§2.1 分离变量法求解偏微分方程

1
⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ 直角坐标系与球坐标系的关系： ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos ϕ ⎩
利用微分计算，可以得到球坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u =0 ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟+ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
边界条件 确定本征值、 本征函数
初始条件 确定待定系数
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
一、拉普拉斯（Laplace）方程： ∇ u = 0
2
1、球坐标系 (r , θ , ϕ ) 下拉普拉斯方程的分离变量解法 直角坐标系下拉普拉斯方程：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
⇒
ρ d ⎛ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 1 d 2Φ ⎜ ⎟ + = − = m2 ρ ⎜ ⎟ 2 2 Φ dϕ R dρ ⎝ dρ ⎠ Z dz
⎧ d 2Φ 2 ⎪ 2 +m Φ =0 ⎪ dϕ ⎨ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 2 ⎪ρ d ⎛ ⎜ ⎟ ρ ⎟ + Z dz 2 − m = 0 ⎪ R dρ ⎜ d ρ ⎝ ⎠ ⎩ (17) (18)
Φ (ϕ ) 应满足自然边界条件 Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π )
所以， m 必须为整数，即 m = 0,1,2, L 综上
Φ(ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
3 、方程（8）的求解 ○ 令 x = cos θ ,
(m = 0,1,2,L)
（13）
y ( x ) = Θ(θ )
（1）
方程（1）为偏微分方程， u 具有多个自变量，无法直接进行求解，我们利用分离变量法 将球坐标系下拉普拉斯偏微分方程分解成为多个常微分方程，然后进行求解。 设 u (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) ，代入（1）式
Y d ⎛ 2 dR ⎞ R R ∂ ⎛ ∂Y ⎞ ∂ 2Y r + sin θ + =0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 dr ⎝ dr ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ ⎪z = z ⎩
柱坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2 u ∂ 2 u ⎜ρ ⎟ + 2 =0 ⎟+ 2 2 ρ ∂ρ ⎜ ∂z ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂ϕ
利用分离变量法，令 u (ρ , θ , z ) = R(ρ )Φ (ϕ )Z ( z ) 代入（16）式中
d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⎟ − l (l + 1)R = 0 展开 dr ⎝ dr ⎠ r2 d 2R dR + 2r − l (l + 1)R = 0 2 dr dr t = ln r
（10） （9）
设r = e ,
t
dR dR dt 1 dR 1 dR = = = dr dt dr r dt e t dt d 2R d ⎛ dR ⎞ d ⎛ 1 dR ⎞ d dt ⎛ 1 dR ⎞ = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= 2 dr ⎝ dr ⎠ dr ⎝ e t dt ⎠ dt dr ⎝ e t dt ⎠ dr = 1 d 2 R 1 dR − e 2t dt 2 e 2t dt
[
]
一旦得到三个常微分方程（6） 、 （7 ） 、 （8）的解 R (r )、Θ(θ )、Φ (ϕ ) ，球坐标系下拉普拉斯 偏微分方程的解即可得到： u (r , θ , ϕ ) = R (r )Θ(θ )Φ (ϕ ) 下面，我们将分别求解上述三个常微分方程。 1 、欧拉方程（6）的求解 ○ 将方程
第二章 线性偏微分方程和特殊函数的推导
第一章我们推导了如下三个常见的偏微分方程：
⎧ ∂ 2u = a 2∇ 2u ⎪ 2 ⎪ ∂t ⎨ 2 ⎪ ∂ u = a 2 ∇ 2 u + f ( x, y , z , t ) ⎪ ⎩ ∂t 2
⎧ ∂u = a 2∇ 2u ⎪ ⎪ ∂t ⎨ ⎪ ∂u = a 2 ∇ 2 u + f ( x, y, z , t ) ⎪ ⎩ ∂t
(
)
（15）
其中， l 为本征值，由 x = ±1 的自然边界条件确定， l = 0,1,2,3L ，其本征函数为 l 阶勒让 德多项式 Pl ( x ) 。综上，
l 阶连带勒让德方程对应的解为 l 阶连带勒让德多项式 Pl m (x ) ； l 阶勒让德方程对应的解为 l 阶勒让德多项式 Pl (x ) 。
特征值 x1 = l , x 2 = −(l + 1)
R(t ) = Ce lt + De − (l +1)t
将 t = ln r 代入上式，得到
R(r ) = Ce l ln r + De −(l +1) ln r = Cr l +
D r l +1
当 l = 0 时，特征值 x1 = 0, x 2 = −1
⎧ d ⎛ 2 dR ⎞ ⎪ dr ⎜ r dr ⎟ − l (l + 1)R = 0 ⎠ ⎪ ⎝ 2 ⎪d Φ 2 ⎨ 2 +m Φ =0 ⎪ dϕ ⎪ d ⎛ dΘ ⎞ 2 2 ⎪sin θ ⎜ sin θ ⎟ + l (l + 1)sin θ − m Θ = 0 dθ ⎝ dθ ⎠ ⎩
(6) (7) (8)
由此偏微分方程（3）又可以分离为如下两个常微分方程：
⎧ d 2Φ 2 ⎪ 2 +m Φ =0 d ϕ ⎪ ⎨ dΘ ⎞ 2 2 ⎪sin θ d ⎛ sin θ ⎜ ⎟ + l (l + 1)sin θ − m Θ = 0 ⎪ d d θ θ ⎝ ⎠ ⎩
(4) (5)
[
]
其中，方程（4） 、 （5）均为常微分方程，可以直接求解。 综上，球坐标系下拉普拉斯偏微1 dR ⎞ 1 ⎛ 1 d 2 R 1 dR ⎞ ⎜ t ⎟= t ⎜ ⎟ − t − t 2 2 ⎜ t r⎜ e dt ⎟ e dt ⎟ ⎝ e dt ⎠ e ⎝ e dt ⎠ (11)
将方程（10） 、 （11）带入方程（9） ，得到
3
d 2 R dR + − l (l + 1) R = 0 dt dt 2
方程两边同乘以
sin 2 θ ΘΦ
2
sin θ d ⎛ ⎜ sin θ Θ dθ ⎝ sin θ d ⎛ ⇒ ⎜ sin θ Θ dθ ⎝
dΘ ⎞ 1 d 2 Φ + l (l + 1)sin 2 θ = 0 ⎟+ 2 dθ ⎠ Φ dϕ dΘ ⎞ 1 d 2Φ 2 = m2 , ⎟ + l (l + 1)sin θ = − 2 dθ ⎠ Φ dϕ m为常数
其解分别为
D ⎧ l (l = 0,1,2,L) ⎪ R(r ) = Cr + r l +1 ⎪ ⎨Φ (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ ⎪ m ⎪Θ(θ ) = Pl (cos θ ) ⎩
所以，球坐标系下拉普拉斯方程通解为：
(m = 0,1,2,L)
D ⎞ ⎛ u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Φ (ϕ )Θ(θ ) = ⎜ Cr l + l +1 ⎟( Am cos mϕ + Bm sin mϕ )Pl m (cos θ ) r ⎠ ⎝
（勒让德多项式的求解以及为什么本征值 l 必须为 l = 0,1,2,3L 将在§2.2 节详细讲解）
至此，球坐标系下拉普拉斯方程，经过分离变量，得到三个独立的常微分方程
∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u 1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 θ =0 r + sin + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
(
)
(
)
4
带入方程（8） ，得到 m 阶连带勒让德方程
⎡ d ⎡ m2 ⎤ 2 dy ⎤ ( ) x 1 − + l l + 1 − ⎢ ⎥y = 0 dx ⎢ dx ⎥ 1− x2 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣
(
)
(
)
（14）
当 m = 0 时，方程（14）退化为勒让德方程
d ⎡ dy ⎤ 1− x2 + l (l + 1) y = 0 ⎢ dx ⎣ dx ⎥ ⎦
由此，偏微分方程（1）可得到分离为如下两个方程：
⎧ d ⎛ 2 dR ⎞ ⎪ dr ⎜ r dr ⎟ − l (l + 1)R = 0 ⎠ ⎪ ⎝ ⎨ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y ⎪ 1 ∂ ⎛ + l (l + 1)Y = 0 ⎜ sin θ ⎟+ ⎪ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎩ sin θ ∂θ ⎝
(l = 0,1,2,L; m = 0,1,2,L)
尤其，当 m = 0 时，
D ⎞ ⎛ u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Φ (ϕ )Θ(θ ) = ⎜ Cr l + l +1 ⎟ Pl (cos θ ) r ⎠ ⎝
5
(l = 0,1,2,L)
2、柱坐标系 (ρ , θ , z ) 下拉普拉斯方程的分离变量解法 柱坐标系与直角坐标系的关系
（16）
ΦZ d ⎛ dR ⎞ RZ d 2 Φ RΦd 2 Z ⎜ρ ⎟ + =0 2 ⎟+ 2 ρ dρ ⎜ dz 2 ⎝ dρ ⎠ ρ dϕ
方程两边同乘以
ρ2
RΦZ
ρ d ⎛ dR ⎞ 1 d 2 Φ ρ 2 d 2 Z ⎜ρ ⎟ + =0 ⎟+ 2 R dρ ⎜ Z dz 2 ⎝ dρ ⎠ Φ dϕ