2019全国中考数学真题分类汇编：反比例函数图象、性质及其应用及参考答案

一、选择题
1．（2019·温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为 （ ）
A ．y x =
B ．100y =
C ．y x =
D ．400
y = 【答案】A
【解析】从表格中的近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据可以知道，它们满足xy=100，因此，
y 关于x 的函数表达式为100
y x
=
．故选A. 2．（2019·株洲）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 为反比例函数(0)k
y k x
=
>上不同的三点，连接OA 、OB 、OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 、C 分别作BE ，CF ⊥x 轴于点E 、F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ） A ．S 1＝S 2＋S 3 B ．S 2＝S 3 C ．S 3＞S 2＞S 1 D ．S 1S 2＜S 3
2
第9题
【答案】B
【解析】由题意知S 1=
2k ，S △BOE =S △COF =2k
,因为S 2=S △BOE -S △OME ,S 3=S △COF -S △OME ，所以
S 2＝S 3 ，所以选B 。

3．（2019·娄底）将1
y x
=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（ ）
A.
1
1
1
y
x
=+
+
B．
1
1
1
y
x
=-
+
C．
1
1
1
y
x
=+
-
D．
1
1
1
y
x
=-
-
【答案】C．
【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．
∵将
1
y
x
=的图象向右平移1个单位长度后所得函数关系式为
1
1
y
x
=
-
，
∴将
1
y
x
=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象的解析式为
1
1
1
y
x
=+
-
．
故选C．
4．（2019·娄底）如图（1），⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为
1
y
x
=和
1
y
x
=-，则阴影部分的面积为( )
A．4π B．3π C．2π D．π【答案】C
【解析】根据反比例函数
1
y
x
=，
1
y
x
=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、
三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积． ∴21
222
S ππ=⨯=阴影． 故选C ．
5．（2019·衡阳）如图，一次函数y 1＝kx ＋b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝m
x
（m 为常数且m ≠0）的图象，都经过A （－1，2），B （2，－1），结合图象，则不等式kx ＋b ＞
m
x
的解集是（ ）． A. x ＜－1 B. －1＜x ＜0 C. x ＜－1或0＜x ＜2 D.－1＜x ＜0或x ＞2
【答案】C ．
【解析】由图象得，不等式kx ＋b ＞
m
x
的解集是x ＜－1或0＜x ＜2，故选C ． 6. （2019·滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k
x
（x
＞0）的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点C ．若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】C
【解析】如图，连接AC ，∵四边形OABC 是菱形，∴AC 经过点D ，且D 是AC 的中点．设点A 的坐标为（a ，0），
点C 坐标为（b ，c ），则点D 坐标为（
2a
b ，2
c ）．∵点C 和点D 都在反比例函数y=k x 的图象上，∴bc=2
a b
×2
c
，∴a=3b ；∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k=4．故选C ．
法2：设点A 的坐标为（a ，0），点C 的坐标为（c ，），则，点D 的坐标为（），∴，
解得，k ＝4，故选C ．
7. （2019·无锡）如图，已知A 为反比例函数k
y x
（x <0）的图像上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B .若△OAB 的面积为2，则k 的值为（ ） A.2
B. -2
C. 4
D.-4
【答案】D
【解析】如图，∵AB ⊥y 轴， S △OAB ＝2，而S △OAB 12
|k |，∴1
2|k |＝2，∵k ＜0，∴k ＝﹣4．故选
D ．
x
y
-6
O
8. （2019·济宁）如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时
针旋转90°后得到△A'BC'．若反比例函数y＝k
x
的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【解析】取AB的中点（－1，3），旋转后D（3，5）∴k＝3×5＝15，故选C.
9. (2019·枣庄) 如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,∠ABC
＝90°,CA⊥x轴,点C在函数
k
y
x
(x>0)的图象上,若AB＝1,则k的值为
A.1
B.
2
D.2
【答案】A
【解析】在等腰直角三角形ABC中,AB＝1,∴AC
∵CA⊥x轴,∴y C
,Rt△ABC中,∠BAC＝45°,CA⊥x轴,
∴∠BAO＝45°,∴∠ABO＝45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA
,∴x C
,k＝x C`y C＝1,故选A
10. （2019·淄博）如图，11122233,,,OA B A A B A A B ∆∆∆…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x
轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4
y x
=（x ＞0）的图象上，则12100y y y ++
+的值为（ ）
A .10
B .6
C .42
D .27【答案】20
【解析】如图，过点C 1作C 1M ⊥x 轴，
∵△OC 1A 1是等腰直角三角形，∴C 1M ＝OM ＝MA 1，
设C 1的坐标是（a ，a ）（a ＞0），，把（a ，a ）代入解析式4
y x
=（a ＞0）中，得a ＝2， ∴y 1＝2,
∴A 1的坐标是（4，0），
又∵△C 2A 1A 2是等腰直角三角形，
∴设C 2的纵坐标是b （b ＞0），则C 2的横坐标是4＋b ， 把（4＋b ，b ）代入函数解析式得b ＝
4
4b
+，解得b ＝2﹣2， ∴y 2＝2﹣2，
∴A 2的坐标是（20），
设C 3的纵坐标是c （c ＞0），则C 3横坐标为2＋c ，把（2＋c ，c ）代入函数解析式得c 42c
+
解得c ＝32，
∴y 3＝23﹣22.
∵y 1＝21﹣20，y 2＝22﹣21，y 3＝23﹣22，…
∴y 100＝2100﹣299，
∴y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 100＝2＋22﹣2＋2﹣22＋…＋2100﹣299＝2100＝20.
11.（2019·凉山）如图，正比例函数y =kx 与反比例函数y =
x
4
的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）
A.8
B.6
C.4 D .2
【答案】C
【解析】设A 点的坐标为（m ，4m ），则C 点的坐标为（-m ，-4
m
），∴1414422ABC OBC OAB S S S m m m m ∆∆∆=+=⨯+-⨯-=，
故选C.
12. （2019·天津） 若点A(-3，y 1),B(-2,y 2),C(1,y 3)都在反比例函数x
y 12
-=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是
A. y 2<y 1<y 3
B. y 3 <y 1 <y 2
C. y 1 <y 2<y 3
D. y 3 <y 2<y 1 【答案】B
【解析】因为反比例函数
x y 12
-
=的图像在二四象限， 将A,B,C 三点在图像上表示，答案为B
13. (2019·台州)已知某函数的图象C 与函数3y x =的图象关于直线y ＝2对称.下列命题:①图象C 与函数3y x
=的图象交于点(
32,2);②点(1
2
,－2)在图象C 上;③图象C 上的点的纵坐标都小于4;④A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是图象C 上任意两点,若x 1>x 2,则y 1>y 2.其中真命题是( )
A.①②
B.①③④
C.②③④
D.①②③④
【答案】A
【解析】令y ＝2,得x ＝
32,这个点在直线y ＝2上,∴也在图象C 上,故①正确;令x ＝12,得y ＝6,点(1
2,6)关于直线y ＝2的对称点为(12,－2),∴点(1
2
,－2)在图象C 上,②正确;经过对称变换,图象C 也是类似双曲线的形状,
没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x 1>x 2,则y 1>y 2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.
【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性
14.（2019·重庆B 卷）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点A （10,0），sin ∠COA =4
5
.若反比例函数y =
k
x
(k ﹥0,x ﹥0)经过点C ，则k 的值等于（ ）
【答案】C
【解析】过C 作CD ⊥OA 交x 轴于D
9题图
∵OABC 为菱形，A （10,0）∴OC=OA =10. ∵sin ∠COA =
45 ∴CD OC =45 即10CD =45
∴CD =8, ∴OC =6, ∴C （6,8） ∵反比例函数y =
k
x
(k ﹥0,x ﹥0)经过点C , k =6×8=48. 故选Ｃ．
15. （2019·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD
∥x 轴，反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形对角线的交点E ．若点A （2，0），D （0，4），则k 的值为 （ ）
A ．16
B ．20
C ．32
D ．40
【答案】B ．
【解析】如图，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，则∠AFB ＝∠DOA ＝90°．
∵四边形ABCD 是矩形， ∴ED ＝EB ，∠DAB ＝90°．
∴∠OAD ＋∠BAF ＝∠BAF ＋∠ABF ＝90°． ∴∠OAD ＝∠FBA ． ∴△AOD ∽△BFA ．
∴
OA OD
BF AF
=
． ∵BD ∥x 轴，A （2，0），D （0，4）， ∴OA ＝2，OD ＝4＝BF ． ∴
24
4AF
=
． ∴AF ＝8．
∴OF ＝10，E (5，4)． ∵双曲线y ＝
k
x
过点E ， ∴k ＝5×4＝20． 故选B ．
二、填空题 1．（2019·威海）
如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0k
y k x
=
≠
的图像上运动，且始终保持线段AB =长度不变，M 为线段AB 的中点，连接OM .则线段OM 的长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）.
【解析】过点A 作x 轴⊥AC ，过点B 作y 轴⊥BD ，垂足为C ,D ，AC 与BD 相交于点F ，连接OF .当点O 、F 、M 在
同一直线上时OM 最短.即OM 垂直平分AB .设点A 坐标为（a ，a ＋4），则点B 坐标为（a ＋4，a ），点F 坐标为（a ，a ）.
由题意可知△AFB 为等腰直角三角形， ∵AB
＝ ∴AF ＝BF ＝4，
∵点A 在反比例函数y ＝的图像上，
∴a (a ＋4)＝k ， 解得a ＝
2，
在RT △OCF 中，OF
a ＝
2)＝
， ∴OM ＝OF ＋FM ＝
2．（2019·山西）如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上,点A 的坐
标为(－4,0),点D 的坐标为(－1,4),反比例函数y ＝k
x
(x>0)的图象恰好经过点C,则k 的值为________.
第14题图
【答案】16
【解析】分别过点D,C 作x 轴的垂线,垂足为E,F,则AD ＝5,∴AB ＝CB ＝5,∴B(1,0),由△DAE ≌△CBF,可得BF ＝AE ＝3,CF ＝DE ＝4,∴C(4,4),∴k ＝xy ＝16.
第14题答图
3．（2019·黄冈） 如图，一直线经过原点0，且与反比例函数y ＝k
x
(k ＞0)相交于点A ，点B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C.连接B C.若△ABC 的面积为8，则k ＝ .
【答案】8
【解析】因为反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，
∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA ＝OB ，∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=8÷2=4， 又∵A 是反比例函数y ＝
k
x
图象上的点，且AC ⊥y 轴于点C ， ∴△AOC 的面积＝12|k |，∴1
2
|k |＝2，∵k ＞0，∴k ＝8．
4．（2019·益阳）反比例函数x
k
y =
的图象上有一点P(2，n)，将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q.若点Q 也在该函数的图象上，则k ＝ . 【答案】6
【解析】∵P(2，n)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q （3，n-1），且点P 、Q 均在反比例函数x
k
y =
的图象上，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=312
k
n k n ，∴312k k =-，解得k=6.
5. （2019·潍坊）如图，Rt △AOB 中，∠AOB =90°，顶点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x =>与5
(0)y x x
-=<的图象上．则tan ∠BAO 的值为 ．
【解析】分别过点A 、B 作x 轴的垂线AC 和BD ，垂足为C 、D .
则△BDO ∽△OCA ，
∴
2
S
=(
)S
BDO OCA
BD OA
∵S △BDO =
52，S △ACO =12
， ∴2
(
)=5BD OA
， ∴
tan ∠BAO
=
BD
OA
=
6. (2019·巴中)如图,反比例函数k
y
x
(x>0)经过A,B 两点,过点A 作AC ⊥y 轴于点C,过点B 作BD ⊥y 轴于点D,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,连接AD,已知AC ＝1,BE ＝1,S 矩形BDOE ＝4,则S △ACD ＝________.
【答案】
32
【解析】连接AO,由反比例函数k 的几何意义可知,S △AOC ＝1
2
S 矩形BDOE ＝2,因为AC ＝1,所以CO ＝4,因为DO ＝BE ＝1,所以CD ＝3,所以S △ACD ＝
3
2
.
7. （2019·达州） 如图，A 、B 两点在反比例函数x k y 1=
的图像上，C 、D 两点在反比例函数x
k
y 2=的图像上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC=2，BD=4，EF=3，则12k k -=___________.
.
〈
【答案】4
【解析】设A （m ，
m k 1） B （m ，m k 2） C （n ，n k 1） D （n ，n
k 2） 由题意得：m-n=3 ,
212=-m k k ,
421=-n k
k , 联立三个式子，解得：412=-k k . 8．（2019·长沙）如图，函数k
y x
=
(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA=30°；
③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则k =2；④若MF=2
5
MB ，则MD=2MA ．其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①③④
9. （2019·眉山）如图，反比例函数()0k
y x x
=
>的图像经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB 、
BC 于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 ．
【答案】4
【解析】由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =
12|k|，S △OAD =1
2
|k|， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG =|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO =4S
矩形ONMG
=4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k ＞0，则
12422
k k
k ++=，∴k=4．故选：B.
10.（2019·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝1
2
x－1分别交x轴、y轴于点A和点B，分
别交反比例函数y1＝k
x
（k＞0，x＞0），y2＝
2k
x
（x＜0）的图像于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是．
【答案】2．
【解析】如答图，过点D作DF⊥y轴于点F，则由CE⊥x轴于点E可知：S△OCE＝k，S△ODF＝2k．∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴S△OBD＝S△FBD．易知A(2，0)，B(0，－1)，从而OB＝BF＝1，OF＝2．令D(m，－2)，则由D
点在直线y＝1
2
x－1上，得－2＝
1
2
m－1，解得m＝－2，故D(－2，－2)，从而2k＝(－2)×(－2)，解得k＝2．
y
x
E
D
C
B
A
O
F
y
x
E
D
C
B
A
O
11.(2019·宁波)如图,过原点的直线与反比例函数
k
y
x
(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C在x
轴正半轴上,连接AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连接DE,若AC＝3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.
【答案】6
【解析】连接OE,在Rt△ABE中,点O是AB的中点,∴OE＝1
2
AB＝OA,∴∠OAE＝∠OEA,∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠OAE＝∠DAE,∴∠OEA＝∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE＝S△ADO,过点A作AM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,易得S梯AMND＝S△ADO,∵△CAM∽△CDN,CD:CA＝1:3,∴S△CAM＝9,延长CA交y轴于点P,易得△CAM∽△CPO,可知DC＝AP,∴CM:MO＝CA:AP＝3:1,∴S△CAM:S△AMO＝3:1,∴S△AMO＝3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k＝6.
12. （2019·衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，口ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE
与BC交于点F.若y=k
x
（k≠0）图象经过点C.且S△BEF=1，则k的值为 .
【答案】24
【解析】连接OC ，作FM ⊥AB 于M ，延长MF 交CD 于N ，设BE= a ，FM=b ，由题意知OB=BE=a ，OA=2a ，DC=3a,因为四这形ABCD 为平行四边形，所以DC∥AB,所以△BEF ∽△CDF,所以BE ：CD=EF:DF=1:3，所以NF=3b ，OD=FM+FN=4b ，因为S △BEF =1，即12ab=1，S △CDO =12CD ·OD=1
2
3a ×4b=6ab=12，所以k=xy=2S △CDO =24.
三、解答题
1．（2019浙江省杭州市，20，10分）(本题满分10分)
方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位:小时)，行驶速股为v(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时. (1) 求v 关于t 的函数表达式.
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地.求小汽车行驶速度v 的范围. ②方方能否在当天11点30分前到达B 地?说明理由.
【解题过程】（1）∵ vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴ v 关于t 的函数表达式为：v=
480
t
（0≤t ≤4）； （2）① 8点至12点48分时间长为
24
5
小时，8点至14点时间长为6小时， 将t=6代入v=
480t 得v=80；将t=245代入v=480
t
得v=100．
∴ 小汽车行驶速度v 的范围为：80≤v ≤100． ② 方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：
F
N
M
F
8点至11点30分时间长为7
2
小时，将t=
7
2
代入v=
480
t
得v=
960
7
＞120千米/小时，超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
2．（2019·苏州，25，8）如图，A为反比例函数y=k
x
(其中k>0)图像上的一点，在上轴正半轴上有一点B，
OB=4连接OA，A B．且OA =AB （1）求K的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=k
x
(其中k>0)的图像于点C，连接OC交AB于点D，求
AD
DB
的值．
第25题图【解题过程】
解：（1）过点A作AE⊥OB于E．∵OA=AB OB=4，∴OE=BE=1
2
OB=2，在Rt△OAE中，AE=
6
=，∴点A坐标为(2，6)，∵点A是反比倒函数
k
y
x
=图像上的点，∴ 6=
2
k
，解
得k=12．
第25题答图
(2)记AE 与OC 的交点为F ．∵OB =4且BC ⊥OB ，点C 的横坐标为4，又∵点C 为反比例函数y =12
x
图像上的点，∴点C 的坐标为(4，3)，∴BC =3. 设直线OC 的表达式y =mx ，将C (4，3)代入可得m =3
4
，∴直线OC 的表达式y =
34x ，∵AE ⊥OB ，OE =2，∴点F 的横坐标为2．将x =2代入y =34x 可得y =32，即EF =3
2
；∴AF =A E -EF =6 -32=92.∵AE ，BC 都与x 轴垂直，∴AE ∥BC ，∴△ADF ∽△BD C ．∴3
2
AD AF EB BC ==． 3．（2019山东威海，21，8分） （1）阅读理解
如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）. 小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论： AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF .
由此得出一个关于
之间数量关系的命题： 若n ＞1，则
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.
小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题. 请你选择一种方法证明（1）中的命题.
1
y x
=
1
y x
=
1
y x
=
112,,11n n n
-+
a b -a b a b a b ÷a b
【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝. 又∵AE ＋BG ＝2CF ，
∴CF ＝ 又∵CF ＞DF ，n ＞1，
∴＞，即＞. 故答案为＞. （2）选择选择小东的思路证明结论
＞， ∵n ＞1，
∴＞0， ∴＞. 4、（2019江苏盐城卷，19，8） 如图，一次函数y =x +1的图像交y 轴于点A ，与反比例函数x
k y =
（x >0）图像交于点B （m ，2）.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）求△AOB 的面积. 1y x =1,1n -1,1n +1n
111(),211
n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n
1111n n +-+2n
1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2n
【思路分析】（1）根据已知条件，可以求出点A 的坐标，在根据一次函数与反比例函数交于点B ，就可以求出点B 点的横坐标m ，则点B 的坐标就有了，所以就可以求出反比例函数的表达式。

（2）根据第一问求出的点B 的坐标，过点B 作BC ⊥y 轴，则BC 就是△AOB 的高，OA 的长度就是点A 的纵坐标，则△AOB 的高和底都有了，就可以求出△AOB 的面积.
【解题过程】
解：（1）∵一次函数经过点B ,
∴2=m +1
解得m =1，则点B 的坐标为（1,2）
又∵点B 过y =x
k . 解得k=2， 即反比例函数为y =
x 2 .
（2）∵点A （0,1）∴OA =1,
过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为点C ,
则BC 就是△AOB 的高，BC =1，
∴S △AOB =
21OA ×BC =21×1×1=2
1.
5．（2019·常德）如图4，一次函数y=－x+3的图像与反比例函数y=k x
（k ≠0）在第一象限的图像交于A （1，a ）和B 两点，与x 轴交于点C ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P 的坐标．
【解题过程】（1）∵A （1，a ）在y=－x+3上，∴a=－1+3=2，把A （1，2）代入到y=k x
中，得k=2，∴反比例 函数解析式为y=2x ；（2）∵P 在x 轴上，∴设P （m ，0），∵APC S ＝12PC ·a ，∴5＝12
· PC ·2，∴PC ＝5，∵y=－x+3中当y=0时x=3，∴C （3，0），∴m －3＝5或3－m ＝5，即m ＝8或－2，∴点P 的坐标为（8，0）或（－2，0）
6．（2019·株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，等腰△OAB 的边OB 与反比例函数(0)m y m x
=>的图像相交于点C ，其中OB ＝AB ，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为(2，4)，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．
（1）己知一次函数的图像过点O ，B ，求该一次函数的表达式；
（2）若点P 是线段AB 上的一点，满足OC
，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，连结OP ，记△OPQ 的面积为
S △OPQ ，设AQ ＝t ，T ＝OH 2
﹣S △OPQ ．①用t 表示T （不需要写出t 的取值范围）；②当T 取最小值时，求m 的值．
图4
、【解题过程】解：（1）设直线OB解析式为：y=kx+b,将O(0，0)B（4,2）代入得，
∴y OB=2x
（2）①如图，作BM⊥x轴于M，
∵BO=AB,
∴OM=MQ=2，A(4，0）
∵CH∥BM∥PQ，
∴△OCH∽△APQ∽OBM
∴
2
PQ CH BM
AQ OH OM
===
,
OH CH OC
AQ PQ AP
===
，
所以
=
,
∴T＝OH2﹣S△OPQ
=
2
1
)(4)2
2
t t
+-
=4t2-4t
②∵T=4t2-4t,∴t=0.5时，T最小=-1，此时
,
∴m=OH CH =3
2
7．（2019·陇南）如图，已知反比例函数y ＝
（k ≠0）的图象与一次函数y ＝﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点P （a ，0）（a ＞0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y ＝﹣x +b 的图象于点M ，交反比例函数y ＝上的图象于点N ．若PM ＞PN ，结合函数图象直接写出a 的取值范围．
解：（1）∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图象与一次函数y ＝﹣x +b 的图象在第一象限交于点A （1，3）， ∴3＝，3＝﹣1+b ，
∴k ＝3，b ＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y ＝
，y ＝﹣x +4；
（2）由图象可得：当1＜a ＜3时，PM ＞PN ．
8. （2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝
k x
（k ＞0，x ＞0）的图像上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图像上？请说明理由．
（2）若该反比例函数图像与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，
试描述平移过程．
解：（1）连结PC，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上，
∴△OBD和△PCH都含有30°角的直角三角形，BC＝PC＝CD＝2．
∴OC＝CH＝1，PH
∴点P的坐标为（2
∴k＝
∴反比例函数的表达式为y
x＞0）．
连结AC，过点B作BG⊥AC于点G，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，
∴BG＝1，AG＝CG
∴点A的坐标为（1，
当x＝1时，y＝
所以点A该反比例函数的图像上．
（2）过点Q作QM⊥x轴于点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠EDM＝60°．
设DM＝b，则QM
．
∴点Q的坐标为（b＋3
）．
（b＋3）＝
解得b1
b2
∴b＋3
∴点Q
（3）连结AP．
∵AP＝BC＝EF，AP∥BC∥EF，
∴平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1
ABCDEF向左平移
2个单位．
【知识点】反比例函数的表达式；正六边形的性质；图形的平移；含有30°角的直角三角形性质
9.（2019四川省自贡市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函
数y2=m
x (m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a,-3）两点，与x轴交于点C.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y 轴上找一点P 使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标；
（3）直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围.
【思路分析】
（1）将A 点坐标代入反比例函数解析式求出m ，即可得到反比例函数解析式；把y =-3代入反比例函数解析式求出a 的值，得到B 点坐标，再将A ，B 坐标代入一次函数解析式求出k ，b ，即可求出一次函数解析式；
（2）利用A 、B 坐标求出直线AB 解析式，由解析式求出C 、D 两点坐标；分别对B 、C 、P 三点是否共线进行讨论，得出PB -PC ≤BC ；从而当P 与D 重合时，PB -PC 最大，最大值为BC .
【解题过程】
解：（1）A （3,5）代入y 2=m x 得，5=m x ， ∴m =15.
∴反比例函数是y 2=15x .
当y 2=-3时，-3=15x ，
∴x =-5，
∴B 坐标为（-5，-3）.
将A （3,5），B （-5，-3）代入y 1=kx +b 得，
{3k +b =5−5k +b =−3
解得，{k =1b =2
. ∴一次函数为y 1=x +2.
（2）令y 1=0时，x+2=0,x =-2.
∴点C 坐标为（-2,0）.
令x =0，则y 1=2.
∴点D 坐标为（0，-2）.
连接PB ，PC ，
当B ，C 和P 不共线时，由三角形三边关系，P B −PC ＜BC ；
当B ，C 和P 共线时，PB −PC =BC ，
∴PB −PC ≤BC .
由勾股定理可知，BC =√(−5+2)2+(−3−0)2=3√2.
∴当P 与D 重合，即P 为（0,2）时，PB -PC 取最大值，最大值为3√2.
【知识点】待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形三边关系，勾股定理.
10. （2019四川攀枝花，20，8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数
y ＝m x
的图象在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件：CA ⊥CB ，且CA ＝CB ，点C 的坐标为（－3，0），cos ∠ACO
＝5
． （1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当x ＜0时，kx ＋b ＜m x
的解集。

【思路分析】(1)要求反比例函数的表达式，需要求得点B 的坐标．作BH ⊥x 轴于点H ，由点C 的坐标为（－3，0），cos ∠ACO
＝5
，得AC ＝
AO ＝6．由△BHC ≌△COA 得BH ＝3，CH ＝6．∴B (－9,3) ． （2）由图象法直接得出.
【解题过程】解：（1）如图作BH ⊥x 轴于点H ,
则∠BHC ＝∠BCA ＝∠COA ＝90°
,
∴∠BCH ＝∠CAO ,
∵点C 的坐标为(－3,0)
∴OC ＝3,
∵cos ∠ACO
, ∴AC ＝
AO ＝6,
在△BHC 和△COA 中
有90BC AC BHC COA BCH CAO =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩
∴△BHC ≌△COA ．
∴BH ＝CO ＝3，CH ＝AO ＝6．
∴OH ＝9，即B (－9,3) ．
∴m ＝－9×3＝－27
∴反比例函数解析式为y ＝－27x
（2）因为在第二象限中，B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方
所以当x ＜0时，kx ＋b ＜m x
的解集为－9＜x ＜0. 【知识点】锐角三角函数；反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数解析式；图象法求不等式的解集
11. (2019山东泰安,21题,11分)已知一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数m y x =的图象交于点A,与x 轴交于
点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝15 2.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
【思路分析】(1)根据OB的长度和△AOB的面积可求得点A的纵坐标,利用勾股定理求得点A的横坐标,进而用待定系数法可以求出反比例函数和一次函数的表达式;(2)设点P的坐标为(x,0),利用等腰三角形的边相等的关系,列出方程,进行求解,即可得到点P的坐标.
【解题过程】(1)过点A作AM⊥x轴于点M,则S△OAB＝1
2
OB AM
⋅＝
15
2
,∵B(5,0),∴OB＝5,即
1
5
2
AM
⨯⋅＝
15
2,AM
＝3,∵OB＝AB,∴AB＝5,在Rt△ABM中,BM4,∴OM＝OB+BM＝9,∴A(9,3),∵点A在反比例函
数
m
y
x
=图象上,∴3
9
m
=,m＝27,反比例函数的表达式为:
27
y
x
=,设一次函数表达式为y＝kx+b,∵点
A(9,3),B(5,0)在直线上,∴3＝9k+b,0＝5k+b,解之,得k＝3
4
,b＝
15
4
-,∴一次函数的表达式为:y＝
3
4
x
15
4
-;
(2)设点P(x,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AB2＝(9－5)2+32＝25,AP2＝(9－x)2+32＝x2－18x+90,BP2＝(5－x)2＝x2－10x+25,根据等腰三角形的两边相等,分类讨论:
①令AB2＝AP2,得25＝x2－18x+90,解之,得:x1＝5,x2＝13,当x＝5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0);
②令AB2＝BP2,得25＝x2－10x+25,解之,得:x3＝0,x4＝10,当x＝0时,点P与原点重合,故P2(0,0),P3(10,0);
③令AP2＝BP2,得x2－18x+90＝x2－10x+25,解之,得:x＝65
8
,∴P4(
65
8
,0);
综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4(65
8
,0).
【知识点】勾股定理,待定系数法求解析式,等腰三角形的存在性
12. (2019山东聊城,23,8分)如图,点A(3
2
,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数
n
y
x
=(x>0)图象的两个交点,AC
⊥x轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.
(1)求直线AB的表达式;
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1,S2,求S2－S1.
【思路分析】(1)先用点A坐标求出反比例函数表达式,然后求出点B坐标,再用待定系数法求得AB的表达式;(2)利用坐标,分别算出两个三角形的面积,进而求得二者之差.
【解题过程】(1)由点A,B在反比例函数
n
y
x
=的图象上,∴4＝
3
2
n
,∴n＝6,∴反比例函数表达式为
6
y
x
=(x>0),
将点B(3,m)代入,得m＝2,∴B(3,2),设直线AB的表达式为y＝kx+b,∴
3
4
2
23
k b
k b
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=+
⎩
,解得:
4
3
6
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
,∴直线AB
的
表达式为:463
y x =-+. (2)由点A,B 的坐标得AC ＝4,点B 到AC 的距离为3－
32＝32,∴S 1＝12×4×32
＝3,设AB 与y 轴的交点为E,可得E(0,6),∴DE ＝6－1＝5,由点A(32,4),B(3,2)知点A,B 到ED 的距离分别为32,3,∴S 2＝S △BED －S △AED ＝154
,∴S 2－S 1＝34. 【知识点】待定系数法求反比例函数,一次函数解析式,三角形面积
13.（2019湖南省岳阳市，19，8分）如图，双曲线m y x
=
经过点P （2，1），且与直线y =kx －4（k ＜0）有两个不同的交点．
（1）求m 的值；
（2）求k 的取值范围．
【思路分析】（1）把点P 的坐标代入反比例函数解析式可求出m ；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x 的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k 的取值范围．
【解题过程】（1）把点P （2，1）代入反比例函数m y x
=，得： 12
m =，m =2； （2）由（1）可知反比例函数解析式为2y x
=， ∴24kx x
=-， 整理得：2420kx x --=，
∵双曲线与直线有两个不同的交点， ∴△＞0．
即：2(4)4(2)0k --⨯->．
解得：k ＞－2．
又∵k ＜0，
∴k 的取值范围为－2＜k ＜0．。