48高考数学专题复习——二次函数48

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高考数学中的二次函数问题解析

高考数学中的二次函数问题解析高考数学是很多学生最为担心的科目之一，其中涉及到的二次函数问题更是令学生头疼不已。

二次函数在高中数学中的重要性不言而喻，其解题方法多种多样，需要学生有一定的数学基础和逻辑思维能力。

在本文中，将着重解析高考数学中的二次函数问题，让学生能够更好地应对考试。

一、二次函数的基本形式二次函数是高中数学的一个重要概念，也是高考的重点内容之一。

二次函数的一般式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c 分别为实数，二次函数的图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。

a 的取值决定了二次函数的开口方向和大小，当a > 0 时，抛物线开口朝上，当 a < 0 时，抛物线开口朝下；而 b 和c 的取值则分别影响抛物线的位置和与坐标轴的交点。

二、二次函数的求根公式在解决二次函数的问题时，一个常见的问题是求解方程ax² + bx + c = 0其中，a、b、c 分别为实数。

由于一般的二次方程不易直接求解，因此需要使用二次函数的求根公式：x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a其中，+/- 代表正负号取两种情况，√ 表示开方，a、b、c 分别代表一般式中的系数。

需要注意的是，在运用此公式求解时，首先应该对给定方程进行分类讨论，判断它的解的数量与情况。

三、二次函数的最值问题另一个常见的二次函数问题是求取最值。

通过对一般式 y = ax²+ bx + c 的求导，我们可以得到其导函数为：y' = 2ax + b当 y' = 0 时，可以求得此时的 x 值，即为二次函数的极值点。

根据抛物线的开口方向，可以推断出该点是函数的最大值或最小值。

此外，需要注意的是，当 a > 0 时，抛物线开口朝上，其最小值为 y = c - b² / 4a；而当 a < 0 时，抛物线开口朝下，其最大值为y = c - b² / 4a。

高考高三数学总复习教案：二次函数

第二章函数与导数第6课时二次函数（对应学生用书（文）、（理）１8～１9页）考情分析考点新知１由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题.２以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点．①掌握二次函数的概念、图象特征.②掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值.３掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.,１．（必修１P５４测试7）函数f（x）＝x２＋２x—３，x∈[0，２]的值域为________．答案：[—３，５]解析：由f（x）＝（x＋１）２—４，知f（x）在[0，２]上单调递增，所以f（x）的值域是[—３，５]．２．二次函数y＝—x２＋２mx—m２＋３的图象的对称轴为x＋２＝0，则m＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：—２（—２，３）（—∞，—２] [—２，＋∞）３．（必修１P４５习题8改编）函数f（x）＝（x＋１）（x—a）是偶函数，则f（２）＝________．答案：３解析：由f（—x）＝f（x），得a＝１，∴f（２）＝３．４．（必修１P４４习题３）函数f（x）＝错误!的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f（x）的图象可知．５．设abc>0，二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c的图象可能是________．（填序号）答案：４解析：若a>0，则b、c同号，３４两图中c<0，则b<0，所以—错误!>0，４正确；若a<0，则b、c异号，１中c<0，则b>0，—错误!>0，不符合，２中c>0，则b<0，—错误!<0，不符合．１．二次函数的解析式的三种形式（１）一般式：f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）．（２）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h，k），则其解析式f（x）＝a（x—h）２＋k（a≠0）．（３）零点式（两根式）：若二次函数的图象与x轴的交点为（x１，0），（x２，0），则其解析式f（x）＝a（x—x１）（x—x２）（a≠0）．２．二次函数的图象及性质二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝—错误!，顶点坐标是错误!．（１）当a>0，函数图象开口向上，函数在区间（—∞，—错误!]上是单调减函数，在[—错误!，＋∞）上是单调增函数，当x＝—错误!时，y有最小值，y min＝错误!．（２）当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[—错误!，＋∞）上是单调减函数，在（—∞，—错误!]上是单调增函数，当x＝—错误!时，y有最大值，y max＝错误!．３．二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），当Δ＝b２—４ac>0时，图象与x轴有两个交点M１（x，0），M２（x２，0），则M１M２＝错误!．１题型１求二次函数解析式例１已知二次函数f（x）满足f（２）＝—１, f（—１）＝—１，且f（x）的最大值为8，求二次函数f（x）的解析式．解：（解法１：利用一般式）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），错误!解得错误!∴所求二次函数为f（x）＝—４x２＋４x＋7．（解法２：利用顶点式）设f（x）＝a（x—m）２＋n，∵f（２）＝f（—１），∴抛物线对称轴为x ＝错误!＝错误!，即m＝错误!；又根据题意，函数最大值y max＝8，∴n＝8，∴f（x）＝a错误!２＋8．∵ f（２）＝—１，∴a错误!错误!＋8＝—１，解得a＝—４．∴f（x）＝—４错误!２＋8＝—４x２＋４x＋7．（解法３：利用两根式）由题意知f（x）＋１＝0的两根为x１＝２，x２＝—１，故可设f（x）＋１＝a（x—２）（x＋１），即f（x）＝ax２—ax—２a—１．又函数有最大值y max＝8，即错误!＝8，解得a ＝—４或a＝0（舍），∴所求函数的解析式为f（x）＝—４x２—（—４）x—２×（—４）—１＝—４x ２＋４x＋7．错误!已知二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c图象的顶点为（—１，１0），且方程ax２＋bx＋c＝0的两根的平方和为１２，求二次函数f（x）的表达式．解：由题意可设f（x）＝a（x＋１）２＋１0，即f（x）＝ax２＋２ax＋a＋１0；∴ b＝２a，c＝a＋１0，设方程ax２＋bx＋c＝0的两根为x１、x２，则x错误!＋x错误!＝１２，即（x１＋x２）２—２x１x２＝１２，∴错误!错误!—２×错误!＝１２．又b＝２a，c＝a＋１0，∴错误!错误!—２×错误!＝１２，解得a＝—２，∴f（x）＝—２x２—４x＋8．题型２含参变量二次函数的最值例２函数f（x）＝２x２—２ax＋３在区间[—１，１]上最小值记为g（a）．（１）求g（a）的函数表达式；（２）求g（a）的最大值．解：（１）１当a<—２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!<—１，则g（a）＝f（—１）＝２a＋５；２当—２≤a≤２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!∈[—１，１]，则g（a）＝f错误!＝３—错误!；３当a>２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!>１，则g（a）＝f（１）＝５—２a.综上所述，g（a）＝错误!（２）１当a<—２时，g（a）<１；２当—２≤a≤２时，g（a）∈[１，３]；３当a>２时，g（a）<１．由１２３可得g（a）max＝３．错误!求二次函数f（x）＝x２—４x—１在区间[t，t＋２]上的最小值g（t），其中t∈R.解：函数f（x）＝（x—２）２—５的图象的对称轴方程为x＝２，开口向上．当２∈[t，t＋２]，即t≤２≤t＋２，也就是0≤t≤２时，g（t）＝f（２）＝—５；当２[t，t＋２]时，１当t＞２时，f（x）在[t，t＋２]上为增函数，故g（t）＝f（t）＝t２—４t—１．２当t＋２＜２，即t＜0时，f（x）在[t，t＋２]上为减函数，故g（t）＝f（t＋２）＝（t＋２）２—４（t＋２）—１＝t２—５．故g（t）的解析式为g（t）＝错误!题型３二次函数的综合应用例３已知函数g（x）＝ax２—２ax＋１＋b（a≠0，b<１），在区间[２，３]上有最大值４，最小值１，设函数f（x）＝错误!.（１）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（２）若不等式f（２x）—k·２x≥0在x∈[—１，１]时有解，求实数k的取值范围．解：（１）g（x）＝ax２—２ax＋１＋b，由题意得１错误!得错误!２错误!得错误!（舍）．∴a＝１，b＝0，g（x）＝x２—２x＋１，f（x）＝x＋错误!—２．（２）不等式f（２x）—k·２x≥0，即２x＋错误!—２≥k·２x，∴k≤错误!错误!—２·错误!＋１．设t＝错误!，则k≤t２—２t＋１，∵x∈[—１，１]，故t∈错误!.记h（t）＝t２—２t＋１，∵t∈错误!，∴h（t）max＝１，故所求k的取值范围是（—∞，１]．错误!已知函数f（x）＝x２＋mx＋n的图象过点（１，３），且f（—１＋x）＝f（—１—x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．（１）求f（x）与g（x）的解析式；（２）若F（x）＝g（x）—λf（x）在（—１，１]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：（１）因为函数f（x）满足f（—１＋x）＝f（—１—x）对任意实数都成立，所以图象关于x＝—１对称，即—错误!＝—１，即m＝２．又f（１）＝１＋m＋n＝３，所以n＝0，所以f（x）＝x２＋２x.又y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称，所以—g（x）＝（—x）２＋２（—x），所以g（x）＝—x２＋２x.（２）由（１）知，F（x）＝（—x２＋２x）—λ（x２＋２x）＝—（λ＋１）x２＋（２—２λ）x.当λ＋１≠0时，F（x）的对称轴为x＝错误!＝错误!，因为F（x）在（—１，１]上是增函数，所以错误!或错误!所以λ<—１或—１<λ≤0．当λ＋１＝0，即λ＝—１时，F（x）＝４x显然成立．综上所述，实数λ的取值范围是（—∞，0]．１．若函数f（x）＝ax２—３x＋４在区间（—∞，6）上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案：0≤a≤错误!解析：当a＝0时，f（x）＝—３x＋４，符合；当a≠0时，则错误!解得0<a≤错误!.综上，实数a 的取值范围是0≤a≤错误!.２．已知函数f（x）＝x２—３x＋m，g（x）＝２x２—４x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[—１，２]上成立，则实数m的值为________．答案：２解析：由题意，x２—３x＋m≥２x２—４x，即x２—x—m≤0的解集是[—１，２]，所以m＝２．３．（２0１３·南通三模）已知函数f（x）＝错误!是偶函数，直线y＝t与函数y＝f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、Ｄ．若AB＝BC，则实数t的值为________．答案：—错误!解析：根据偶函数的定义得a＝１，b＝２，c＝—１，f（x）＝错误!错误!所以x C＝错误!，则t＝错误!错误!—２×错误!—１＝—错误!.４．（２0１３·新课标）若函数f（x）＝（１—x２）（x２＋ax＋b）的图象关于直线x＝—２对称，则f（x）的最大值为________．答案：１6解析：因为点（１，0），（—１，0）在f（x）的图象上，且图象关于直线x＝—２对称，所以点（—５，0），（—３，0）必在f（x）的图象上，所以f（—５）＝（１—２５）（２５—５a＋b）＝0，f（—３）＝（１—9）（9—３a＋b）＝0，联立，解得a＝8，b＝１５，所以f（x）＝（１—x２）（x２＋8x＋１５），即f（x）＝—（x＋１）（x—１）（x＋３）（x＋５）＝—（x２＋４x＋３）（x２＋４x—５）．令t ＝x２＋４x＝（x＋２）２—４≥—４，则f（x）＝—（t＋３）（t—５）＝—（t—１）２＋１6，当t＝１时，f（x）max＝１6．１．已知函数f（x）＝e x—１，g（x）＝—x２＋４x—３，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围为________．答案：（２—错误!，２＋错误!）解析：易知，f（a）＝e a—１>—１，由f（a）＝g（b），得g（b）＝—b２＋４b—３>—１，解得２—错误!<b<２＋错误!.２．已知函数f（x）＝x２＋ax＋b（a、b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）<c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．答案：9解析：根据函数f（x）＝x２＋ax＋b的值域为[0，＋∞），得到a２—４b＝0．又关于x的不等式f（x）<c，可化为x２＋ax＋b—c<0，它的解集为（m，m＋6），设函数f（x）＝x２＋ax＋b—c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x１、x２，则|x２—x１|＝m＋6—m＝6，从而（x２—x１）２＝３6，即（x１＋x２）２—４x１x２＝３6．又x１x２＝b—c，x１＋x２＝—a，代入得到c＝9．３．设函数f（x）＝x２—１，对任意x∈错误!，f错误!—４m２f（x）≤f（x—１）＋４f（m）恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：错误!∪错误!解析：由题意知错误!—１—４m２（x２—１）≤（x—１）２—１＋４（m２—１）在x∈错误!上恒成立，错误!—４m２≤—错误!—错误!＋１在x∈错误!上恒成立，当x＝错误!时，函数y＝—错误!—错误!＋１取得最小值—错误!，所以错误!—４m２≤—错误!，即（３m２＋１）（４m２—３）≥0，解得m≤—错误!或m≥错误!.４．已知函数f（x）＝mx＋３，g（x）＝x２＋２x＋m.（１）求证：函数f（x）—g（x）必有零点；（２）设函数G（x）＝f（x）—g（x）—１，若|G（x）|在[—１，0]上是减函数，求实数m的取值范围．（１）证明：f（x）—g（x）＝（mx＋３）—（x２＋２x＋m）＝—x２＋（m—２）x＋（３—m）．由Δ１＝（m—２）２＋４（３—m）＝m２—8m＋１6＝（m—４）２≥0，知函数f（x）—g（x）必有零点．（２）解：|G（x）|＝|—x２＋（m—２）x＋（２—m）|＝|x２—（m—２）x＋（m—２）|，Δ２＝（m—２）２—４（m—２）＝（m—２）（m—6），１当Δ２≤0，即２≤m≤6时，|G（x）|＝x２—（m—２）x＋（m—２），若|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则错误!≥0，即m≥２，所以２≤m≤6时，符合条件．２当Δ２＞0，即m＜２或m＞6时，若m＜２，则错误!＜0，要使|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则错误!≤—１且G（0）≤0，所以m≤0；若m＞6，则错误!＞２，要使|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则G（0）≥0，所以m＞6．综上，m≤0或m≥２．１．二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．２．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论（三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴），此类问题是考查的重点．３．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．错误![备课札记]。

高考数学复习初等函数知识点：二次函数

高考数学复习初等函数知识点：二次函数二次函数的差不多表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。

，下面是高考数学复习初等函数知识点：二次函数，期望对考生有关心。

1、二次函数的定义一样地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等差不多上二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范畴是全体实数;(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对比定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.2、二次函数y=ax2的图象和性质(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象差不多上抛物线.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也确实是说,当a>0时,函数y=ax2具有如此的性质：当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;高考数学复习初等函数知识点：二次函数就为大伙儿分享到那个地点，更多杰出内容请关注高考数学知识点栏目。

高考数学总复习第五节二次函数与幂函数

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考点三二次函数的图象与性质
[锁定考向]
题点多变型考点——多角探明
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较
低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是
高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函
数的图象与性质的应用．
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
∴f(2)＝2 －12
＝
2 2.
答案：C
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)
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2．函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞) 上为增函数，则实数 m 的值为________．解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m＝2. 答案：2
y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
_奇__ 非 __奇__非___偶_ _奇__
单调性
(－∞，0)
_增__ 减，(0， _增___ ＋∞)增
(－∞，0)
_增__ 和(0,＋∞)
减
公共点
__(_1_,_1_)__
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2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
(2)若幂函数 y＝xα(α∈R )是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则 α＜0.

二次函数-高考数学复习

3 − 2， < 1.
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；

（2）对称轴 x ＝－与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析：函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），

2024版高考数学总复习：二次函数与幂函数教师用书

第四节二次函数与幂函数考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x-1，y＝x2，y＝�12，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴．4．二次函数的图象与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．5．常用结论(1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”．(2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数y ＝2�12是幂函数．(×)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．(×)2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点4f (2)＝()A．14B．4C．22D ．2C 解析：设f (x )＝x α，因为图象过点4所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2−12＝22.3．二次函数f (x )的图象经过(0，3)，(2，3)两点，且f (x )的最大值是5，则该函数的解析式是()A．f (x )＝2x 2－8x ＋11B．f (x )＝－2x 2＋8x －1C．f (x )＝2x 2－4x ＋3D．f(x)＝－2x2＋4x＋3D解析：二次函数f(x)的图象经过(0，3)，(2，3)两点，则图象的对称轴为x＝1.又由函数的最大值是5，可设f(x)＝a(x－1)2＋5(a≠0)．于是3＝a＋5，解得a＝－2.故f(x)＝－2(x－1)2＋5＝−2�2＋4x＋3.故选D.4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，27)，则幂函数f(x)是() A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数AC解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，因为其图象经过点(3，27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f(x)＝x3.因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又α＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是_________．－1解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝32>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．当x＝1时，y取得最小值，所以y min＝2－6＋3＝－1.考点1幂函数的图象和性质——基础性1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数D解析：设幂函数f(x)＝x a，则f(3)＝3a＝3，解得a＝12，所以f(x)＝�12＝�，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数．2．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·��2−�−2的图象不过原点，则() A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1B解析：因为幂函数y＝(m2－3m＋3)��2−�−2的图象不过原点，所以�2−�−2≤0，�2−3�+3=1，解得m＝1或2，符合题意．故选B.3．与函数y＝�12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：y＝�12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数y＝�12－1的图象可看作由y＝�12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)．将y＝�12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.4．若(a＋1)-2＞(3－2a)-2，则a的取值范围是_________．(－∞，－1)∪−1解析：因为(a＋1)-2＞(3－2a)-2，又f(x)＝x-2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以푎+1＜3−2푎，푎+1≠0，3−2푎≠0，解得a＜23且a≠－1或a＞4.1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第考点2二次函数的解析式——综合性已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4푎+2�+ =−1，푎−�+ =−1，4푎 −�24푎=8，解得푎=−4，�=4，=7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a �＋8.因为f (2)＝－1，所以a 2−＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4×�−＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x＋1)，a ≠0，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y maxa ＝－4.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，但与b 无关C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关B 解析：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝�12＋ax 1＋b ，M ＝�22＋ax 2＋b .所以M －m ＝�22−�12＋a (x 2－x 1)，显然与a 有关，与b 无关．2．(2022·青岛模拟)设a ，b 为不相等的实数，若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足f (a )＝f (b )，则f (2)＝()A．7B．5C．4D．2C解析：由f (x )＝x 2＋ax ＋b 可得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－푎2.又由a ≠b ，f (a )＝f (b )得f (x )图象的对称轴为直线x ＝푎+�2，所以－푎2＝푎+�2，得2a ＋b ＝0，所以f (2)＝4＋2a ＋b ＝4.故选C.考点3二次函数的图象和性质——应用性考向1二次函数的图象应用(1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (－x )的图象为()D 解析：因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax 2－x－c ＝0的两根．把x ＝－2，1分别代入方程得4푎+2− =0，푎−1− =0，联立解得a ＝－1，c ＝－2.所以f (x )＝－x 2－x ＋2.所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0)．故选D.(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．1．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3，0)B．(－∞，－3]C．[－2，0]D．[－3，0]D解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3−푎2푎.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知푎<0，3−푎2푎≤−1，解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3，0].若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝_________．－3解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.(1)对于二次函数的单调性，的位置不确定，则需要分类讨论．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去．②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝3.8③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为3或－3.8将本例改为：求函数解：f(x)＝(x＋f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线1二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：由题意可知，f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．将问题归结为求函数的最值，依据是1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则f(x)的图象可能是()D解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)＝c＜0，排除选项B.故选D.2．(多选题)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(5)ACD解析：因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝2.当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．3．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．−∞B．(－∞，0)C．0D ．0D解析：若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，故푎>0，푎−12푎≤−1，解得0<a ≤13.综上，0≤a ≤13.故选D.4．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为_________．−∞解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3＜0，成立；当x ≠0时，a ＜32－16，易知1�∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a＜12.综上，实数a 的取值范围是−∞课时质量评价(九)A 组全考点巩固练1．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)��2－6�＋8在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为()A．1或3B．1C．3D．2B 解析：由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0，解得m ＝1.2．函数y ＝3�2的图象大致是()C 解析：y ＝3�2＝�23，其定义域为x ∈R ，排除A，B.又0<23<1，图象在第一象限为上凸的，排除D.故选C.3．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A．f (x )＝－x B．f (x C．f (x )＝x 2D．f (x )＝3�D解析：对于A，f (x )＝－x 为R 上的减函数，不合题意．对于B，f (x为R 上的减函数，不合题意．对于C，f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，不合题意．对于D，f (x )＝3�为R 上的增函数，符合题意．4．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则()A．f (m ＋1)≥0B．f (m ＋1)≤0C．f (m ＋1)>0D．f (m ＋1)<0C 解析：因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0.所以m ＋1>0.所以f (m ＋1)>f (0)>0.5．(2023·潍坊模拟)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则()A．a >0，4a ＋b ＝0B．a <0，4a ＋b ＝0C．a >0，2a ＋b ＝0D．a <0，2a ＋b ＝0A解析：由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－�2푎＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0.6．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )＝_________．x 2－2x ＋3解析：由f (0)＝3，得c ＝3.又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以�2＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋3.7．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围28．若푎+1−13<3−2푎−13，则实数a的取值范围是___________．(－∞，－1)∪解析：不等式푎+1−13<3−2푎−13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.9．(2023·福州模拟)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围.解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以2푎=2，푎+�=0，所以푎=1，�=−1，所以f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝32，所以g(x)在[－1，1]上单调递减．故只需最小值g(1)＞0，即12－3×1＋1－m＞0，解得m＜－1.10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2��2－4�＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q 成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)．因为p是q成立的必要条件，所以B⊆A，则2−�≥1，4−�≤4，即�≤1，�≥0，得0≤k≤1.故实数k的取值范围是[0，1].B组新高考培优练11．设函数f(x)＝1�，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0B解析：当a＜0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)．因为函数f(x)＝1�是奇函数，所以设A关于原点对称的点为�'(−�1，−�1)，显然x2＞－x1＞0，即x1＋x2＞0，－y1＞y2，即y1＋y2＜0.当a＞0时，由对称性知x1＋x2＜0，y1＋y2＞0.12．(多选题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A．b 2>4ac B．2a －b ＝1C．a －b ＋c ＝0D．5a <bAD 解析：因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，A 正确；二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1，即－�2푎＝－1，得2a －b ＝0，B 错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，C 错误；因为函数的图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，D 正确．故选AD.13．(多选题)若函数f (x )＝(x －1)(x ＋a )在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a 的值可能是(AB )A．0B．2C．－2D．－314．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝�2+�，−2≤�≤ ，1�， <�≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是−14，2，则实数c 的取值范围是_________．−14，+∞1解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x)∈−14，2，当x ∈(0，3]时，f (x +∞，所以f (x )的值域为−14，+∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1�的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1�＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为−14，2时，需满足12≤c ≤1.15．已知函数f (x )＝x 2＋2x .(1)若f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )>a 在区间[1，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于푎<��max .又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x＝3时，f(x)max＝15，故a的取值范围为{a|a<15}．(2)f(x)>a在区间[1，3]上恒成立，等价于푎<��min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝1时，f(x)min＝3，故a的取值范围为{a|a<3}．16．(2022·郑州模拟)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.(1)求a，b的值；(2)设f(x f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2－a＋b＋1.若a＞0，则g(x)在[2，3]上单调递增，所以g(2)＝b＋1＝1，g(3)＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；若a＜0，则g(x)在[2，3]上单调递减，所以g(2)＝b＋1＝4，解得b＝3.因为b＜1，所以b＝3(舍去)．综上，a＝1，b＝0.(2)因为f(x f(x)＝�2−2�+1�＝x＋1�－2.因为不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，所以2x＋12�－2－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，即k 12对x∈[－1，1]恒成立．因为x∈[－1，1]，所以12�∈2，−12∈[0，1]，所以k≤0，故实数k的取值范围是(－∞，0].。

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限，综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。

2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数

b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性单调性定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,

高考数学专题二次函数根的分布复习课件

若一元二次方程 kx 3kx k 3 0
2
有两个负根，求 k的取值范围 .
求实数m的取值范围，使关于 x的一元二次方程
2
x 2(m 1) x 2m 6 0 （ 1 ）有两个正根（2）有一个根为 0，一个根为正根
求实数m的取值范围，使关于 x的一元二次方程
2
x 2(m 1) x 2m 6 0 （ 1 ）有两个正根（2）有一个根为 0，一个根为正根（3）有两个根，且都大于 1 5 ,1 4
求实数m的取值范围，使关于 x的一元二次方程
2
x 2(m 1) x 2m 6 0 （ 1 ）有两个正根（2）有一个根为0，一个根为正根（3）有两个根，且都大于 1 （4）一个根大于 2，一个根小于 2 （5）一个根小于 2，一个根大于 4 （6）有两个根，且都在（ 2,3）内（7）一个根在（ 0,1 ）内，一个根在（ 1 ， 4）内
（5）一个根小于 2，一个根大于 4
7 , 5
求实数m的取值范围，使关于 x的一元二次方程
2
x 2(m 1) x 2m 6 0 （ 1 ）有两个正根（2）有一个根为0，一个根为正根（3）有两个根，且都大于 1 （4）一个根大于 2，一个根小于 2
（5）一个根小于 2，一个根大于 4 9 （6）有两个根，且都在（ 2,3）内 ,1 8
求实数m的取值范围，使关于 x的一元二次方程
2
x 2(m 1) x 2m 6 0 （ 1 ）有两个正根（2）有一个根为 0，一个根为正根（3）有两个根，且都大于 1 （4）一个根大于 2，一个根小于 2
,1
求实数m的取值范围，使关于 x的一元二次方程

2024年高考数学高频考点(新高考通用)二次函数与幂函数(精练：基础+重难点)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第09讲二次函数与幂函数（精练）【A 组在基础中考查功底】．．．．【答案】C【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可【详解】设()f x x α=，因为)8,4，内单调递减，故0,综上所述，实数k 的取值范围是4k ≤-或2k ≥-.故选：C.8．设()f x 是定义在[]1,2a +上偶函数，则()22f x ax bx =+-在区间[]0,2上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．与a ，b 有关，不能确定【答案】B【分析】根据偶函数的特点解出,a b ，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】()f x 是定义在[]1,2a +上偶函数，∴定义域关于原点对称，即120a ++=，∴3a =-，则()22232f x ax bx x bx =+-=-+-，由()()f x f x -=，即223232x bx x bx ---=-+-，解得0b =，∴2()32f x x =--，函数图像抛物线开口向下，对称轴为0x =，则函数在区间[]0,2上是减函数．故选：B ．9．幂函数()()222af x a a x =--在R 上单调递增，则函数()1(1)x ag x b b +=+>的图象过定点（）A ．（1，1）B ．（1，2）C ．（-3，1）D ．（-3，2）【答案】D【分析】由函数()f x 为幂函数且在R 上单调递增，可得3a =，再由指数函数过定点(0,1)，即可得函数()g x 所过的定点.【详解】解：因为()()222af x a a x =--为幂函数且在R 上单调递增，所以22210a a a ⎧--=⎨>⎩，解得3a =，所以()311(1)x ax g x bb b ++=+=+>，又因为指数函数x y a =恒过定点(0,1)，所以()31(1)x g x b b +=+>恒过定点(3,2)-.故选：D.二、填空题10．若函数()()213x m x f x =-++在区间()3,5内存在最小值，则m 的取值范围是___________．【答案】()5,9【分析】根据二次函数的性质确定在开区间()3,5内存在最小值的情况列不等式，即可得m【B组在综合中考查能力】．．．．【答案】Ay四、解答题15．已知幂函数()()22433m mf x m m x-=-+是偶函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围．【答案】(1)()4f x x=(2)()1,1-【分析】（1）根据幂函数的定义求得m 的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x 的取值范围．【详解】（1）已知幂函数()()22433m m f x m m x -=-+，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，所以()3f x x =或()4f x x =，又函数()f x 为偶函数，所以()4f x x =；（2）由于幂函数()4f x x =在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，【C 组在创新中考查思维】设(),A a b ，()(,,B m n C -则22221,1a b m n +=+=，故(),m a n b A B AC --⋅=uu u r uuu r 当2b n =时，2AB AC ⎛= ⋅⎝uu u r uuu r因为当(2,4]x ∈时，2111()(3)0,222f x x ⎡⎤=--+∈⎢⎥⎣⎦，令2113(3)228x --+=，解得172x =，252x =（舍去），因为当),x a ⎡∈+∞⎣时，3()8f x ≤成立，所以72a ≥.于难题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.故答案为②④．满足等式，下列五个关系式：＝与＝的图象设，作直线当02t <<时，22222,2()32,0x tx t t x g x x tx t x t ⎧+-≤≤=⎨-+≤<⎩，0t -<，因此222y x tx t =+-在[],2t 是单调递增，不合题意；综上，t 的范围是(,2][6,)-∞-+∞ ．故答案为：(,2][6,)-∞-+∞ ．∴函数()y g x =在区间[]1,2上单调递减，∴()()max 11g x g t ==+，即()21g x t =+，由()()12f x g x =，得14t +=，∴3t =；（3）当[]1,2x ∈时，()()220x h x h x λ+≥等价于()()22222220x x x x x λ---+-≥即()()242121x x λ-≥--，∵2210x ->，∴()221x λ≥-+，令()()221x k x =-+，[]1,2x ∈，下面求()k x 的最大值：∵[]1,2x ∈，∴()[]22117,5x -+∈--，∴()k x 的最大值为-5，故λ的取值范围是[)5,-+∞.【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出新函数的最值，从而得参数范围．。

高考数学中的重难点——二次函数

高考数学中的重难点——二次函数知识梳理： 1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。

(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。

2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2min-=；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2max-=。

3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。

4．根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞疑点一：求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。

高考数学一轮复习二次函数的图像与性质

4ac－b2 D. 4a
[答案] D
[解析]
2 x1＋x2 4 ac － b b －2a＝ f . 2 ＝f 4 a
4． (2012· 新乡模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则( 1 A．a＝3，b＝0 C．a＝1，b＝0 )
3 x2 有 x3 1＋x2＝17，求出系数 a.
[解析]
依条件，f(x)＝a(x－1)2＋15，
即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15，由 f(x)＝0 得 ax2－2ax＋a＋15＝0， 15 ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋， a
3 3 而 x1 ＋x3 2＝(x1＋x2) －3x1x2(x1＋x2)
(文)已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析] ∈[－5,5]，
(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x
＝2
3
15 90 1＋＝2－，－3· 2· a a
90 ∴2－ a ＝17，则 a＝－6. ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.
[点评]
在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数
解析式的表达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图像与 x 轴的交点坐标，应选择两根式．提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的系数过多，会加大运算量，易出错．
(2012· 沈阳模拟 ) 已知二次函数 f(x) 的图像过 A( － 1,0) ， B(3,0)，C(1，－8)． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值； (3)求不等式 f(x)≥0 的解集．

二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】(解析版)-2025年新高考数学一轮复习

二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。

高考数学总复习二次函数

高考数学总复习二次函数1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 23、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。

4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。

(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解9 二次函数

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。

通关二、二次函数的图像和性质R对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。

【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系【例1】设abc >0，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像可能是（）【答案】D【解析】A 选项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知2ba-<0，所以b <0。

若abc >0，则c >0，而由题图知f (0)=c <0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a <0，2ba->0，所以 0b >.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =>,所以B 选项不符;C 选项,由题图知0a >,02ba-<,所以0b >.若0abc >,则0c >,而由题图知(0)0f c =<,所以C 选项不符;D 选项,由题图知0,02ba a>->,所以0b <.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =<,所以D 选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点(3,0)A -,对称轴为1x =-.给出下面四个结论:①24b ac >;②2a b -＝－1;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确的是( ). A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】B【解析】因为图像与x 轴交于两点,所以240b ac ->,即24b ac >,①正确.对称轴为1x =-,即1,202ba b a-=--=,②错误.结合图像,当1x =-时,0y >,即0,a b c -+>③错误.由对称轴为1x =-知,2b a =.又函数图像开口向下,所以0a <,所以52a a <,即5a b <,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2bx a=-,顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①如果二次函数()y f x =满足()()12f x f x =,那么函数()y f x =的图像关于x 122x x +=对称.②二次函数()y f x =使()()f a x f a x +=-成立的充要条件是函数()y f x =的图像关于直线(x a a =为常数)对称.【例2】若2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称,则c =_______. 【答案】2 【解析】由题意可知212b +=,解得0b =,所以012c+=,解得2c =. 【变式】已知二次函数2()f x ax bx c =++,如果()()(12f x f x =其中)12x x ≠,则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭_____.【答案】244ac b a-【解析】因为()()12f x f x =,所以()y f x =的图像关于122x x x +=对称,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭244ac b a-=. 结论三、二次函数的单调性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠ (1)当0a >时,如图(a)所示,抛物线开口向上,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递减,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;(2)当0a <时,如图(b)所示,抛物线开口向下,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递增,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.【例3】已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数,则实数k 的取值范围为_______.【答案】4k …或8k …【解析】函数2()f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是x 2k=.因为已知函数在[2,4]上是单调函数,所以区间[2,4]应在直线2k x =的左侧或右侧,即有22k …或42k …,解得4k …或8k …. 【变式】若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是(). A.(0,3) B.(1,3) C.[1,3] D.[0,4]【答案】C【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,所以对称轴x a =应在1x =的右侧,3x =的左侧或与1,3x x ==重合,所以[1,3]a ∈.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令02p qx +=: (1)若2bp a-…,则(),()m f p M f q ==; (2)若02b p x a <-<,则,()2b m f M f q a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;(3)若02b x q a -<…,则,()2b m f M f p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; (4)若2b q a-…,则(),()m f q M f p ==. 【例4】如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[,1]t t +上,求()f x 的最小值.【答案】2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【解析】函数2()(1)1f x x =-+,其对称轴方程为1x =,顶点坐标为(1,1),图像开口向上.如图()a 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时,有1t <,此时,当x t =时,函数取得最小值2min ()()(1)1f x f t t ==-+.如图()b 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时,有11t t +剟,即01t 剟.当1x =时,函数取得最小值min ()(1)1f x f ==.如图(c)所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时,有11t +<,即0t <.当1x t =+时,函数取得最小值,2min ()(1) 1.f x f t t =+=+综上,2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【变式】已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式;(2)若()f x 在区间[2,1a a +]上不单调,求a 的取值范围; (3)若[,2]x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.【解析】(1)因为()f x 是二次函数,且(0)(2)f f =,所以()f x 图像的对称轴为1x =.又()f x 的最小值为1,设2()(1)1(0)f x k x k =-+>,又(0)3f =,所以2k =.所以()f x =222(1)1243x x x -+=-+.(2)要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调,则211a a <<+,所以102a <<. (3)由(1)知,()y f x =的对称轴为1x =,若1t …,则()y f x =在[,2]t t +上是增函数,min y 2243t t =-+;若21t +…,即1t -…,则()y f x =在[,2]t t +上是减函数,min (2)y f t =+=2243t t ++;若12t t <<+,即11t -<<,则min (1)1y f ==.综上,当1t …时,2min 24y t t =-3+;当11t -<<时,min 1y =;当1t -…时,2min 243y t t =++.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设2()(0)f x ax bx c a =++> ①0∆<⇔函数()y f x =的图像与x 轴无交点⇔方程()0f x =无实根⇔不等式()0f x >的解集为⇔R 不等式()0f x …的解集为∅.②0∆=⇔函数()y f x =的图像与x 轴相切⇔方程()0f x =有两个相等的实根⇔不等式()0f x >的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭.③0∆>⇔函数()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程()0f x =有两个不等的实根:,(αβ设)αβ<⇔不等式()0f x >的解集为(,)(,)αβ-∞⋃+∞⇔不等式()0f x <的解集为(,)αβ.【例5】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足0121x x a<<<(1)当()10,x x ∈时,证明1()x f x x <<;(2)函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明:102x x <.【解析】证明(1)由题意可知()()12()f x x a x x x x -=--.因为1210x x x a<<<<,所以()()120a x x x x -->,所以当()10,x x ∈时,()f x x >.又1()(f x x a x -=-)()()()1211211,0x x x x x x x ax ax x x -+-=--+-<且22110ax ax ax -+>->,所以1()f x x <.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知2()(1)f x x ax b x c -=+-+,它的对称轴方程为12b x a-=-,由方程()f x 0x -=的两个根12,x x 满足1210x x a <<<,可得121102b x x a a -<<<<-得1212b x x a --=-12b a---,所以121111222b b b x x a a a a ----=-<----,即1b x a -<,而02bx a =-,故102x x <. 【变式】设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和()223x a a x a -++<0()a ∈R 的解集分别是A 和B .(1)若A B ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得A B ⋃=R ?如果存在,求出a 的值,如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)(){}2(,1)(2,),|()0A a a B x x a x a=-∞-⋃++∞=--<①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋂=∅,得212a aa a -⎧⎨+⎩……,解得12a -剟. 所以10a -<…或12a <….②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋂=∅显然成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋂=∅,得212a aa a ⎧-⎨+⎩……,解得a ∈R .所以01a <<.综上,实数a 的取值范围是[1,2]-. (2)假设存在实数a ,使得A B ⋃=R ,则:①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋃=R ,得212a a a a <-⎧⎨+<⎩,所以a 不存在.②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋃=R 显然不成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋃=R ,得212a a a a a ⎧<-⇒∈∅⎨>+⎩. 综上,不存在实数a 使得A B ⋃=R 成立.结论六、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>根的分布令2()(0)f x ax bx c a =++>图像＞充要0∆⎧…0∆⎧…()0f k <0∆…图像＞注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①∆;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若()0f k <,则不用考虑∆、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分0∆>,还是0∆…. 【例6】二次方程()22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是().A.31a -<<B.20a -<<C.10a -<<D.02a << 【答案】C 【解析】令()22()12f x x a x a =+++-,则由题意可知(1)0f <且(1)0f -<,即220,20a a a a ⎧+<⎨-+>⎩,解得10a -<<.故选C .【变式】求实数m 的范围,使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,αβ,且满足014αβ<<<<.(3)至少有一个正根.【答案】75(1)1(2)(3)154m m m <--<<--… 【解析】2()2(1)26y f x x m x m ==+-++.(1)依题意有(2)0f <,即44(1)260m m +-++<,得1m <-.(2)依题意有(0)260(1)450(4)10140f m f m f m =+>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩,解得7554m -<<-. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得0)0(0)(10202)f m ∆>⎧⎪⎪>⎨--⎪>⎪⎩…,即1531m m m m -≥⎧⎪>-⎨⎪<⎩或…,所以31m -<-….②有一个正根,一个负根,此时可得(0)0f <,得3m <-. ③有一个正根,另一根为0,此时可得6202(1)0m m +=⎧⎨-<⎩,所以3m =-.综上,1m -….。