三、解答下列各题（每小题9分，共18分）1．讨论2(3)()4(1)x f x x -=-的单调性，极值，凹凸性，拐点.列表表示结果.2．求由曲线,x x y e y e -==及直线2y e =所围成平面图形的面积A ，及该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————四、证明题（每小题5分，共10分）1．02(),0(),0x tf t dt x F x x C x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 是连续函数且(0)0f =， 若()F x 在x =0处连续，则C =0.2．达布定理：设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''<，则至少存在一点(,)c a b ∈使得()0f c '=. 利用达布定理证明：若函数()f x 在[,]a b 上可导，η是介于()f a +'与()f b -'之间的一个数，则至少存在一点(,)c a b ∈使得()f c η'=.。
河南省郑州市2014-2015学年上期期末考试高一数学试题(含答案)(word精校版)
河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}2014,2015A =，非空集合B 满足{}2014,2015A B =，则满足条件的集合B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42、下列函数中与函数3y x =相等的是A ．y =B ．y =C ．63x y x = D ．6y = 3、已知集合{}1,2,3A =，{},x y B =，则从A 到B 的映射共有A ．6个B ．5个C ．8个D ．9个4、下列命题正确的是A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台5、已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且经过原点，则它的方程为A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．()()22345x y -++=D ．()()223425x y ++-=6、下列命题中不是公理的是A ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线B ．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．垂直于同一个平面的两条直线平行D ．平行于同一条直线的两条直线互相平行7、函数()f x =的定义域为 A ．(]1,2 B ．(],2-∞ C ．[]1,2 D ．()1,28、已知直线l 在x 轴上的截距为3，在y 轴上的截距为2-，则l 的方程为A ．3260x y --=B ．2360x y -+=C ．2360x y --=D ．3260x y -+=9、已知点()2,0A -，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 满足方程221x y +=，则直线AB 的斜率的取值范围是A ．⎡⎢⎣⎦ B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．⎡⎤⎣⎦ 10、已知点()1,2A 和点()2,4B --，点P 在坐标轴上，且满足∠APB 为直角，则这样的点P 有A ．4个B ．3个C ．2个D ．6个11、函数2x y x=-的图象的对称中心的坐标为 A ．()2,1- B ．()2,1-- C ．()2,1 D ．()2,1-12、已知2log 3a =，3log 5b =，则lg 24可用a ，b 表示为A ．3b B ．31a ab ++ C ．13a a b ++ D ．31a b ++二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知空间直角坐标系中有两点()1,2,3A ，()5,1,4B -，则它们之间的距离为 ．14、已知15x x -+=，则1122x x -+= ．15、圆224x y +=与圆()()222220x y -++=的公共弦所在的直线方程为 ．16、在三棱锥C P -AB 中，C 3B =，C 4A =，5AB =，若三个侧面与底面C AB 所成二面角均为60，则三棱锥的体积是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）已知()321x f x k =+-是奇函数，求实数k 的值．。
高校2010-2011学年第一学期高等数学试题A
郑州轻工业学院2010-2011学年第一学期高等数学试题A试卷号：A20110117（1）一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设函数xx x f 1sin )(=，则当0→x 时，)(x f 为（ ）． (A) 无界变量； (B) 无穷大量； (C) 有界但非无穷小量； (D) 无穷小量．2．方程0133=+-x x 在)1,0(内 ( )(A)无实根； （B ）有唯一实根； (C)有两个实根； (D)有三个实根．3．若x x f sin )(='，则)(x f 的一个原函数是 ( )(A) x sin 1+； （B ）x sin 1-； (C) x cos 1+； (D)x cos 1-．4．已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，则常数b a ,的值为 ( )(A ) 1,2=-=b a ； (B )1,1-==b a ；(C ) 3,0-==b a ； (D )2,0-==b a ．5．极限x bx a x )1(lim 0+→（0,0≠≠b a ）的值为（ ）(A) 1； (B) a bln ； (C) a be ； (D) a be．二、填空题（每题3分，共15分）1．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f ，当=a 时，)(lim 0x f x →存在．2．不定积分⎰=+dx x x )ln 1(1．3．已知3)3(='f ，则=-+→h f h f h 3)3()23(lim 0 ．4．曲线x x x y 3624+-=的凸区间是 ．5．函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值为 ．三、解答题（每题6分，共36分）1．求极限：)111(lim 0--→x x e x． 2．求函数21322-+-=x x x y 的连续区间，如果有间断点，指出间断点的类型． 3．设t t x t x t x y )(lim -+⋅=∞→，求dxdy ． 4．求函数4cos sin +-=x x x y 在1=x 处的微分．5．设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求)0(y '．6．计算不定积分⎰dx e x ．四、（本题满分7分） 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 122在1=t 处的曲率．五、（本题满分7分）设x x x f 22tan 2cos )(sin +='（20π<<x ）, 求)(x f ．六、（本题满分8分） 在曲线x y ln =（42≤≤x ）上求一点P ，使过点P 的切线与直线4,2==x x 及x 轴所围成的梯形的面积最小．七、（本题满分7分） 证明：当0>x 时，21sin 2x x e x +<+-2sin 12x x e x -+<+． 八、（本题满分5分）设)()()(x h x g x f =，其中)(x h 在a x =的某邻域内连续，)(x g 在点a x =处可导，且A a g =')(，0)(=a g ．试求)(a f '．。
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。
郑州轻工业学院10-15(1)高数答案
郑州轻工业学院2010-2011 学年第一学期 高等数学试卷 A 参考答案试卷号：A20110117（1）一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1．设函数 f (x ) = x sin 1，则当 x → 0 时， f (x ) 为（ D）．x(A) 无界变量； (B) 无穷大量； (C) 有界但非无穷小量； (D) 无穷小量．2．方程 x 3- 3x +1 = 0 在 (0,1) 内 ( B )(A)无实根； （B ）有唯一实根；(C)有两个实根；(D)有三个实根．3．若 f '(x ) = sin x ，则 f (x ) 的一个原函数是 ( B)(A) 1 + sin x ；（B ） 1 - sin x ； (C) 1 + cos x ；(D) 1 - cos x ．4．已知 f (x ) = x 3+ ax 2+ bx 在 x = 1 处有极值 -2 ，则常数 a , b 的值为 ( C ) (A )a = -2,b = 1 (B ) a = 1, b = -1 ；(C ) a = 0,b = -3 ；(D ) a = 0, b = -2 ．5．极限 lim(1 + x ) b(a ≠ 0, b ≠ 0) 的值为（ Cx ） x →0a(B) ln b(C) e bb e(A) 1； ； a ；(D)． aa二、填空题（每题 3 分，共 15 分）⎧1⎪x sin x > 0时， lim f (x ) 存在．x 01．设函数 f (x ) = ⎨，当 a =⎪ + x 2x ≤ 0x →0⎩ a2．不定积分 ⎰1 dx = ln |1 + ln x | +C ． x (1 + ln x ) f (3 + 2h ) - f (3)3．已知 f '(3) = 3 ，则 lim = 2 ．3h4．曲线 y = x 4- 6x 2h →0+ 3x 的凸区间是[-1,1] ．5．函数 y = x + 2 cos x 在区间[0, π2 ] 上的最大值为 π6 +3 ．三、解答题（每题 6 分，共 36 分）1．求极限： lim( 1 - 1 ) ．x x →0e x-1 解：原式 = lim e x -1- x………(3 分)x (e x-1) x →0= lim e x -1- x = lim e x -1 = 1……．（6 分）x 22x 2x →0 x →02．求函数 y =2x 2 - 3x +1的连续区间，如果有间断点，指出间断点的类型．x - 2解：定义域为： (-∞, 2) ⋃ (2, +∞) ，连续区间为(-∞, 2)，(2, +∞)……．．（2 分） 间断点为 x = 2……．．（4 分）lim 2x 2- 3x +1 = ∞ ，所以 x = 2 为无穷间断点…．．（6 分）x - 2 x →23．设 y = x ⋅ lim( t + x )t，求 dy ．t →∞t - x dx解： y = x ⋅ lim(1+ 2x )t………2 分t - x t →∞2x t -x ⋅ 2 xt= x ⋅ lim(1+ ) = xe 2 x ………．5 分2 x t -xt →∞ t - xdy = e 2 x (1+ 2x )所以dx………．6 分4．求函数 y = sin x - x cos x + 4 在 x = 1 处的微分．解： y ' = cos x - cos x + x sin x = x sin x ………（4 分）y '(1) = sin1………（5 分） 所以dy = sin1dx………（6 分）5．设函数 y = y (x ) 由方程 e y+ xy = e 所确定，求 y '(0) ．解：当 x = 0 时， y = 1方程两边关于自变量 x 求导，得 e y y ' + y + xy ' = 0 ,点 (0,1) 代入得 y '(0) = -e 16．计算不定积分 ⎰exdx ．解：令x = t ，则 x = t 2 , dx =2tdt 原式 = ⎰2te t dt = 2⎰tde t= 2(te t - ⎰e t dt ) = 2e t (t -1) + C= 2e x(x -1) + C四、（本题满分 7 分）⎧ t 2⎪x =在 t = 1处的曲率． 2 求曲线 ⎨⎪ ⎩ y = 1- t解 ：dy dy -1 dy= dt = | = -1，dx dx tdx t =1 dtd dy 1d 2 y =()=1, d 2 ydt dx t 2= | = 1dx 2 t 3dx t dx 2 t =1d t| y '' |1 1所以曲率 K =| =1= = 2[1 + y '2] 3 t2 2422 2……（1 分）……（5 分）……（6 分）……．．（2 分）……．．（4 分）……．．（6 分）............（3分）.........（5分）……．．（7 分）7 f (sin x ) = cos 2x 五、（本题满分 分）设 ' 2解： ' 2 x ) = 1 - 2 sin 2 x + sin 2x 1 - sin 2x f (sin 则 f '(x ) = 1 - 2x + 1 -x x = - 2x + 1 -1 x f (x ) = ⎰( - 2x + 1 -1 x )dx = -x 2- ln(1 -+ tan 2x (0 < x < π2) ,， x ∈ (0,1)x ) + C求 f (x ) ．………2 分………4 分………7 分六、（本题满分 8 分）在曲线 y = ln x (2 ≤ x ≤ 4) 上求一点 P ，使过点 P 的切线与直线 x = 2, x = 4 及 ox 轴所围成的梯形的面积最小．解：设 P 点坐标为 (x , ln x ) ，则 y ' = 1 …．．．（1 分）0 0x 0过点 P 的切线方程为 y - y= 1 (x - x ) ，x 0即 y = x+ ln x 0 -1…．．．（3 分）xx = 2 时， y = 2+ ln x 0 -1 ，xx = 4 时， y = 4 + ln x 0 -1………．(4 分)x 0梯形面积为 s = 6+ 2 ln x 0 - 2 ， 2 ≤ x 0 ≤ 4………．(6 分)x 0s ' = - 6 + 2， 令 s ' = 0 得 x 0 = 3………．(7 分)x 02x 0''29 > 0 s (3) =所以 s 在 x 0 = 3 处取得极小值，也为最小值．则所求点为 P (3, ln 3) ．………．(8 分)七、（本题满分 7 分）证明：当 x > 0 时， e - x+ sin x < 1+ x 2．2证： x > π 时，不等式显然成立。
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郑州轻工业学院2014-2015学年第一学期 高等数学A1 试卷A一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数21()1x f x x -=-的（ ） (A) 可去间断点；(B)无穷间断点；(C)跳跃间断点；(D)震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ ）(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ ） (A) e ； (B)e1； (C)2-e ； (D)2e ． 4．若函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),(b a 内（ ）．(A) 单调减、凹曲线； (B)单调减、凸曲线；(C) 单调增、凹曲线； (D) 单调增、凸曲线．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ ） (A) 22x xe ； (B) 22(1)x xe x +； (C) 2(2)x xe x + ； (D) 222x x e .二、填空题(每题3分，共15分)1．设lnsin y x =，则dy dx=__________． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则______,_______a b ==．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为_________，铅直渐近线为_________． 4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y =______________．5．3cos x dx =⎰________________．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x→--． 2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 5．求不定积分：x x e dx ⋅⎰． 6．求不定积分：．四、解答题（本题7分）设1,0()sin ,0x e x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，求'()f x ．五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，x e e x >⋅．2．证明方程0133=+-x x 在)1,0(内仅有一个实根．六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？七、综合分析题（本题满分5分）设函数()sin f x x b x =-，且30()lim x f x a x→=，求常数a 、b 的值．2014-2015学年第一学期 高等数学A1 试卷A 参考答案试卷号：A20150114-2一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数21()1x f x x -=-的（ A ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ C ）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ D ） （A ）e ； （B ）e1； （C ）2-e ； （D ）2e ． 4．若函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),(b a 内（ D ）．(A) 单调减、凹曲线； (B)单调减、凸曲线；(C) 单调增、凹曲线； (D) 单调增、凸曲线．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ B ） (A) 22x xe ； (B) 22(1)x xe x +； (C) 222x x e ； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．设lnsin y x =，则dy dx= cot x ． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =32-，b = 92． 3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为1y =，铅直渐近线为2x =．4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y = 20152．5．3cos x dx =⎰ 31sin sin 3x x C -+．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 解：原式0cos lim 2x x e xx →-= ……3分0sin 1lim 22xx e x →+== …..6分2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．解：函数的定义域为(,)D =-∞+∞2'()612186(3)(1)f x x x x x =--=-+ ……2分令'()0f x =，的驻点1,3x x =-=． ……3分单增区间为(,1],[3,)-∞-+∞，单减区间为[1,3]-，极大值(1)17f -=，极小值(3)47f =-．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =． 解：方程两边关于自变量x 求导，()y y x =，则有''cos 0y e y y xy x +++=，所以cos 'y y xy e x +=-+． …….3分当0x =时，代入方程得1y =，所以2'(0)y e =-， ……..5分故02|x dy dx e==-． ……6分 4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 解：2sin 24sin cos dydy t dt t dx tdt-===-，……3分 在4t π=处，0,dy x y dx===-…….5分 所以切线方程为()y x =-． ……6分 5．求不定积分：x x e dx ⋅⎰． 解：x x x x xe dx x d e xe e dx ==-⎰⎰⎰……4分 x x xe e C =-+……6分6．求不定积分：． 解法1：221(1)2x ==--…..4分C = ……6分解法2：令sin ,(,)22x t t ππ=∈-，则cos dx tdt =，.…..3分原式sin cos cos cos t tdt t C C t==-+=⎰ .…..6分四、解答题（本题7分）设1,0()sin ,0x e x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，求'()f x ．解：0x >时,()1x f x e =-，所以'()x f x e =；……2分0x <时，()sin f x x =，所以'()cos f x x =． ……4分0x =时，(0)0f =，且00()(0)1'(0)lim lim 1x x x f x f e f x x---→→--===； 00()(0)sin '(0)lim lim 1x x f x f x f x x+++→→-===，故'(0)1f =．……6分 故 ,0()cos ,0x e x f x x x ⎧<=⎨≥⎩．五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，x e e x >⋅．证明：令(),1x f x e ex x =-≥，则(1)0f =．……3分'()0,1x f x e e x =->> ……6分所以1x >时，()(1)0f x f >=， 即x e e x >⋅． ……7分2．证明方程0133=+-x x 在)1,0(内仅有一个实根．证明：（1）存在性令3()31f x x x =-+，显然()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =>=-<，即(0)(1)0f f <，故()f x 在[0,1]上满足零点定理，所以至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ=，即方程0133=+-x x 在)1,0(内至少有一个实根． ……5分（2）唯一性因为22'()333(1)0f x x x =-=-<，)1,0(∈x ，所以()f x 在[0,1]上单减，故方程()0f x =在(0,1)内至多有一个根．综上所述，()f x 在(0,1)内仅有一个零点，即方程0133=+-x x 在)1,0(内仅有一个实根 ……7分六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？解：设矩形一边长x ，则另一边长p x -，将其绕p x -边旋转，则旋转体的体积为223()(),0V x p x px x x p ππ=-=-<<， ……3分2'(23)V px x π=-，令'0V =，得驻点23x p =． 2''(26),''()203p V p x V p ππ=-=-<． ……7分 所以，当23x p =时，V 取极大值． 2133x p p x p =⇒-=． 由问题的实际意义知，当长和宽分别取2,33p p 时，体积最大． ……8分 七、综合分析题（本题满分5分）设函数()sin f x x b x =-，且30()lim x f x a x→=，求常数a 、b 的值． 解法1：332000()sin 1cos lim lim lim 3x x x f x x b x b x x x x →→→--== （1） ……2分 0sin lim 66x b x b x →== （2） 因为（1）中分母20lim30x x →=，所以分子0lim(1cos )01x b x b →-=⇒=； 所以30()1lim 6x f x a x →==． ……5分 解法2：利用麦克劳林公式，33331sin (),sin (1)()3!3!b x x x o x x b x b x x o x =-+-=-++，……2分 则33333000(1)()()sin 3!lim lim lim 6x x x b b x x o x f x x b x b x x x →→→-++-===． 所以1,b =30()1lim 66x f x b a x →===． ……5分。