第七章 静矩及其性质
截面的形心静矩
03
截面形心静矩的性质
形心静矩的性质
1 2
线性性质
形心静矩是线性变换的，即当截面受到线性变换 （如平移或旋转）时，形心静矩的值不会改变。
面积无关性
形心静矩与截面的面积无关，只与截面的形状有 关。
3
方向性
形心静矩具有方向性，其值取决于截面的法线方 向。
截面形心静矩与截面几何形状的关系
01
02
03
积分法
积分法是通过将截面划分为若干个小 面积元，然后对每个面积元计算形心 和面积，再对所有面积元的形心和面 积进行积分来计算截面形心静矩的方 法。
积分法适用于各种形状的截面，计算 精度较高，但计算过程较为复杂，需 要使用数值积分方法进行计算。
代数法
01
代数法是通过建立截面形心静矩 的代数方程，然后求解该方程来 计算截面形心静矩的方法。
在材料力学中的应用
材料应力分析
通过截面形心静矩，可以计算出材料 的应力分布，了解材料在不同受力状 态下的行为和性能。
材料强度评估
材料稳定性分析
通过截面形心静矩，可以对材料在不 同温度、湿度等环境因素下的稳定性 进行分析，预测材料的长期性能和可 靠性。
利用截面形心静矩，可以对材料的强 度进行评估，预测材料在不同受力条 件下的失效模式和极限承载能力。
圆形截面的形心静矩
总结词
圆形截面的形心静矩计算稍微复杂一些，需要使用微积分的方法。
详细描述
圆形截面的形心静矩可以通过以下公式计算：$S_{c} = frac{pi d^4}{64}$，其中$d$是圆形截面的直径。 这个公式是通过微积分的方法得出的，可以用来计算圆形截面的形心静矩。
其他形状截面的形心静矩
圆形截面
截面的形心静矩
形心静矩具有方向性，其方向与形心 位置有关。
形心静矩的应用
01
在结构设计中，形心静矩可用于计算截面的抗弯能 力，从而评估结构的稳定性。
02
在机械设计中，形心静矩可用于计算转动惯量，从 而评估机械设备的动态性能。
03
在船舶与海洋工程中，形心静矩可用于计算浮力与 稳性，确保船舶的安全航行。
03
截面形心静矩的计算
截面形心静矩与其他力学性能的关系研究
总结词
材料属性影响
详细描述
材料属性对截面形心静矩的影响也是未来的 研究方向之一。研究不同材料属性（如弹性 模量、泊松比等）对截面形心静矩的影响规 律，有助于更好地理解材料的力学行为，并 为新型材料的开发和优化提供理论支持。
截面形心静矩在新型材料和结构中的应用研究
05
截面形心静矩的未来研究 方向
截面形心静矩的优化计算方法
总结词
优化计算方法
详细描述
随着计算机技术的不断发展，截面形心静矩的优化计算方法成为了一个重要的研究方向。目前，研究 者们正在探索更高效、精确的数值计算方法，以解决复杂截面形状和材料属性对形心静矩计算的影响 。
截面形心静矩的优化计算方法
总结词
截面的形心静矩
contents
目录
• 截面形心静矩的定义 • 截面形心静矩的性质 • 截面形心静矩的计算 • 截面形心静矩的实例分析 • 截面形心静矩的未来研究方向
01
截面形心静矩的定义
形心
定义
形心是截面图形的几何中心，通 常用于描述截面的质量分布情况 。
计算方法
对于规则图形，形心位置可以通 过几何计算得出；对于不规则图 形，可以通过积分计算得出。
详细描述
对于圆形截面，形心静矩可以通过以 下公式计算：$I = frac{pi d^4}{64}$， 其中$d$为截面的直径。这个公式适 用于圆形截面，其中形心静矩表示截 面对其轴线的惯性矩。
惯性矩、静矩,形心坐标公式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载惯性矩、静矩,形心坐标公式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容§I−1 截面的静矩和形心位置dACZzyyyCZcO图I−1Z如图I−1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分（I−1）分别定义为该截面对于z轴和y轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得利用公式（I−1），上式可写成（I−2）或（I−3）（I−4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：（I−5）式中Ai、yci和zci分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n为简单图形的个数。
将式（I−5）代入式（I−4），得到组合图形形心坐标的计算公式为（I−6）yC0.12m0.4myⅡyⅠⅠ0.6m0.2mOyzⅠⅡCⅠⅠCⅡC例题I−1图例题I−1 图a所示为对称T型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy，其中y为截面的对称轴。
因图形相对于y轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此zC=0，只需计算yC值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则AⅠ=0.072m2，AⅡ=0.08m2yⅠ=0.46m，yⅡ=0.2m§I−2 惯性矩、惯性积和极惯性矩dAρyyO图I−2zz如图I−2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy。
现在图形内取微面积dA，dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z，到坐标原点的距离为ρ。
现定义y2dA和z2dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，ρ2dA为微面积dA对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分（I−7）分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。
形心 惯性矩
y
x
dA y x
3、极惯性矩： 它是图形面积对极点的二次矩。
I P 2dA
A
2 x 2 y 2 I P ( x 2 y 2 )dA I y I x
A
IP Ix I y
图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
1.转轴公式:
当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴公式给 出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系. z
y1 y cos a z sin a z1 z cos a y sin a
z1 y1
y
z
I z1 y12 dA ( y cosa z sin a ) 2 dA
I y1 I Z1 I y IZ 2 I y IZ 2 2 I y IZ 2 I y IZ 2 cos 2a I yz sin 2a cos 2a I yz sin 2a
I Y 1Z 1
I y IZ
sin 2a I yz cos 2a
3.主轴及主惯性矩:
ydm 均质 m
A
等于形心坐标
A
ydA A
Sx A
x
dA
xC
y
yC
x
xCi Ai xC A (正负面积法公式) y yCi Ai C A
S yC A xC
SxC A yC
S y AxC Ai xCi xdA
A
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时图形对此轴的惯性积为零反之若图形对坐标系的惯性积为零时此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴
静矩和形心
静矩和形心
S y AzC
S z AyC
1.若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必
过
形心； 2.若轴过形心，则截面对该轴的静矩等于零
。
静矩和形心
三、组合截面的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面 。
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和 ， 等于该截面对于同一轴的静矩。
静矩和形心
n
S y
zdA
A
Ai zCi
i 1
n
S z
ydA
A
A i yCi
i 1
其中 Ai —第 i个简单截面面积；
( yCi, zCi)—第 i个简单截面的形心坐标；
静矩和形心
静矩和形心
一、静矩(面积的一次矩)
设平面图形，取 yoz 为图形所在平面的坐标 系，在坐标为（y , z）处取面积元dA。 截面对 y , z 轴的静矩为 z
y
S y
zdA
A
dA
m3
z
S z
ydA
A
O
y
静矩和形心
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
1.静矩可正，可负，也可能等于零；
2.同一图形，对不同的坐标轴，静矩也不同。
静矩和形心
二、截面的形心(Centroid of an area)
n
Ai zCi
zC
i1 n
Ai
i1
z d
A
A
A
z
z zC
dA C
O yC
y
Sy A
y
静矩和形心
n
Ai
i1
A ydA
工程力学 附录 平面图形的几何性质
§2 惯性矩 惯性积 惯性半径
常用图形的极惯性矩：
1.环形截面
I p dA
2 A
D/ 2
d/ 2
2 0
d d
2
D
y
4
即
Ip
D
4
32
d
4
32
dA=d d d x
d 式中 D
32
(1 )
4
d
O
2.圆形截面 在环形截面中，令 = 0，得到
xC C yC
x
A xC S y S yi Ai xCi
i 1
2.形心
xC
Ax
i 1 i
n
Ci
A
yC
A y
i 1 i
n
Ci
A
§1 形心和静矩
四、静矩的性质
形心轴 ——通过图形形心的 坐标轴 若
y
yC
xC
A
C yC
xC
yC 0
xC 0
性质 1 ：
xC
xC1 a 57.5 mm C 1 xC
30
II
I yC I yC I yC
200 157.5
xC2 a2 57.5 mm
30 200 3 200 30 3 mm 4 12 12 2.05 107 mm 4
将微面积 dA 看作是 力 则 xdA 和 ydA 相当于力矩
y
x
xC
A
O
C yC
dA
y
x
由合力矩定理
(各分力对任一轴的力矩之和等于其合力对同一轴的力矩)
第七章截面的几何性质
Sy
A zC
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反 之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面 图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形 的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
截面的几何性质
二、组合图形的静矩
根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静
z
dA
r
y
z
如果坐标轴z或y中有一 根是图形的对称轴，则该图 形对这一对坐标轴的惯性积 一定等于零。
I zy
zydA 0
A
截面的几何性质
三、惯性半径
常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方
的乘积，即
I z iz2 A,
或改写成
I y iy2 A,
I P iP2 A
iz
Iz , A
截面的几何性质
研究截面几何性质的意义
从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力 和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积 A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。 因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何 性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活 机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部 分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其 用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。
3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴
都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。
y
y
z
z
截面的几何性质
第一节 静矩
一、静距的概念
静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。
（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。
（3）量纲为长度的三次方。
2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。
（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。
反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。
Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。
Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。
（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。
⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。
附录(惯性矩、静矩)
三、静矩与形心坐标的关系 Sy = AzC Sz = AyC
z y yC C zC O
5
dA z y
图形对一个轴的静矩， 图形对一个轴的静矩， 等于该图形面积与其形心坐 标的乘积。 标的乘积。
材料力学 中南大学土木建筑学院
几个特例
形心必位于对称轴上
z C y
z
是形心轴时， 任意图形当 y是形心轴时， 是形心轴时 zC=0， Sy = AzC ∴ Sy =0
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
Iy1z1 =
1
Iy − Iz 2
11 z
sin2 + Iyz cos2 α α
都是α 角的有界周期函数
Iy 、 Iz 、 I y
1
Iy1+Iz1 = Iy＋ Iz = Ip = 常数
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23
二、形心主惯性轴 形心主惯性矩
1、主惯性轴 、 轴称为主惯性轴。 若Iy1z1 = 0，则 y1， z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式 ， 确定： 确定： −2Iyz tan2 0 = α Iy − Iz 由上式可求出相差90 由上式可求出相差 o的α0，α0+90o，分别对应于一对相 垂直的主轴-y
y dA y
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16
§Ⅰ-3 平行移轴公式
工程力学 第七章 截面的几何性质
授课日期 班 题 别 目 2011.10.23 1044-3
第七章 截面的几何性质
目 的 要 求
了解重心、形心、静矩、惯性矩的概念 会求解静矩、惯性矩及几何形心 了解平行移轴定理
重 静矩、惯性矩 点
难 平行移轴定理 点
教 具
课本
教 学 方 法
课堂教学
第七章 截面的几何性质 第一节 静矩与形心
的惯性矩 Izc 和 Iyc， 则截面对 z 和 y 轴的惯性矩 Iz 和 Iy，
z c 和y c z c 和y c z c 和y c
zc yc
I z I zc A
I y I yc A
简单证明之：
第 6 页 共 8 页
其中
为图形对形心轴 。
的静矩，其值应等于零，则得：
上式称作平行移轴定理，它表明： （1）截面对任一坐标轴的惯性矩等于截面对该轴的形心轴的惯性矩加上截面 面积和两轴之间距离的平方的乘积。 （2）由于 a2 和 b2 恒为正值，面积也为正值，因此截面对一些相互平行的坐标 轴的惯性矩中，经过截面形心的惯性矩是的最小。
I yz zyd A
A
（I − 9） 定义为该截面对于 y、z 轴的惯性积。 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性 矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积 的常用单位是 m4 或 mm4。
二、惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式
二、组合截面对形心轴惯性矩的计算
常见图形的惯性矩： 矩形： b h z 圆形： d z y 空心圆形： D d
z y
y
bh3 Iz 12 hb3 Iy 12
材料力学(附录)
40 10
20 y
1
C2
15
解：
y Ai yi A
A1
y 1
A2
y 2
A1 A2
a
10120024054400115520
x
26.25(cm)
y
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
I x12011203 2010(4526.25)2
单位：cm
称x0 、y0 轴为主轴，称 I x0 和I y0 为主惯性矩。
y
y0
x0
0
x
使惯性积为零的坐标轴称为主轴。平面图形对主轴的惯性 矩称为主惯性矩。
三、图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩
主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩。
yC yC0
tan20
2Ixcyc Ixc Iyc
IxC I矩xC I圆xC
[1 .5 d (2 d )3 3 d 2 (d 0 .8d 2 )2 ] 3 [d 4 d 2 (1 .5 d 0 .8d 2 )2 ]3
Iy
Iy
i
I y1
Iy2
1020 3 I y1 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40 15 12
3
1.13104(cm4)
x
Iy Iy1Iy2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
12 y
解：
x 0
20
①
y yi Ai
静矩的物理意义
静矩的物理意义
嘿，各位科普爱好者！今儿咱们就来侃侃静矩这个物理概念的魅力吧！你说这静矩，那可真是描述物体质量分布的“神器”啊！就好比咱们做饭得掌握食材的配比，这静矩就是帮助我们了解物体内部质量分布的“秘密武器”呀！
这静矩的物理意义，那可真是深远着呢！你想，咱们日常生活中遇到的各式各样的物体，它们的质量分布可是千差万别。
有了静矩，咱们就能准确地把握这些物体的质量特性，让物理研究更加得心应手。
这可不就是给咱们的科学探索添了一双慧眼嘛！
你看那些搞研究的科学家们，平时研究物体力学性质，一旦用上了静矩，那分析起来可谓是游刃有余！为啥呀？不就是为了更精确地描述物体嘛！这就跟咱们炒菜一样，掌握了火候，菜品自然美味。
静矩就像是给咱们打开了一扇了解物体内部结构的窗户，让那些看不见的质量分布变得清晰可见。
那些研究材料力学的人，天天跟各种物体打交道，就盼着能更准确地把握它们的质量特性。
这静矩一运用，他们肯定如鱼得水，事半功倍。
咱再想想，如果没有静矩，那研究物体力学性质的时候得多困惑呀！那些复杂的质量分布问题，让人无从下手。
现在有了静矩，感觉就像给咱们的研究装上了放大镜，让物体的质量分布一目了然。
你说这静矩的物理意义是不是特别重要？咱可不能忽视了它呀！赶紧去深入研究吧，让咱们的物理知识也能“稳稳的”，运用自如！别再犹豫啦，掌握了静矩，咱们就能在物理学的世界里翱翔。
这静矩就像一把钥匙，打开了我们探索物质世界的大门。
还等啥呀，快去挖掘这个物理概念的宝藏吧！。
静矩的计算公式
静矩的计算公式静矩，也叫面积矩，是一个在力学和工程领域中经常会用到的概念。
咱先来说说它的计算公式。
静矩的计算公式是：$S_x = \int ydA$ ，$S_y = \int xdA$ 。
这里的$S_x$ 表示图形对于 x 轴的静矩，$S_y$ 表示图形对于 y 轴的静矩，$dA$ 是微面积，$x$ 和 $y$ 分别是微面积 $dA$ 到 y 轴和 x 轴的距离。
为了让您更好地理解这个公式，我给您举个例子。
就说有一块形状不规则的钢板吧，咱们要计算它对于某个轴的静矩。
想象一下，把这块钢板划分成无数个超级小的小块，每一个小块都可以看作是一个微小的面积 $dA$ 。
然后呢，对于每一个小块，咱们测量它到指定轴（比如 x 轴）的垂直距离 $y$ 。
接下来，把每一个小块的面积乘以它到轴的距离，再把所有这些乘积加起来，这就是对 x 轴的静矩 $S_x$ 。
您可能会想，这计算起来得多麻烦啊！其实啊，对于一些规则的图形，比如矩形、圆形，咱们有现成的公式可以用，能省不少事儿。
但就算是不规则的图形，现在也有各种软件和工具能帮咱们快速准确地计算出来。
还记得我之前在工厂实习的时候，有一次师傅让我计算一个零件的静矩。
那零件的形状特别复杂，我当时看着就头疼。
我拿着图纸，一点点测量，一点点计算，过程中还出了不少错。
后来师傅过来，耐心地给我讲解，告诉我要先分析图形的特点，找到可以简化计算的方法。
在师傅的指导下，我终于算出了正确的结果。
那一刻，我真的特别有成就感，也深深体会到了静矩计算在实际工程中的重要性。
在实际的工程应用中，静矩的计算可太重要啦！比如说在设计桥梁的时候，工程师得知道桥梁各个部分对于不同轴的静矩，这样才能保证桥梁的结构稳定和安全。
再比如在制造机械零件的时候，通过计算静矩，可以合理地分配材料，既保证零件的强度，又能节省成本。
总之，静矩的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多结合实际的例子去理解，就一定能掌握好它，为解决实际问题提供有力的支持。
力学#形心与静矩
B.1 截面的形心和静矩Centroid and static moment of section在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。
1. 形心与静矩图B.1-1图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C的坐标为y c和z c，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为，（B.1-1）式中:，，分别定义为截GAGGAGAGGAFFFFAFAF面对z轴和y轴的静矩。
由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截面形心时（即y c=z c=0），则S z=S y=0；反之，当静矩S z=0时，说明z轴通过截面形心；而当静矩S y=0时，说明y轴通过截面形心。
此概念在确定梁的中性轴时十分有用。
2. 组合截面的形心与静矩GAGGAGAGGAFFFFAFAF图B.1-2在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。
当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为，（B.1-2）式中A i为分割后的各面积，y i和z i为A i的形心在参考系中的坐标。
式中；，称为组合截面的静矩。
B.2 极惯性矩Polar momet of inertia1. 定义GAGGAGAGGAFFFFAFAF图B.2-1任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O 的极惯性矩为（B.2-1）极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。
2. 圆截面的极惯性矩GAGGAGAGGAFFFFAFAF图B.2-2图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图B.2-2），读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分别为：（B.2-2）（B.2-3）（B.2-4）式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。
DUT材料力学静矩
{ 6.93×106 mm4
= 1.73×106 mm4
5.形心主惯性轴
z
20
z0
tg
2α 0
=
− 2× (− 2.4)
3.33 − 5.33
=
−2.4
C1 100
O
zC
C（40, 30） yC
33.7°
C2
20 y
100
y0
α0 = － 33.7°
8
练习：试求图示组合截面对两个坐标轴的惯性 矩和惯性积。
A
二次极矩，正定 单位：m4
图形分布距离O点越远，对该点的极惯性 矩就越大。
3
2.惯性矩 moment of inertia
z
∫ I y =
z2 d A
A
y
dA
∫ Iz =
y2 d A
A
O
z
二次轴矩，正定
O
y 单位：m4
图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩 就越大。
3. 惯性矩与极惯性矩的关系
z
y y1
20
30 C2
20
O
100
y
+ 100×20×（－20×30 )
= －2.4×106 mm4
4. 求形心主惯性矩
Iy0 Iz0
= Iy + Iz ± 2
⎜⎜⎝⎛
I
y
− 2
Iz
⎟⎟⎠⎞2
+
I
2 yz
= 3.33+5.33×106 ± ⎜⎛ 3.33−5.33⎟⎞2 + (− 2.4)2 ×106
2
⎝ 2⎠
π d4 128
Z
Iy
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Iy Iy i i 1 n I z I z i i 1 n I yz I yz i i 1
n
I z i 、 I y i、 I yz i 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯 式中， 性矩和惯性积。
22
§7-3
17
例2
求图示矩形的 I z , I y , I yz ,i y ,iz z
dz z
h
c
y
b
1 3 b 3 bh I y z dA z A 12 3 h 2 1 3 2 I z y dA hb A 12 Iy 3 iy h A 6
2
h 2
Iz 3 iz b A 6 I yz yzdA 0
z
60 96 65 (77 ) 39.7(mm ) 96 77 13
§7-2
惯性矩和惯性积
y
z y dA z
一、简单图形的惯性矩 1、定义： dA对z轴的惯性距: dA对y轴的惯性距: 图形对z轴的惯性矩:
2
dIz y dA 2 dIy z dA o
I z y 2 dA,
求圆环圆形的 I z , I y z D d y
I P I P大 I P小
1 1 D 4 d 4 32 32 1 D 4 ( 1 4 ) 32
d D
I y I z I z大 I z小
1 D 4 (1 4 ) 64
21
三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩 等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图 形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图 形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为
zA为As的形心坐标
zA
M oy As
zydz ydz
0 T 0
T
8
3、横剖面面积曲线 ~ A f ( x)
s
特性: L/2 1) Saeda As dx
L / 2
e
2) Saeda的形心坐标等于xB
xB
3)
L/2
L / 2
xAs dx
CP
S aeda S abcd AM L
A A A A A
I y z 2 dA ( zc b) 2 dA zc2 dA b 2 dA 2b zc dA I yc b 2 A
A A A A A
I zy yzdA ( yc a)( zc b)dA
A A
yc zc dA abdA a zc dA b yc dA I zcyc abA
18
A
思考：
y
h
1 3 I y bh 12
b
19
例3
求图示圆形的 I z , I y , I yz ,i y ,iz z
1 I P dA d 4 A 32
2dຫໍສະໝຸດ yI y Iz I p I y Iz
1 1 4 I y I z I p d 64 2
20
例4
I z I zi ，I y I yi ，I zy I ziyi
24
例 求图示直径为d 的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。 解：
§A-1
y b(y) C yc
b( y ) 2 R 2 y 2
xc x
S x A y d A yb( y) d y
d 2 0 3 d y 2 R2 y2 d y 12
求形心： z
80
y
C0
C2 C1
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 40 96 45 (77 ) 19.7(mm ) 12 8 7 11 Ai yci A1 yc1 A2 yc 2 yc A A1 A2
i ci
Az
d 2 0
d
S x d 12 2d yc 2 A πd 8 3π
25
3
S x d 3 12 2d yc 2 A πd 8 3π
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
y b(y) C yc xc
πd 64 πd Ix 2 128
由平行移轴公式得：
4
4
x
d
I xc
2 4 4 π d π d d I x ( yc ) 2 8 128 18π
26
例
试求图a 所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。
y
40
解：将截面看作一个矩形和两个 半圆组成。
a + 2d 3
1、矩形对 x 轴的惯性矩：
3
C
100
x
d 2a 80 2003 I x1 12 12 5333 104 mm4
a =100
2、一个半圆对其自身形心轴 xc 轴的惯性矩（见上例）
7
2、横剖面计算（横剖面形心垂向坐标）
在 x 处取 dx 薄层，则
d As dx
As 2 ydz
0
L/2
T
L / 2
A dx 2 ydxdz
s 0 L / 2
T L/2
dM yoz xAs dx d 对平面yoz 和 xoy的静矩分别为： dM xoy z A As dx
ci
解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示
A1 800mm2 , zc1 0, yc1 0.
A2 1100 mm2 , zc 2 35mm, yc 2 60mm
10
y
2)、求形心
C2
c(-20.3;34.7)
C1 80
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 35 1100 20.3(mm ) 10 110 80 10
i ci
Az
z
A1 yc1 A2 yc 2 yc A A1 A2 60 1100 34.7(mm12 ) 10 110 80 10
i ci
Ay
y
10 10
解法三：负面积法
A1 9600 mm2 , zc1 40mm, yc1 60mm A2 70110mm2 , zc 2 45mm, yc 2 65mm
结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。
若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。
3
y
求图形对y、z 轴的静矩
h
dy
b
y
ZC
z
dz
a
S z ydA
A
ah
a
by ybdy 2
b 0
2 ah
S y zdA zhdz A
2 by S zc ydA ybdy A 2 h
A A A A
23
I z I zc a 2 A I y I yc b A
2
y
z
b
yc zc c
a
y
dA
yc
zc
I zy I zcyc abA
——平行移轴公式
注意：ZC、YC 为形心坐标。
o
z
a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负
二、组合图形的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩 （或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积） 之和：
2)、求形心
120
C2
c(19.7;39.7)
C1
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7mm) 700 1200
i ci
Az
80
z yc
Ay
i
A1 yc1 A2 yc 2 A A1 A2 5 700 60 1200 39.7(mm ) 11 700 1200
I y z dA
2 A
b 2 b 2
1 3 z hdA hb 12
2
bdy c b zc
h
1 Iz bh 3 12
1 3 I y hb 12
hdz
16
工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即 二、惯性半径：
Iz I z Ai iz A 三、简单图形的惯性积
第七章 截面的几何性质
静矩和形心 惯性矩、惯性积 平行移轴公式 转轴公式 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩
1
§7-1
1、定义：
y
静矩和形心
dA对z轴的微静矩: dA对y轴的微静矩:
dSz ydA
一、简单图形的静矩（面积矩）
dSy zdA
z
dA
y
Sz
z
Sy
yd A zd A
i ci
利用基本图 形的结果，可使 组合图形的形心 计算简单
6
船舶专业中的应用
1、水线面计算
L/2
AW 2
L / 2
ydx
AW
L/2
M oy 2
L / 2
xydx
xF
M oy
CWP
AW LB
如下图示水线面，可应用梯形法或辛普生法列表计算 L=147.18米， l=L/20=7.359米
h 2
hz 2
a
h bh ( a ) AyC 2
2 b
z
bh
0 h
2 h 2
b AzC 2