第七章 静矩及其性质

Iy Iy i i 1 n I z I z i i 1 n I yz I yz i i 1
n


I z i 、 I y i、 I yz i 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯 式中， 性矩和惯性积。
22
§7-3
17
例2
求图示矩形的 I z , I y , I yz ,i y ,iz z
dz z
h
c
y
b
1 3 b 3 bh I y z dA z A 12 3 h 2 1 3 2 I z y dA hb A 12 Iy 3 iy h A 6
2
h 2
Iz 3 iz b A 6 I yz yzdA 0
z
60 96 65 (77 ) 39.7(mm ) 96 77 13
§7-2
惯性矩和惯性积
y
z y dA z
一、简单图形的惯性矩 1、定义： dA对z轴的惯性距: dA对y轴的惯性距: 图形对z轴的惯性矩:
2
dIz y dA 2 dIy z dA o
I z y 2 dA,
求圆环圆形的 I z , I y z D d y
I P I P大 I P小
1 1 D 4 d 4 32 32 1 D 4 ( 1 4 ) 32

d D
I y I z I z大 I z小
1 D 4 (1 4 ) 64
21
三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩 等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图 形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图 形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为
zA为As的形心坐标
zA
M oy As
zydz ydz
0 T 0
T
8
3、横剖面面积曲线 ~ A f ( x)
s
特性: L/2 1) Saeda As dx
L / 2
e
2) Saeda的形心坐标等于xB
xB
3)

L/2
L / 2
xAs dx
CP
S aeda S abcd AM L
A A A A A
I y z 2 dA ( zc b) 2 dA zc2 dA b 2 dA 2b zc dA I yc b 2 A
A A A A A
I zy yzdA ( yc a)( zc b)dA
A A
yc zc dA abdA a zc dA b yc dA I zcyc abA

18
A
思考：
y
h
1 3 I y bh 12
b
19
例3
求图示圆形的 I z , I y , I yz ,i y ,iz z
1 I P dA d 4 A 32
2dຫໍສະໝຸດ yI y Iz I p I y Iz
1 1 4 I y I z I p d 64 2
20
例4
I z I zi ，I y I yi ，I zy I ziyi
24
例 求图示直径为d 的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。 解：
§A-1
y b(y) C yc
b( y ) 2 R 2 y 2
xc x
S x A y d A yb( y) d y
d 2 0 3 d y 2 R2 y2 d y 12
求形心： z
80
y
C0
C2 C1
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 40 96 45 (77 ) 19.7(mm ) 12 8 7 11 Ai yci A1 yc1 A2 yc 2 yc A A1 A2
i ci
Az
d 2 0
d
S x d 12 2d yc 2 A πd 8 3π
25
3
S x d 3 12 2d yc 2 A πd 8 3π
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
y b(y) C yc xc
πd 64 πd Ix 2 128
由平行移轴公式得：
4
4
x
d
I xc
2 4 4 π d π d d I x ( yc ) 2 8 128 18π
26
例
试求图a 所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。
y
40
解：将截面看作一个矩形和两个 半圆组成。
a + 2d 3
1、矩形对 x 轴的惯性矩：
3
C
100
x
d 2a 80 2003 I x1 12 12 5333 104 mm4
a =100
2、一个半圆对其自身形心轴 xc 轴的惯性矩（见上例）
7
2、横剖面计算（横剖面形心垂向坐标）
在 x 处取 dx 薄层，则
d As dx
As 2 ydz
0
L/2
T

L / 2
A dx 2 ydxdz
s 0 L / 2
T L/2
dM yoz xAs dx d 对平面yoz 和 xoy的静矩分别为： dM xoy z A As dx
ci
解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示
A1 800mm2 , zc1 0, yc1 0.
A2 1100 mm2 , zc 2 35mm, yc 2 60mm
10
y
2)、求形心
C2
c(-20.3;34.7)
C1 80
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 35 1100 20.3(mm ) 10 110 80 10
i ci
Az
z
A1 yc1 A2 yc 2 yc A A1 A2 60 1100 34.7(mm12 ) 10 110 80 10
i ci
Ay
y
10 10
解法三：负面积法
A1 9600 mm2 , zc1 40mm, yc1 60mm A2 70110mm2 , zc 2 45mm, yc 2 65mm
结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。
若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。
3
y
求图形对y、z 轴的静矩
h
dy
b
y
ZC
z
dz
a
S z ydA
A
ah
a
by ybdy 2
b 0
2 ah
S y zdA zhdz A
2 by S zc ydA ybdy A 2 h
A A A A
23
I z I zc a 2 A I y I yc b A
2
y
z
b
yc zc c
a
y
dA
yc
zc
I zy I zcyc abA
——平行移轴公式
注意：ZC、YC 为形心坐标。
o
z
a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负
二、组合图形的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩 （或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积） 之和：
2)、求形心
120
C2
c(19.7;39.7)
C1
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7mm) 700 1200
i ci
Az
80
z yc
Ay
i
A1 yc1 A2 yc 2 A A1 A2 5 700 60 1200 39.7(mm ) 11 700 1200
I y z dA
2 A
b 2 b 2
1 3 z hdA hb 12
2
bdy c b zc
h
1 Iz bh 3 12
1 3 I y hb 12
hdz
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工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即 二、惯性半径：
Iz I z Ai iz A 三、简单图形的惯性积
第七章 截面的几何性质
静矩和形心 惯性矩、惯性积 平行移轴公式 转轴公式 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩

1
§7-1
1、定义：
y
静矩和形心
dA对z轴的微静矩: dA对y轴的微静矩:
dSz ydA
一、简单图形的静矩（面积矩）
dSy zdA
z
dA
y
Sz
z
Sy
yd A zd A
i ci
利用基本图 形的结果，可使 组合图形的形心 计算简单
6
船舶专业中的应用
1、水线面计算
L/2
AW 2
L / 2
ydx
AW
L/2
M oy 2
L / 2
xydx
xF
M oy
CWP
AW LB
如下图示水线面，可应用梯形法或辛普生法列表计算 L=147.18米， l=L/20=7.359米

h 2
hz 2
a
h bh ( a ) AyC 2
2 b
z
bh
0 h
2 h 2
b AzC 2
0
4

2
二、简单图形的形心
1、形心坐标公式：
S z A ydA yc A A S y AzdA zc A A
2、形心确定的规律： （1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。 （2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。
5
三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：
基本图形----指面积、形心位置已知的图形
Sz Szi Ai yci
S y S yi Ai zci
四、组合图形的形心：
yc
S zi A
i
zc
S A
yi i
A Az
A
Ai yci
40
d =80 (a)
I xc
2 4 4 π d π d d 2 I x ( yc ) 8 128 18π
一、平行移轴公式
平行移轴公式
y
z
b
yc zc
已知：图形截面积A，形心坐标yc、 zc 、Izc、Iyc、 a、b已知。Zc轴平 行于z轴；yc轴平行于y轴。
求：Iz、Iy。 解： o
dA
c
a
y
yc
zc z
I z y 2 dA ( yc a) 2 dA yc2 dA a 2 dA 2a yc dA I zc a 2 A
A A
o
2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。
2
y
4、静矩和形心的关系
z
dA
y
由平面图形的形心公式
o
z
yC

y dA A , zC
A

z dA A
A
Sy
可知
Sz

A
zdA Az C
静矩和形心的关系
A
ydA AyC
A A
z

dA
y z
y 2 dA z 2 dA I z I y o
A A
图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒 等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。
15
7、简单图形惯性矩的计算 ⑴ 圆形截面：
1 4 实心（直径D）—— I z I y D 64
yc c zc
1 空心（外径D，内径d）——I z I y ( D 4 d 4 ) 64 ⑵ 矩形截面： h 1 3 2 2 2 I z y dA h y bdy bh A 12 yc 2
2 z
I y Ai i y
2 y
Iy A
1、定义：
I zy zydA
A
2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。 y 3、惯性积是对轴而言。 4、惯性积的取值为正值、负值、零。 5、规律： o

z y
dA
z
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
y
图形对y轴的惯性矩: I 2、量纲：m4、mm4。
z dA
2 A
A
2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。 4、惯性矩的取值恒为正值。 5、极惯性矩：（对o点而言） I o
2 A dA I p
14
6、惯性矩与极惯性矩的关系：
y
I p 2 dA ( y 2 z 2 )dA
9
4、排水体积和浮心坐标 可列表进行计算
L Asi
xB
A x A
si si

i
zB
A z A
si si

Ai
10
例 试确定下图的形心。 解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形 y
10
A1 700mm2 , zc1 45mm, yc1 5mm A2 1200 mm2 , zc 2 5mm, yc 2 60mm