(word完整版)高中三角函数最值问题难题

高中三角函数最值问题难题

一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题

例1：求函数y ＝

x

x x x x x x x cot |

cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=

（2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=----

（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=--

（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x

y x x x x

=+++=----

综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题

例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13

x -1

y=的最

大值和最小值，则M m +等于（ ）

（A ）32

（B ）32-（C ） 3

4-（D ）-2

解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 1

3

x -1

y=的最大值与最小值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（3

4

-）=-2,选D.

例2：求3sin 1

sin 2

x y x +=+的最值（值域）

分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3

y

x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1

sin 2

x y x +=

+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-

12(3)sin 12sin 3

y

y x y x y --=-?=

-。因为sin 1x ≤， 所以()()2

2

2

121212111333y y y y y y -??--≤?≤?≤ ?---??

即()()()()22

212332802340y y y y y y -≤-?+-≤?+-≤

即423y -≤≤

，所以原函数的最大值是4

3

，最小值是2-。 三、利用数形结合

例：求cos 2

sin 2x y x -=-的最大值与最小值

解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式21

21

y y k x x -=

-将原式中的y 看作是定点(,)P x y 与动点(sin ,cos )M x x 连线的斜率，而动点(sin ,cos )M x x 满足单位圆22sin cos 1x x +=，如上图所示。所以问题可转化为求定点(2,2)P 到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：

min y =

max y = 四、利用三角函数的单调性法

例1：(1996全国高考试题)当x π

π

-≤≤

2

2

，函数()sin f x x x =的最

值

(A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是1

2

-

(C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－

1

()sin 2sin()3

f x x x x π==+，

因为x ππ-≤≤22，所以53x πππ

-≤+≤66，当x π

=-

6

时，函数()f x 有最小值 －1,最大值2，选择D

例2：求sin sin sin x x y x

（1+)(3+)

=2+的最值及对应x 的集合

分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为

1

sin 2)sin 2

x x =+-+y （，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。

解答：sin sin 1

sin 2)sin sin 2

x x y x x x =+-+（1+)(3+)=（2+令sin 2x t +=，则

x

1

()y f t t t ==-，且13t ≤≤，

设12121<3,()()t t f t f t ≤≤-=121211()()t t t t ---= 12

1212

1()(

)<0t t t t t t +-[]()(1,3)f t t ∴∈上单调递增，所以 当1t =时， min ()0f t =，此时sin 1x =-，,2,.2x x x k k z ππ??

∈=-∈????

当3t =时，8()max 3f t =，此时sin 1x =，,2,2x x x k k z ππ??

∈=+∈????

五、可化为一次函数y kx b =+，c x d ≤≤的条件极值的三角函数式极值求法

例1：求函数sin y a b x =+ (0)b ≠的极值

分析：由sin 1x ≤，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sin y a b x =+, 11x -≤≤，其中sin x x =,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。

解： 1）当0b >时, ,y a b y a b =+=-最大最小； 2）当0b <时, ,y a b y a b =-=+最大最小；

说例2：求函数22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的最值，其中0,0b c ≠≠。 分析：在这里不能将它变形为关于sin x 或cos x 为未知数的二次式，所于只

有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos 2sin 2

x

x -=，

21cos 2cos 2x x +=

，1

sin cos sin 22

x x x =，然后代入化简得到sin(),11y x y y ω?=+==-最大最小，即可求出。

解：因为1cos 21cos 2sin 2222

x b x

y a x c -+=?

+?+?[]1sin 2()cos 222a c b x c a x +=++-

sin(2),2a c x ?+=+其中

arctan c a

b

?-= ，且sin(2)1x ?+≤，

2a c y +∴=+

最大

2a c y +=-最小在这里22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos 2y A x B x ????

→=+降次、整理

六、可化为二次函数2(0)y ax bx c a c x d =++≠≤≤且的条件极值的三角函数式的最值求法。

例1：求函数22sin 8sin 5y x x =+-最值

分析：因为222sin 8sin 52(sin 2)13,sin 1,y x x x x =+-=+-≤故求y 的最值，实质上是求以sin x 为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。 即当设sin x =X 时，变为22(2)13y X =+-在约束条件11X -≤≤的条件极值。

解：因为22(sin 2)13,sin 1,y x x =+-≤ 当2sin 23135,x y =?-=最大=1时, 当2sin 211311.x y =?-=-最小=-1时,

。七、换元法sin cos ,sin cos x x x x ±（同时出现换元型）

例1:函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是______.(1990年全国高考题)

解析： 如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函

数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。设sin cos x x +＝t ,

则t ＝sin cos )4

x x x π

+=+, ∴t ≤≤21

sin cos 2t x x -=函数

sin cos sin cos y x x x x =++可化为22

1(1)122

t t y t -+=+=-，∴t =

大值是1

2

+

说明：题目中出现sin cos x x +与sin cos x x 时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设sin cos x x +＝t 则sin cos x x ＝21

2

t -。要特别注意换元后t 的取值范

围。

例2： 求函数sin sin cos cos y x x x x =+-的最值。

解：设sin cos )(4

t x x x t π

=-=-≤≤则 2

1sin cos 2t x x -=于是

21122y t t =-++。故当t =sin()14x π-=-时， min 1

2

y =-

当1t =时，即sin()42

x π-=时， max 1y =

八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题

例1：求函数22

tan tan 1

tan tan 1

x x y x x -+=++的最值。 分析：由22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++，令tan X x =，则归为求22

1

,1

X X y X X -+=++（且x -∞<<+∞）的最值，故可用判别式法求之。

解：由22

tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++， 22

tan tan tan tan 1y x y x y x x ∴?+?+=-+ 2(1)tan (1)tan (1)0.y x y x y -+++-= 因为这个一元二次方程总有实数根， 2221)4(1)(3103)y y y y ∴?=+--=--+（ (3)(31)0.y y =---≥

11.33y ∴-≤≤ 13,.3

y y ∴==最大最小

例2：（sin cos a x c

y b x d

+=

+型的函数）求函数y =的最值（值域）。

分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cos x 的一次式，而

分母是含有sin x 的一次式，不能直接解出cos x 或sin x ，通常是化作

sin()()x f x ω?+=求解。

解法一：由y =

得sin 2,y x x y -=-)2x y ?+=-

（?为辅助角）

sin()x ?∴+=

因为1sin()1x ?-≤+≤得11,

∴-≤

≤由此解得11y -≤≤∴函数的值域为[]1,1-

说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。

解法二：令 tan 2x t =，则2

2sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+)y t R ∴=∈

即y t yt y 2(2+2+(2若y 2 即2

y =-

则t =-2满足条件若

x

y ≠20,即

2y ≠

，则由y y y ?≥2=4-4(2

0 ，有2

y y ≤≤≠

-11() ∴函数的值域为

[]1,1-

解法三：由2sin x

y x

=

+，

cos 0sin (2)x x -=--，设点 (sin ,cos )P x x ，(2,0)Q -，

可看作是单位圆上的 动点P 与Q 连线的斜率。如右图所示，

直线1QP 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心0,0)

（到它的距离

1d

=

=，解得1

k =

或2k =

。所以33-≤≤，即 11y -≤≤，所以函数的值域为

[]-1，1

九、利用不等式

12n a a a n

++???+≥0,1,2,...,i a i n >=）

利用上述不等式求最值时, (1,2,...,)i a i n =必须满足下列条件:

若n 个正数(1,2,...,)i a i n =的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值. 若n 个正数(1,2,...,)i a i n =的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值. 例1:当(0,)2πθ∈,求sin (1cos )2y θ

θ=+的最大值

解析:因为 (0,)2πθ∈,所以(0,)24θπ

∈

于是 sin (1cos )2y θθ=+= 22sin cos 22

θθ

所以22224sin cos cos 222y θθθ=≤ 3

22232in cos cos 21622222()333s θθθ??++???==??

??

??

即163

y ≤

说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如sin cos m n y x x =（,,m n N +∈且02

x π

<<

）的值域是十分重要的,下面来看一下:已知函数sin cos m n y x x

=（,,m n N +∈且02

x π

<<

）,求其最大值.

解:因为,,02

m n N x π

+∈<<

，所以y ==

=

考察上式根号中的m n +个因式之和为

2222sin )(cos )(sin cos )m n x n m x mn x x mn +=+=(。因而由平均值不等式得

y ≤=

=当且仅当22sin cos n x m x =

时，即tan x =

x arc = 故

当x arc =时，函数sin cos (,,0)2m n y x x m n N x π+=∈<<且有最大

值

例2:求函数12(0)sin cos 2

y x x x π=

+<<的最小值。 分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑02

x π

<<，则0y >。若求

出2y 的范围，则问题也就解决了。

解： 2222

12144(

)sin cos sin sin cos cos y x x x x x x

=+=++= 222

24(sin cos )

csc 4sec sin cos x x x x x x +++ 22(1cot )4(tan cot )4(1tan )x x x x =+++++

225(cot 2tan 2tan )(4tan 2cot 2cot )x x x x x x =++++++

5≥+55=+=+

每且仅当 2

2

cot 2tan 4tan 2cot x x x x

?=??=??即x =2min 5y =+

所以 min y =

说明： 这是一个特殊的问题，下面运用本题的解法来研究它的一般情形的

最值问题。

设0a >,0b >,求函数(0)sin cos 2

a b y x x x π

=+<<的最小值。

解：由222

22

2sin cos sin cos a b ab y x x x x

=++=22

(1cot )2(tan cot )a x ab x x ++++ 22(1tan )b x +2222(cot tan tan )a b a x ab x ab x =+++++

22(tan cot cot )b x ab x ab x ++22a b ≥++

22a b =++3=

每且仅当2222

cot tan tan cot a x ab x b x ab x

?=??=??，即x =时，23y =

所以 min y = 说明：像此类题，一般比较复杂，大部分可能无法用其它方法求出，首先必

须将它变形符合形式，再考虑是否满足一正，二定，三相等的条件，都满足即可求出。关键的是灵活变形。

十、对有约束条件的三角函数的最值求法

例1：设α、β皆为锐角，αβθ+=，求函数sin sin y αβ=+之最大值。 解析：因为<<

<<

,0<<2

2

π

π

αβαβπ∴0 0+，故0<<.θπ且<-<22

π

π

αβ-

。

sin sin y αβ=+又 -2sin

cos

2

2αβ

αβ

=?+ -sin cos θαβ

?=222

-sin

y αβ

θ

αβ∴=最大当

=0即=时,22

2

例2：在ABC ?中，求函数tan

tan tan 222

A B C

y =的最大值 解析：因为A 、B 、C 是三角形内角，即A B C π++=， tan >0, tan >0, tan >0

222222A B C A B C 所以、、均为锐角.则

)222

C A B π+且 = -(2

所以tan

tan

122tan cot )222tan )tan tan 2222

A B C A B A B A B +==

++1- =(( tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C A C

+=可得 +

tan tan tan 222A B C 2所以 () = tan tan )(tan tan )(tan tan )222222

A B B C A C

≤(

3

tan tan tan tan tan tan 1222222327A B B C A C ?

?+??=??

??

??

+ ，当且仅当3A B C π===时等号成立， 故tan

tan tan 222

A B C

的最大值是9 说十一、利用导数求函数的最值

例：已知(0,)2

x π

∈

，求2()sin cos f x x x =+的最小值。

解：'22

2sin ()sin cos x x

f x x x

-=

+，令'()0f x =

得：3tan tan x x == 而(0,)2x π∈，则3x π=，而当03x π<<时，'()0f x <；当32x ππ

<<时，'()0f x > 所以当3

x π

=

时，min ()16f x =。

例：求函数sin 2sin x

y x

=

+的最大值和最小值。

1．运用三角函数的有界性，即sin 1x ≤来求解，即将原式变形为

sin 2sin 2sin 1x y y x x y =

?=+-，所以变为211y

y

≤-来进行求解即可。即有

22

41

1(1)(31)11(1)3y y y y y ≤?+-≤?-≤≤-，即max

1,13

min y y ==-。 2．将函数式化为部分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值，

即将原式变形为2

12sin y x

=-+。

当sin 1x =时，即2()2k x k k z ππ=+∈时，有max 211213

y =-=+。当sin 1x =-时，

即2()2k x k k z ππ=-

∈时，有min 21121

y =-=--。 3．将函数式直接变形为1

21sin y x

=+

，其实求法就跟上一题一样。4．考虑

万能代换，使转化为代数函数的求最值问题。令tan 2x t =，则有2

2sin 1t

x t =+，所

以22

2212121t t

t y t t t t

+==++++，即2(1)0yt y t y +-+=此关于t 的二次方程应有实根，故22(1)40y y ?=--≥，解之得113y -≤≤，故有max 1

,13

min y y ==-

5．将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子21

t

y t t =++

化为1(0)11y t t t =≠++，当t 为正值时，有111

11231y t t

=≤=+++。所以max 13y =，

当t 为负值时，有11

111(2)1y t t

=≥=-+-++

。所以1min y =-

综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型：

1．可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型： 可将函数式化为sin()y A x ω?=+的形式求解的问题，形如

sin sin a x b

y c x d

+=

+或者22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的函数适用；

可将函数式化为sin()()x f x ω?+=的形式求解的问题，形如

cos sin a x b y c x d +=

+或者形如sin cos a x b

y c x d

+=+的函数适用；

2．可转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[]1,1-上的最值问题，典型的是：形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠的最值；形如

(sin cos )sin cos y A x x B x x =++的最值；

3．转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如函数

sin ()sin a

y x a R x

+=+∈的最值。

4．某些带约束（隐含）条件的最值。

5．利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等） 6．含参数的逆向思考问题。