全等三角形证明专题.doc

数学思维方法讲义之一年级：九年级

（ 1）如图（ 1）当射线 DN经过点 A时， DM交 AC边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与§第 1 讲证明（三角形专题）△ADE相似的三角形．

【学习目标】（ 2）如图（ 2），将∠ MDN绕点 D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点

1、牢记三角形的有关性质及其判定；

E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

【考点透视】（ 3）在图（ 2）中，若 AB=AC=10， BC=12，当△ DEF 的面积等于△ ABC 的面积的时，求线段 EF

1、全等三角形的性质与判定；的长．

2、等腰（等边）三角形的性质与判定；

3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；

4、相似三角形的性质与判定。

【精彩知识】

专题一三角形问题中的结论探索

【例 1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一

起，且∠ DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ ADG≌△ ACF；③ O为 BC的中

点；④ AG：

= 3： 4，其中正确结论的序号是.

DE

●变式练习

1．如图，△ ABD 与△ AEC 都是等边三角形， AB≠AC，下列结论 E

中：①BE=DC；②∠ BOD=60°；③△ BOD∽△ COE．正确的序号是．

D A

★考点感悟：

专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索

O

【例 2】如图 (1) ，Rt△ABC 中，∠ ACB=- 90°， CD⊥AB，垂足为 B C

D． AF 平分∠ CAB，交CD于点 E，交 CB于点 F

（1）求证： CE=CF．

（ 2）将图（ 1）中的△ ADE 沿 AB 向右平移到△ A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其

它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE' 与 CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图（ 1）图（2）

★考点感悟：

【例3】△ABC中， AB=AC， D 为 BC的中点，以D为顶点作∠ MDN=∠B．● 变式练习：

如图，O是正△ ABC 内一点， OA=3，OB=4，OC=5，将线

段

BO以点

B 为旋转中

心逆时针旋

转

60°

得到线段BO′，下列结论：①△ BO′A可以由△ BOC 绕点 B 逆时针旋转60°得到；②点O与 O′说明理由．

的距离为4；③∠ AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【】

A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③

【例 4】如图 1，△ ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， D、 F 分别在 AB、AC边

上，此时BD=CF，BD⊥CF 成立．

（1）当正方形 ADEF绕点 A 逆时针旋转θ（ 0°＜θ＜ 90°）时，如图 2，BD=CF成立吗？若成

立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形 ADEF绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD交 CF 于点 G．

①求证： BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段B G的长．

★考点感悟：

★考点感悟：

专题三几何动态问题

【例 5】如图，在△ ABC 中， AB＝AC＝ 10 cm， BC＝12 cm，点 D 是 BC边的中点．点P 从点 B 出发，以 a cm/s(a ＞ 0) 的速度沿BA匀速向点 A 运动；点Q同时以 1 cm/s的速度从点 D 出发，沿DB匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间

为t s．

(1)若 a＝2，△ BPQ∽△ BDA，求 t 的值；

(2)设点 M在 AC上，四边形 PQCM为平行四边形．

5

①若 a＝，求PQ的长；

2

②是否存在实数a，使得点P 在∠ ACB的平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请●变式练习：

已知线段AB=6， C． D 是 AB 上两点，且AC=DB=1， P 是线段 CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF， G为线段 EF 的中点，点 P 由点 C移动到点 D 时， G点移动的

路径长度为．

专题四几何与函数结合问题

【例 6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中， BC=6， E、F 分别是A B、 AC 的中点， P 在EF或 EF的延长线上， BP交 CE于 D， Q在 CE上且 BQ平分∠ CBP，设 BP=， PE=.

（1）当时，求的值；

（2）当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；

（3）①当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；

②当 CQ=CE（为不小于2 的常数）时，求直接与之间的函数关系式。

★考点感悟：

【例 7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形

ABCD 的三个顶点 B （1，0），C （3，0），D （3，

4）．以 A 为顶点的抛物线 y =ax 2

+bx +c 过点 C ．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动．同时

动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P ，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为

t 秒．过点 P 作 PE ⊥ AB 交 AC 于点 E ．

（ 1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（ 2）过点 E 作 EF ⊥AD 于 F ，交抛物线于点 G ，当 t 为何值时，△ ACG 的面积最大？最大值为多少？

（ 3）在动点

， 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 内（包括边界）存在点 ，使

P Q

ABCD

H

以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？请直接写出

t 的值．

C Q E H

★考点感悟：

【课后测试】

一、选择题：

1、下列判断正确的是（ ）

A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B. 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2、在平面直角坐标系

xoy 中，已知 A （2，– 2），在 y 轴上确定点 P ，使△ AOP 为等到腰三角形，

则符合条件的点 P 共有（ ）

个

个 C. 4

个

个

二、填空题：

3、在锐角三角形 ABC 中， BC=，∠ ABC=45°， BD 平分∠ ABC ，

M 、 N 分别是 BD 、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 。