最小二乘法原理及算例PPT演示课件
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第3章4节最小二乘法(课堂PPT)
§4 曲线拟合的最小二乘法
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
最小二乘法简介PPT课件
为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 ωi=1/σi2
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
0
s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
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s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
栏目导航
[解] (1)散点图如下图所示．
31
栏目导航
(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
栏目导航
25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
栏目导航
26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
栏目导航
a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
栏目导航
34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
高等数学课件最小二乘法标准版资料
wéi)均对方本误题差(bě, ntí)均方误差
1 7
M
0.124
它在一定程度上反映了经验函数的好坏. O
t
2021/10/3
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第六页，共10页。
例2. 在研究某单分子(fēnzǐ)化学反应速度时, 得到下列数据:
i 1 2 3 4 5 6 78 i 3 6 9 12 15 18 21 24 yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
2021/10/3
Y a X b (线性函数)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第七页，共10页。
因此(yīncǐ) a , b 应满足法
方程组:8
8
8
2 k
a
k
b
k
ln
yk
k 1
k 1
k 1
8
8
k a
k 1
8b
ln yk
k 1
y
经计算(jìsuà1n)8得36 a 108b 280.994 108a 8b 23.714
经计算(jìs令(据ugàn)u得:ānxicè)数xi1 xi , yi yi1 yi (i 1, 2,, n)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
yi 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间, (1) 若 定值 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间,
, 则考虑 y a x b 同济(tónɡ jì)版高等数学课件
特别, 当数据点分布近似一条(yī 线时,
使 y ax b 满足:
n
tiáo)直
问题(wèntí)为确 定 a, b
大学经典课件之高等数学——8-10最小二乘法
机动
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结束
特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y = a x + b 满足:
M (a , b ) =∑ ( yk − a xk − b )2 = min
k =0 n
y
令
∂M = − 2∑ ( yk − a x k − b ) x k = 0 ∂a k =0 n ∂M = − 2∑ ( yk − a x k − b ) = 0 ∂b k =0
i 0 1 2 3 4 5 6 7 t i (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 yi (mm) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 y 大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y = at + b
n 2 ( ∑ x k ) a + ( ∑ x k ) b = ∑ x k yk n n n k =0 n k =0 k =0 n
o
称为法方程组
x
得
( ∑ xk ) a + ( n + 1) b = ∑ yk
k =0 k =0
解此线性方程组 即得 a, b
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例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下:
列表计算:
机动 目录
o
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t
i
ti
t i2
yi
yi t i
0 M 7 Σ
得法方程组
0 M 7 28
0 M 49 140
最小二乘法-PPT课件
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
最小二乘参数辨识方法及原理PPT学习课件
Gauss（1777-1855）
m
使 w(k ) | z(k ) y最(k小) |2 k 1
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实际观测值和计 算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和 为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值ˆ ，使得各次测量 的 Z i (i 1, m) 与由估计ˆ 确定的量测估计 Zˆi Hiˆ 之差的平方
和最小，即
J (ˆ) (Zm Hmˆ)T (Zm Hmˆ) min
J
ˆ
2H
T m
(Z
m
H mˆ)
i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
u(k )
y(k )
G(k )
v(k ) z(k )
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构
G(z)
y(z) u(z)
b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bn z n an z
n
n
n
y(k ) ai y(k i) biu(k i)
i 1
0 0
J a J b
a b bˆ
aˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
Naˆ
N
bˆ
N i 1
ti
N
N i 1
Ri
N
aˆ
i 1
ti
bˆ
t
2 i
i 1
最小二乘法PPT课件
教学内容 最小二乘法
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
回归直线方程—最小二乘法ppt课件
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来描写应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数根本一样。
法二
法三
1.画一条直线 2.丈量出各点 与它的间隔 3.挪动直线， 到达某一位置 使间隔的和最 小，丈量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
图
直 线
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思索：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中他领会 到了什么？ y0.577x0.48
b
1
n
(xi x)2 1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏向最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数
；
(2)计算 xi与 yi 的乘积,再求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
2.由一组 10 个数据(xi，yi)算得 x5, y10,
n
n
xiyi 58,4 xi229,2则 b= 2 ,a= 0 ,
i1
i1
回归方程为 y=2x .
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的间隔。
最小二乘法的公式的探求过程如下：
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来描写应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数根本一样。
法二
法三
1.画一条直线 2.丈量出各点 与它的间隔 3.挪动直线， 到达某一位置 使间隔的和最 小，丈量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
图
直 线
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思索：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中他领会 到了什么？ y0.577x0.48
b
1
n
(xi x)2 1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏向最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数
；
(2)计算 xi与 yi 的乘积,再求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
2.由一组 10 个数据(xi，yi)算得 x5, y10,
n
n
xiyi 58,4 xi229,2则 b= 2 ,a= 0 ,
i1
i1
回归方程为 y=2x .
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的间隔。
最小二乘法的公式的探求过程如下：
高中数学必修课件最小二乘估计
03
非线性回归模型与最小二乘估计
非线性回归模型概述
1 2
非线性回归模型定义
描述因变量与自变量之间非线性关系的回归模型 。
常见非线性回归模型
指数回归、对数回归、幂回归等。Βιβλιοθήκη 3非线性回归模型特点
模型参数估计复杂，但拟合效果可能更优于线性 回归。
最小二乘估计在非线性回归中应用
01
02
03
最小二乘法原理
参数估计性质与评价标准
参数估计性质
最小二乘估计具有线性性、无偏性、有效性等优良性质，是 实际应用中最常用的参数估计方法之一。
评价标准
评价最小二乘估计效果的标准包括残差图、均方误差、决定 系数等。其中，残差图用于直观判断模型拟合效果，均方误 差用于量化模型预测误差大小，决定系数用于衡量自变量对 因变量的解释程度。
通过介绍非线性回归模型的案例，如指数增长、周期性变化等，引 导学生理解最小二乘法在非线性回归中的推广和应用。
多重共线性问题
通过实际案例，让学生理解多重共线性对最小二乘估计的影响，以 及如何处理多重共线性问题。
实验设计与数据收集
实验设计
指导学生设计实验方案，明确实验目的、实验对象和实验 方法，确保数据的有效性和可靠性。
拓展应用
将最小二乘法应用于金融、生物、医学等领域的实际问题中，如股票价格预测、基因表达数据分析等。同时，可 以探索最小二乘法与其他数据分析方法的结合，如主成分分析、聚类分析等，以提高数据分析的准确性和效率。
THANKS
感谢观看
数据收集
教授学生如何收集和整理实验数据，包括直接观测、问卷 调查、实验测量等方法，强调数据的真实性和完整性。
预处理与探索性分析
引导学生对收集到的数据进行预处理，如数据清洗、缺失 值处理、异常值检测等，并进行探索性分析，初步了解数 据的分布和特征。
误差理论与数据处理最小二乘法PPT课件
AT A C
5-17
第17页/共25页
标准差的估计
1、直接测量结果的标准差估计
残差
vi2
s i nt
2、待求量的标准差估计
wivi2
s i nt
（加权）
未知量个数 方程个数
xj d jj 误差传播系数 AT wA 1 对角元素
3、待求量的相关系数
ij
dij diid jj
第18页/共25页
1,2, ,n
测得值 落入xi
的 x概i , x率i dx
pi
i
1
2
exp( vi2 )dx
2
2 i
5-3
第3页/共25页
最小二乘法原理
测得值 x1, x2同, 时出, x现n 的概率为
P pi i
1
exp
1i ( 2 )n 2 Nhomakorabeai
vi
i
2
(dx)n
i
最可信赖值满足
i
vi2
AT L 0 0
1 0
0 1
1 0
1 1
1 1
1.020 2.016
1.981
8.014 6.033
3.032
0.500 0.250 0 6.063 1.028
xˆ 0.250
0.500
0.250
8.014
0.983
0 0.250 0.500 6.033 1.013
直接测量量的标准差
AT wA 1元素
5-18
5-19
第三节 组合测量的最 小二乘法处理
第19页/共25页
组合测量基本概念
组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数 关系中，确定出各被测量的最佳估计值。
最小二乘法PPT课件
第2页/共74页
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
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i
i0
10
•最小二乘法的几种特例
1. 作为曲线拟合的一种常见情况,拟合函数常为代数多项式: ,
即拟合函数 :
( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn
则以同样原理,的相应法方程组(共有m组数据且m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
))2
min
i 0
它们都可用最小二乘法求解。
7
主页
•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 (x)
在数据点(
xi
,
y i
)
处的偏差,即
x ( )
i
i
y i
(i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
•
Q=∑nδi2
•
i=1
为最小 ，即求使
•
y x ) •
• •
24
(a,b)=
i 1
24
2 ( ab
2
i
i
i
i 1
•
有最小值的a和b的值。
5
• 计算出它的正规方程得
24a 127.5b 113.1 127.5a 829.61b 731.60
2
数据表格
编号 拉伸倍数 强度
编号 拉伸倍数
强度
kg/mm2
kg/mm2
1
1.9
1.4
13
5.0
5.5
2
2.0
1.3
14
5.2
5.0
3
2.1
1.8
15
6.0
5.5
4
2.5
2.5
16
6.3
6.4
5
2.7
2.8
17
6.5
6.0
6
2.7
2.5
18
7.1
5.3
7
3.5
3.0
19
8.0
6.5
8
3.5
2.7
20
问题的提出
线性最小二线乘问题的存在与唯一
线性模型的正规方程
线性模型举例
线性模型引深及推广
线性最小二乘方法评注
正交多项式
1
实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
0
1
n
i
i
i 1
对函数求偏导数并令其为零, 可得 : 0
aj
m
n
2( ak
x y ( ) )
k
i
i
x ( ) 0
j
i
i 1
k0
a x x y x 得 : 2 m n i1 k 0
k
()
k
i
m
( )
j
i
i 1
i
(
j
i
a0
x n1
i
a1
y ixi来自y i ... ... ... ... ... ...
xn i
xn1 i
...
x2 i
n
an
xn i
y i
由此可得到相应的系数ai (i 0,1,..., n)
max f ( x) p( x) min (*)
a xb
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
b
a
(x)(
f
(x)
p( x))2 dx
min
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼
进问题就是常说的曲线拟合
m
( i
f
( xi
)
p( xi
a 1
...
n
1 ...
a , n
n n
,f
0
,f
1
...
,
n
f
可知
a 当
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如
表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
)
0
m
x x 若引入记号: ,
j
k
i 1
() ()
j
i
k
i
m
x y , f
j
i 1
()
j
i
i
9
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j
可得矩阵
( j 0,1,...,n)
8.0
7.0
9
4.0
4.0
21
8.9
8.5
10
4.0
3.5
22
9.0
8.0
11
4.5
4.2
23
9.5
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12
4.6
3.5
24
10.0
8.1
3
9 8 7 6 5
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
4
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
即可求得拟合函数 (x)
11
2. 特别的当n 1时, 这就是用途最广的线性拟合.
对于拟合函数 y a0 b0 x
即 m
xi
x a 2i
0
x b i 0
y
i
xi
y i
解得a0 , b0即可
12
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
,
0 0
,
1
0
...
,
n
0
,
0
1
,
1
1
...
,
n
1
... ... ... ...
,
a 0 n 0
,
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
6
一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
m
|
2 i
|
m
(
(
x
i
)
yi)2
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
8
•最小二乘法的求法
设近似方程为: (共有m组数据且m n)
a a a y*
(x)
( x) ...
( x)
0
0
11
n
n
a a a y y (
,
m
*
,..., ) (
)2 min
i0
10
•最小二乘法的几种特例
1. 作为曲线拟合的一种常见情况,拟合函数常为代数多项式: ,
即拟合函数 :
( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn
则以同样原理,的相应法方程组(共有m组数据且m n)
m
xi
xi
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... ...
xn i
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i 0
它们都可用最小二乘法求解。
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主页
•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 (x)
在数据点(
xi
,
y i
)
处的偏差,即
x ( )
i
i
y i
(i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
•
Q=∑nδi2
•
i=1
为最小 ，即求使
•
y x ) •
• •
24
(a,b)=
i 1
24
2 ( ab
2
i
i
i
i 1
•
有最小值的a和b的值。
5
• 计算出它的正规方程得
24a 127.5b 113.1 127.5a 829.61b 731.60
2
数据表格
编号 拉伸倍数 强度
编号 拉伸倍数
强度
kg/mm2
kg/mm2
1
1.9
1.4
13
5.0
5.5
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3
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15
6.0
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4
2.5
2.5
16
6.3
6.4
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2.7
2.8
17
6.5
6.0
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2.7
2.5
18
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5.3
7
3.5
3.0
19
8.0
6.5
8
3.5
2.7
20
问题的提出
线性最小二线乘问题的存在与唯一
线性模型的正规方程
线性模型举例
线性模型引深及推广
线性最小二乘方法评注
正交多项式
1
实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
0
1
n
i
i
i 1
对函数求偏导数并令其为零, 可得 : 0
aj
m
n
2( ak
x y ( ) )
k
i
i
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j
i
i 1
k0
a x x y x 得 : 2 m n i1 k 0
k
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k
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m
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i 1
i
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a0
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i
a1
y ixi来自y i ... ... ... ... ... ...
xn i
xn1 i
...
x2 i
n
an
xn i
y i
由此可得到相应的系数ai (i 0,1,..., n)
max f ( x) p( x) min (*)
a xb
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
b
a
(x)(
f
(x)
p( x))2 dx
min
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼
进问题就是常说的曲线拟合
m
( i
f
( xi
)
p( xi
a 1
...
n
1 ...
a , n
n n
,f
0
,f
1
...
,
n
f
可知
a 当
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如
表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
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j
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j
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m
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i
9
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
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可得矩阵
( j 0,1,...,n)
8.0
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4.0
21
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10
4.0
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4.5
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9 8 7 6 5
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12
4
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
即可求得拟合函数 (x)
11
2. 特别的当n 1时, 这就是用途最广的线性拟合.
对于拟合函数 y a0 b0 x
即 m
xi
x a 2i
0
x b i 0
y
i
xi
y i
解得a0 , b0即可
12
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
,
0 0
,
1
0
...
,
n
0
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1
,
1
1
...
,
n
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a 0 n 0
,
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
6
一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
m
|
2 i
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m
(
(
x
i
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yi)2
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
8
•最小二乘法的求法
设近似方程为: (共有m组数据且m n)
a a a y*
(x)
( x) ...
( x)
0
0
11
n
n
a a a y y (
,
m
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