试题报告

信息学奥林匹克联赛复赛试题

（random.pas/c/cpp）

【问题描述】

明明想在学校中请一些同学一起做一项问卷调查，为了实验的客观性，他先用计算机生成了N个1到1000之间的随机整数（N≤100），对于其中重复的数字，只保留一个，把其余相同的数去掉，不同的数对应着不同的学生的学号。然后再把这些数从小到大排序，按照排好的顺序去找同学做调查。请你协助明明完成“去重”与“排序”的工作。

【输入文件】

输入文件random.in 有2行，第1行为1个正整数，表示所生成的随机数的个数：

N

第2行有N个用空格隔开的正整数，为所产生的随机数。

【输出文件】

输出文件random.out 也是2行，第1行为1个正整数M，表示不相同的随机数的个数。第2行为M个用空格隔开的正整数，为从小到大排好序的不相同的随机数。

【输入样例】

10

20 40 32 67 40 20 89 300 400 15

【输出样例】

8

15 20 32 40 67 89 300 400

program noip2006_1_random;

const maxn=1050;

var a:array[1..maxn]of boolean;

i,n,x,max:longint;

procedure first;

begin

assign(input,'random.in');

assign(output,'random.out');

reset(input);rewrite(output);

end;

Begin

first;

readln(n);max:=0; {输入生成的随机数的个数n, }

fillchar(a,sizeof(a),0);

for i:=1 to n do {枚举每一个数,用a数组来记录当前数有没有出现}

begin

read(x);

a[x]:=true;

if max

end;

n:=0;

for i:=1 to max do if a[i] then inc(n); {统计不同数的总数}

writeln(n);

for i:=1 to max-1 do {输出打印时，最后切勿多打空格，否则0分}

if a[i] then write(i,' ');

if max<>0 then writeln(max);

close(input);close(output);

end.

2.Jam的计数法

（count.pas/c/cpp）

【问题描述】

Jam是个喜欢标新立异的科学怪人。他不使用阿拉伯数字计数，而是使用小写英文字母计数，他觉得这样做，会使世界更加丰富多彩。在他的计数法中，每个数字的位数都是相同的（使用相同个数的字母），英文字母按原先的顺序，排在前面的字母小于排在它后面的字母。我们把这样的“数字”称为Jam数字。在Jam 数字中，每个字母互不相同，而且从左到右是严格递增的。每次，Jam还指定使用字母的范围，例如，从2到10，表示只能使用{b,c,d,e,f,g,h,i,j}这些字母。如果再规定位数为5，那么，紧接在Jam数字“bdfij”之后的数字应该是“bdghi”。（如果我们用U、V依次表示Jam数字“bdfij”与“bdghi”，则U，且不存在Jam数字P，使U）。你的任务是：对于从文件读入的一个Jam数字，按顺序输出紧接在后面的5个Jam数字，如果后面没有那么多Jam数字，那么有几个就输出几个。

【输入文件】

输入文件counting.in 有2行，第1行为3个正整数，用一个空格隔开：

s t w

（其中s为所使用的最小的字母的序号，t为所使用的最大的字母的序号。w为数字的位数，这3个数满足：1≤s≤26, 2≤w≤t-s ）

第2行为具有w个小写字母的字符串，为一个符合要求的Jam数字。

所给的数据都是正确的，不必验证。

【输出文件】

输出文件counting.out 最多为5行，为紧接在输入的Jam数字后面的5个Jam 数字，如果后面没有那么多Jam数字，那么有几个就输出几个。每行只输出一个Jam数字，是由w个小写字母组成的字符串，不要有多余的空格。

【输入样例】

2 10 5

bdfij

【输出样例】

bdghi

bdghj

bdgij

bdhij

befgh

看了题目，会发现此题和noip2004普及组的《火星人》很像，但是又有一些差别。

其实《火星人》考的是生成排列，而此题考的是生成组合。

生成组合大致算法流程如下：

1. 从后向前找第一个未达到最大值的数a

2. a:=a+1

3. 后面的数都等于前面数加一

4. 判断a[0]，若a[0]=1则结束，否则转1

再结合题目，读入时只要转字符位数即可，即A:=ord(ch)-96

program noip2006_3_count;

var a:array[1..26]of longint;

s,t,w,i,p,q:longint;

str:string;

procedure first;

begin

assign(input,'count.in');

assign(output,'count.out');

reset(input);rewrite(output);

readln(s,t,w); {输入最小的字母的序号，最大的字母的序号，数字的位数}

readln(str); { w个小写字母的字符串}

end;

Begin

first;

for i:=1 to w do

a[i]:=ord(str[i])-96; {ord(‘a’)=97}

if t-s>w then

begin

p:=1; {先来确定第一个数}

while (p<=5)and(a[1]

begin

q:=w; {指针在最后一位}

while (q>=1)and(a[q]=t-w+q) do dec(q); {若当前指针所指的值为当前位置的最大值，则指针向前移一位}

if q<>0 then {若当前指针还没有移到头}

begin

inc(a[q]); {当前的值变大一位}

for i:=q+1 to w do a[i]:=a[i-1]+1; {后面每一个值尽可能变得小}

for i:=1 to w do write(chr(a[i]+96)); {输出这个Jam数}

writeln;

inc(p); {指针向后移一位}

end;

end;

end;

close(input);close(output);

end.

3.数列

（sequence.pas/c/cpp）

【问题描述】

给定一个正整数k(3≤k≤15),把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列，例如，当k=3时，这个序列是：

1，3，4，9，10，12，13，…

（该序列实际上就是：30，31，30+31，32，30+32，31+32，30+31+32，…）

请你求出这个序列的第N项的值（用10进制数表示）。

例如，对于k=3，N=100，正确答案应该是981。

【输入文件】

输入文件sequence.in 只有1行，为2个正整数，用一个空格隔开：

k N

（k、N的含义与上述的问题描述一致，且3≤k≤15，10≤N≤1000）。

【输出文件】

输出文件sequence.out 为计算结果，是一个正整数（在所有的测试数据中，结果均不超过2.1*109）。（整数前不要有空格和其他符号）。

【输入样例】

3 100

【输出样例】

981

实际上，这道题是考枚举（BFS），数据量很小，但是又更优的算法。

我们先列一张表看一下：（此时k=3）

n 3^7 3^6 3^5 3^4 3^3 3^2 3^1 3^0 ans

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

2 0 0 0 0 0 0 1 0 3

3 0 0 0 0 0 0 1 1 4

4 0 0 0 0 0 1 0 0 9

5 0 0 0 0 0 1 0 1 10

6 0 0 0 0 0 1 1 0 12

7 0 0 0 0 0 1 1 1 13

8 0 0 0 0 1 0 0 0 27

9 0 0 0 0 1 0 0 1 28

很明显，这道题的解ans一定可以分成an s=3^0*a[0]+3^1*a[1]+……+3^m*a[m]，而且我们发现表中a[1]

至a[m]之间实际上是一个二进制序列。

这下算法就明朗了，只要将n转成二进制数，再按k的幂展开求和即可。

注意点，由于ans均小于2.1*109，即这里暗示你用longint,就不能用integer,最好别用int64,Qword或extended（题目中的提示就应该是标程的类型）。

program noip2006_4_sequencet;

var k,n,ans,x,r:longint;

procedure first;

begin

assign(input,'sequence.in');

assign(output,'sequence.out');

reset(input);rewrite(output);

end;

Begin

first;

readln(k,n);

ans:=0;x:=1;

while n>0 do

begin {转化成二进制，作为k的指数}

r:=n mod 2;

n:=n div 2;

ans:=ans+r*x;

x:=x*k;

end;

if ans=0 then writeln(1) else writeln(ans);

close(input);close(output);

end.

4.加分二叉树

（tree.pas/c/cpp）

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

【输入文件】

输入文件tree.in

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

【输出文件】

输出文件tree。Out

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例输入Sample Input

5

5 7 1 2 10

样例输出Sample Output

145

3 1 2

4 5

题解1 Program List 1

var

a:array[0..30,0..30] of longint; {记录动态规划} root:array[0..30,0..30] of integer; {记录根节点} n,i,j,k,head:integer;

max:longint;

procedure print(a,b:longint); {输出前序遍历} begin

if a=b then begin write(a,' '); exit; end;

write(root[a,b],' '); {输出根节点} if a<=root[a,b]-1 then print(a,root[a,b]-1); {输出左子树} if root[a,b]+1<=b then print(root[a,b]+1,b); {输出右子树} end;

begin

readln(n);

for i:=1 to n do

read(a[1,i]);

a[0,0]:=1;

for i:=1 to n do

begin

a[0,i]:=1;

a[i,0]:=1;

end;

for i:=2 to n do {动态规划} for j:=1 to n-i+1 do

begin

max:=0;

for k:=1 to i do

begin

if a[k-1,j]*a[i-k,j+k]+a[1,j+k-1]>max then {动态规划转移方程}

begin

max:=a[k-1,j]*a[i-k,j+k]+a[1,j+k-1];

head:=j+k-1;

end;

end;

a[i,j]:=max;

root[j,j+i-1]:=head; {记录根节点} end;

writeln(a[n,1]); {输出最高加分} print(1,n); {输出前序遍历} end.